Exame UNIPOSRIO - Física 2011

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UniposRio-FI´SICA
Exame Unificado de Acesso a`s Po´s-Graduac¸o˜es em
F´ısica do Rio de Janeiro
17 de junho de 2011
Nome (leg´ıvel):
Assinatura:
• Leia atentamente as questo˜es a seguir e responda nas
folhas de resposta fornecidas.
• As questo˜es 1 a 4 sa˜o obrigato´rias.
• Das outras quatro questo˜es (questo˜es 5 a 8) voceˆ deve
escolher e resolver apenas duas (2).
• A prova e´ individual e sem consulta.
• A durac¸a˜o total da prova e´ de 4 horas.
1
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1a Questa˜o
Uma haste r´ıgida, homogeˆnea, delgada, de massa m e comprimento l
pode girar livremente em torno de um eixo que passa por uma de suas
extremidades (ponto O na figura). O eixo de rotac¸a˜o e´ horizontal e
perpendicular a` haste.
(a) Mostre que o momento de ine´rcia da haste em relac¸a˜o ao eixo de
rotac¸a˜o e´ I = ml2/3.
A haste e´ liberada a partir do repouso na posic¸a˜o horizontal.
(b) Determine a velocidade angular da haste quando passa pela posic¸a˜o
vertical.
(c) Determine a forc¸a exercida pelo eixo sobre a haste no mesmo ins-
tante do item anterior.
(d) Encontre uma expressa˜o formal para o tempo transcorrido entre a
liberac¸a˜o da haste e sua primeira passagem pela posic¸a˜o vertical.
2a Questa˜o
Um mol de um ga´s ideal diatoˆmico sofre um processo c´ıclico como
mostrado no diagrama P versus V da figura. Os processos ab e cd sa˜o
isoco´ricos, enquanto que o processo da e´ isote´rmico. O processo bc e´
irrevers´ıvel e o tracejado na figura apenas mostra que as presso˜es de b
e c sa˜o iguais. A constante dos gases e´ dada por R = 8, 31J/ K.mol.
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Os seguintes valores se aplicam ao problema: Va = 1, 0 m
3, Vc =
3, 0 m3, Pa = 9, 0× 105 Pa, Pb = 18, 0× 105 Pa.
a) Encontre as temperaturas de a, b, c e d.
b) Complete a tabela abaixo para o ga´s.
c) Suponha que uma ma´quina funcione baseada no ciclo de ga´s acima.
Calcule seu rendimento ηirrev.
d) Se o processo bc fosse adiaba´tico, qual seria o rendimento ηrev dessa
nova ma´quina?
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3a Questa˜o
Duas cascas esfe´ricas de metal conceˆntricas de raios a e b (b > a)
esta˜o separadas por um material de condutividade ele´trica σ (figura).
No instante t = 0 a casca esfe´rica interna de raio a possui uma carga Q.
a) Determine o campo ele´trico como func¸a˜o do tempo nas regio˜es r < a,
a < r < b e r > b.
b) Qual e´ a corrente ele´trica total que flui no material entre as esferas
como func¸a˜o do tempo?
c) Calcule a poteˆncia dissipada por unidade de volume no material
devido a` passagem da corrente como func¸a˜o do tempo. Mostre que a
energia total dissipada e´ igual a energia eletrosta´tica do material em
t = 0.
4a Questa˜o
Um observador inercial O descreve um determinado experimento de
absorc¸a˜o de radiac¸a˜o da seguinte maneira:
“Um corpo em repouso, de massa M0, absorve dois fo´tons, de mesma
energia E = hν. Os fo´tons propagam-se sobre o eixo x em sentidos
contra´rios (xˆ e - xˆ). Apo´s a absorc¸a˜o, o corpo continua em repouso,
com massa M0 + ∆M0.”
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O mesmo processo e´ observado por outro observador inercial, O′, que
se move com velocidade uniforme vxˆ em relac¸a˜o ao referencial de O.
O observador O′ produz, por sua vez, o seguinte relato:
“Um corpo de massa M que se desloca com velocidade −vxˆ absorve
dois fo´tons de energias E1 = hν1 e E2 = hν2 que se propagam ao
longo de xˆ e −xˆ, respectivamente. Apo´s a absorc¸a˜o o corpo tem massa
M + ∆M e continua a se deslocar com velocidade −vxˆ.”
(i) Determine, atrave´s de argumentos relativ´ısticos, as frequeˆncias ν1
e ν2 como func¸o˜es de ν e β ≡ v/c.
(ii) Usando os dados de massa e energia contidos no relato de O, escreva
a equac¸a˜o de conservac¸a˜o do momento linear no referencial de O′.
(iii) Mostre que a expressa˜o para a conservac¸a˜o do momento formulada
em (ii) implica que 2E/c2 = ∆M0.
5a Questa˜o
Considere uma part´ıcula livre de massa m em um cubo de aresta L e
volume V = L3. Escreva a func¸a˜o de onda normalizada da part´ıcula,
aplicando as seguintes condic¸o˜es de contorno perio´dicas:
ψ(x+ L, y, z) = ψ(x, y, z)
ψ(x, y + L, z) = ψ(x, y, z)
ψ(x, y, z + L) = ψ(x, y, z)
e mostre que as autoenergias sa˜o quantizadas e dadas por:
En =
2pi2~2
mL2
(n2x + n
2
y + n
2
z),
onde nx, ny e nz sa˜o inteiros. Qual a energia do estado fundamental e
a degeneresceˆncia do primeiro estado excitado?
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6a Questa˜o
Uma part´ıcula atravessa uma regia˜o no espac¸o realizando um movi-
mento unidimensional, com energia constante, E. Durante esta tra-
jeto´ria a part´ıcula atravessa uma barreira de potencial constante (V >
E) como mostrado na figura. Fac¸a um esboc¸o da func¸a˜o de onda Ψ(x),
e tambe´m de |Ψ(x)|2, explicando a forma destas func¸o˜es em x < 0,
0 < x < a e x > a.
7a Questa˜o
Uma part´ıcula se encontra confinada em uma regia˜o unidimensional
do espac¸o (−b < x < b), e seu estado quaˆntico e´ definido pela seguinte
func¸a˜o de onda
ψ(x, t) = C
(
b2 − x2) e−iEt/~.
Determine
(a) a constante de normalizac¸a˜o C,
(b) o valor esperado da posic¸a˜o e
(c) do momento linear.
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8a Questa˜o
Um sistema quaˆntico de dois n´ıveis possui seu operador Hamiltoniano
descrito por:
H = }
[
ω0 −iω1
iω1 −ω0
]
(a) Encontre os autovalores de H, sabendo que ω0 e ω1 sa˜o nu´meros
reais.
(b) Escreva o Hamiltoniano na base em que este e´ diagonal.
(c) Supondo que em t = 0 o sistema se encontra no autoestado de
menor energia, calcule a func¸a˜o de onda em um instante t posterior.