Exercicios de geometria analitica

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Av. Desembargador Mário da Silva Nunes, 1000 - Bairro Jardim Limoeiro - Serra-ES - CEP: 29164-240 – TELEFONE: (27) 3041-7070 
 
1 
EXERCÍCIOS DE GEOMETRIA ANALÍTICA 
 
CURSO DE ENGENHARIA 
 
PROFESSOR (A): Kennedy Scopel 
 
 
Crédito aos professores: Bruna D. Carvalho, Josenir J. V. da Silva e Jailson Domingos 
DISCIPLINA: Geometria Analítica 
 
1). Quais dos seguintes vetores é combinação linear de: V1 = (5;-3; 1), V2 = (0; 4; 3) e V3 
= (-10; 18; 7)? 
a. (10;-2; 5) 
b. (10; 2; 8) 
c. (-2;-1; 1) 
d. (-1; 2; 3) 
2) Os vetores V1 = (5;-3; 1), V2 = (0; 4; 3) e V3 = (-10; 18; 7) do exercício anterior são 
L.D. ou L.I.? Caso sejam L.D. escreva um deles como combinação linear dos outros. 
3). Quais dos seguintes conjuntos de vetores são linearmente dependentes? 
a. {(1; 1; 2); (1; 0; 0); (4; 6; 12)}; 
b. {(1;-2; 3); (-2; 4;-6)}; 
c. {(1; 1; 1); (2; 3; 1); (3; 1; 2)}; 
d. {(4; 2;-1); (6; 5;-5); (2;-1; 3)}. 
4). Para quais valores de m o conjunto de vetores {(3; 1; 0); (m2+ 2; 2; 0)} e L.D.? 
5). Sejam V1 = (4; 2;-3), V2 = (2; 1;-2) e V3 = (-2;-1; 0). 
a. Mostre que V1; V2 e V3 são L.D 
b. Mostre que V1 e V2 são L.I. 
6)Mostre que (1,-1), (1,2) e (2,1) são linearmente dependentes. 
7)Dados V=R² e v1=(1,-1) , v2=(1,2) e v3=(3,6). 
a) v1 e v2 são linearmente independentes? 
b) v1,v2 e v3 são linearmente independentes? 
8)Determine se os vetores dados são ou não linearmente independentes em R². 
a) v1= (2,1) e v2=(3,2) b) v1= (-2,1) , v2= (1,3) e v3= (2,4) 
9) Determine se os vetores abaixo são linearmente dependentes ou independentes:· 
a) (2, 1) e (3, 2) b) (2, 3) e (4, 6) 
c) (-2, 1), (1, 3) e (2, 4) 
d) (-1, 2), (1, -2) e (2, -4) 
e) (1, 2) e (-1, 1) 
10) Dos conjuntos acima, qual ou quais formam uma base de R2? 
11) Verifique se os vetores abaixo são linearmente dependentes ou independentes: 
a) (1, 0, 0), (0, 1, 1) e (1, 0, 1) 
b) (1, 0, 0), (0, 1, 1), (1, 0, 1) e (1, 2, 3) 
c) (2, -1, 2), (3, 2, -2) e (2, 2, 0) 
d) (2, 1, -2), (-2, -1, 2) e (4, 2, -4) 
e) (1, 1, 3) e (0, 2, 1) 
f) (1, -2, 5) e (-2, 4, -10) 
12) Escreva o vetor (2, 1) como combinação linear de (1, 0) e (0, 1). 
13) Escreva o vetor (3, 4) como combinação linear de (1, 1) e (2, -1). 
14) Escreva o vetor (2, 1, 2) como combinação linear de (1, 0, 0), (0, 1, 0) e (0, 0, 1). 
15)Escreva o vetor (4, -5, 3) como combinação linear de (2, 1, 1), (-1, 0, 2), (1, 2, 1). 
 
 
 
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2 
16) Elimine algum ou alguns dos vetores (1, 2, 2), (2, 5, 4), (1, 3, 2), (2, 7, 4), (1, 1, 0) de 
modo a obter uma base para R3. 
17) Sendo 
u
 = ( 2,3,1) e v = ( 1,4, 5) . Calcular: a) u  v b) │u – v │ c)│u + v │
2 d) 
│(3
u
 – 2
v
 )│2 e) (2
u
 -3
v
 )(
u
 +2
v
 ) RESP: a) 19 b)18 c)94 d)66 e) –205 f)–28 
18)Sendo 
a
 =(2,–1,1), 
b
 =(1,–2,–2) e 
c
 =(1,1,–1). Calcular um vetor 
v
 =(x,y,z), tal que 
v
  
a
 = 4, 
v
  
b
 = –9 e 
v
  
c
 = 5. RESP: 
v
 =(3,4,2) 
19)Sejam os vetores 
a
 =(1,–m,–3),
b
 =(m+3,4–m,1)e 
c
 =(m,–2,7).Determinar m para que 
a
 
b
 =(
a
 +
b
 )
c
 . RESP: m=2 
20) Determinar a, de modo que o ângulo  do triângulo ABC, seja 600. Dados: A(1,0,2), 
B(3,1,3) e C(a+1,–2,3). RESP: –1 ou 
5
13
 
21) Dados os pontos A (4,0,1), B(5,1,3) C(3,2,5) e D(2,1,3). Determine: 
a) se eles foram alguma figura. Em caso afirmativo, qual? 
b) O ângulo entre as retas paralelas aos vetores 
AC e BD
. 
RESP: a) Paralelogramo b) 
22,4463102
21
21
arccos 0 
. 
22) Os vetores 
u
 e 
v
 formam um ângulo de 600. Sabe-se que 
u
 =8 e 
v
 =5, calcule: 
a) 
u
 +v  b) u – v  c)  2u +3 v  d) 4u – 5v  
RESP: a)
129
 b)7 c)
721
 d)
849
 
23) Os vetores 
a
 e 
b
 formam um ângulo de 1500, sabe-se que 
a
 =
3
 e que 

b
 =
2
, Calcule: a) 
a
 +
b
  b) 
a
 –
b
  c) 3
a
 +2
b
  d) 5
a
 – 4
b
  
 RESP: a)
235 
 b)
235 
 c) 
21835
 d)
260107
 
24)Determinar o valor de x para que os vetores 
1v

= x
i
 –2
j
 +3k e 
2v

=2
i
 –
j
 +2k , sejam 
ortogonais. RESP: x=–4 
25)Determine um vetor unitário ortogonal aos vetores 
a
 =(2,6,–1) e 
b
 =(0,–2,1). 
RESP: 







3
2
,
3
1
,
3
2
c 

 
26)Dados 
a
 =(2,1,–3) e 
b
 =(1,–2,1), determinar o vetor 
v
 
a
 ,
v
 
b
 e 
v
 =5. 
RESP: 
 1 ,1 ,1 
3
35
v 
 
27)Dados dois vetores 
a
 =(3,–1,5) e 
b
 =(1,2,–3), achar um vetor 
x
 , sabendo-se que ele é 
perpendicular ao eixo OZ , e que verifica as seguintes relações: 
x
 
a
 =9, e 
x
 
b
 =–4. 
28)Seja o cubo de aresta a representado na figura abaixo. Determinar: 
 
 
cubo. do diagonais duas por formado agudo ângulo h)o
aresta; uma e cubo do diagonal a entre agudo ângulo o)g
OGABEDf) OBOE)c
CGEGe) ODOA)b
OG e OBd) OCOA)a



 
 
 
 
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3 
RESP: a)0 b)0 c)0 d)
3a e 2a
 e)a
2
 f)
 333 a,a,a
 g)
4454
3
3
cos arc 0 
 h)
1370
3
1
 cos arc 0 
 
29)Calcule o ângulo formado pelas medianas traçadas pelos vértices dos ângulos agudos 
de um triângulo retângulo isósceles. RESP: =arc cos
5
4
 , 36
0
 52'11,6'' 
30)Um vetor 
v
 forma ângulos agudos congruentes com os semi-eixos coordenados 
positivos. Calcule suas coordenadas sabendo que 
v
 = 3. RESP: 
 1,1,13v 
 . 
31)Um vetor unitário 
v
 forma com o eixo coordenado OX um ângulo de 600 e com os 
outros dois eixos OY e OZ ângulos congruentes. Calcule as coordenadas de 
v
 . 
 RESP: 









4
6
,
4
6
,
2
1
v
 ou 









4
6
,
4
6
,
2
1
 
32) O vetor 
 2,1,1v 
 forma um ângulo de 600 com o vetor 
BA
 , onde A (0,3,4) e 
B(m, 1,2). Calcular o valor de m. RESP: m=–34 ou m=2 
33)Os vetores 
a
 e 
b
 formam um ângulo = 
6

, calcular o ângulo entre os vetores 
p

=
a
 +
b
 
e 
q

= 
a
 – 
b
 , sabendo que 
a
 = 
3
 e 
b
 = 1. 
RESP: cos=
7
72 ,40
0
53'36,2'' 
34) Dados 
u
 =(2,–3,–6) e 
v
 =3
i
 –4
j
 –4k , determine: 
 a) a projeção algébrica de 
v
 sobre 
u
 ( norma do vetor projeção de 
v
 sobre 
u
 ); 
 b) 0 vetor projeção de 
v
 sobre 
u
 . RESP: a)6 b)
 6,3,2
7
6

 
35)Decomponha o vetor 
v
 =(–1,2,–3) em dois vetores 
a
 e 
b
 , tais que 
a
 
w
 e 
b
 
w
 , com 
w
 =(2,1,–1). RESP: 







2
1
,
2
1
,1a

 e 







2
5
,
2
3
, 2b
 
36)São dados os vetores 
1v

 = (1,1,1), 
2v

=(–1,2,3) e 
3v

=(26,6,8). Decompor o vetor 
3v

 
em dois vetores 
x
 e 
y

 ortogonais entre si, sendo 
x
 simultaneamente ortogonal a1v

e a 
2v

. RESP: 
x
 =(1,–4,3) e 
y

=(25,10,5) 
37)São dados 
1v

=(3,2,2) e 
2v

=(18,–22,–5), determine um vetor 
v
 , que seja ortogonal à 
1v

e a 
2v

, tal que forme com o eixo OY um ângulo obtuso e que 
v
 =28. 
RESP: 
v
 =(–8,–12,24) 
38)Os vértices de um triângulo são M(1,1,2) ,N(5,1,3) e Q(–3,9,3). Calcule as 
coordenadas do vetor 
HM
 , onde H é o pé da altura relativa ao lado NQ. 
 RESP: 
HM
 =(2,2,1) 
 
EXERCÍCIOS SOBRE PRODUTO VETORIAL 
 
39) Dados os vetores 
u
 =( –1,3,2),
v
 =(1,5,–2) e 
w
 =(-7,3,1). Calcule as coordenadas dos 
vetores: 
 a) 
u
 
v
 b) 
v
 
w
 c) 
v
 (
u
 
w
 ) d) (
v
 
u
 )
w
 e)(
u
 +
v
 )(
u
 +
w
 ) f) (
u
 –
w
 )
w
 
 RESP: a)(–16,0,8) b)(11,13,38) c)(64,–12,2) d)(24,72,48) e)(24,0,64) f)(–3,–13,18) 
 
 
 
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4 
40)Determinar o vetor 
x
 , paralelo ao vetor ao vetor 
w
 =(2,–3,0) e tal que 
x
  
u
 = v , onde 
u
 =(1,–1,0) e v =(0,0,2). RESP: x =(4.–6,0) 
41) Determinar o vetor 
v
 , sabendo que ele é ortogonal ao vetor a =(2,3,1) e ao vetor 
b
=(1,2,3) e que satisfaz a seguinte condição; 
10)k7j2i(v 
. 
RESP: 
 1,5,7v 
 
42)Determinar 
v
, tal que 
v
 seja ortogonal ao eixo dos y e que 
wvu 
,sendo 
)1,1,1(u 
e 
)1,1,2(w 
. RESP: 
v
=(1,0,1) 
43) Dados os vetores 
1v

=(0,1,1), 
2v

=(2,0,0) e 
3v

=(0,2,3).Determine um vetor 
v
 , tal 
que 
v
 // 
3v

 e 
v
 
1v

=
2v

. RESP: 
v
 =(0,4,6) 
44)Determine um vetor unitário ortogonal aos vetores 
1v

=(–1,–1,0) e
2v

=(0,–1–1). 
 RESP: 
 1,1,1
3
1

 
45) Ache 
u
 tal que 
u
 =
33
e 
u
 é ortogonal a v =(2,3,1) e a w =(2,4,6). Dos u 
encontrados, qual forma ângulo agudo com o vetor (1,0,0). RESP:  3,3,3u  
46)São dados os vetores 
1v

 = (1,1,1), 
2v

=(–1,2,3) e 
3v

=(26,6,8). Decompor o vetor 
3v

 
em dois vetores 
x
 e 
y

 ortogonais entre si, sendo 
x
 simultaneamente ortogonal a 
1v

e a 
2v

. RESP: 
x
 =(1,–4,3) e 
y

=(25,10,5) 
47) Dado o vetor 
1v

=(3,0,1).Determine o vetor 
v
 =(x,y,z), sabendo-se que 
v
 é ortogonal 
ao eixo OX, que 
v
  
1v

=
146
 , e que 
v
 
1v

=4. RESP: 
)4 6, ,0(v 

 
48) São dados 
1v

=(3,2,2) e 
2v

=(18,–22,–5), determine um vetor 
v
 , que seja ortogonal à 
1v

e a 
2v

, tal que forme com o eixo OY um ângulo obtuso e que 
v
 =28. RESP: 
v
 =(–8,–12,24) 
49)Sendo 
1v

=(–2,1,–1) e 
2v

=(0,y,z), calcule y e z de modo que 
1v


2v

= 4
3
 e que o 
vetor 
v
 =
1v


2v

 faça ângulos congruentes com os eixos OX e OY. 
 RESP: (0,2,2) 
50) Resolva os sistemas abaixo: 
 a)






2)kj2i4(x
0)kj3i2(x

 






2)ki2(v
k8i8)kj2i(v
)b 
 





k3j2i3)0,3,2(v
2)2,1,3(v
)c 
 
 RESP: a)(4,6,-2) b)(2,4,–2) c)(1,3,–1) 
51) Dados os vetores 
u
 =(1,1,1) e v =(2,3,4), calcular: 
 a) A área do paralelogramo de determinado por 
u
 e 
v
 ; 
 b)a altura do paralelogramo relativa à base definida pelo vetor 
u
 . 
RESP: a)A=
.a.u6
 b)
.c.u2h 
 
52)Dados os vetores 
u
 =(2,1,1) e 
v
 =(1,1,), calcular o valor de  para que a área do 
paralelogramo determinado por 
u
 e 
v
 seja igual a 
62
 u.a.(unidades de área). 
RESP: =3 
53) A área de um triângulo ABC é igual a 
6
 . Sabe-se que A(2,1,0), B(–1,2,1) e que o 
vértice C pertence ao eixo OY. Calcule as coordenadas de C. 
RESP: (0,3,0) ou 






0,
5
1
,0
 
 
 
 
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5 
54)Os vértices de um triângulo ABC são os pontos A (0,1,1), B(2,0,1) e C(1,2,0). 
Determine a altura relativa ao lado BC. RESP: 
.c.u
7
353
h 
 
55) Determine a área do triângulo ABD, obtido pela projeção do vetor 
BA
 sobre o vetor 
BC
, onde A (5,1,3), B(3,9,3) e C(1,1,2). RESP: 
ua
9
2128
A 
 
56) Calcule a distância do ponto P(–2,1,2) à reta determinada pelos pontos M(1,2,1) e 
N(0,–1,3). RESP: d=
7
353 u.c. 
 
EXERCÍCIOS SOBRE PRODUTO MISTO 
 
57)Qual é o valor de x para que os vetores 
a
 =(3,–x,–2), 
b
 =(3,2,x) e 
c
 =(1,–3,1) sejam 
coplanares. RESP: x=14 ou x=–2 
58)Determinar o valor de k para que os pontos A(0,0,3),B(1,2,0), C(5,–1,–1) e D(2,2,k) 
sejam vértices de uma mesma face de um poliedro. RESP: k=– 1 
59)Determinar o valor de x de modo que o volume do paralelepípedo gerado pelos 
vetores 
u
 = 2 i –
j
 + k e v = i –
j
 e w =x i +
j
 –3k , seja unitário. RESP: x=–5 ou x= –3 
60)Sejam os vetores 
u
 =(1,1,0), 
v
 =(2,0,1) e 
v2u3w1 
, 
v3uw 2 
 e 
k2jiw 3


. 
Determinar o volume do paralelepípedo definido por 
1w
, 
2w
 e 
3w
. RESP: V=44 u.v. 
61)Dado um tetraedro de volume 5 e de vértices A (2,1,–1), B(3,0,1) e C(2,–1,3). Calcular 
as coordenadas do quarto vértice D, sabendo-se que se acha sobre o eixo OY. 
RESP: D (0,–7,0) ou D(0,8,0) 
62)São dados os pontos A(1, –2,3), B(2, –1, –4), C(0,2,0) e D(–1,m,1), calcular o valor de 
m para que seja de 20 unidades o volume do paralelepípedo determinado pelos 
vetores 
AC,AB
 e 
AD
. RESP: m=6 ou m=2 
63)Determine sobre o eixo OX um ponto P, tal que, o volume do tetraedro PABC seja o 
dobro do volume do tetraedro POBC. Dados: O (0,0,0) ,A(1,0,0) , B(0,1,0) e C(0,0,1). 
RESP: (–1,0,0) ou 






0,0,
3
1
 
64)Sendo 
u
 =(1,1,0), 
v
 =(2,1,3) e 
w
 =(0,2,–1). Calcular a área do triângulo ABC e o 
volume do tetraedro ABCD, onde B=A+
u
 . C=A+
v
 e D=A+ 
w
 . RESP: 
S=
ua
2
19 ,V=
uv
6
5
 
65)Determine a altura do tetraedro ABCD, onde A(1,3,1), B(0,2,4) ,C(2,1,3) e D(0,6,0). 
RESP: 
.c.u
11
64
h 
 
66)Determine a distância do ponto D(2,3,3) ao plano determinado pelos pontos A(3,3,1) , 
B(1,1,–3) e C(–1,–3,0). RESP: 
58
1745 u.c. 
67)Os vértices de um tetraedro são M (0,3,4), N(1,2,2) e Q(2,–1,2) e P é um ponto 
pertencente ao eixo coordenado OZ. Calcule: 
 a)as coordenadas do ponto P de modo que o tetraedro MNPQ tenha volume igual a 1 
uv; 
 b)a área e o perímetro da face NMQ; 
 
 
 
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6 
 c)os ângulos internos da face MNQ; 
 d)calcule a altura do tetraedro MNPQ, relativa à face MNQ. 
RESP: a)P(0,0,0)ou P(0,0,2) b)S=
33
u.a., 2p=
12363 
u.c. c)=30
0
, =90
0
, =60
0 
 d)
33
1
u.c. 
68)A figura abaixo representa uma pirâmide de base quadrada OABC em que as 
coordenadas são O(0,0,0), B(4,2,4) e C(0,6,6), e o vértice V é eqüidistante dos 
demais, determine: 
a) as coordenadas do vértice D; 
b) as coordenadas cartesianas do ponto V, considerando que o volume da pirâmide é 
igual a 72 u.v. RESP: a)D(–4,4,2) b) V(–2, –1,7) 
 
69)São dados no espaço os pontos A(2,–1,0), B(1,–2,1) e C(1,0,2), determine o ponto D, 
tal que 
DO
 ,
AO
 
BO
 e 
AO
 
CO
 sejam coplanares, 
DO
 
BO
 = –28 e que o volume do 
tetraedro OABD seja igual a 14. RESP: D(0,0,–28) ou D(12,24,8) 
 
 
REFERÊNCIAS 
 
BOULOS, PAULO; CAMARGO IVAN. INTRODUÇÃO À GEOMETRIA ANALÍTICA NO ESPAÇO. MAKRON BOOKS ,1997. 
CORRÊS,PAULO SÉRGIO QUELELLI;ÁLGEBRA LINEAR E GEOMETRIA ANALÍTICA.INTERCIÊNCIA,2006 
FEITOSA, MIGUEL O.. CÁLCULO VETORIAL E GEOMETRIA ANALÍTICA - EXERCÍCIOS PROPOSTOS E RESOLVIDOS. 
EDITORA ATLAS S.A., 1989. 
BLAS, FRANCISCO I. EXERCÍCIOS DE GEOMETRIA ANALÍTICA -.PAPIRUS LIVRARIA EDITORA,1984. 
KINDLE, JOSEPH H.. PROBLEMAS E EXERCÍCIOS DE GEOMETRIA ANALÍTICA NO PLANO (COLEÇÃO SCHAUM). AO 
LIVRO TÉCNICO S.A.,1965 . 
KLÉTÉNIC. PROBLEMAS DE GEOMETRIA ANALÍTICA. LIVRARIA CULTURA BRASILEIRA EDITORA, 1980. 
LEHMANN, CHARLES H., GEOMETRIA ANALÍTICA. EDITORA GLOBO, 1974. 
MACHADO, ANTONIO DOS SANTOS. ALGEBRA LINEAR E GEOMETRIA ANALÍTICA. ATUAL EDITORA, 1998. 
MENEZES, DARCY LEAL DE, NOÇÕES E FORMULÁRIO DE GEOMETRIA ANALÍTICA NO PLANO E NO ESPAÇO.J.B. 
LEANDRO-EDIROE E DISTRIBUIDOR,1977. 
MENNA, ZÓZIMO GONÇALVES. CURSO DE GEOMETRIA ANALÍTICA NO ESPAÇO - TRATAMENTO VETORIAL. LIVROS 
TÉCNICOS E CIENTÍFICOS S.A., 1978. 
______. GEOMETRIA ANALÍTICA PLANA - TRATAMENTO VETORIAL. LIVROS TÉCNICOS E CIENTÍFICOS S.A.1978 
______. CURSO DE GEOMETRIA ANALÍTICA COM TRATAMENTO VETORIAL. EDITORA CIENTÍFICA. 1980 
PINTO,HERBERT F..PROBLEMAS E EXERCÍCIOS DE GEOMETRIA ANALÍTICA NO PLANO.AO LIVROTÉCNICO 
LTDA,1956. 
RIGHETTO, ARMANDO VETORES E GEOMETRIA ANALÍTICA ÁLGEBRA LINEAR ). INSTITUTO BRASILEIRO DO LIVRO 
CIENTÍFICO LTDA, 1985 (EDIÇÕES MAIS ANTIGAS IVAN ROSSI EDITORA). 
SANTOS, NATHAN MOREIRA DOS. VETORES E MATRIZES. LIVROS TÉCNICOS E CIENTÍFCOS EDITORA, 1982. 
SMITH, PERCEY F.; GALE, ARTHUR SULLIVAN NEELLEY, JOHN HAVEN. GEOMETRIA ANALÍTICA. AO LIVRO 
TÉCNICO. 1957. 
SOUSA, MARA DE C. LISTA DE EXERCÍCIOS DE GEOMETRIA ANALÍTICA E CÁLCULO VETORIAL. UNIVERSIDADE DO 
ESTADO DO RIO DE JANEIRO, 2008. 
 
STEINBRUCH ,ALFREDO;BASSO, DELMAR. GEOMETRIA ANALÍTICA PLANA. MAKROM BOOKS 1991 
STEINBRUCH , ALFREDO, WINTERLE, PAULO; GEOMETRIA NALÍTICA. MAKRO BOOKS, 1987 
WINTERLE, PAULO. VETORES E GEOMETRIA ANALÍTICA. MAKRON BOOKS ,2000.