Apostila de Geometria Analítica I (10 Páginas, 84 Questões, com gabarito)

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PROF. GILBERTO SANTOS JR
 GEOMETRIA ANALÍTICA I
 
SUMÁRIO 
 
CAPÍTULO I – PONTO E RETA .......................... 1 
1 . DISTÂNCIA ENTRE DOIS PONTOS ................. 1 
2 . PONTO MÉDIO DE UM SEGMENTO ................. 2 
CAPÍTULO II - ESTUDO DA RETA ...................... 2 
3 . COEFICIENTE ANGULAR DE UMA RETA .......... 2 
3.1 Coeficiente angular de uma reta dada a sua 
inclinação ....................................................... 2 
3.2 Coeficiente angular de uma reta dado dois 
pontos ........................................................... 2 
4. PONTOS COLINEARES .................................. 3 
5 . EQUAÇÃO FUNDAMENTAL DA RETA ............... 4 
5.1 Equação geral da reta ................................. 4 
5.2 Equação reduzida da reta ............................ 4 
5.3 Obtenção da equação de uma reta sendo 
conhecidos dois pontos..................................... 4 
6 . INTERSECÇÃO DE DUAS RETAS .................... 5 
7 . RETAS PARALELAS ...................................... 6 
8 . RETAS PERPENDICULARES ........................... 6 
9 . DISTÂNCIA ENTRE PONTO E RETA ................ 7 
10 . CÁLCULO DA ÁREA DE TRIÂNGULO ............. 7 
CAPÍTULO III – CIRCUNFERÊNCIA ................... 8 
11 . EQUAÇÃO REDUZIDA................................. 8 
12 . EQUAÇÃO NORMAL DA CIRCUNFERÊNCIA .... 8 
Referências ................................................... 10 
 
CAPÍTULO I – PONTO E RETA 
 
1 . DISTÂNCIA ENTRE DOIS PONTOS 
 
 
 
 
A distância dAB entre dois pontos A(xA, yA) e 
B(xB, yB) é dada por: 
dAB = 22 )y - (y )x - (x BABA  
 
 
EXERCÍCIOS PROPOSTOS 
1) Calcule, em cada caso, a distância entre os 
pontos dados: 
a) A(1, 3) e B(9, 9) R: d = 10 
b) A(- 3, 1) e B(5, - 14) R: d = 17 
c) A(- 4, - 2) e B(0, 7) R: d = √97 
 
2) Calcule o comprimento do segmento 𝑨𝑩̅̅ ̅̅ , sendo 
A







3
1
 
2
1
,
 e B






3
1
 
2
5
,
. R: 𝐴𝐵̅̅ ̅̅ = 2√10
3
 
 
3) Calcule a distância do ponto M(-12, 9) à ori-
gem. R: d = 15 
 
4) Determine a 
distância entre os 
pontos M e N indi-
cados na figura. 
R: d = √𝟏𝟏𝟑 
 
5) Calcule o perímetro do triângulo ABC, sabendo 
que A(1, 3), B(7, 3) e C(7, 11). R: P = 24 
 
6) Prove que o triângulo cujos vértices são os 
pontos A(0, 5), B(3, -2) e C(-3, -2) é isósceles; e 
calcule o seu perímetro. R: P = 2√58 + 6; 𝐴𝐵̅̅ ̅̅ = 𝐴𝐶̅̅ ̅̅ 
 
7) Um quadrilátero ABCD está definido pelos pon-
tos A(-1, -1), B(1, 1), C(3, 1) e D(-1, -3). Calcule 
o perímetro desse quadrilátero. R: P = 4 + 6√2 
8) Usando o teorema de Pitágoras, verifique se o 
triângulo de vértices A(-1, -3), B(6, 1) e C(2, -5) 
é retângulo. R: é retângulo de hipotenusa 𝐴𝐵̅̅ ̅̅ 
 
9) Seja A um ponto do eixo das ordenadas. Dado 
o ponto B(-3, -2), calcule as coordenadas do pon-
to A de forma que o comprimento do segmento 𝑨𝑩̅̅ ̅̅ 
seja igual a 5. R: A(0, 2) ou A(0, -6) 
 
10)(FGV) Sabendo 
que o triângulo ABC 
da figura é retângulo 
em A, calcule o valor 
de k. R: k = 4 
 
 
EXERCÍCIOS DE VESTIBULARES 
11)(U. E. Londrina-PR) Considere, no plano 
cartesiano, o paralelogramo de vértices (1, 1), (3, 
3), (6, 1) e (8, 3). A maior diagonal desse parale-
logramo mede: R: (d) 
 
(a) 5
5
 (b) 
71
 (c) 5
3
 (d) 
53
 (e) 3
5
 
 
12)(FGV-RJ) Os pontos A(-1, m) e B(n, 2) per-
tencem à reta 2x – 3y = 4. Calcule a distância 
entre A e B. R: 2√13 
 
 
2 
2 . PONTO MÉDIO DE SEGMENTO 
 
 
 
 
Se A(xA, yA) e B(xB, yB) são pontos distintos, 
então o ponto médio M(xM, yM) do segmento 
AB
 é tal que: 
xM = 
2
x x BA 
 e yM = 
2
y y BA 
 
 
 
EXERCÍCIOS PROPOSTOS 
13) Obtenha, em cada caso, as coordenadas do 
ponto médio do segmento 𝑨𝑩̅̅ ̅̅ . 
a) A(1, 7) e B(11, 3) R: M(6, 5) 
b) A(-2, 5) e B(-4, -1) R: M(-3, 2) 
c) A(0, 3) e B(0, -3) R: M(0, 0) 
d) A(-6, 9) e B(-2, -5) R: M(-4, 2) 
 
14) Sabe-se que M(a, b) é o ponto médio do 
segmento 𝑨𝑩̅̅ ̅̅ . Se A(11, -7) e B(-9, 0), calcule as 
coordenadas do ponto M. R: M(1, -7/2) 
 
15) Uma das extremidades de um segmento é o 
ponto cujas coordenadas são (-2, -2). O ponto 
médio desse segmento tem coordenadas (3, -2). 
Determine as coordenadas x e y da outra extre-
midade do segmento. R: (x, y) = (8, -2) 
 
16) Calcule os comprimentos das medianas de 
um triângulo cujos vértices são os pontos A(0, 0), 
B(4, -6) e C(-1, -3). R: 3√10
2
 (ou ≅ 4,74), 
9√2
2
 (ou ≅ 6,36) e 3 
 
17) No plano cartesiano, os pontos A(-1, 1), B(3, 
1), C(3, 5) e D(-1, 5) são os vértices de um qua-
drado. Determine as coordenadas do centro desse 
quadrado. R: (1, 3) 
 
18) Num paralelogramo ABCD, dois vértices con-
secutivos são os pontos A(2, 3) e B(6, 4). Seja 
M(1, -2) o ponto de encontro das diagonais 𝑨𝑪̅̅ ̅̅ e 
𝑩𝑫̅̅̅̅̅ do paralelogramo. Sabendo que as diagonais 
no paralelogramo cortam-se mutuamente ao meio, 
determine as coordenadas dos vértices C e D des-
se paralelogramo. R: C(0, -7) e D(-4, -8) 
 
EXERCÍCIO DE VESTIBULAR 
19)(PUC-MG) O comprimento da mediana 𝑪𝑴̅̅ ̅̅̅ do 
triângulo ABC, sendo A(2, 3), B(4, 3) e C(3, 5), é: 
R: (c) 
(a) 
2
 (b) 
3
 (c) 2 (d) 
3
22
 (e) 3 
 
 
 
 
 
CAPÍTULO II - ESTUDO DA RETA 
 
3 . COEFICIENTE ANGULAR DE UMA RETA 
 
 
Declividade de uma rampa 
 
 
 
Na engenharia civil, quando 
se diz que uma rampa tem 
declividade de 30%, isso 
significa que a tangente do 
ângulo ∝ que a rampa 
forma com o plano horizon-
tal é 0,3, ou seja, tg ∝ = 
0,3. 
 
 
3.1 Coeficiente angular de reta dada a 
sua inclinação 
 
 
 
 
Chama-se coeficiente angular ou declivida-
de da reta r de inclinação ,  ≠ 90°, o núme-
ro real m tal que: 
m = tg  
 
 
3.2 Coeficiente angular de reta dado dois 
pontos 
 
 
 
m = tg  = 
AB
AB
x - x
y - y
 = 
BA
BA
x - x
y - y
 
 
 
m = 
BA
BA
x - x
y - y
 
 
 
EXERCÍCIOS PROPOSTOS 
20) Se  é a medida da inclinação de uma reta e 
m é o seu coeficiente angular, complete a tabela: 
 
 0° 30° 45º 60° 90° 120° 135° 150° 
m 
R: 0, 
√𝟑
𝟑
, 1, √𝟑, não existe, - √𝟑, -1, - 
√𝟑
𝟑
. 
21) Determine o coeficiente angular das retas 
que passam pelos pontos A e B e faça o gráfico de 
cada reta, quando: 
a) A(-1, 4) e B(3, 2) R: m = -1/2 
b) A(4, 3) e B(-2, 3) R: m = 0 
 
3 
c) A(2, 5) e B(-2, -1) R: m = 3/2 
d) A(4, -1) e B(4, 4) R: m não existe 
 
22) Calcule a declividade da reta que passa pelos 
pontos P1(1, 20) e P2(7, 8). R: m = -2 
 
23) Quando a quantidade x de artigos que uma 
companhia vende aumenta de 200 para 300, o 
custo de produção y diminui de R$ 100,00 para R$ 
80,00. Determine a variação média de custo re-
presentada pela declividade da reta que passa por 
esses dois pontos. R: m = -1/5 
 
24) Calcule o coeficiente angular das seguintes 
retas: 
a) b) 
 
R: m = 5 R: m = -1 
 
EXERCÍCIO DE VESTIBULAR 
25)(Enem-2016) Para uma feira de ciências, 
dois projéteis de foguetes, A e B, estão sendo 
construídos para serem lançados. O planejamento 
é que eles sejam lançados juntos, com o objetivo 
do projétil B interceptar o A quando esse alcançar 
sua altura máxima. Para que isso aconteça, um 
dos projéteis descreverá uma trajetória parabólica, 
enquanto o outro irá descrever uma trajetória su-
postamente retilínea. O gráfico mostra as alturas 
alcançadas por esses projéteis em função do tem-
po, nas simulações realizadas. 
 
Com base nessas simulações, observou-se que a 
trajetória do projétil B deveria ser alterada para 
que o objetivo fosse alcançado. 
Para alcançar o objetivo, o coeficiente da retaque 
representa a trajetória de B deverá 
(a) diminuir em 2 unidades. 
(b) diminuir em 4 unidades. 
(c) aumentar em 2 unidades. 
(d) aumentar em 4 unidades. 
(e) aumentar em 8 unidades. 
 
4 . PONTOS COLINEARES 
 
 
Três pontos A(xA, yA), B(xB, yB) e C(xc, yc) 
são colineares (alinhados) se, e somente se, 
mAB = mBC ou não exitem mAB e mBC. 
 
 
 
Dados três pontos A(xA, yA), B(xB, yB) e 
C(xc, yc), dizemos que os pontos são colinea-
res (alinhados) se, e somente se, 
1yx
1yx
1yx
CC
BB
AA = 0 
 
 
EXERCÍCIOS PROPOSTOS 
26) Verifique se os pontos A, B e C estão alinha-
dos quando: 
a) A(0, 2), B(-3, 1) e C(4, 5) R: não 
b) A(-2, 6), B(4, 8) e C(1, 7) R: sim 
c) A(-1, 3), B(2, 4) e C(-4, 10) R: não 
 
27) Determinar o valor de m para que os pontos 
A(m, 3), B(-2, -5) e C(-1, -3) sejam colineares. 
R: m = 2 
28) Determine m para que os ponto A(0, -3), 
B(-2m, 11) e C(-1, 10m) estejam em linha reta. 
R: m = -1 ou m = 7/10 
29) Os pontos A(-1, 2), B(3, 1) e C(a, b) são 
colineares. Calcule a e b de modo que o ponto C 
esteja localizado sobre o eixo das abscissas. 
R: a = 7 e b = 0 
30) O valor de um determinado carro decresce 
linearmente com o tempo, devido ao desgaste. 
Sabendo-se que hoje ele vale dez mil dólares e, 
daqui a cinco anos, quatro mil dólares, qual será 
o seu valor daqui a três anos? R: R$ 6 400,00 
 
EXERCÍCIOS DE VESTIBULARES 
31)(Unificado-RJ) Uma barra de ferro com tem-
peratura inicial de -10 ºC foi aquecida até 30 ºC. 
O gráfico representa a variação da temperatura da 
barra em função do tempo gasto nessa experiên-
cia. Calcule em quanto tempo, após o início da 
experiência, a temperatura da barra atingiu 0 ºC. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
(a) 1 min (d) 1 min 15 s 
 
(b) 1 min 5 s (e) 1 min 20 s 
 
(c) 1 min 10 s R: (d) 
 
32)(Enem-2016) Uma cisterna de 6 000 L foi 
esvaziada em um período de 3 h. Na primeira hora 
foi utilizada apenas uma bomba, mas nas duas 
horas seguintes, a fim de reduzir o tempo de es-
vaziamento, outra bomba foi ligada junto com a 
primeira. O gráfico, formado por dois segmentos 
de reta, mostra o volume de água presente na 
cistena, em função do tempo. 
 
 
4 
 
 
Qual é a vazão, em litros por hora, da bomba que 
foi ligada no início da segunda hora? 
 
(a) 1 000 (d) 2 000 
 
(b) 1 250 (e) 2 500 
 
(c) 1 500 R: (c) 
 
5 . EQUAÇÃO FUNDAMENTAL DA RETA 
 
 
Se r é a reta não-vertical que passa pelo 
ponto P(x0, y0) e tem coeficiente angular m, 
então uma equação de r é y – y0 = m(x – 
x0), denominada equação fundamental da 
reta. 
 
 
EXERCÍCIOS PROPOSTOS 
33) Determine a equação de uma reta r que pas-
sa pelo ponto A(-1, 4) e tem coeficiente angular 2. 
R: 2x – y + 6 = 0 
 
34) Determine a equação da reta que passa pelo 
ponto A(2, -3) e tem coeficiente angular 
2
1
. 
R: x – 2y – 8 = 0 
35) Determine a equação da reta que passa pelo 
ponto P(4, 1) e tem uma inclinação de 45°. 
R: x – y – 3 = 0 
36) Usando a equação fundamental, obtenha a 
equação da reta que passa pelos pontos A(2, 5) e 
B(4, 1). R: 2x + y – 9 = 0 
 
37) Ache, a equação da reta r em cada caso: 
 
a) b) 
 
R: 
√3
3
x - y + √3 = 0 R: x + y = 0 
 
5.1 Equação geral da reta 
 
 
ax + by + c = 0 
 
 
, no qual: - x e y são variáveis; 
- a, b e c são números reais e 
- a e b não simultaneamente nulos. 
 
5.2 Equação reduzida da reta 
 
 
y = mx + n 
 
 
, no qual: - m é o coeficiente angular da reta; 
- n é o coeficiente linear da reta e 
- x e y são variáveis. 
 
Observação: o coeficiente linear n é o valor da 
ordenada do ponto quando a reta corta o eixo y. 
 
EXERCÍCIOS PROPOSTOS 
38) Escreva a equação reduzida da reta que tem 
coeficiente angular m = 2 e que cruza o eixo y no 
ponto (0, -3). R: y = 2x – 3 
 
39) Equação reduzida de uma reta é y = 4x - 1. 
Calcule: 
a) o ponto da reta de abscissa 2; R: (2, 7) 
b) o ponto de intersecção da reta com o eixo 0x; 
R: (1/4, 0) 
c) o ponto de intersecção da reta com o eixo 0y. 
R: (0, -1) 
40) Dada a reta que tem como equação 3x + 4y 
= 7, determine o coeficiente angular da reta. 
R: m = -3/4 
 
5.3 Obtenção da equação de uma reta 
sendo conhecidos dois pontos 
 
 
Dados dois pontos distintos A(xA, yA) e 
B(xB, yB), uma equação da reta 𝑨𝑩 ⃡ é: 
1yx
1yx
1yx
BB
AA
 = 0 
 
 
EXERCÍCIOS PROPOSTOS 
41) Usando determinantes obtenha a equação da 
reta que passa pelos pontos A(2, 5) e B(4, 1). R: 2x + 
y – 9 = 0 
 
42) Consideremos a reta que passa pelos pontos 
A(1, 4) e B(2, 1). Determine o coeficiente angular 
e o coeficiente linear dessa reta. R: m = -3 e n = 7 
 
43) Determine a equação geral da reta r, a partir 
dos gráficos: 
a) R: -3x + y – 1 = 0 b) R: 4x + y + 2 = 0 
 
 
 
44) São dados os pontos A(-1, -3), B(5, 7), 
C(2, -4) e D(0, 2). O ponto M1 é o ponto médio do 
segmento 𝑨𝑩̅̅ ̅̅ e o ponto M2 é o ponto médio do 
segmento 𝑪𝑫̅̅ ̅̅ . Determine a equação da reta que 
passa por M1 e M2. R: 3x - y – 4 = 0 
 
EXERCÍCIOS DE VESTIBULARES 
45)(UFRA-2003) Numa feira livre, o dono de 
uma barraca de verduras verificou que, quando o 
preço da couve é R$ 1,00 o maço, são vendidos 
20 maços, porém, quando o preço cai R$ 0,50 
são vendidos 30 maços. Considerando essa de-
manda linear e supondo serem vendidos x maços 
 
5 
a um preço y, a função que melhor descreve essa 
situação é: 
 
(a) y = -20x + 40 (d) y = -20x 
 
(b) y = -0,05x + 2 (e) y = -2x + 4 
 
(c) y = 0,05x R: (b) 
 
46)(UEPA-2014) Na figura abaixo, está 
representado um mosaico do século passado de 
16 cm de lado, composto por um conjunto de 
quadrados cujos vértices dos quadrados inscritos 
se encontram situados nos pontos médios dos 
quadrados circunscritos. A reta que passa pelos 
pontos A e B, vértices do quadro destacado, 
também passa pelo ponto cujas coordenadas são: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
(a) (9, 13) 
 
(b) (1, 7) 
 
(c) (0, 6) 
 
(d) (-4, 2) 
 
(e) (-8, 0) 
R: (a) 
 
6 . INTERSECÇÃO DE DUAS RETAS 
 
 
 
A figura acima mostra duas retas, r e s, do 
mesmo plano, que se intersectam no ponto 
P(x0, y0). 
Como P pertence às duas retas, suas coor-
denadas devem satisfazer, simultaneamente, as 
equações dessas duas retas. Logo, para determi-
ná-las, basta resolver o sistema de equações for-
mado pelas equações das duas retas. 
 
EXERCÍCIOS PROPOSTOS 
47) Determine as coordenadas do ponto P(x, y), 
intersecção das retas r e s em cada caso: 
a) r: 2x + y – 1 = 0 e s: 3x + 2y – 4 = 0 R: (-2, 5) 
b) r: x + 2y – 3 = 0 e s: x – 2y + 7 = 0 R: (-2, 5/2) 
c) r: 2x + 3y – 8 = 0 e s: 2x – 4y + 13 = 0 R: (-1/2, 3) 
 
48) Se as equações das retas suportes dos lados 
de um triângulo são y = 2x – 1, y = 5x – 4 e 
x = 5, calcule as coordenadas dos vértices do tri-
ângulo. R: (5, 9), (5, 21), (1, 1) 
 
49) Dado o triângulo cujos vértices são os pontos 
A(5, 2), B(1, -3) e C(-3, 4), determine o baricen-
tro (ponto de encontro das medianas) do triângu-
lo. R: G(1, 1) (Resolução em apresentação ) 
 
Observações: 
 
Baricentro: é o encontro das medianas num 
triângulo. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 O baricentro pode ser encontrado pela ex-
pressão: 
xG = 
3
x x x CBA 
 e yG = 
3
y y y CBA 
 
 Assim, o baricentro G do triângulo ABC será: 
G





 
3
y y y
 ,
3
x x x CBACBA
 
 
Saiba mais: 
 Assista ao vídeo “O que é baricentro?”, disponível em 
<http://professorgilbertosantosjr.blogspot.com.br/2015/
10/o-que-e-baricentro-2322015.html> Veja a página Baricentro. Disponível em 
<http://gilsilva10.wixsite.com/inicio/baricentro> 
 
 
Ortocentro: é o encontro das alturas num tri-
ângulo. 
 
 
Saiba mais: Veja a página 
Baricentro. Disponível em 
<http://gilsilva10.wixsite.c
om/inicio/ortocentro> 
 
 
Circuncentro: é o encontro das mediatrizes 
num triângulo, que coincide com o centro da 
circunferência circunscrita ao triângulo. 
 
Saiba mais: Assista ao 
Vídeo Circuncentro. 
Disponível em 
<http://professorgilbertosa
ntosjr.blogspot.com.br/201
5/03/circuncentro-> 
 
 
Incentro: é o encontro das bissetrizes num tri-
ângulo, que coincide com o centro da circunfe-
rência inscrita ao triângulo. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
6 
50) Uma reta r é determinada pelos pontos 
A(2, 0) e B(0, 4), e uma reta s é determinada 
pelos pontos C(-4, 0) e D(0, 2). Seja P(x, y) o 
ponto de intersecção das retas r e s. Determine as 
coordenadas do ponto P. R: P(4/5, 12/5) 
 
51) Determine a equação da reta que passa pela 
origem dos eixos coordenados e pela intersecção 
das retas 2x + y – 6 = 0 e x – 3y + 11 = 0. 
R: -4x + y = 0 
 
EXERCÍCIO DE VESTIBULAR 
52)(UFPA-2003) Recentemente foi exibido, em 
alguns cinemas de nossa cidade, o filme Scooby 
doo, cuja personagem principal era virtual. Isso é 
possível através de efeitos especiais com imagens 
e alguns deles são obtidos através de movimentos 
de pontos, chamados de rotação, reflexão e trans-
lação. Todos esses movi-
mentos são obtidos alge-
bricamente, por produtos 
de matrizes. Assim, por 
exemplo, para efetuarmos 
a rotação de 

 graus do 
ponto R, em torno da ori-
gem, e obtermos o ponto 
R,, como mostra a figura 
ao lado, 
 
Procedemos o produto matricial 
 








 cos sen
 sen - cos
 






Y
X
 = 






Y'
X'
 
 
onde X e Y são as coordenadas de R e X’ e Y’ são 
as coordenadas de R’. Com base no exemplo aci-
ma, encontre a equação da reta que passa pela 
origem e pelo ponto R’, obtido pela rotação de 30 
graus, em torno da origem do ponto R (
3
, 1). 
R: √3x - y = 0 
7 . RETAS PARALELAS 
 As retas r e s são paralelas, veja o gráfico 
abaixo: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Duas retas não-verticais r e s de equações re-
duzidas y = mrx + nr e y = msx + ns, são para-
lelas distintas se, somente se: 
 
mr = ms e nr ≠ ns 
 
 
Observação: Duas retas não-verticais r e s de 
equações reduzidas y = mrx + nr e y = msx + ns, 
são paralelas coincidentes se, somente se: 
 
mr = ms e nr = ns 
 
e concorrentes se, e somente se: 
 
mr ≠ ms 
 
EXERCÍCIO PROPOSTO 
53) Estude a posição relativa dos pares de retas. 
a) 3x – 2y + 1 = 0 e 4x + 6y – 1 = 0 R: concorrentes 
b) y + x – 7 = 0 e 2x – 2y + 1 = 0 R: concorrentes 
c) 2x – y – 6 = 0 e –4x + 2y – 5 = 0 R: paralelas 
 
8 . RETAS PERPENDICULARES 
 As retas r e s são perpendiculares, veja o 
gráfico abaixo: 
 
 
 
 
Duas retas r e s, não verticais, são perpendi-
culares, se e somente se, o coeficiente angular 
de uma delas é igual ao oposto do inverso do 
coeficiente angular da outra. 
ms = 
rm
1
 -
 
 
 
EXERCÍCIOS PROPOSTOS 
54) Dada a reta r de equação 2x – y + 5 = 0 e o 
ponto P(3, 5), determine a equação da reta s que 
passa pelo ponto P e é perpendicular à reta r. 
R: x + 2y – 13 = 0 
55) Escreva a equação reduzida da reta que pas-
sa pelo ponto (5, 0) e é perpendicular à reta de 
equação 
3
5 - x
 = 
2
3 y 
. R: y = − 3
2
𝑥 + 
15
2
 
56) A equação de uma reta r é dada por: 
012
111
4x1-y = 0 
Determine a equação da reta que passa pelo ponto 
(4, 7) e é perpendicular a r. R: x + 2y – 18 = 0 
 
57) Os pontos A(2, 1), B(-2, -4) e C(0, 2) são os 
vértices de um triângulo ABC. Determine a equa-
ção da reta suporte da altura relativa ao lado 𝑨𝑩̅̅ ̅̅ 
do triângulo. R: 4x + 5y – 10 = 0 
 
EXERCÍCIOS DE VESTIBULARES 
58)(Fuvest-SP) São dados os pontos A(2, 3) e 
B(8, 5). 
a) Ache a equação da reta 𝑨𝑩 ⃡ . R: -x + 3y – 7 = 0 
b) Ache a equação da mediatriz do segmento 𝑨𝑩̅̅ ̅̅ . 
R: y = -3x + 19 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
7 
59)(Vunesp) Ache os coeficientes angulares 
das retas r e s da figura e verifique se elas são 
ortogonais. R: não são ortogonais. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
60)(Enem-2003) Nos últimos anos, a televisão 
tem passado por uma verdadeira revolução, em 
termos de qualidade de imagem, som e interativi-
dade com o telespectador. Essa transformação se 
deve a conversão do sinal analógico para o sinal 
digital. Entretanto, muitas cidades ainda não con-
tam com essa nova tecnologia. Buscando levar 
esses benefícios a três cidades, uma emissora de 
televisão pretende construir uma nova torre de 
transmissão, que envie sinal as antenas A, B e C, 
já existentes nessas cidades. As localizações das 
antenas estão representadas no plano cartesiano: 
 
 
A torre está situada num local equidistante 
das três antenas. O local adequado para a cons-
trução dessa torre corresponde ao ponto de coor-
denadas 
 
(a) (65; 35) (c) (45; 35) (e) (50; 30) 
 
(b) (53; 30) (d) (50; 20) R: (e) 
 
9 . DISTÂNCIA ENTRE PONTO E RETA 
 
 
 
 
 
 
A distância d entre um ponto P(x0, y0) e uma 
reta r: ax + by + c = 0 é dada por: 
 
d = 
22
00
 
 y x
 ba
cba

 
 
 
EXERCÍCIOS PROPOSTOS 
61) Calcule a distância do ponto P(2, 1) à reta r: 
3x – 4y + 8 = 0. R: d = 2 
 
62) Determine a distância entre o ponto A(2, 1) e 
a reta r, de equação x + 2y – 14 = 0. R: d = 2√5 
 
63) Calcule a distância do ponto P à reta r em 
cada caso: 
a) P(5, 7) e r: 4x – 3y + 2 = 0 R: d = 1/5 
b) P(1, -2) e r: y = -
4
3
x + 1 R: d = 9/5 
c) P(-1, 4) e r: x + y = 0 R: d = 3√2/2 
d) P(2, 6) e r: 2x + 1 = 0 R: d = 5/2 
 
64) Qual é a distância entre a origem e a reta r, 
que passa pelos A(1, 1) e B(-1, 3)? R: d = √2 
 
65) Calcule a distância entre as retas paralelas 
12x – 9y + 27 = 0 e 12x – 9y – 18 = 0. R: d = 3 
 
66) Os pontos A(2, 1), B(-2, -4) e C(0, 2) são os 
vértices de um triângulo ABC. Determine 
a) a medida da altura relativa ao lado 𝑨𝑩̅̅ ̅̅ do tri-
ângulo. R: d = 14 √41
41
 
b) a medida da altura relativa ao lado 𝑩𝑪̅̅ ̅̅ do tri-
ângulo. R: d = 7 √10
10
 
 
67) Determine a medida da altura do trapézio 
cujos vértices são os pontos A(1, 1), B(6, 1), 
C(2, 3) e D(4, 3). R: h = 2 
 
10 . CÁLCULO DA ÁREA DE TRIÂNGULO 
 
 
A área A de triângulo cujos vértices são os 
pontos E(xE, yE), F(xF, yF) e G(xG, yG) é dada 
por: 
A = 
2
D
, em que D = 
1yx
1yx
1yx
GG
FF
EE 
 
 
EXERCÍCIOS PROPOSTOS 
68) Calcular a área do triângulo cujos vértices 
são os pontos A(2, 4), B(-6, 2) e C(0, -2). R: A = 22 
69) Determine a área do triângulo cujos vértices 
são os pontos: 
a) A(-3, 3), B(-1, 1) e C(4, 0) R: A = 4 
b) A







2
7
 1,
, B(4, -3) e C(0, -6) R: A = 41/2 
 
70) Determinar a área do quadrilátero ABCD, 
sabendo que seus vértices são os pontos A(2, 0), 
B(3, 1), C(1, 4) e D(0, 2). R: A = 11/2 
 
71) Os pontos A(2, -4), B(a, 1) e C(4, 2) são os 
vértices do triângulo ABC. Calcule o valor de a, 
para que esse triângulo tenha 2 unidades de área. 
R: a = 13/3 ou a = 3 
 
8 
72) A reta r da figura a seguir tem equação 
x + 2y – 4 = 0. 
 
 
 
Determine a área do triângulo AOB. R: A = 4 
 
73)(U.F. Viçoas-MG) As retas r e s dográfico 
tem equações y = - x + 
5 e y = x – 3, respecti-
vamente. Pode se afir-
mar que a área do tri-
ângulo ABC é: R: (c) 
 
 
(a) 2 (b) 
2
1
 (c) 1 (d) 2
2
 e) 
2
2
 
 
CAPÍTULO III – CIRCUNFERÊNCIA 
 
 
 
11 . EQUAÇÃO REDUZIDA 
 Seja, no plano cartesiano, uma circunferên-
cia  de centro C(a, b) e raio r. 
 
 
 
Considerando um ponto genérico G(x, y), segue 
CG = r ⟹ 
22 b) - (y a) - (x 
 = r ⟹ 
 
 
(x – a)2 + (y – b)2 = r2 
 
 
Denominada equação reduzida da circunferência 
 de centro C(a, b) e raio r. 
 
Observação: 
 Se r > 0,  é real; 
 Se r = 0,  se reduz a um ponto; 
 Se r ∉ ℝ,  é imaginário. 
 
EXERCÍCIOS PROPOSTOS 
74) Obtenha a equação reduzida da circunferên-
cia de centro C e raio R, nos seguintes casos: 
a) C(4, 6) e R = 3 R: (x – 4)2 + (y – 6)2 = 9 
b) C(0, 2) e R = 
5
 R: x2 + (y – 2)2 = 5 
c) C(-3, 1) e R = 
2
3
 R: (x + 3)2 + (y – 1)2 = 9/4 
d) C(0, 2) e R = 
7
 R: x2 + (y – 2)2 = 7 
e) C(- 4, 1) e R = 
3
1
 R: (x + 4)2 + (y – 1)2 = 1/9 
f) C







2
1
 ,
3
1
 
 e R = 1 R: (x + 1/3)2 + (y – 1/2)2 = 1 
 
75) Determine o centro e o raio da circunferência 
cuja equação reduzida é: 
a) (x – 6)2 + (y – 2)2 = 16 R: C(6, 2), r = 4 
 
b) (x + 4)2 + (y - 1)2 = 3 R: C(-4, 1), r = √3 
 
c) (x + 2)2 + y2 = 
25
16
 R: C(-2, 0), r = 4/5 
 
d) 
2
2
1
 - x 





 + 
2
2
5
 y 






 = 9 R: C(1/2, -5/2), r = 3 
 
e) x2 + (y + 1)2 = 2 R: C(0, -1), r = √2 
 
f) x2 + y2 = 4 R: C(0, 0), r = 2 
 
12 . EQUAÇÃO NORMAL DA CIRCUNFE-
RÊNCIA 
 
(x – a)2 + (y – b)2 = r2 ⟹ 
⟹ X2 – 2ax + a2 + y2 – 2by + b2 = r2 ⟹ 
 
 
x2 + y2 – 2ax – 2by + a2 + b2 – r2 = 0 
 
 
Denominada equação normal da circunferência. 
 
Exemplo: Determinar o centro O(a, b) e o raio r 
da circunferência de equação: x2 + y2 – 6x + 8y + 
9 = 0. 
Resolução: 
De x2 + y2 – 2ax – 2by + a2 + b2 – r2 = 0, 
temos 
-2a = -6 ⟹ a = 3 
-2b = 8 ⟹ b = -4 
 
Assim O(a, b) = (3, -4). 
 
 Ainda, a2 + b2 – r2 = 9 
 
⟹ 32 + (-4)2 – r2 = 9 
⟹ r
2 = 9 – 9 + 16 ⟹ r = 4. 
 
EXERCÍCIOS PROPOSTOS 
76) Qual é a equação normal da circunferência de 
centro C(4, 1) e raio 5? R: x2 + y2 – 8x – 2y – 8 = 0 
 
77) Obtenha o centro e o raio da circunferência 
de equação: 
a) x2 + y2 – 2x + 8y + 14 = 0 R: C(1, -4) e R = √3 
 
b) x2 + y2 – 4x – 8y + 16 = 0 R: C(2, 4) e R = 2 
 
 
9 
c) 16x2 + 16y2 + 16x – 8y - 31 = 0 R: C(-1/2, 1/4) e R = 3/2 
 
EXERCÍCIOS DE VESTIBULARES 
78)(Enem-2013) Durante uma aula de Matemá-
tica, o professor sugere aos alunos que seja fixado 
um sistema de coordenadas cartesianas (x, y) e 
representa na lousa a descrição de cinco conjuntos 
algébricos, I, II, III, IV e V, como se segue: 
I – é a circunferência de equação x2 + y2 = 9 
II – é a parábola de equação y = -x2 – 1, com x 
variando de -1 a 1; 
III – é o quadrado formado pelos vértices (1, 1), 
(2, 1), (2, 2) e (1, 2); 
V – é o ponto (0, 0). 
 
A seguir, o professor representa corretamente os 
cinco conjuntos sobre uma mesma malha quadri-
culada, composta de quadrados com lados medin-
do uma unidade de comprimento, cada, obtendo 
uma figura. Qual destas figuras foi desenhada pelo 
professor? R: (e) 
 
(a) 
 
 
(b) 
 
 
(c) 
 
 
(d) 
 
 
(e) 
 
 
79)(Cesgranrio) A equação da circunferência 
cuja representação cartesiana está indicada pela 
figura abaixo é: R: (c) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
(a) x2 + y2 - 3x – 4y = 0 
 
(b) x2 + y2 + 6x + 8y = 0 
 
(c) x2 + y2 + 6x - 8y = 0 
 
(d) x2 + y2 + 8x - 6y = 0 
 
(e) x2 + y2 – 8x + 6y = 0 
 
80)(UEPA-2008) Segundo a Revista VEJA de 
03.10.07, o mundo dá sinais de que a paciência 
com o Irã está chegando ao fim. Rudolph Giuliani, 
candidato à presidência dos EUA, defende um ata-
que preventivo para evitar que o país se torne 
uma potência nuclear, pois o presidente do Irã 
declarou ser seu projeto riscar Israel do mapa. O 
material bélico do Irã é uma preocupação mundial. 
Seus mísseis têm um alcance considerável e um 
raio de ação de grande destruição. Um míssil foi 
lançado sobre uma região e devastou uma área de 
formato circular. O raio de ação desse míssil foi 
registrado por meio da equação x² + y² - 2x - 4y 
- 4 = 0 . Esse raio, em km, mede: R: (b) 
 
(a) 2 (b) 3 (c) 4 (d) 5 (e) 6 
 
81)(UFPA-2008) Conhecendo as coordenadas 
de três pontos A(0,2), B(3,0) e C(-1,-2), encon-
tre a coordenada do centro da circunferência que 
contém os três pontos. R: C(9/14, -2/7) 
 
10 
82)(UFPA-2005) Um arquiteto gostaria de cons-
truir um edifício de base quadrada em frente à 
praia, de tal forma que uma das diagonais de sua 
base fosse paralela à orla, conforme ilustração 
abaixo. Utilizando um sistema de coordenadas 
cartesiano, ele determinou que os vértices da base 
que determinam a diagonal paralela à orla deverão 
ser A(2,6) e C(8,2). Determine as coordenadas 
dos outros dois vértices, de modo que o quadrilá-
tero ABCD seja, de fato, um quadrado. 
 
83)(UFRA-2004) C1 e C2 são dois círculos con-
cêntricos. C1 é determinado pela circunferência 
cuja equação é x2 + y2 – 4x – 4y + 4 = 0 e C2 
possui 15,7 m2 de área. A equação da circunfe-
rência que determina C2 é: R: (a) 
(a) x2 + y2 – 4x – 4y + 3 = 0 
 
(b) x2 + y2 – 4x – 4y - 17 = 0 
 
(c) x2 + y2 – 4x – 4y + 5 = 0 
 
(d) x2 + y2 – 4x – 4y - 3 = 0 
 
(e) x2 + y2 – 4x – 4y + 17 = 0 
 
84)(UEPA-2001) Um agricultor recebe uma he-
rança e decide investir em terras para aumentar 
sua produção. Resolve comprar um terreno ao 
lado do seu, e o corretor cobra R$ 2 000,00 a uni-
dade de área (u). O terreno tem a forma de qua-
drilátero de vértices A, B, C e D. Em sua represen-
tação no plano cartesiano, em que a unidade em 
cada um dos eixos representa a unidade de com-
primento sobre o terreno, tem-se A = (0, 0), 
B =(0, 1) e D = (3, 0). Sabe-se que a equação da 
reta que contém os pontos D e C é 3x + 2y = 9, 
enquanto que a reta que contém os pontos B e C 
também passa pelo ponto (4, 2). Faça os cálculos 
necessários e determine o valor que o agricultor 
irá pagar pelo terreno. R: 8 500 u 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
“Por que nos torna tão pouco felizes esta maravilhosa ciên-
cia aplicada que economiza trabalho e torna a vida mais 
fácil? A resposta é simples: porque ainda não aprendemos a 
nos servir dela com bom senso”. 
Albert Einstein. 
 
 
Atualizada em 16/1/2018 
 
Agradecimentos 
 
Laryssa Gomes, na revisão do gabarito. 
 
 
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site: 
 
 
http://gilsilva10.wixsite.com/inicio/apostilas-
de-matematica 
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Referências 
 
DANTE, L.R. Matemática: Contexto & Aplicações. 1. Ed. São 
Paulo: Ática, 2000, v.3. 
 
y 
x 
D 
B 
C 
(8,2) 
orla 
A