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Física 2 
9) Rotação de corpos rígidos 
Corpo rígido: modelo de corpo ideal em que se desprezam as deformações e supõe-se que 
ele tem uma forma definida e imutável. 
Eixo fixo: eixo que permanece em repouso em relação a algum referencial inercial e que 
não muda de direção em relação a esse eixo. 
Rotações: sentido horário: negativo. Sentido anti-horário: positivo. 
Pode-se descrever o movimento de rotação de um corpo rígido em termos de uma taxa de 
variação do ângulo .θ 
 
ω = Δt
Δθ. 
Em um dado instante, todos os pontos de um corpo rígido giram com mesma velocidade 
angular. Tal velocidade é positiva quando gira no sentido dos valores crescentes de .θ 
A direção de é dada pela regra da mão direita. Quando a rotação se dá em torno do  ω 
eixo z, então possui somente uma componente z.ω 
Quando a velocidade angular de um corpo rígido varia, ele possui uma aceleração angular. 
α =   Δt
Δωz 
No movimento de rotação, quando a aceleração angular α é positiva, a velocidade 
angular é crescente; quandoα é negativo, é decrescente. Assim, quando eα possuem o  ω ω ω 
mesmo sinal, o movimento é acelerado, quando possuem sinais contrários, é retardado. 
Para a aceleração angular constante, são válidas as seguintes relações: 
tω = ω0 + α 
tθ = θ0 + ω0 + α2
t2 
α(θ )ω2 = ω20 + 2 − θ0 
θs = r 
rv = ω 
 
Quanto mais afastado o ponto estiver do eixo, maior será sua velocidade linear. A direção 
do vetor velocidade linear é tangente a sua trajetória circular em cada um dos seus pontos. 
As grandezas sem índices inferiores, e nunca são negativas, são módulos dos vetores v ω 
e , e seus valores indicam apenas com que rapidez uma partícula se move e gira . Asv→ ω
→
 v ω 
grandezas correspondentes com índices inferiores e podem ser positivas ou negativas, seus vz ωz 
sinais indicam a direção do movimento. 
A componente tangencial da aceleração , a componente paralela à velocidade at 
instantânea, atua fazendo alterar o módulo da velocidade da partícula. Essa componente da 
aceleração é sempre tangente à trajetória circular da partícula. 
A componente da aceleração da partícula direcionada para o interior do eixo de rotação, 
aceleração centrípeta ,está associada com a variação da direção da velocidade da partícula.arad 
rarad = r
v2 = ω2 
a→ = arad
→ + at
→ 
 
Em todas as equações os ângulos devem ser usados em radianos. 
Quando uma corda enrolada em torno de um cilindro se desenrola sem deslizar nem se 
esticar, sua velocidade e sua aceleração em qualquer instante são iguais à respectiva velocidade e 
aceleração de qualquer ponto situado na periferia do cilindro. Note que a equação 8 se aplica a 
corda somente nos pontos em que há contato com o cilindro. 
Um corpo rígido girando é constituído por massas em movimento, logo possui energia 
cinética. Essa energia pode ser descrita em termos de velocidade angular e do momento de 
inércia, que depende da massa do corpo e de como ela é distribuída. 
A energia cinética é a soma das energias cinéticas de todas as partículas que constituem o 
corpo. 
m v m r ωK = 2
1
i  i
2  = 2
1
i i
2 2 
( r )ωK = 2
1 ∑
 
 
mi i
2 2 
Para um corpo com dado eixo de rotação e uma dada massa total, quanto mais afastadas 
as partículas estiverem do eixo de rotação, maior será o momento de inércia. Em um corpo rígido, 
as distâncias são todas constantes e não depende de como o corpo está girando em torno de ri I 
uma dado eixo. 
IωK = 2
1 2 
Quanto maior for o momento de inércia, maior será a energia cinética do corpo girando 
com uma dada velocidade angular Quanto maior for o momento de inércia de um corpo, mais .ω 
difícil será fazê-lo girar a partir do repouso e mais difícil será fazê-lo parar quando estiver girando. 
O momento de inércia depende da escolha do eixo. 
Quando o corpo é uma distribuição contínua de matéria, como um cilindro ou uma placa, a 
soma se transforma em uma integral. Observe a tabela abaixo, em cada corpo dela, a densidade é 
a mesma em todos os pontos. 
 
Quando a massa não é desprezível, precisamos aprender a calcular a energia potencial 
gravitacional associada com um corpo que possui uma distribuição contínua de massas. 
gyU = M cm 
Teorema dos eixos paralelos: relação simples entre o momento de inércia em relação Icm 
ao centro de massa do corpo de massa M e o momento de inércia em relação a outro eixo Ip 
paralelo ao primeiro, porém situado a uma distância d do primeiro. 
dIp = Icm + M 2 
Quando um corpo rígido é uma distribuição contínua de massas, ele não pode ser 
representado por massas puntiformes. Nesse caso, a soma das massas e distâncias que definem o 
momento de inércia se transforma em uma integral. 
dmI = ∫
 
 
r2 
10) Dinâmica do movimento de rotação 
Torque descreve a ação giratória ou o efeito de torção de uma força. O torque resultante 
que atua sobre um corpo rígido determina sua aceleração angular, do mesmo modo que a força 
resultante sobre um corpo determina sua aceleração linear. 
Sabe-se que as forças que atuam sobre um corpo podem afetar seu movimento de 
translação, assim deve-se saber quais aspectos de uma força determina sua eficácia em causar ou 
alterar o movimento de rotação. O módulo, a direção, o sentido e o ponto de aplicação da força 
são importantes. 
O torque mostra a medida quantitativa de como a ação de uma força pode provocar ou 
alterar o movimento de rotação de um corpo. O torque sempre é medido em torno de um ponto. 
Torque positivo produz rotação no sentido anti-horário. A unidade de torque é Newton-metro, e 
não Joule, pois ele não é trabalho nem energia. 
lτ = F 
Quando uma força atua em um ponto cujo vetor posição é em relação a uma Origem F
→
 r→ 
O, o torque da força em relação ao ponto O é a grandeza vetorial.τ
→
 
r × Fτ
→
=  →
→
 
A direção de é simultaneamente perpendicular a e .τ
→
r→ F
→
 
A aceleração angular de um corpo rígido que gira é diretamente proporcional à soma dos 
componentes do torque ao longo do eixo de rotação. O fator de proporcionalidade é o momento 
de inércia. 
r m α rF 1,tg 1 =   1 z 21 
O índice inferior z é um lembrete de que o torque afeta a rotação em torno do eixo z. 
r )α∑
 
 
τiz =  ∑
 
 
(mi i
2
z 
Iα∑
 
 
τz =   z 
 
O torque resultante sobre um corpo rígido é igual ao seu momento de inércia em relação 
ao eixo de rotação vezes sua aceleração angular. 
O torque sobre cada partícula é devido à força resultante que atua sobre essa partícula, 
dada pela soma vetorial das forças internas e externas. As forças internas que um par de partículas 
exerce entre si em corpo rígido são iguais e opostas, ou seja, fornecem resultante igual a zero. 
Rotação de um corpo rígido em torno de um eixo móvel: quando o corpo translada e 
rotaciona ao mesmo tempo (movimento de translação do centro de massa e de uma rotação em 
torno de um eixo passando pelo seu centro de massa). Isso é verdade mesmo quando o centro de 
massa se acelera. 
A energia cinética de um corpo que translada e rotacional pode ser dada por: 
mv I ωK = 2
12
cm +  2
1
cm
2 
A velocidade dessa partícula em relação a um sistema de referência inercial é a soma v→ 
vetorial da velocidade do centro de massa e da velocidade da partícula relativa ao centro vcm→ vi 
→ 
de massa. 
v→ = vcm→ + vi
→ 
Rolamento sem deslizamento: o ponto sobre a roda que está em contato com a superfície 
deve permanecer instantaneamente em repouso, de modo que ele não escorrega. 
ωvcm = R 
 
 
 
Quando um carro de corrida entra inicialmente em movimento, os pneus traseiros giram 
muito rapidamente, muito embora o carro mal se mova, portanto é maior que . Se o ωR vcm 
piloto pisar no freio com bastante força, fazendo o carro derrapar, os pneus vão parar de girar e 
 será menor que .Rω  vcm 
Quando um corpo rígido muda de altura à medida que ele se move, deve-se levar em 
conta a energia potencial gravitacional. 
Partindo para o ponto de vista da dinâmica tem-se: 
 ×a∑
 
 
F ext
→
= m cm→ 
×α∑
 
 
τz = Icm z 
A soma inclui todos os torques externos em relação a esse eixo e é o momento ∑
 
 
τz Icm 
de inércia em relação a um eixo que passa pelo centro de massa. 
A equação acima vale mesmo quando o eixo de rotação se move, desde que as condições 
a seguir sejam obedecidas: * o eixo não pode mudar de direção; * o eixo que passa pelo centro de 
massa deve ser o eixo de simetria. Note que em geral esse eixo não está em repouso em um 
sistema de referencial inercial. Quando o corpo realiza os dois tipos de movimento, deve-se 
separar as equações do movimento. 
O atrito de rolamento é desprezado quando o corpo que rola e a superfície de apoio são 
corpos rígidos perfeitos. 
O trabalho realizado por um torque constante é igual ao produto do torque pelo 
deslocamento angular. Quando um torque realiza trabalho sobre um corpo rígido, a energia 
cinética varia de uma quantidade igual ao trabalho realizado. 
dθW =   ∫
θ2
θ1
τz 
×ΔθW = τz 
A variação da energia cinética da rotação de um corpo rígido é igual ao trabalho realizado 
pelas forças externas ao corpo. 
W dW IW IWW tot = ∫
W2
W1
I z z = 2
1 2
2 − 2
1 2
1 
ot ×WP = τz z 
Momento angular: grandeza vetorial designada por O valor de depende da escolha .L
→
  L
→
 
da origem O, visto que ele envolve o vetor posição da partícula em relação à origem. 
×mvL
→
= r→ → 
∙v∙lL = m 
A taxa de variação do momento angular é igual ao torque da força resultante. 
r ωLi = mi i
2 
A direção e o sentido do momento angular de cada partícula de acordo com a regra da 
mão direita são dados pelo eixo +Oz. 
Se o eixo Oz for um eixo de simetria, os componentes perpendiculares de partículas que 
estejam em lados opostos se anulam. Logo, quando um corpo gira em torno de um eixo de 
simetria, seu vetor momento angular permanece ao longo ao longo do eixo de simetria, seu L
→
 
módulo é dado por: 
ωL = I 
Assim, L e possuem a mesma direção e o mesmo sentido.ω 
Para qualquer sistemas de partículas, a taxa de variação do momento angular total é igual 
à soma dos torques de todas as forças que atuam sobre a partícula. 
∑
 
 
τ
→
= dt
dL
→
 
Quando o sistema de partículas for um corpo rígido girando em torno de um eixo de 
simetria, é constante.I 
α∑
 
 
τz = I z 
Quando o eixo de rotação não é um eixo de simetria, o momento angular em geral não é 
paralelo ao eixo. À medida que o corpo gira, o vetor descreve um cone em torno do eixo de L
→
 
rotação. 
Conservação do momento angular: quando o torque externo resultante que atua sobre um 
sistema é nulo, o momento angular do sistema permanece constante. 
ω ωI1 1z = I2 2z 
11) Equilíbrio e elasticidade 
Um corpo modelado como uma partícula está em equilíbrio quando é nula a soma vetorial 
de todas as forças que atuam sobre ele. Quando as forças atuam em pontos diferentes sobre um 
corpo com massa distribuída, outra condição é que a soma dos torques em todos os pontos seja 
nula. 
∑
 
 
F
→
= 0 
 
∑
 
 
τ
→
= 0 
O peso não atua sobre um único ponto; ele age de forma dispersa sobre todos os pontos 
do corpo. No entanto, pode-se calcular o torque do peso de um corpo supondo que o peso esteja 
concentrado em um ponto, o centro de gravidade. A aceleração devido a gravidade diminui com a 
altitude; porém, se essa variação for desprezada ao longo da vertical do corpo, o centro de 
gravidade coincide com o centro de massa. Para calcular este centro, usa-se as fórmulas: 
                                          ∑
 
i
mi
m zi 1 ∑
 
i
mi
m yi 1 ∑
 
i
mi
m ri 1 ∑
 
i
mi
m xi 1 
 Obs.: o centro de massa é definido independente da gravidade. 
O torque gravitacional total é obtido como se o peso total estive atuando no ponto dado 
pelo vetor posição .rcm→ 
 ×Pτ
→
= rcm→
→
 
Quando a gravidade atua sobre um corpo que é suportado ou suspenso em um único 
ponto, centro de gravidade deve estar diretamente abaixo, acima ou no próprio ponto de 
suspensão. Assim, pode-se ver que um corpo apoiado em diferentes pontos deve possuir seu 
centro de gravidade em algum local entre as extremidades da área delimitada pelos pontos de 
apoio. 
Quanto mais baixo for o centro de gravidade e quanto maior for a área de suporte, menor 
se torna a possibilidade de o corpo virar. 
Para que o corpo esteja em equilíbrio estático, restringindo ao plano xy, tem-se que a 
soma das forças nas componentes x e y devem ser nulas e o torque considerando o eixo z seja 
zero. 
Para cada tipo de deformação, introduz-se uma grandeza chamada tensão, que caracteriza 
a intensidade das forças que produzem a dilatação, a compressão ou a torção. Quando a tensão e 
a deformação são suficientemente pequenas, verifica-se que elas são diretamente proporcionais, 
e a constante de proporcionalidade é denominada módulo de elasticidade. 
ódulo de elasticidadeM =   tensãodeformação 
O comportamento elástico acontece quando as extremidades de uma barra, ou um fio são 
puxadas. 
ensão de dilatação  (Pa)T =  A
F 
 
A dilatação de um objeto não ocorre somente nas extremidades, todas as partes da lΔ 
barra sofrem a mesma dilatação, na mesma proporção. 
eformação de dilataçãoD =   l0
Δl 
 
Módulo de Young ou módulo de elasticidade: relaciona a tensão de dilatação com a 
deformação de dilatação. 
Y =  A
F l0
Δl 
Um material com elevado Y é relativamente não deformável. 
Quando as forças sobre as extremidades de um objeto são de puxar e não de empurrar, a 
barra está submetida a uma tensão de compressão. A deformação de dilatação é definida da 
mesma maneira que a deformação de dilatação, só que com com sentido contrário.lΔ 
Tensão volumétrica é uma pressão uniforme em todas as direções e deformação 
volumétrica é uma variação de volume. Se um objeto for imerso em um fluido em repouso, o 
fluido exercerá uma força perpendicular a superfície em todas as partes do corpo. A pressão do 
fluido aumenta com a profundidade. 
P = A
F 
. 
A pressão desempenha a mesma função da tensão em uma deformaçãovolumétrica. 
eformação volumétricaD =   V 0
ΔV 
 
Quando a Lei de Hooke é obedecida, um aumento da pressão produz uma deformação 
volumétrica proporcional. O módulo de elasticidade correspondente denomina-se módulo de 
compressão (B). 
B =   − ΔpΔV /V 0 
O inverso do módulo de compressão é denominado compressibilidade (k). 
k = 1B =   − Δp
ΔV /V 0 
Tensão de cisalhamento: quando forças de módulo igual, mas direção contrária atuam 
tangencialmente às superfícies das extremidades opostas do objeto. 
ensão de cisalhamento  T =  A
F 
A deformação de cisalhamento é definida como a razão entre o deslocamento x e a 
dimensão transversal h. 
eformação de cisalhamentoD =  xh 
Quando a Lei de Hooke é obedecida, a deformação de cisalhamento é proporcional à 
tensão de cisalhamento. O módulo de elasticidade correspondente denomina-se módulo de 
cisalhamento (S). 
S =  A
F
x
h 
O limite de proporcionalidade corresponde à tensão máxima para qual a tensão e a 
deformação são proporcionais. Além disso, a lei de Hooke não é mais válida. O limite de 
elasticidade é a tensão acima da qual ocorre deformação irreversível. A tensão de fratura ou limite 
de rigidez é a tensão acima da qual ocorre a fratura do material. 
 
 
 
 
 
12)Gravitação 
 
Lei da Gravitação: cada partícula do universo atrai qualquer outra partícula com uma força 
diretamente proporcional ao produto das respectivas massas e inversamente proporcional ao 
quadrado da distância entre as partículas. 
F g = r2
Gm m1 2 
g: aceleração da gravidade. Possui valor diferente em diferentes locais da Terra. 
G: constante universal. Relaciona a força entre dois corpos e suas massas e a distância 
entre eles. 
As forças gravitacionais constituem um par de ação e reação. 
Os corpos tendem naturalmente a possuir uma forma esférica, pois assim possuem uma 
menor distância entre si, aumentando a força de atração entre eles. Quando um corpo tem uma 
massa pequena esse efeito é bastante reduzido, visto que a força de atração é menor. 
, 7×10 N∙m /kgG = 6 6 −11 2 2 
O peso é a força de atração gravitacional exercida pela Terra sobre o corpo. O peso de um 
corpo é a força gravitacional resultante exercida por todos os corpos do universo sobre o corpo, 
mas quando o corpo está sobre a superfície terrestre, pode-se considerar apenas a atração 
exercida pela Terra. 
g = R2T
GM 
O peso aparente de um corpo na superfície terrestre difere ligeiramente da força de 
atração gravitacional exercida pela Terra porque a Terra gira e, portanto, ela não é precisamente 
um sistema de referencial inercial. 
A energia potencial gravitacional é dada por 
U =   − r
GMm 
Todas as órbitas fechadas ou são elipses ou segmentos de elipses. Para as órbitas abertas, 
o corpo afasta-se da Terra para sempre após passar o último ponto da trajetória. 
A velocidade constante que mantém um satélite em uma órbita circular é dada igualando a 
força gravitacional com a força centrípeta. 
 v =√ rGM 
Estado de imponderabilidade: estado em que seu peso aparente é nulo. Não se sabe se 
está em um campo em que a gravidade é zero ou em queda livre. Ocorre sempre que a atração 
gravitacional for a única força atuando sobre um ônibus espacial. 
T =   2πr2
3
√GM
 
A energia mecânica total em uma órbita circular é negativa e igual à metade da energia 
potencial gravitacional. 
 
Leis de Kepler: 
01)Cada planeta se move em uma órbita elíptica tal que o Sol ocupa um dos focos. 
02)A linha que liga o Sol a um planeta varre áreas iguais a intervalos de tempos iguais. 
03)O período de um planeta é proporcional à potência 3/2 do comprimento do eixo maior 
da elipse descrita pelo respectivo planeta. 
k = T
2
D3
 
Caso uma distribuição de massa M com simetria esférica possua um raio menor do que o 
raio , denominado raio de Schwarzschild, então, a atração gravitacional impede o M/cRs = G 2 
escape de qualquer tipo de matéria, incluindo a luz, do interior da esfera com raio . Tal corpo Rs 
denomina-se buraco negro.