Matemática para Computação

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UNIDADE I
Conjuntos devem ser representados e existem diversas formas. Segundo as afirmações descritas, escolha a alternativa correta:
Escolha uma:
a. Os elementos de um conjunto devem ser representados por meio de suas propriedades quando possuem poucos elementos
b. Na representação de um conjunto pode ser estabelecido apenas uma ordem de sequência, caso contrário, o seu significado perde o significado. 
c. Os elementos de um conjunto podem ser representados somente por descrição de símbolos.
d. Quando um conjunto possui muitos elementos, a forma mais adequada de representação é a descrição de suas propriedades.
e. Os conjuntos devem ser representados apenas por diagramas de Venn, pois outra forma de representação pode comprometer a sua compreensão.
Conjuntos podem ser representados também por relações e funções. Com base nessa afirmação, escolha a alternativa correta:
Escolha uma:
a. Em uma relação, todo elemento do primeiro conjunto A possui um único elemento associado ao conjunto B.
b. Na definição de uma função, é possível ter mais de um elemento de entrada e apenas um elemento no conjunto de saída. 
c. Na definição de uma função sabe-se que para um elemento no conjunto de partida existe mais de um elemento no conjunto de chegada.
d. Uma função pode ser considerada como um dos assuntos mais importantes na matemática, no entanto não existe nenhuma relação com diagramas de Venn. 
e. A relação entre dois conjuntos A e B: o par ordenado dessa relação é conhecido como domínio, enquanto o segundo conjunto formado é conhecido como contradomínio.
Existe uma relação entre fatoração e polinômios. Com base nessa informação, escolha a alternativa correta:
Escolha uma:
a. Polinômios podem ser gerados a partir de produtos notáveis. No entanto, o seu processo inverso pode ser realizado pela fatoração.
b. No cubo da soma de dois termos é o cubo do primeiro mais três vezes o primeiro termo elevado ao quadrado vezes o segundo termo, mais três vezes o primeiro termo vezes o segundo termo elevado ao quadrado, mais o segundo termo elevado ao cubo. 
c. Fatorar polinômios modifica a sua forma algébrica para criar outra expressão equivalente da expressão dada e escrita na forma de produtos.
d. Existem polinômios que necessitam de regras mais específicas para que possam ser fatorados e devemos utilizar também diferença de quadrados. 
e. No cubo da diferença de dois termos é o cubo do primeiro termo menos três vezes o primeiro termo elevado ao quadrado vezes o segundo termo, menos três vezes o primeiro termo vezes o segundo termo elevado ao quadrado, menos o segundo termo elevado ao cubo.
Para entendermos o conceito da teoria dos conjuntos, precisamos definir os principais elementos básicos da Teoria dos Conjuntos. Conforme essa descrição, escolha a alternativa correta:
Escolha uma:
a. Os principais elementos da Teoria dos Conjuntos são: conjunto, subconjunto e elemento. 
b. Os principais elementos da Teoria dos Conjuntos são: elemento, conjunto e pertinência.
c. Os principais elementos da Teoria dos Conjuntos são: elemento, operações e listagem. 
d. Os principais elementos da Teoria dos Conjuntos são: pertinência, objeto e elemento.
e. Os principais elementos da Teoria dos Conjuntos são: conjunto, elemento e união.
Polinômios podem ser fatorados. Com base nessa afirmação, escolha a alternativa correta:
Escolha uma:
a. No fator comum e agrupamento, não devemos observar qual é o número ou caráter algébrico que aparece em ambos os termos da subtração ou o fator comum.
b. Na simplificação de expressões fracionárias não existem casos em que as expressões são colocadas na forma de fração e precisamos eliminar todos os fatores comuns. 
c. Na diferença de quadrados não precisamos verificar se existe uma diferença entre dois monômios cujas literais apresentem expoente pares.
d. Fatorar um polinômios significa transformar em produtos, portanto, é necessário que seja colocado em evidência o menor divisor comum. 
e. Um trinômio quadrado perfeito ocorre quando toda vez que seu resultado for quadrado da soma ou da diferença entre três monômios. 
UNIDADE II
Existe uma relação entre funções exponenciais e as inequações exponenciais. É possível, portanto, extrair informações ao analisar os resultados gerados pelo comportamento por meio dos gráficos que elas apresentam e o mesmo ocorre com as funções logarítmicas. Escolha a alternativa correta:
Escolha uma:
a. O logaritmo de um número natural e positivo b, na base a, positiva e diferente de 1 é o número x ao qual se deve elevar a para se obter b.
b. Sendo Log10(1000) = 3
c. Existe uma infinidade de sistemas de logaritmos e dentre todos os sistemas os mais importantes são o sistema de logaritmo decimal e sistema de logaritmo neperianos. 
d. A igualdade de dois logaritmos em uma mesma base se verifica quando os logaritmandos forem diferentes.
e. Para o logaritmo de certo número em uma certa base é 3. O logaritmo desse mesmo número em uma base igual à metade de seu posterior é 6, então o número procurado é 64.
Segundo as definições de conjuntos e gráfico sobre conjuntos, escolha a alternativa correta:
Escolha uma:
a. Um gráfico da função linear y = ax é uma reta que contém a origem (0, 0) e para a construção desse gráfico basta determinar apenas mais dois pontos (x, y) do plano cartesiano e traçar a reta.
b. Denomina-se zero ou raiz da função f(x) = ax + b o valor de x que anula a função. Graficamente, o zero da função do 1º grau é a abscissa do ponto em que a reta corta o eixo x. 
c. O gráfico de uma função identidade é uma bissetriz do 1º e do 3º quadrantes, e seu domínio pertence ao conjunto dos números naturais e a sua imagem também pertence ao conjunto de números reais.
d. Na construção dos gráficos no plano cartesiano das funções y = x + 2 e y = 3x – 4, a solução do sistema é o ponto (x, y) paralelo das duas retas.
e. Seja a construção de um sistema cartesiano ortogonal de uma função f(x) = 2x -1, o gráfico da função linear é uma reta e possui domínio no conjunto real e imagem também do conjunto real.
Uma função polinomial do 2º grau ou quadrática é dada por f(x)= ax2 + bx + c, com a, b, c reais e a diferente de 0 (zero). Com base nessas informações, escolha a alternativa correta:
Escolha uma:
a. Denominam-se zeros ou raízes de uma função quadrática os valores de x que anulam a função ou torna f(x) = 0.
b. Para determinar os zeros ou raízes de uma função quadrática, devemos fazer com que a equação do 2o grau ax2+bx+c=0, analisando o beta da equação.
c. A parábola que representa o gráfico da função f(x) = ax2+bx+c não passa por um vértice, cujas coordenadas são (-b/2a, -delta/4a). 
d. O gráfico de uma função do 2o grau ou quadrática é uma curva fechada ou parábola e a sua concavidade pode ser para cima ou para baixo.
e. Se beta for maior que zero, a função y=ax2+bx+c tem dois zeros reais desiguais. Se delta for igual a zero, tem um zero real duplo. Se delta for menor que zero, não tem zero real.
Uma função quadrática possui as concavidades para cima e para baixo, além dos valores de seus vértices. Conforme essas descrições e fundamentos, escolha a alternativa correta:
Escolha uma:
a. Para a função f(x) x2-3x+2 =0, determinar a sua imagem e o resultado obtido pode ser expresso em Im={y} pertencente aos naturais, tal que y seja maior ou igual a -1/4.
b. A função f(x)= x2-x-6 não admite valor máximo ou valor nulo, em que seu valor é igual a -25/4, pois o valor de a=1>0.
c. Seja a função f(x)=ax2+bx+c é definida para todo x real ou domínio igual aos reais. Ao aplicar as coordenadas do vértice, é possível obter o conjunto imagem de uma função quadrática.
d. O sinal da função f(x)=x2-bx+c, com a, b e c pertencentes aos reais e a diferente de 0 (zero), não determina os valores de reais de x que tornam positiva a função.  
e. Seja a função quadrática f(x)=ax2-bx+c=0 e a>0 é decrescente para x pertencente aos reais, tal que x seja maior ou igual a –b/2a.
Funções exponenciais permitemresolver problemas de produção de certos produtos. A sua equação apresenta variável x no expoente, pois se chama equação exponencial toda equação que contém variáveis no expoente. Segundo essas definições, escolha a alternativa correta:
Escolha uma:
a. Resolvendo a equação (2x)x+3 = 16, a solução da equação S = {-3,1}.
b. A função f: R→R dada por f(x) = ax (com a diferente de 1 e a maior que zero) é denominada função exponencial de base a e não definida para todo x real.
c. Para resolvermos uma equação exponencial não devemos transformar a equação dada em igualdade de mesma base e obter potências de mesma base no primeiro e segundo membros da equação.
d. Um expoente inteiro positivo ocorre se a sua base a é um número real e o seu expoente n é inteiro positivo. Dessa forma, a expressão an representa o produto de n fatores todos iguais a a.
e. Considerando a função y = ax e os dois valores reais x: x1 e x2, observamos que para a>1 a função exponencial é decrescente. 
UNIDADE III
Existem dois tipos de grandezas, as escalares e as vetoriais. Com base nessas afirmações, escolha a alternativa correta para as questões abaixo.
Escolha uma:
a. Dois ou mais vetores são coplanares se existir algum plano onde estes vetores estão representados.
b. As grandezas escalares são aquelas que ficam completamente definidas por apenas um número real e não precisa ser acompanhada por uma unidade.
c. A noção de direção é dada por uma reta e por todas as que não são paralelas e as direções podem ser associadas por dois sentidos (iguais ou contrárias).
d. Dois ou mais segmentos orientados de mesmo comprimento, mesma direção e mesmo sentido são representantes de um mesmo módulo.
e. Dentre as infinitas bases ortonormais no plano, uma delas é particularmente importante e conhecida como sistema cartesiano ortogonal xOyOz. 
Existem vários métodos para resolver os sistemas de equações lineares, como métodos de substituição e adição (cancelamento) e também método do escalonamento, que facilita a resolução de equações matriciais. Escolha a alternativa correta paras as questões abaixo.
Escolha uma:
a. Quando o determinante for diferente de zero, o sistema poderá ser possível indeterminado (SPI) ou impossível (SI).
b. Todo sistema linear heterogêneo com n incógnitas admite como solução as n-uplas (0, 0, 0, ... 0), o que é chamado de solução trivial do sistema.
c. Um sistema será chamado heterogêneo se for formado exclusivamente por equações lineares homogêneas, isto é, equações com termos independentes nulos.
d. Se existir uma ordem para as equações, tal que o número de coeficientes nulos que precede o primeiro coeficiente não nulo de cada equação aumenta de uma equação para outra, então é um sistema não escalonado.
e. Um sistema estará escalonado se as incógnitas da equação estiveram todas na mesma ordem e para cada equação existir pelo menos um coeficiente de alguma incógnita não nula.
Operações com matrizes permitem estender a aplicação das matrizes e toda matriz quadrada, ou seja, em que o número de linhas é igual ao número de colunas, pode-se associar um número chamado determinante. Com base nessas informações, escolha a alternativa correta para as questões abaixo.
Escolha uma:
a. Podemos ver que o determinante é o resultado da diferença entre o produto dos elementos da diagonal secundária e os elementos da diagonal principal.
b. No método de cálculo de determinante Sarrus, repetemse as três primeiras colunas e procede-se da mesma maneira que o cálculo do determinante de uma matriz quadrada.
c. Os determinantes são úteis no processo de resolução de sistemas de equações lineares. Resolver uma equação matricial significa que a incógnita é uma matriz.
d. Em um sistema linear de duas equações, poderíamos obter suas soluções a partir de três métodos: adição, substituição e multiplicação. 
e. Na multiplicação envolvendo matrizes existe a propriedade comutativa, pois: A.B ≠ B.A
 Assim como as matrizes são elementos que apresentam várias aplicações em ramos da ciência, os vetores são elementos importantíssimos tanto em Computação quanto em Ciências, Física, Engenharia, Astronomia, entre outras. Escolha a alternativa para as questões abaixo.
Escolha uma:
a. Um vetor é sempre representado simbolicamente por uma letra, e sobre essa letra usamos arco e fecha.
b. Para que dois vetores sejam iguais, eles devem necessariamente apresentar mesmo módulo, mesma direção e mesmo sentido, independentemente do local em que se encontram no espaço.  
c. Um vetor pode ser representado em um plano cartesiano, de tal maneira que sua origem e sua extremidade podem ser associadas a pontos no plano xyz.
d. Para representar a posição de um vetor, necessitamos escolher um sistema de ordenadas, que são: plano cartesiano e tridimensional.
e. Existem outras grandezas que não se caracterizam por uma única informação, portanto, um vetor deve possuir apenas direção e sentido para que possa ser caracterizado.
Sistema de equações do 1º grau pode ser usado para resolver problemas do cotidiano. Além disso, nas áreas tecnológicas, científica e computacional, vários problemas podem ser solucionados por esse sistema de equações lineares, no menor tempo possível. Com base nessas informações, escolha a alternativa correta para as questões abaixo.
Escolha uma:
a. A sequência, também chamada n-upla ordenada, sempre que uma sequência ou n-upla obedece à ordem alfanumérica das variáveis, (x, y), (x, y, z), (a, b, c).
b. Quando a equação apresenta valor igual a zero, ou seja, o termo independente é igual a zero, dizemos e a equação é uma equação linear heterogênea.
c. Generalizando, toda equação linear homogênea apresenta como solução a sequência (0, 0, 0, ... 0), também chamada de solução trivial.
d. Toda equação de 1º grau com apenas uma incógnita é chamada de equação linear. Chamamos de equação linear nas variáveis x1, x2, ..., xn toda equação do tipo a1x1 + a2x2 + ... + anxn = b.
e. Dizemos que o sistema linear é, respectivamente, impossível, possível determinado ou possível indeterminado, conforme seu conjunto seja vazio, unitário ou tenha apenas um elemento. 
UNIDADE IV
A expressão z = a + ib é chamada forma algébrica do número complexo, além disso, é possível que operadores sejam aplicados a esses números complexos. Segundo essas informações, escolha a alternativa correta:
Escolha uma:
a. Adicionar dois números complexos significa somar as componentes reais dos números complexos e as partes imaginárias separadamente.
b. Elemento oposto: para cada número complexo, existe um número x que, tal que (Z1 + w) = (w + Z1). Os números Z1 = a + bi e Z1 = -a - bi são chamados elementos opostos.
c. Dados os números complexos Z1 = a + bi e Z2 = c + di, diremos que eles são iguais se e somente se a = b e c = d.
d. As propriedades da multiplicação são as mesmas da adição, ou seja, associação, comutação e elemento neutro; no caso deste último, que difere da adição, o elemento neutro é 0.
e. A divisão de um número complexo z por um complexo nulo w é o complexo k, ou seja: kw = z. 
A trigonometria tem por objetivo estabelecer relações entre os seis elementos de um triângulo. Com base nessas informações, escolha a alternativa correta:
Escolha uma:
a. Arco de circunferência é cada uma das partes em que a circunferência fica dividida por dois de seus pontos.
b. Utilizando as medidas para um arco unitário e seu correspondente ângulo central, as medidas do arco e do ângulo central que o determina são diferentes. 
c. .
d. Uma pessoa está distante 80 metros da base de um edifício e olha para o ponto mais alto desse edifício sob um ângulo de 16º. Em relação ao horizonte, a altura que esse prédio apresenta é de, aproximadamente, 23,40 m.
e. 
Números complexos apresentam partes reais e imaginárias. Os números complexos e seu estudo desenvolveram-se pela necessidade da solução da equação do segundo grau x² + 1. Com base nessas informações, escolha a alternativa correta:  
Escolha uma:
a. Todonúmero complexo pode ser escrito na forma z = a + ib, em que a e b são números reais e i é número não imaginário.             
b. Para que a radiciação seja sempre possível, foi definido o número i, real, denominado número imaginário, que satisfaz a seguinte condição: i² = -1.
c. O conjunto dos números complexos é formado por elementos que possuem as propriedades de soma, multiplicação e divisão, e também para que a raiz quadrada de um número negativo seja calculada.
d. Os números complexos podem ser definidos como um par de coordenadas de números reais ou escritos em uma notação algébrica.
e. A partir da união entre os conjuntos dos números irracionais e racionais, surgiu o conjunto dos números irracionais, porém se tivermos a condição x² ≥ 0 e a equação x² + 1 = 0, não existirá solução dentro do conjunto dos números reais.
Números complexos permitem que sejam executadas operações na forma trigonométrica e potenciação. Segundo essas informações, escolha a alternativa correta:
Escolha uma:
a. Na divisão de números complexos, seu módulo é igual ao quociente entre seus módulos e seu argumento não é igual à diferença entre os seus argumentos.
b. O módulo do quociente de um número complexo é o quociente dos módulos e o argumento do quociente é a diferença dos argumentos dos complexos dividendo e divisor.
c. Na multiplicação de polinômios, seu módulo é igual ao produto de seus módulos e seu argumento é diferente da soma de seus argumentos.
d. Na potenciação de um número complexo, elevando-se um número complexo a uma potência natural nula, o módulo do número se eleva à mesma potência e o argumento fica multiplicado pelo expoente dessa potência. 
e. O módulo do produto de um número complexo é o produto dos módulos e o argumento é a multiplicação dos argumentos dos complexos dos fatores.
Além do Teorema de Pitágoras, existem outras relações métricas dentro do triângulo retângulo e variação de sinal do seno e do cosseno. Com base nessas informações, escolha a alternativa correta:
Escolha uma:
a. Em qualquer triângulo retângulo, o quadrado da medida de um cateto é igual ao produto da medida da hipotenusa pela medida da projeção do ângulo considerado sobre a hipotenusa.
b. No caso do cosseno que corresponde à abscissa x da extremidade do arco, os pontos das abscissas são os do 1º e do 4º quadrante, e os pontos de abscissas negativas são os do 2º e do 3º quadrante.
c. Como o seno de um arco está relacionado à ordenada x da extremidade do arco, podemos verificar, por meio da figura, como varia seu sinal.
d. Em qualquer triângulo retângulo, o quadrado da medida da altura relativa à hipotenusa é igual ao produto das medidas dos segmentos que ela determina sobre o seu lado.
e. Em qualquer triângulo retângulo, o produto das medidas dos catetos é diferente do produto da medida da hipotenusa pela medida da altura relativa à hipotenusa.