Apostila de Conjuntos (5 páginas, 26 questões)

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PROF. GILBERTO SANTOS JR
CONJUNTOS 
 
1 . CONCEITO 
 É qualquer coleção de objetos, pessoas, 
números, etc. 
 
Exemplos: 
 Uma sala de aula é um conjunto de alunos; 
 Um bairro é um conjunto de casas; 
 O universo é um conjunto de estrelas, plane-
tas, etc. 
 
2 . ELEMENTOS DE CONJUNTOS 
 São objetos que formam esse conjunto. 
 
3 . REPRESENTAÇÃO DE CONJUNTOS 
 Os conjuntos são representados por letras 
maiúsculas e quando os elementos são letras, es-
sas são letras minúsculas. 
 
3.1 Por chaves: 
 
Exemplos: 
a) Representar o conjunto A dos dias da semana, 
entre chaves. 
 
Resolução: 
 
A = {domingo, segunda, terça, quarta, quinta, sex-
ta, sábado}. 
 
b) Representar o conjunto B dos números pares, 
entre chaves. 
 
Resolução: 
 
B = {0, 2, 4, 6, ...}. 
 
Observação: No exemplo anterior, o conjunto A é 
finito (tem nº limitado de elementos) e o conjun-
to B é infinito (tem nº ilimitado de elementos). 
 
3.2 Por diagrama de Venn1 
 
 
Vitral no refeitório do Caius College, Universidade de 
Cambridge, Inglaterra, em homenagem a Venn e a 
seus diagramas. 
 
Exemplo: Representar o conjunto C das vogais, 
por diagrama. 
 
 
1
 John Venn (1834-1923), matemático inglês, criador dos famosos diagramas de 
Venn, que ultrapassam as fronteiras das ciências e são aplicados na Lógica, na 
Matemática, na Informática, etc. Se licenciou e foi professor na Universidade de 
Cambridge, onde desenvolveu estudos sobre lógica e teoria das probabilidades. 
Desenvolveu a lógica matemática de Boole, tendo estabelecido uma forma de 
representação gráfica das intersecções e uniões de conjuntos, através de diagra-
mas que levam o seu nome. Foi a partir da década de 1960, que os diagramas de 
Venn foram introduzidos no ensino escolar de matemática, na aprendizagem da 
teoria dos conjuntos e de funções, como parte do movimento da Matemática 
Moderna. Desde então, seu uso foi amplamente difundido, em áreas tão distintas 
como a compreensão de textos. 
Resolução: 
 
 
 
 
Observação: Não se representa conjuntos infinitos 
em diagramas. 
 
3.3 Por propriedade 
 
Exemplos: 
 
a) A = {x/ x é planeta do Sistema Solar} 
 
 
 
 O conjunto A é formado por todos os pla-
netas do Sistema Solar. 
 
Observação: Vale lembrar que a figura acima é 
apenas uma representação artística, os planetas 
têm orbitas diferentes, portanto não se mantém 
alinhados. Os planetas do Sistema Solar são Mer-
cúrio, Vênus, Terra, Marte, Júpiter, Saturno e Ne-
tuno}. 
 
b) B = {x/ x é vogal} 
O conjunto B é formado por todas as vo-
gais. 
 
c) C = {x/ x é número natural menor que 6} 
O conjunto C é formado por todos os nú-
meros naturais menores que seis. 
 
4 . SÍMBOLOS DE PERTINÊNCIA 
Entre elementos e conjunto utiliza-se os 
símbolos ∈ (pertence) ou ∉ (não pertence). 
 
Exemplo: Seja A = {1, 3, 5, 6}, segue que 
 
1 ∈ A, 2 ∉ A, 3 ∈ A, 4 ∉ A, 5 ∈ A, 6 ∈ A. 
 
EXERCÍCIOS PROPOSTOS 
1) Escreva o conjunto expresso pela propriedade: 
a) A = {x/ x é número natural menor que 8} 
 
b) B = {x ∈ ℕ/ x é par} 
 
c) C = {x ∈ ℕ/ x é ímpar} 
 
d) D = {x ∈ ℕ/ x é número múltiplo de 2} 
 
e) E = {x ∈ ℕ/ x é múltiplo de 3 e menor que 15} 
 
f) F = {x ∈ ℕ/ x ≤ 8} 
 
2 
g) G = {x ∈ ℕ/ x > 8} 
 
h) H = {x ∈ ℕ/ x ≥ 8} 
 
i) I = {x/ x é número múltiplo de 3 e x ≤ 15} 
 
j) J = {x/ x é múltiplo de 5 e menor do que 31} 
 
l) L = {x ∈ ℤ/ x > 10 e x ≤ 20} 
 
m) M = {x ∈ ℤ/ x ≥ 10 e x < 20} 
 
n) N = {x ∈ ℤ/ 10 < x ≤ 20} 
 
o) O = {x ∈ ℤ/ x ≤ 8} 
 
p) P = {x/ x é letra da palavra “conjunto”} 
 
Lembrete: 
 
Operadores Símbolos 
Igual = 
Diferente ≠ 
Maior que > 
Menor que < 
Maior ou igual a ≥ 
Menor ou igual a ≤ 
Conjuntos dos núme-
ros naturais 
ℕ 
Conjuntos dos núme-
ros inteiros 
ℤ 
Tal que / 
 
5 . CONJUNTO UNITÁRIO 
É o conjunto que possui um único elemen-
to. 
 
Exemplo: A = {x/ x é dia da semana que começa 
com a letra D} 
 
Resolução: 
 
A = {domingo}. 
 
6 . CONJUNTO VAZIO 
 
 
 
 É o conjunto que não possui elementos. O 
conjunto vazio é representado por { } ou . 
 
Exemplo: B = {x/ x é mês do ano com 25 dias} 
 
Resolução: 
 
B =  
 
EXERCÍCIOS PROPOSTOS 
2) Classifique o conjunto como unitário ou vazio: 
 
a) A = {x/ x é um número natural menor do que 
1}. 
 
b) B = {x ∈ ℕ/ x é maior do que 10 e menor do que 
11} 
 
c) C = {x/ x é número par maior do que 3 e menor 
do que 5} 
 
d) D = {x/ x é número primo maior do que 7 e 
menor do que 11} 
 
e) E = {x ∈ ℕ/ x + 7 = 4} 
 
f) F = {x ∈ ℕ/ x < 0} 
 
g) G = {x ∈ ℕ/ 5x = 60} 
 
h) H = {x/ x é uma figura plana de três lados} 
 
Lembrete: Números primos são todos aqueles que 
obedecem as seguintes condições: 
 São maiores que 1; e 
 Possuem somente dois divisores. 
Portanto, observe o conjunto P dos núme-
ros primos abaixo 
 
P = {2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, …} 
 
7 . UNIÃO DE CONJUNTOS 
 Dado os conjunto A e B, define-se como 
união dos conjuntos A e B ao conjunto representa-
do por A ∪ B, formado por todos os elementos per-
tencentes a A ou B. Simbolicamente, 
 
 
A ∪ B = {x/ x ∈ A ou x ∈ B} 
 
 
Exemplo: Sejam os conjuntos A = {1, 2, 3, 4} e 
B = {3, 4, 5, 6}, A ∪ B = {1, 2, 3, 4, 5, 6}. 
 Em diagramas, 
 
 
 
EXERCÍCIOS PROPOSTOS 
3) Considere os conjuntos abaixo: 
A = {0, 1, 2, 3}, 
B = {0, 2, 3, 5}, 
C = {x/ x é número par menor que 10} e 
D = {x/ x é número ímpar entre 4 e 10}. 
 
Determine: 
 
a) C = 
 
b) D = 
 
c) A ∪ B = 
 
d) A ∪ C = 
 
e) B ∪ C = 
 
f) C ∪ D = 
 
g) (A ∪ B) ∪ C = 
 
4) Considere os diagramas a seguir: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Determine: 
 
a) A ∪ B = 
 
b) A ∪ C = 
 
c) B ∪ C = 
 
d) A ∪ B ∪ C = 
 
8 . INTERSECÇÃO DE CONJUNTOS 
Dados os conjuntos A e B, define-se como 
intersecção dos conjuntos A e B ao conjunto re-
presentado por A ∩ B, formado por elementos per-
tencentes aos conjuntos A e B, ao mesmo tempo, 
isto é, elementos comuns, que se repetem em A e 
B. Simbolicamente, 
 
 
 
 
3 
 
A ∩ B = {x/ x ∈ A e x ∈ B} 
 
 
Observação: Quando A ∩ B = , os conjuntos A e 
B são chamados disjuntos. 
 
Exemplo: Sejam os conjuntos A = {1, 2, 3, 4} e 
B = {3, 4, 5, 6}, A ∩ B = {3, 4}. 
 Em diagramas, 
 
 
 
EXERCÍCIOS PROPOSTOS 
5) Considere os conjuntos abaixo: 
A = {0, 1, 2, 3, 4}, 
B = {0, 1, 2}, 
C = {x/ x é par menor que 10} e 
D = {x/ x é ímpar compreendido entre 0 e 6}. De-
termine: 
 
a) C = d) A ∩ C = 
 
b) D = e) B ∩ C = 
 
c) A ∩ B = f) C ∩ D = 
 
6) Considere os conjuntos abaixo: 
A = {x/ x é natural ímpar menor que 10}, 
B = {x/ x é par entre 3 e 11} e 
C = {x/ x é natural menor do que 5}. Determine: 
 
a) A = e) A ∪ C = 
 
b) B = f) A ∩ C = 
 
c) C = g) A ∩ B = 
 
d) A ∪ B = h) (A ∪ B) ∩ C = 
 
7) Considere os diagramas: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Determine: 
 
a) X ∩ Y = c) Y ∩ Z = 
 
b) X ∩ Z = d) X ∩ Y ∩ Z = 
 
EXERCÍCIOS DE VESTIBULARES 
8)(UEPA-2009) A Teoria dos Conjuntos nos aju-
da a interpretar situações como o compartilha-
mento de arquivos de música entre aparelhos mó-
veis. Os arquivos do FolkMusic, um software de 
aparelhos móveis, represen-
tam conjuntos e as músicas 
são elementos desses conjun-
tos. O diagrama ao lado re-
presenta uma situação de 
compartilhamento de músicas 
entre arquivos do FolkMusic. 
Com base no diagrama, é 
correto afirmar que: 
 
(a) O arquivo A, o arquivo B e o arquivo C possu-
em músicas em comum. 
 
(b) O arquivo A, o arquivo B, o arquivo C e o ar-quivo D possuem músicas em comum. 
 
(c) O arquivo B e o arquivo D possuem músicas 
em comum. 
 
(d) O arquivo C só possui músicas em comum 
com o arquivo B. 
 
(e) O arquivo C só possui músicas em comum com 
o arquivo A. 
 
9)(PUC-SP) Considerando N = {0,1,2,3,4, …}, 
A = {x ∈ ℕ∗/
24
x
= n, com n ∈ ℕ} e B = {x ∈ ℕ/ 3x + 4 < 
2x + 9}, podemos afirmar que: 
 
(a) A ∪ B tem 8 elementos (c) A ∪ B = A 
 
(b) A ∩ B tem 4 elementos (d) A ∩ B = A 
 
9 . DIFERENÇA DE CONJUNTOS 
Dados os conjuntos A e B, define-se como 
diferença entre A e B (nesta ordem) ao conjunto 
representado por A ‒ B, formado por todos os ele-
mentos pertencentes a A, mas que não pertencem 
a B. Ou seja, A ‒ B é um conjunto formado por 
elementos que pertencem somente a A. Simboli-
camente, 
 
 
A ‒ B = {x/ x ∈ A e x ∉ B} 
 
 
Exemplo: Sejam os conjuntos A = {1, 2, 3, 4} e 
B = {3, 4, 5, 6}, A ‒ B = {1, 2}. 
 Em diagramas, 
 
 
 
EXERCÍCIOS PROPOSTOS 
10) Considere os conjuntos abaixo: 
A = {0, 1, 2, 3}, 
B = {1, 2, 3} e 
C = {2, 3, 4, 5}. Determine: 
 
a) A – B = d) C – B = 
 
b) A – C = e) (A – B) ∩ (A – C) = 
 
c) B – C = f) A ‒  = 
 
11) Considere os diagramas: 
 
 
 
Escreva os seguintes conjuntos: 
 
a) E = c) E ∪ F = e) E ‒ F = 
 
b) F = d) E ∩ F = f) F ‒ E = 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
4 
Resumo: 
 A intersecção B A união B 
 
 
 
 A ∩ B A ∪ B 
 
A diferença B B diferença A 
 
 
 
A ‒ B B ‒ A 
 
 
10 . PROBLEMAS QUE ENVOLVEM CON-
JUNTOS 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
12) Numa escola de 630 alunos, 350 deles estu-
dam inglês, 210 estudam espanhol e 90 deles es-
tudam as duas matérias (inglês e espanhol). Per-
gunta-se: 
 
a) Quantos alunos estudam somente inglês? 
b) Quantos alunos estudam somente espanhol? 
c) Quantos alunos estudam inglês ou espanhol? 
d) Quantos alunos estudam inglês e espanhol? 
e) Quantos alunos não estudam nenhuma das 
duas matérias? 
 
13) Numa pesquisa sobre preferência em relação 
a dois jornais, foram consultadas 470 pessoas e o 
resultado foi o seguinte: 250 lêem o jornal A, 180 
lêem o jornal B e 60 lêem os jornais A e B. Per-
gunta-se: 
 
a) Quantas pessoas lêem apenas o jornal A? 
 
b) Quantas pessoas lêem apenas o jornal B? 
 
c) Quantas pessoas lêem jornais? 
 
d) Quantas pessoas não lêem jornais? 
 
14) Uma prova com duas questões foi dada a 
uma classe de 40 alunos. Dez alunos acertaram as 
duas questões, 25 acertaram a primeira questão e 
20 acertaram a segunda questão. Quantos alunos 
erraram as duas questões? 
 
15) Na porta de um ginásio esportivo foi feita 
uma pesquisa com 100 pessoas, sobre o gosto de 
dois esportes. As respostas foram: 60 pessoas 
gostam de vôlei, 50 pessoas gostam de basquete e 
20 gostam de vôlei e basquete. Faça o que se pe-
de: 
a) O esboço em diagramas. 
 
b) Quantas pessoas gostam somente de vôlei? 
 
c) Quantas pessoas gostam somente de basque-
te? 
 
d) Quantas pessoas gostam de vôlei e basquete? 
 
e) Quantas pessoas gostam de vôlei ou basque-
te? 
 
f) Quantas pessoas responderam que não gostam 
desses esportes? 
 
16) Um professor de Português sugeriu em uma 
classe a leitura dos livros Helena, de Machado de 
Assis, e Iracema de José de Alencar. Vinte alunos 
leram Helena, 15 leram só Iracema, 10 leram os 
dois livros e 15 não leram nenhum deles. 
 
a) Quantos alunos leram só Helena? 
 
b) Quantos alunos leram só Iracema? 
 
c) Quantos alunos leram Iracema? 
 
d) Qual o número de alunos dessa classe? 
 
17) Numa pesquisa feita com 1000 famílias para 
se verificar a audiência dos programas de televi-
são, os seguintes resultados foram encontrados: 
510 famílias assistem ao programa A, 305 assis-
tem ao programa B e 386 assistem ao programa C, 
sabe-se ainda que 180 famílias assistem aos pro-
gramas A e B, 60 assistem aos programas B e C, 
25 assistem a A e C, e 10 famílias assistem aos 
três programas. 
a) Quantas famílias assistem somente ao progra-
ma A? 
 
b) Quantas famílias não assistem a nenhum des-
ses programas? 
 
c) Quantas famílias não assistem nem ao progra-
ma A nem ao programa B? 
 
18) Em uma pesquisa realizada com 50 pessoas 
para saber que esporte elas apreciavam entre fu-
tebol, basquete e vôlei, o resultado foi o seguinte: 
23 gostam de futebol, 18 de basquete e 14 de vô-
lei; 10 gostam de futebol e basquete; 9 gostam de 
futebol e vôlei; 8 gostam de basquete e vôlei e 5 
gostam das três modalidades. 
 
a) Quantas pessoas gostam somente de futebol? 
 
b) Quantas pessoas não gostam de nenhum des-
ses esportes? 
 
c) Quantas gostam só de basquete? 
 
d) Quantas gostam apenas de vôlei? 
 
e) E quantas não gostam nem de basquete nem de 
vôlei? 
 
f) Quantas pessoas gostam só de futebol ou só de 
basquete ou de ambos? 
 
EXERCÍCIOS DE VESTIBULARES 
19)(UEPA-2011) Imagine que, após uma reunião 
sobre o tema “degradação do meio ambiente”, da 
qual participaram 20 empresários do setor 
supermercadista da região metropolitana de Belém, 
todos tenham tomado suas decisões sobre as ações 
que iriam adotar. Se 8 deles decidiram pelo 
incentivo ao uso das sacolas retornáveis, 9 
decidiram pela adoção da coleta seletiva e 3 
disseram que iriam aderir às duas iniciativas 
5 
propostas, o número de empresários que decidiu 
não adotar nenhuma das iniciativas foi de: 
 
(a) 1 (b) 3 (c) 6 (d) 11 (e) 13 
 
20)(UEPA-2007, modificada) Os carros podem 
ser adquiridos dentre três alternativas em termo 
de combustíveis. Podem ser movidos a gasolina, a 
álcool ou aos dois combustíveis(flex). Desta forma, 
foi verificado que no pátio de uma concessionária 
de veículos há: 120 automóveis que podem ser 
movidos a gasolina; 112 que podem ser movidos a 
álcool e 93 que podem ser movidos com os dois 
combustíveis(flex). O número de carros existente 
no pátio dessa concessionária é: 
 
(a) 325 (b) 232 (c) 213 (d) 205 (e) 139 
 
21)(UEPA-2006) Uma pesquisa realizada com 50 
famílias sobre o consumo de dois tipos de peixes, A 
e B, apresentou os seguintes resultados: 25 famí-
lias consomem o peixe A, 15 famílias consomem o 
peixe B, e 5 famílias consomem os dois tipos de 
peixes. O número de famílias que não consomem 
nenhum tipo de peixe é: 
 
(a) 5 (b) 10 (c) 15 (d) 35 (e) 45 
 
22)(UEPA-2006) A Câmara dos Deputados reu-
niu-se extraordinariamente para decidir sobre a 
instalação de duas comissões Parlamentares de 
inquéritos CPI: A do FUTEBOL e a do CAIXA 2. 
Dos 320 Deputados presentes, 190 votaram a fa-
vor da CPI do FUTEBOL; 200 pela instalação da 
CPI do CAIXA 2; 90 votaram a favor da CPI da 
duas comissões e X deputados foram contrários à 
instalação das CPIs. O número X de deputados que 
votaram contra a instalação das CPIs é: 
 
(a) 160 (b) 90 (c) 70 (d) 50 (e) 20 
 
23)(Unifenas-MG) O tipo sanguíneo de uma pes-
soa é classificado segundo a presença, no sangue, 
dos antígenos A e B. Podemos ter: 
 
 
 Tipo A: pessoas que têm só o antígeno A. 
Tipo B: pessoas que têm só o antígeno B. 
Tipo AB: pessoas que têm A e B. 
Tipo O: pessoas que não têm A e B. 
 
 
 
Em 55 amostras do sangue, observamos que 20 
apresentam o antígeno A, 12 apresentam B e 7 
apresentam ambos os antígenos. O número de 
amostras de sangue tipo O é: 
 
(a) 51 (b) 25 (c) 30 (d) 7 
 
24)(UEPA–2005) "Cabelo e o vestuário são itens 
que se destacam no rol de preocupações das ado-
lescentes que costumam frequentar as baladas 
belenenses", é o que aponta a pesquisa realizada 
com 650 meninas, na faixa etária entre 15 e 19 
anos. Destas 205 comparecem a esse tipo de festa 
se adquirem um traje inédito;382 se fazem pre-
sentes após uma boa escova no cabeleireiro; 102 
aparecem nos locais onde acontecem as baladas 
com traje inédito e depois de uma escova no cabe-
leireiro. Pergunta-se: quantas são as adolescentes 
consultadas que não se preocupam em ir ao cabe-
leireiro fazer escova, nem em vestir uma roupa 
inédita? 
 
(a) 39 (b) 63 (c) 102 (d) 165 (e) 177 
 
25)(UEPA-2005) Em consequência da aquisição 
de hábitos nada saudáveis, como sedentarismo e 
alimentação excessivamente calórica, Camilla, 
Daniela e Giselle estão engordando. Para combater 
o sobrepeso, resolveram seguir uma dieta e prati-
car exercícios físicos. Porém, devido ao intenso 
ritmo dos estudos dedicados ao cumprimento das 
tarefas escolares, estão com dificuldades para 
destinar um horário em que, juntas, as três pos-
sam frequentar a mesma academia. Os horários 
disponíveis de cada uma correspondem aos se-
guintes intervalos fechados: Camilla, das 17h às 
20h; Daniela, das 18h às 21h; Giselle, de 16h às 
19h. Neste caso, o intervalo que corresponde ao 
horário disponível comum às três para a prática de 
exercícios físicos é: 
 
(a) [16; 17] (c) [18; 19] (e) [20; 21] 
 
(b) [17; 18] (d) [19; 20] 
 
26)(UEPA-2001) Segundo pesquisas realizadas 
no Laboratório Vida, cientistas descobriram que 
bactérias do tipo A resistiram a temperaturas 
compreendidas entre os valores reais de 100 °C e 
450 °C, incluindo neste intervalo os seus limites. 
Por sua vez, bactérias do tipo B resistiram a tem-
peraturas entre os valores reis de 50 °C e 350 °C, 
excluindo deste intervalo os seus limites. Esses 
pesquisadores, desejando estudar relações entre 
essas bactérias, necessitam colocá-las juntas num 
mesmo ambiente. Qual dos intervalos abaixo rela-
cionados, relativos a temperatura ambiente permi-
te que esse estudo seja feito para que tais bacté-
rias permaneçam vivas? 
 
(a) ]100 ; 350[ (c) [100; 350] (e) ]100 ; 350] 
 
(b) [100; 350[ (d) ]0 ; 450] 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Atualizada em 14/7/2018 
 
 
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Referências 
 
DANTE, L.R. Matemática: Contexto & Aplicações. 1. Ed. São 
Paulo: Ática, 2000, v.1.