Solução lista integrais

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Cálculo II : Solução Exercícios de técnicas de integração 
Prof. Sérgio Rodrigues 
 
Note que para integrar com extremos de integração definidos a e b e usar a mudança de 
variável u= g(x) na integral podemos fazer de dois modos : 
1º modo: Integrar na variável u e modificar os extremos de integração para u=g(a) e u= 
g(b) e (sem substituir u por g(x) no final) 
( )
( )
( ( )) (´ ) ( )
b g b
a g a
f g x g x dx f u du 
 
2º modo : Substituir u por g(x) depois da integração e utilizar os extremos x=a e x=b 
Exemplo 1º modo 
3 /4
/4
( )cos( )sen x x dx


 
Fazemos u=g(x) = cos (x) du =g´(x)dx =- sen(x) 
 a= /4=45o e b= 3/4 =135o e portanto 
 g(a) = cos (/4) = 
2 / 2
 e g(b)= 
2 / 2
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Mais constante 
 
 
Esta integral é para ser feita com substituição trigonométrica x= a tan u. 
O prof. Edmir não deu este método. Se vc estudou estes método compare sua resposta. 
Resposta 
 mais constatnte 
 
 
 
O grau do numerador é maior que do denominador e, neste caso, devemos fazer a divisão do 
numerador (2x
3
 + 3 x
2
- 2x) pelo denominador (x+2) o quociente é q(x) = e o resto é 
r(x)= – 8 . 
 Logo (2x
3
 + 3 x
2
- 2x) =( ) (x+2) + (– 8 ) 
 
3 2 2
2(2 3 2 ) (2 4)( 2) ( 8) ( 8)(2 4)
2 2 2
x x x x x x
x x
x x x
       
    
  
 
3 2 2
2 3(2 3 2 ) ( 8) 2(2 4) 4 ( 8) ln| 2 |
2 2 3 2
x x x x
dx x x dx dx x x x C
x x
   
           
   
  
 
 
 
1-Seja R a região do plano compreendida entre as curvas dadas pelas equações 
y= x
2
 + 1 ; y= (–2) x2 – 1 ; x=1 e x=2; então: 
a) esboce o gráfico das curvas e a região R 
b) calcule a área da região R. 
 
b) A área A da região entre as curvas dadas é 
 
A= 2 2
2 2
1 1
| ( ) ( ) | |( 1) ( 2 1) |A g x h x dx x x dx        
 
 
2
2 3
1
2
1
(3 2) ( 2 ) 12 3 9|x dx x x      
 
 
Resposta ; A área da região é A=9 unidades de área. 
 
 
 
2- Um sólido S é obtido girando-se a região R do plano em torno do eixo dos y . Sabendo-
se que R é limitada pelo gráfico das funções y=x
2
 , x=1 , x=2 e e o eixo x ( y=0). 
a) Desenhe a região R e esboce o sólido S obtido pelo giro de R em torno do eixo 
y. 
b) Calcule o volume V de S. 
 
 
 
b) Pelo método das cascas cilíndricas 
 
 
2 ( )( )
b
a
V raiocasca alturacasca dx 
 
 
 
2 2
2 3
11
2 ( )( ) 2 / 3 2 (8 1) / 3 14 / 3x x dx x       
 
 
 
Resposta; O volume é V=
14 / 3
unidades de 
volume. 
 
 
 
 
 
Outras integrais dos problemas propostos em sala 
 
 
Fazer substituição u= ( - x
2
 +1) e du = (-2x) dx 
 
Mais constante 
 
 
 
u=ln(x) dv= x dx 
 
 
 
 
 
 
O Prof. Edmir não deu este tipo de integral . Se vc estudou este método 
 
 
 
Esta integral pode ser feita com a substituição x= 3 sec (u) dx= 3 sec(u) tan(u) 
O Prof Edmir não fez em sala este tipo de substituição. Para quem estudou aqui vai a resposta 
 
 = I 
 
Como o grau do numerador é maior ou igual ao denominador então efetuamos a divisão dos 
polinômios e o quociente de por tem como quociente e resto 
zero . Logo a divisão é “exata” isto é, 
=( ) ( ) 
 Isto é, simplificando o integrando da integral dada 
 
2( 2) / 2 2I x x x C    
 
 
 
 
 
 u = sen(x) du= cos(x)dx 
> 
 
 
 
 
Neste caso, efetuar o produto e separar em duas integrais 
 
 
 
 
Completar o quadrado perfeito 
no denominador da seguinte 
forma 
2 2 2 22 1 (1 2 ) 1 ( 1) 1x x x x x u         
 u=x – 1 du = dx 
 
Lembre que 
2
arcsin( )
1
du
u
u



 
 
 
 
Use 
que 
2
1 1/ 4 1/ 4
4 2 2x x x
 
  
 
 
 
 
 Neste caso temos duas opções : fazer u=2x+1 ou 
2
2 1 ;
2 2 1 2 1
dx dx
u x du
x x
   
 
 logo 
4 (4) 9
0 (0) 1
3
1| 3 1 2
2 1
u
u
dx
du u
x


    

 
 
 
 
 
 
 
 
 
Use que (x
2
 -3x +2)= (x-1)(x+1) decomponha em frações parciais. 
-