4-5_TRANSFORMACAO_DE_DEFORMACAO

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Transformação de deformação
Resistência dos Materiais 2
Prof. Fabiano Moreira
2
Estado geral de deformação
O estado geral de deformação em um ponto é representado por uma
combinação de três deformações normais e três deformações por
cisalhamento. Assim com na tensão, suas componentes variam
conforme a orientação do elemento.
3
Estado de deformação plana
Visão tridimensional do estado de deformação no plano x-y.
∆z(1 + ϵ𝑧)
∆y(1 + ϵ𝑦)
π
2
− 𝛾𝑦𝑧
∆𝑥
∆𝑦
∆z
∆𝑥
∆𝑥
4
Estado de deformação plana
Visão bidimensional do estado de deformação no plano x-y.
∆z(1 + ϵ𝑧)
∆y(1 + ϵ𝑦)
π
2
− 𝛾𝑦𝑧
∆𝑦
∆z
5
Estado de deformação plana
O estado plano de deformação não é equivalente ao estado
plano de tensão e vice-versa.
6
Estado de deformação plana
Deformações de um elemento provocadas por cada uma
das componentes de deformação.
𝜀 =
δ
𝐿
⇒ δ = 𝜀 ∙ 𝐿
𝛾𝑥𝑦 =
𝜋
2
− 𝜃′ ⇒ 𝜃′ =
𝜋
2
− 𝛾𝑥𝑦
7
Equações gerais de transformação no plano
Convenção de sinais:
8
Equações gerais de transformação no plano
Determinar o alongamento de um segmento de reta dx’ que
se encontra ao longo do eixo x’ e está sujeito a componentes
de deformação εx, εy e γxy separadamente.
𝑑𝑥 = 𝑑𝑥′ cos θ
𝑑𝑦 = 𝑑𝑥′ sin θ
9
Equações gerais de transformação no plano
Deformação normal εx
𝛿𝑥′ = 𝜀𝑥𝑑𝑥 cos θ
10
Equações gerais de transformação no plano
Deformação normal εy
𝛿𝑥′ = 𝜀𝑦𝑑𝑦 sin θ
11
Equações gerais de transformação no plano
Deformação por cisalhamento γxy
𝛿𝑥′ = 𝛾𝑥𝑦𝑑𝑦 cos θ
12
Equações gerais de transformação no plano
Somando as três contribuições para 𝛿𝑥′ e simplificando a
expressão, resulta:
𝜀𝑥′ = 𝜀𝑥 cos² θ+ 𝜀𝑦 sin² θ+
𝛾𝑥𝑦
2
2 cos θ sin θ
Aplicando as identidades trigonométricas: sin 2θ =
2 sin θ cosθ, cos2 θ = 1 + cos2θ /2 e cos2 θ + sin² θ = 1,
obtemos:
εx′ =
(εx + εy)
2
+
(εx − εy)
2
cos2θ +
γxy
2
sin 2θ
13
Equações gerais de transformação no plano
εy′ poderá ser obtida pela simples substituição de θ = θ +
90°:
εy′ =
(εx + εy)
2
+
εx − εy
2
cos2 θ + 90 +
γxy
2
sin 2 θ + 90
εy′ =
(εx + εy)
2
−
εx − εy
2
cos2θ −
γxy
2
sin 2θ
14
Equações gerais de transformação no plano
𝛾𝑥′𝑦′ poderá ser obtida considerando:
𝜀𝑂𝐵 = εx′ 45° = 𝜀𝑚𝑒𝑑 +
𝛾𝑥𝑦
2
𝜃 𝑥
𝜀𝑂𝐵′ = εx′ 45° ′ = 𝜀𝑚𝑒𝑑 +
𝛾𝑥′𝑦′
2
𝛾𝑥′𝑦′
2
= −
(εx − εy)
2
sin 2θ +
γxy
2
cos 2θ
15
Equações gerais de transformação no plano
Resultados:
εx′ =
(εx + εy)
2
+
(εx − εy)
2
cos2θ +
γxy
2
sin 2θ
εy′ =
(εx + εy)
2
−
εx − εy
2
cos2θ −
γxy
2
sin 2θ
𝛾𝑥′𝑦′
2
= −
(εx − εy)
2
sin 2θ +
γxy
2
cos 2θ
Compare com as equações de transformação do estado
plano de tensão.
16
Exemplo
Um elemento diferencial de material em um ponto está sujeito a um
estado plano de deformação definido por ϵx = −350 10−6 , ϵy =
200 10−6 , γxy = 80 10−6 . Determine as deformações principais e
o cisalhamento máximo no ponto e a orientação associada.
𝜖𝑥 . ∆𝑥
𝜖𝑦 . ∆𝑦
𝛾𝑥𝑦/2
𝛾𝑥𝑦/2
17
Relações entre o material e suas propriedades
Considerando que o material seja homogêneo e isotrópico e
comporte-se de um modo linear elástico, algumas relações
importantes que envolvem as propriedades dos materiais
podem ser desenvolvidas:
1. Lei de Hooke generalizada;
2. Relações que envolvem 𝐸, 𝜈 e 𝐺;
3. Dilatação (𝑒);
4. Módulo de compressibilidade (𝑘)
18
Relações entre o material e suas propriedades
Deformações normais associadas a um estado triaxial de
tensão:
𝜀𝑥 =
1
𝐸
𝜎𝑥 − ν 𝜎𝑦 + 𝜎𝑧 𝜀𝑦 =
1
𝐸
𝜎𝑦 − ν 𝜎𝑥 + 𝜎𝑧 𝜀𝑦 =
1
𝐸
𝜎𝑦 − ν 𝜎𝑥 + 𝜎𝑧
19
Relações entre o material e suas propriedades
Se for aplicado uma tensão de cisalhamento 𝜏𝑛𝑚 ao
elemento, o material se distorcerá somente devido a uma
deformação por cisalhamento 𝛾𝑛𝑚 :
𝛾𝑥𝑦 =
1
𝐺
𝜏𝑥𝑦 𝛾𝑦𝑧 =
1
𝐺
𝜏𝑦𝑧. 𝛾𝑥𝑧 =
1
𝐺
𝜏𝑥𝑧 𝐺 =
𝐸
2(1 + ν)
𝛾𝑥𝑦 =
1
𝐸
∙ 2 1 + ν ∙ 𝜏𝑥𝑦
20
Relações entre o material e suas propriedades
Portanto, a lei de Hooke para as deformações em função
das tensões pode ser escrita como:
𝜀𝑥
𝜀𝑦
𝜀𝑧
𝛾𝑥𝑦
𝛾𝑥𝑧
𝛾𝑦𝑧
=
1
𝐸
1
−𝑣
−𝑣
0
0
0
−𝑣
1
−𝑣
0
0
0
−𝑣
−𝑣
1
0
0
0
0
0
0
2 1 + ν
0
0
0
0
0
0
2 1 + ν
0
0
0
0
0
0
2 1 + ν
𝜎𝑥
𝜎𝑦
𝜎𝑧
𝜏𝑥𝑦
𝜏𝑥𝑧
𝜏𝑦𝑧
21
Relações entre o material e suas propriedades
Da mesma maneira, a lei de Hooke para as tensões em
função das deformações pode ser escrita como:
𝜎𝑥
𝜎𝑦
𝜎𝑧
𝜏𝑥𝑦
𝜏𝑥𝑧
𝜏𝑦𝑧
=
𝐸
(1 + 𝑣)(1 − 2𝑣)
1 − 𝑣
𝑣
𝑣
0
0
0
𝑣
1 − 𝑣
𝑣
0
0
0
𝑣
𝑣
1 − 𝑣
0
0
0
0
0
0
(1 − 2𝑣)/2
0
0
0
0
0
0
(1 − 2𝑣)/2
0
0
0
0
0
0
(1 − 2𝑣)/2
𝜀𝑥
𝜀𝑦
𝜀𝑧
𝛾𝑥𝑦
𝛾𝑥𝑧
𝛾𝑦𝑧
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Relações entre o material e suas propriedades
Relações que envolvem 𝐸, 𝜈 e 𝐺:
Considere um elemento diferencial sujeito a cisalhamento
puro. Determine as tensões principais e transforme para o
estado de deformações principais:
𝜀1 =
𝜏𝑥𝑦
𝐸
1 + ν
23
Relações entre o material e suas propriedades
Relações que envolvem 𝐸, 𝜈 e 𝐺:
Para o elemento diferencial sujeito a cisalhamento puro.
Transforme-o para o estado de deformações equivalente e
depois determine as deformações principais:
𝜀1 =
𝜏𝑥𝑦
𝐸
1 + ν𝜀𝑥 = 0
𝜀𝑦 = 0
𝜀𝑧 = 0
𝛾𝑥𝑦=
𝜏𝑥𝑦
𝐺
𝜀1 =
𝜏𝑥𝑦
2𝐺
𝐺 =
𝐸
2(1 + ν)
24
Relações entre o material e suas propriedades
Dilatação e : calcule a variação do volume do elemento
diferencial abaixo:
25
Relações entre o material e suas propriedades
Módulo de compressibilidade k: o que acontece quando um
elemento é submetido a uma pressão hidrostática:
26
Exemplo
O suporte abaixo é feito de aço para o qual Eaço = 200 GPa,
νaço = 0,3. Determine as tensões principais no ponto A.
εx = 60 10−6 , εy = 246(10−6) e γxy = −149(10−6)
27
Exemplo
A barra de cobre na figura está sujeita a uma carga uniforme ao
longo de suas bordas, como mostra a figura. Se tiver comprimento
a = 300 mm, largura b = 50 mm e espessura t = 20 mm antes da
aplicação da carga, determine seus novos comprimento, largura e
espessura após a aplicação da carga. Considere Eco = 120GPa ,
νco = 0,34.
28
Exemplo
Se o bloco retangular mostrado na figura estiver sujeito a
uma pressão uniforme p = 20 kPa, determine a dilatação e a
mudança no comprimento de cada lado. Considere E =
60 kPa,ν = 0,45.
3cm
2cma = 4cm
29
Teoria de falhas
Se o material for dúctil, normalmente a falha será especificada pelo
início do escoamento, ao passo que se for frágil, isso ocorrerá pela
ruptura.
Ferro fundidoAço
Elementos sujeitos a estado uniaxial de tensão
30
Teoria de falhas
Porém, a avaliação sobre a falha do material torna-se mais complexa
quando estão sujeitos a estados bi e triaxiais de tensão.
Qual dos elementos abaixo irá falhar primeiro?
31
Teoria de falhas
A seguir, discutiremos quatro teorias de falhas frequentemente
utilizadas para prevê a falha de um material sujeito a um estado
multiaxial de tensões:
1. teoria da tensão normal máxima (critério de Rankine);
2. critério de falha de Mohr.
3. teoria da tensão de cisalhamento máxima (critério de Tresca);
4. teoria da energia de distorção máxima (critério de von Mises);
32
Teoria de falhas para materiais frágeis
Teoria da tensão normal máxima: um material frágil falhará quando a
tensão principal máxima no material atingir um valor limite igual ao limite de
resistência à tensão normal que o material pode suportar quando
submetido à tração simples.
Falha sob tração Falha sob torção
33
Teoria de falhas para materiais frágeis
Teoria da tensão normal máxima - representação gráfica:
Estado plano de tensão Estado triaxial de tensão
𝜎1uniaxial, 𝜎𝑟 𝑐;
• um estado de cisalhamento puro, 𝜏𝑟;
35
Teoria de falhas para materiais frágeis
Critério de Mohr:
Os círculos de Mohr dos três estados
citados delimitam uma envoltória de
estados de tensão admissível.
Se o estado de tensão atuante no
corpo gerar um circulo de Mohr
completamente contido no interior da
envoltória, então não haverá falha.
36
Teoria de falhas para materiais frágeis
Critério de Mohr:
Expressão matemática do critério
para o estado plano de tensão:
37
Exemplo
O pequeno cilindro de concreto com diâmetro
de 50 mm está sujeito a um torque de 500
Nm e a uma força de compressão axial de 2
kN. Determine se ele falhará de acordo com a
teoria da tensão normal máxima. O limite de
resistência do concreto é 28 MPa.
38
Teoria de falhas para materiais dúcteis
Critério de Tresca
Em materiais dúcteis a falha é observada quando a estrutura entra
em regime de escoamento.
39
Teoria de falhas para materiais dúcteis
Critério de Tresca
Corpo de prova com formato de uma tira fina
com alto polimento submetido a um ensaio de
tração simples.
𝜏𝑚𝑎𝑥 =
𝜎𝑦
2
40
Teoria de falhas para materiais dúcteis
Critério de Tresca
O escoamento do material inicia-se quando a tensão cisalhante
máxima absoluta atuante no material atinge a tensão cisalhante que
causa o escoamento, no mesmo material, ao ser submetido apenas a
uma tração axial
41
Teoria de falhas para materiais dúcteis
Critério de von Mises
Densidade de energia de deformação para um estado de tensão
uniaxial:
Densidade de energia de deformação para um estado de tensão
triaxial:
42
Teoria de falhas para materiais dúcteis
Critério de von Mises
Substituindo a lei de Hooke generalizada:
43
Teoria de falhas para materiais dúcteis
Critério de von Mises
Energia de distorção: materiais dúcteis não atingem o escoamento
quando submetidos a estados de tensão hidrostáticos:
− =
44
Teoria de falhas para materiais dúcteis
Critério de von Mises
Energia de distorção :
45
Teoria de falhas para materiais dúcteis
Critério de von Mises
O escoamento de um material dúctil ocorre quando a energia de
distorção por unidade de volume do material é igual ou ultrapassa a
energia de distorção por unidade de volume do mesmo material
quando submetido a escoamento em um ensaio de tração simples.
≥
46
Teoria de falhas para materiais dúcteis
Critério de von Mises
Representação gráfica para o estado plano de tensões:
47
Teoria de falhas para materiais dúcteis
Critério de von Mises
Representação gráfica para o estado triaxial de tensões:
48
Exemplo
O eixo maciço mostrado na figura tem raio
de 0,5 cm e é feito de aço com tensão de
escoamento de 360 MPa. Determine se as
cargas provocam a falha do eixo de acordo
com a teoria da tensão de cisalhamento
máxima e a teoria da energia de distorção
máxima.
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