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Do curso 65822 aula 04 v1
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Livro Eletrônico Aula 04 Estatística p/ ISS Manaus (Auditor Fiscal) Com videoaulas Jeronymo Marcondes, Arthur Lima Distribuição de Probabilidade ............................................................................................... 2 Distribuição Uniforme ........................................................................................................... 4 Distribuição Binomial e de Bernoulli ..................................................................................... 6 Distribuição de Poisson ....................................................................................................... 11 Distribuição Geométrica...................................................................................................... 13 Distribuição Hipergeométrica ............................................................................................. 14 Exercícios ............................................................................................................................. 16 Lista de exercícios resolvidos .............................................................................................. 64 Gabarito .............................................................................................................................. 81 Jeronymo Marcondes, Arthur Lima Aula 04 Estatística p/ ISS Manaus (Auditor Fiscal) Com videoaulas www.estrategiaconcursos.com.br 34821 DISTRIBUIÇÃO DE PROBABILIDADE Nós já discutimos isso, mas vamos tentar formalizar um pouco mais este conceito: Distribuição de probabilidade associa uma probabilidade a cada valor possível de uma variável. Nós já estudamos isso, veja o caso do lançamento de um dado, por exemplo: Face Probabilidade 1 1/6 2 1/6 3 1/6 4 1/6 5 1/6 6 1/6 Viu? O que este gráfico está te mostrando é: qual a probabilidade associada a cada resultado possível deste experimento. Essa é a distribuição de probabilidade deste experimento. Nós já estudamos como chegar a tais probabilidades nas aulas anteriores. -³(�VH�IRU�XPD�YDULiYHO�FRQWtQXD��SURIHVVRU´" Boa pergunta! Vamos ao exemplo de nossa aula 00, a altura dos indivíduos de uma região com uma população muito grande. Nós já sabemos que este é um caso de uma variável contínua, pois a mesma deriva de uma mensuração. Assim, eu pergunto: qual a probabilidade de que uma pessoa tenha exatamente 1,70m, sabendo que a altura dos indivíduos vai de 1,60m a 1,80m? Jeronymo Marcondes, Arthur Lima Aula 04 Estatística p/ ISS Manaus (Auditor Fiscal) Com videoaulas www.estrategiaconcursos.com.br Bom, você pode pensar que isso seria fácil, pois bastaria contar a quantidade de pessoas com 1,70m e dividir pelo total da população. Mas aí é que está o problema: há infinitas alturas possíveis. Tem uma pessoa que mede 1,701, outra que mede 1,70001, e por aí vai. Neste caso, a probabilidade de encontrar alguém com, exatamente, 1,70 é de: ܲሺ݄ ൌ ?ǡ ? ?ሻ ൌ ܿܽݏݏ�݂ܽݒݎݒ݁݅ݏݐݐ݈ܽ�݀݁�ܿܽݏݏ�ݏݏÀݒ݁݅ݏ ൌ ܿܽݏݏ�݂ܽݒݎݒ݁݅ݏ ? ൌ Pois, se você dividir qualquer número inteiro por infinito ( ?), o resultado será zero. Para qualquer valor pontual, a probabilidade será igual à zero. Assim, você teria de calcular uma probabilidade intervalar. Ou seja, qual a probabilidade de que algum determinado intervalo ocorra. Por exemplo, você poderia calcular qual a probabilidade de que alguém com altura entre 1,70m e 1,80m seja selecionado. Suponha que a população se divida da seguinte forma: Altura (m) Nº de pessoas 1,60-1,70 100 1,70-1,80 100 Neste caso, a probabilidade de encontrar alguém com altura entre 1,70m e 1,80m é de: ܲሺ݄ ൌ ?ǡ ? ?െ ?ǡ ? ?ሻ ൌ ? ? ? ? ? ?ൌ ? ? ? Perceberam? No caso de variáveis contínuas, a probabilidade estará associada a um intervalo, pois a probabilidade de ocorrência de um determinado ponto é igual à zero. Essa probabilidade de ocorrência em variáveis contínuas pode ser representada por meio da função densidade de probabilidade (ࢌሺ࢞ሻ). Por meio do gráfico definido por esta função, podemos calcular a SUREDELOLGDGH�GH�RFRUUrQFLD�GH�XP�LQWHUYDOR��1D�YHUGDGH��QyV�Mi�³PHLR´�TXH�HVWXGDPRV�LVVR�QD�DXOD� 00 quando falamos em frequência, mas vamos repassar o conceito com base em nosso exemplo de alturas: Jeronymo Marcondes, Arthur Lima Aula 04 Estatística p/ ISS Manaus (Auditor Fiscal) Com videoaulas www.estrategiaconcursos.com.br Veja, a área do retângulo referente às alturas que ficam entre 1,70m e 1,80m deve equivaler à probabilidade de sua ocorrência. No caso, a base do retângulo é de 0,1 (1,8 ± 1,7) e sua altura é de 5, sendo este o valor de ݂ሺݔሻ, portanto: ݎ݁ܽ ൌ ܾܽݏ݁ ൈ ݈ܽݐݑݎܽ ൌ ?ǡ ? ൈ ? ൌ ǡ Que é exatamente a probabilidade que calculamos. Perceba que a probabilidade de ocorrência de uma altura entre 1,60m e 1,80m é igual à 1 (100%)! No caso, as coleções de pares ordenados formados por ሺݔǡ ݂ሺݔሻሻ nos dá a distribuição de probabilidade da variável contínua. DISTRIBUIÇÃO UNIFORME Distribuição uniforme é aquela em que todos os valores possíveis para a variável aleatória ocorrem com a mesma probabilidade. Vocês já viram um exemplo nesta aula: o lançamento de um dado. Vocês viram lá em cima que a probabilidade de ocorrência de qualquer face é sempre a mesma. No caso: Jeronymo Marcondes, Arthur Lima Aula 04 Estatística p/ ISS Manaus (Auditor Fiscal) Com videoaulas www.estrategiaconcursos.com.br ܲሺݔ ൌ ?Ǣ ݔ ൌ ?Ǣ ݔ ൌ ?Ǣ ݔ ൌ ?Ǣ ݔ ൌ ?Ǣ ݔ ൌ ?ሻ ൌ ? ? Nós também vimos um caso de distribuição uniforme contínua, com um gráfico representativo de que ambos os intervalos têm a mesma chance de ocorrer: o exemplo das alturas. Essa distribuição é fácil de entender e tem propriedades muito simples. No caso do lançamento do dado, qual a média do processo? Para isso precisamos discutir o conceito de esperança matemática. 1R�OXJDU�GH�IUHTXrQFLD�UHODWLYD��FRORTXH�³SUREDELOLGDGH�GH�RFRUUrQFLD´��/HPEUH-se de que ambos os conceitos são estritamente ligados, sendo que a frequência liga-VH�DR�TXH�³Mi�RFRUUHX´��HQTXDQWR� D�SUREDELOLGDGH�QRV�GL]�R�TXH�³SRGH�RFRUUHU´��'Dt�WLUH�D�HVSHrança do processo, que não é nada além de sua média: Esperança matemática é um conceito intimamente relacionado com a média aritmética. No caso, para um dado conjunto de valores (ܺ) que vai de ଵܺ a ܺ, sua esperança é dada por: ܧሺܺሻ ൌ ଵܺ ڄ ଵ݂ ܺଶ ڄ ଶ݂ ǥ ܺ ڄ ݂ Sendo ݂ a frequência relativa de ܺ. 3HUFHEHX"�$�DSOLFDomR�GR�RSHUDGRU�³HVSHUDQoD´�D�XPD�VpULH�GH�GDGRV�QRV�GL]��HP�WHUPRV�EHP� simples, a média do que pode acontecer com esta variável. Jeronymo Marcondes, Arthur Lima Aula 04 Estatística p/ ISS Manaus (Auditor Fiscal) Com videoaulas www.estrategiaconcursos.com.br ܧሺݔሻ ൌ ? ൈ ? ? ? ൈ ? ? ? ൈ ? ? ? ൈ ? ? ? ൈ ? ? ? ൈ ? ?ൌ E a variância do processo? Ora, lembrem-se da propriedade ensinada na aula 01: ܸܽݎ݅݊ܿ݅ܽ ൌ ݉±݀݅ܽ�݀ݏ�ݍݑܽ݀ݎܽ݀ݏ െ ݍݑܽ݀ݎܽ݀�݀ܽ�݉±݀݅ܽ Mas, nós já temos a média, que é a esperança do processo (ܧሺݔሻ). Agora fica fácil ver que: ܸܽݎ݅݊ܿ݅ܽ ൌ ܸܽݎሺݔሻ ൌ ࡱሺ࢞ሻ െ ሾࡱሺ࢞ሻሿ ? $JRUD�p�Vy�DSOLFDU�D�³IyUPXOD´��Só falta calcular (ܧሺݔଶሻ): ܧሺݔ ?ሻ ൌ ? ? ൈ ? ? ? ? ൈ ? ? ? ? ൈ ? ? ? ? ൈ ? ? ? ? ൈ ? ? ? ? ൈ ? ?ൌ ૢ Portanto: ܸܽݎሺݔሻ ൌ ܧሺݔଶሻ െ ሾܧሺݔሻሿଶ ൌ ? ? ? െ ൬ ? ? ?൰ଶ ൌ ? ? ? ? ? Essa é a distribuição mais fácil. Basta ver quando a probabilidade de todos os elementos do espaço amostral é igual. DISTRIBUIÇÃO BINOMIAL E DE BERNOULLI A distribuição de Bernoulli se caracteriza pela existência de dois eventos, mutuamente exclusivos: sucesso ou fracasso. -³&RPR�DVVLP��SURIHVVRU´" Jeronymo Marcondes, Arthur Lima Aula 04 Estatística p/ ISS Manaus (Auditor Fiscal)Com videoaulas www.estrategiaconcursos.com.br Simples, o nosso experimento pode ter 2 resultados: um resultado que ocorre com probabilidade (���TXH�SRGH�VHU�GHQRPLQDGR�³VXFHVVR´��H�RXWUR�FRP�SUREDELOLGDGH�� ? െ ), que pode ser chamado de fracasso. Um exemplo clássico seria o lançamento de uma moeda. Se apostarmos que este lançamento terá ³FDUD´� FRPR� UHVXOWDGR�� HQWmR� WHPRV� � ൌ ?ǡ ?) FKDQFHV� GH� ³VXFHVVR´� H� � ? െ ൌ ?ǡ ?) chances de ³IUDFDVVR´� 2X� VHMD�� D� GLVWULEXLomR�GH� %HUQRXOOL�p� DTXHOD� HP� TXH� ³RX� p� XP� RX� p� RXWUR´�� QR� VHQWLGR� TXH� RX� acertamos ou erramos, não há meio termo, sendo que nossa chance de acerto é dada por () e de erro por ( ? െ ). Neste caso, qual a média do processo? Ora, pode-se provar que: ࡱሺ࢞ሻ ൌ Com efeito, a esperança do processo é igual à probabilidade de ocorrência de sucesso. Não acredita? Vamos provar calculando a média do processo tirando sua esperança! No nosso exemplo, se atribuirmos o valor 1 para o caso de sucesso e o valor 0 para o fracasso, temos que: ܧሺݔሻ ൌ ଵܺ ڄ ଵ݂ ܺଶ ڄ ଶ݂ ൌ ? ڄ ?ǡ ? ? ڄ ?ǡ ? ൌ ?ǡ ? Outra característica importante de uma distribuição é sua variância! Do resultado acima fica fácil ver que: ࢂࢇ࢘ሺ࢞ሻ ൌ െ ? Isso porque: ܸܽݎሺݔሻ ൌ ܧሺݔଶሻ െ ሾܧሺݔሻሿ ? Se ݔ ൌ ? para sucesso e ݔ ൌ ? para fracasso: Jeronymo Marcondes, Arthur Lima Aula 04 Estatística p/ ISS Manaus (Auditor Fiscal) Com videoaulas www.estrategiaconcursos.com.br ܸܽݎሺݔሻ ൌ ܧሺݔଶሻ െ ሾܧሺݔሻሿଶ ൌ ܧሺݔሻ െ ሾܧሺݔሻሿଶ ൌ െ ? Beleza? Mas, o caso da distribuição de Bernoulli é um caso particular de outra distribuição, chamada distribuição binomial. Pois, se repetíssemos um experimento de Bernoulli ݊ vezes, como se dariam as probabilidades de ocorrência? Quer um exemplo? E se nós jogássemos a moeda duas vezes, qual a probabilidade de obtermos duas caras? Veja que esse não é mais um experimento de Bernoulli, pois o estamos realizando mais de uma vez! Para respondermos esta questão, vamos listar como seria o espaço amostral deste experimento (ȳ)? ȳ ൌ ሺܿܽݎܽǡ ܿܽݎܽሻǢ ሺܿܽݎܽǡ ܿݎܽሻǢ ሺܿݎܽǡ ܿܽݎܽሻǢ ሺܿݎܽǡ ܿݎܽሻ Assim, as probabilidades são: ܲሺ ?�ܿܽݎܽݏሻ ൌ ? ? ܲሺ ?�ܿݎܽݏሻ ൌ ? ? ܲሺ ?�ܿܽݎܽ�݁� ?�ܿݎ ሻܽ ൌ ? ? Neste caso, podemos perceber que: ܲሺ ?�ݏݑܿ݁ݏݏݏሻ ൌ ? ܲሺ ?�݂ݎܽܿܽݏݏݏሻ ൌ ሺ ? െ ሻ ? ሺ ? െ ሻ ܲሺ ?�ݏݑܿ݁ݏݏ�݁� ?�݂ݎܽܿܽݏݏሻ ൌ ? ڄ ? ሺ ? െ ሻ O número 2 (dois) que multiplica o último membro se refere ao fato de que há duas possibilidades de obtermos 1 sucesso e 1 fracasso, ሺܿܽݎܽǡ ܿݎܽሻ ou ሺܿݎܽǡ ܿܽݎܽሻ. Jeronymo Marcondes, Arthur Lima Aula 04 Estatística p/ ISS Manaus (Auditor Fiscal) Com videoaulas www.estrategiaconcursos.com.br E se você jogar 3 (três) vezes? ȳ ൌ ሺܿܽݎܽǡ ܿܽݎܽǡ ܿܽݎܽሻǢ ሺܿܽݎܽǡ ܿݎܽǡ ܿܽݎܽሻǢ ሺܿݎܽǡ ܿܽݎܽǡ ܿܽݎܽሻǢ ሺܿܽݎܽǡ ܿݎܽǡ ܿݎܽሻǢ ሺܿݎܽǡ ܿܽݎܽǡ ܿݎܽሻǢ ሺܿݎܽǡ ܿݎܽǡ ܿܽݎܽሻǢ ሺܿܽݎܽǡ ܿܽݎܽǡ ܿܽݎܽሻǢ ሺܿݎܽǡ ܿݎܽǡ ܿݎܽሻ Assim, as probabilidades seriam: ܲሺ ?�ܿܽݎܽݏሻ ൌ ڄ ڄ ൌ ? ?ڄ ? ?ڄ ? ?ൌ ? ? ܲሺ ?�ܿݎܽݏሻ ൌ ሺ ? െ ሻ ڄ ሺ ? െ ሻ ڄ ሺ ? െ ሻ ൌ ? ? ܲሺ ?�ܿܽݎܽ�݁� ?�ܿݎܽݏሻ ൌ ? ڄ ڄሺ ? െ ሻ ڄ ሺ ? െ ሻ ൌ ? ? ܲሺ ?�ܿܽݎܽݏ�݁� ?�ܿݎ ሻܽ ൌ ? ڄ ڄ ڄሺ ? െ ሻ ൌ ? ? Bom, daí você percebe que a probabilidade de qualquer resultado pode ser generalizada da seguinte forma: ܲሺڄሻ ൌ ሺ ? െ ሻି Sendo ݇ o número de sucessos, ݊ o número de experimentos e ݊ െ ݇ o número de fracassos. Isso porque os experimentos são independentes. Essa é uma pressuposição da distribuição binomial e de Bernoulli: os experimentos devem ser independentes. O problema é que qualquer sequência com ݇ sucessos e ݊ െ ݇�fracassos terá a mesma probabilidade acima descrita, tal como no exemplo de dois lançamentos da moeda, no qual há dois eventos em que há 1 sucesso: ሺܿܽݎܽǡ ܿݎܽሻ e ሺܿݎܽǡ ܿܽݎܽሻ! Então, nós precisamos multiplicar esta probabilidade encontrada pela quantidade de combinações em que há a quantidade de Jeronymo Marcondes, Arthur Lima Aula 04 Estatística p/ ISS Manaus (Auditor Fiscal) Com videoaulas www.estrategiaconcursos.com.br sucessos desejada (lembrar de análise combinatória). No exemplo de 1 sucesso em dois lançamentos, podemos fazer: ܲሺ ?�ܿܽݎܽ�݁� ?�ܿݎ ሻܽ ൌ ܥଶǡଵ ڄ ڄ ሺ ? െ ሻ ൌ ? ڄ ? ?ൌ ? ? Ou seja, nós queremos multiplicar a probabilidade de ocorrência de um determinado tipo de sucesso pela quantidade de vezes que este ocorre de diferentes formas, no exemplo, ሺܿܽݎܽǡ ܿݎܽሻ e ሺܿݎܽǡ ܿܽݎܽሻ, o que corresponde a 1 sucesso. Assim, para este caso, multiplicaríamos a probabilidade de ocorrência pela quantidade de combinações possíveis de 1 sucesso em 2 experimentos. Portanto, podemos generalizar: ܲሺݏݑܿ݁ݏݏݏ ൌ ݇ሻ ൌ ܥǡ ڄ ڄ ሺ ? െ ሻି -³%HOH]D�SURIHVVRU��Mi�HQWHQGL�FRPR�FDOFXODU�D�SUREDELOLGDGH�GH�RFRUUrQFLD�GH� sucessos em H[SHULPHQWRV´� Ótimo! Mas, ainda falta definir quais são as expressões que definem a média e a variância em um processo deste tipo. Como a distribuição binomial corresponde à ݊ experimentos de Bernoulli, pode- se provar que: Muito parecido com os resultados para a distribuição de Bernoulli. Não está acreditando? Vamos calcular a média do processo para o caso de dois lançamentos, se atribuirmos o valor 1 para 1 sucesso e 2 para 2 sucessos: ࡱሺ࢞ሻ ൌ ڄ ࢂࢇ࢘ሺ࢞ሻ ൌ ? ሺ െ ሻ Jeronymo Marcondes, Arthur Lima Aula 04 Estatística p/ ISS Manaus (Auditor Fiscal) Com videoaulas www.estrategiaconcursos.com.br ܧሺݔሻ ൌ ? ڄ ? ? ? ڄ ? ? ? ڄ ? ?ൌ ൌ ڄ Calculando a esperança dos quadrados: ܧሺݔ ?ሻ ൌ ? ? ڄ ? ? ?ଶ ڄ ? ? ? ڄ ? ?ൌ ǡ A partir daí podemos calcular a variância: ܸܽݎሺݔሻ ൌ ܧሺݔଶሻ െ ሾܧሺݔሻሿଶ ൌ ?ǡ ? െ ? ൌ ǡ ൌ ڄ ሺ െ ሻ Entendeu? Vamos estudar mais um tipo de distribuição, mas antes dê uma paradinha! Lembre-se que sempre é bom dar uma parada após algum tempo de estudo seguido, caso contrário, você perderá muita concentração. DISTRIBUIÇÃO DE POISSON A distribuição de Poisson é uma generalização da distribuição binomial quando ݊ é muito grande e é pequeno. Não entendeu? Veja, qual a probabilidade de o telefone da sua casa tocar nos próximos 300 segundos? Esse é um exemplo em que podemos utilizar a distribuição de Poisson! Trata-se da análise de um evento em que podemos ter sucesso (tocar o telefone) ou não, porém, devido ao fato de a probabilidade ser muito baixa e o número de experimentos ser grande, pode-se aproximar a distribuição binomial pela seguinte forma: ܲሺݏݑܿ݁ݏݏݏ ൌ ݇ሻ ൌ ݁ି ڄ ሺ݊ ? ሻ݇Ǩ Sendo ݁ um número real que vale aproximadamente 2,7. Jeronymo Marcondes, Arthur Lima Aula 04 Estatística p/ ISS Manaus (Auditor Fiscal) Com videoaulas www.estrategiaconcursos.com.br Muitas vezes, os livros textos substituem o operador ݊ ڄ SHOD�OHWUD�JUHJD�³ODPEGD´��ߣ). Assim: ܲሺݏݑܿ݁ݏݏݏ ൌ ݇ሻ ൌ ݁ିఒ ڄ ሺߣሻ݇Ǩ -³0DV��TXDQGR�HX�GHFLGR�VH�XVR�GLVWULEXLomR�ELQRPLDO�RX�GH�3RLVVRQ�HP�XPD�SURYD´" Normalmente, a banca vai te falar. Nós iremos realizar alguns exercícios que vão facilitar sua vida e você vai pegar o jeito, mas a minha dica é a seguinte: Porque isso? O negócio é o seguinte, quando você avalia a probabilidade de ocorrência de um evento em um intervalo de tempo, por exemplo, é como se você dividisse o tempo em intervalos bem pequenos, o que tornaria a probabilidade de ocorrência muito pequena. No exemplo do telefone tocar, a probabilidade de que o telefone toque em um determinado segundo é muito pequena mesma, apesar de estarmos avaliando 300 segundos! Assim, como o nosso é muito pequeno, ( ? െ ) se aproxima de 1. Portanto, sabendo que (݊ ڄ ൌߣ) e que a distribuição de Poisson é uma generalização da binomial: ࡱሺ࢞ሻ ൌ ࣅ ࢂࢇ࢘ሺ࢞ሻ ൌ ڄ ሺ െ ሻ ൌ ڄ ڄ ሺ െ ሻ ൌ ڄ ൌ ࣅ Portanto, a distribuição de Poisson tem a característica de quesua média e sua variância são iguais! Em geral, utilize a distribuição binomial. Mas, quando o exercício quiser saber a probabilidade de ocorrência ou de encontrar algo em uma área ou espaço de tempo, use distribuição de Poisson. Jeronymo Marcondes, Arthur Lima Aula 04 Estatística p/ ISS Manaus (Auditor Fiscal) Com videoaulas www.estrategiaconcursos.com.br DISTRIBUIÇÃO GEOMÉTRICA A distribuição geométrica é facilmente entendida com base em nossos conhecimentos prévios da distribuição binomial. 6XSRQKD�TXH�UHDOL]HPRV�XP�H[SHULPHQWR�GH�%HUQRXOOL�³;´�YH]HV�DWp�REWHUPRV�³VXFHVVR´��1HVWH� FDVR��³;´�p�XPD�YDULiYHO�FRP�GLVWULEXLomR�JHRPpWULFD��3RU�H[HPSOR��³;´�SRGH� indicar o número de vezes em que temos de lançar uma moeda até obtermos a primeira cara. Neste exemplo, a chance de obtermos a primeira cara na k-ésima jogada é de: ࡼሺ࢙࢛ࢉࢋ࢙࢙�ࢇ� െ ±࢙ࢇ�ࢍࢇࢊࢇሻ ൌ ሺ െ ሻି ൈ Ora, isso é possível de deduzir. Imagine que queiramos saber a probabilidade de que a primeira cara ocorra na 3ª jogada. Sem olhar a fórmula, como você faria? Bom, você calcularia a probabilidade de que ocorressem 2 coroas seguidas, que é de: ൬ ? ?൰ ൈ ൬ ? ?൰ ൌ ? ? Daí você multiplicaria tal resultado pela probabilidade de uma cara, que é de: ? ? Assim: ? ?ൈ ? ?ൌ ૡ Mas, isso é a própria fórmula: ܲሺݏݑܿ݁ݏݏ�݊ܽ�݇ െ ±ݏ݅݉ܽ�݆݃ܽ݀ܽሻ ൌ ሺ ? െ ሻିଵ ൈ ൌ ൬ ? ?൰ଷିଵ ൈ ? ?ൌ ? ? Simples, não? Essa distribuição não costuma se muito cobrada em prova, mas vamos prevenir. Jeronymo Marcondes, Arthur Lima Aula 04 Estatística p/ ISS Manaus (Auditor Fiscal) Com videoaulas www.estrategiaconcursos.com.br Assim, pode-se provar que, para uma variável (ࢄ) com distribuição geométrica: ࡱሺࢄሻ ൌ ࢂࢇ࢘ሺࢄሻ ൌ െ DISTRIBUIÇÃO HIPERGEOMÉTRICA A distribuição hipergeométrica refere-se à probabilidade de que, ao retirarmos, sem reposição��³Q´� HOHPHQWRV�GH�XP�FRQMXQWR�GH�³1´��VDLDP�³N´�elementos com o atributo sucesso. Sabendo-VH�³V´� HOHPHQWRV�SRVVXHP�R�DWULEXWR�VXFHVVR�H�TXH�³N ± V´ não o possuem, fica claro que a probabilidade de sucesso () é: ൌ ܰݏ Assim, ao retirarmos uma amostra de n HOHPHQWRV��TXDO�D�SUREDELOLGDGH�GH�TXH�³N´ VHMDP�³VXFHVVR´� H�³n ± N´�VHMDP�³IUDFDVVR´" %RP��R�WRWDO�GH�SRVVLELOLGDGHV�p�XPD�FRPELQDomR�GH�³1´�elementos em JUXSRV�GH�³Q´. Assim: ܥேǡ 2�WRWDO�GH�SRVVLELOLGDGHV�GH�REWHUPRV�³N´�sucessos do WRWDO�GH�³V´�elementos é: ܥ௦ǡ 3RU�RXWUR�ODGR��R�WRWDO�GH�SRVVLELOLGDGHV�GH�REWHUPRV�³n-k´�fracassos GH�XP�WRWDO�GH�³N-s´�HOHPHQWRV� com característica de fracasso é de: ܥேି௦ǡି Jeronymo Marcondes, Arthur Lima Aula 04 Estatística p/ ISS Manaus (Auditor Fiscal) Com videoaulas www.estrategiaconcursos.com.br Portanto, a probabilidade (ሺ݇�ݏݑܿ݁ݏݏݏ�݁�݊ െ ݇�݂ݎܽܿܽݏݏݏሻ) de, ao retirarmos uma amostra de n elementos, sem reposição��³k´�VHUHP�GH�VXFHVVR�H�³n-k´�VHUHP�GH�IUDFDVVR�p�GH� ሺ�࢙࢛ࢉࢋ࢙࢙࢙�ࢋ� െ �ࢌ࢘ࢇࢉࢇ࢙࢙࢙ሻ ൌ ࢙ǡ ൈ ࡺି࢙ǡିࡺǡ Esse é outro tópico que não é muito cobrado em concurso, mas que é importante conhecer. Na seção de exercícios, vamos fazer um exercício que vai fazer com que vocês entendam direitinho. Veja que essa distribuição é muito semelhante à binomial, mas acontece que ela não tem reposição. Assim, pode-se provar que, para uma variável (ࢄ) com distribuição hipergeométrica: ࡱሺࢄሻ ൌ ? ࢂࢇ࢘ሺࢄሻ ൌ ڄ ڄ ሺ െ ሻ ڄ ൬ࡺ െ ࡺ െ ൰ 9LUDP�TXH�DV�H[SUHVV}HV�VmR�EHP�SDUHFLGDV"�$�~QLFD�GLIHUHQoD�p�R�µ´IDWRU�GH�DMXVWH´�Ga variância ቀேିேିଵቁ. Jeronymo Marcondes, Arthur Lima Aula 04 Estatística p/ ISS Manaus (Auditor Fiscal) Com videoaulas www.estrategiaconcursos.com.br EXERCÍCIOS 1 - FCC ± TRT/11 ± 2017) Num lote de 20 peças, as proporções de peças boas, com pequenos defeitos e com grandes defeitos são, 0,7, p e q, respectivamente. Sabe-se que p > q. Uma amostra aleatória, sem reposição, de 3 peças é selecionada. A probabilidade da amostra conter exatamente duas peças defeituosas é igual a a) 3/19 b) 5/39 c) 7/38 d) 3/17 e) 1/19 RESOLUÇÃO: A proporção de peças defeituosas é dada pela soma da proporção de peças com pequenos defeitos com a proporção de peças com grandes defeitos, ou seja, proporção de peças defeituosas = p + q = 1 ± 0,7 = 0,3 Como as peças são retiradas sem reposição, concluímos que se trata de uma distribuição hipergeométrica. A probabilidade pk de uma distribuição geométrica é dada pela fórmula abaixo: ୩ ൌ ൫୰୩൯ ?൫ି୰୬ି୩൯൫୬൯ Onde: r: número total de peças com defeitos = 0,3 x 20 = 6 k: número de peças retiradas com defeito na amostra = 2 N: número total de peças no lote = 20 n: número total de peças da amostra = 3 pk: probabilidade de se retirar k peças com defeito em uma amostra de 3 peças. Logo, temos que: Jeronymo Marcondes, Arthur Lima Aula 04 Estatística p/ ISS Manaus (Auditor Fiscal) Com videoaulas www.estrategiaconcursos.com.br ଶ ൌ ൫ଶ൯ ?൫ଶିଷିଶ ൯൫ଶଷ ൯ ൌ ൫ଶ൯ ?൫ଵସଵ ൯൫ଶଷ ൯ ଶ ൌ ? ? ? ? ? ? ? ? ?ൌ ? ? ? ? ? ? ?ൌ ? ? ? Portanto, concluímos que a alternativa C é o gabarito da questão. Resposta: C 2 - SEFAZ-ES ± CESPE/2013) O número de reclamações diárias registradas por uma central de atendimento ao cidadão for uma variável aleatória que segue a distribuição de Poisson com média igual a ln10, então a probabilidade P(N= 0) será igual a a) 0,09 b) 0,14 c) 0,18 d) 0,1 e) 0,05 Resolução: Em primeiro lugar, nós sabemos que se trata de uma distribuição de Poisson, portanto, a média do processo é equivalente à variável (ߣ). No caso, o exercício quer saber a probabilidade de 0 (zero) sucessos. Vamos usar a fórmula: ܲሺݏݑܿ݁ݏݏ ൌ ݇ ൌ ?ሻ ൌ ݁ିఒ ? ߣ݇Ǩ No caso, substituindo os valores: ܲሺݏݑܿ݁ݏݏ ൌ ݇ ൌ ?ሻ ൌ ݁ିଵ ?ሺ݈݊ ? ?ሻ ?Ǩ ൌ ݁ିଵ Jeronymo Marcondes, Arthur Lima Aula 04 Estatística p/ ISS Manaus (Auditor Fiscal) Com videoaulas www.estrategiaconcursos.com.br Veja, este ݈݊ trata-se do logaritmo neperiano! Ou seja, ݈݊ de um número qualquer é: o valor a que YRFr�GHYH�HOHYDU�³݁´ (chamado de neper e que, como vimos, tem valor próximo a 2,7) a fim de resultar neste número. Por exemplo: ݔ ൌ ݈݊�ሺ ?ሻ Isso significa que: ࢋ࢞ ൌ Assim, sempre que você vir ݁ elevado a ݈݊, o resultado é o número na frente do ݈݊. Por exemplo: ݁ଶ ൌ ? Entendeu? Agora vamos voltar ao exercício. ܲሺݏݑܿ݁ݏݏ ൌ ݇ ൌ ?ሻ ൌ ݁ିଵ ൌ ?݁ଵ ൌ ? ? ?ൌ ǡ O gabarito original não tinha a resposta correta, mas neste nosso exemplo modificado, alternativa (d). Resposta: d (Polícia Federal ± CESPE\2012) Dez policiais federais ² dois delegados, dois peritos, dois escrivães e quatro agentes ² foram designados para cumprir mandado de busca e apreensão em duas localidades próximas à superintendência regional. O grupo será dividido em duas equipes. Para tanto, exige-se que cada uma seja composta, necessariamente, por um delegado, um perito, um escrivão e dois agentes. Considerando essa situação hipotética, julgue os itens que se seguem. Jeronymo Marcondes, Arthur Lima Aula 04 Estatística p/ ISS Manaus (Auditor Fiscal) Com videoaulas www.estrategiaconcursos.com.br Exercício 3 Se todos os policiais em questão estiverem habilitados a dirigir, então, formadas as equipes, a quantidade de maneiras distintas de se organizar uma equipe dentro de um veículo com cinco lugares ² motorista e mais quatro passageiros ² será superior a 100. Resolução: Pessoal, perceba que o exercício trata de uma única equipe no carro, então, cuidado, pois você pode acabar querendo fazer combinação com todos os policiais! Se você pode dispor uma equipe de 5 pessoas, para uma equipe, as formas diferentes de organizá-la dentro do carro é uma permutação de 5 elementos. Assim: ?Ǩ ൌ ? ൈ ? ൈ ? ൈ ? ൈ ? ൌ ? ? ? Entretanto, ocorreto seria utilizar permutação com repetição, já que há 2 agentes! ?Ǩ ?Ǩൌ ? ൈ ? ൈ ? ൈ ? ൈ ? ? ൈ ? ൌ ? ? Mas, isso não bate com o gabarito. A questão deveria ter sido anulada. Gabarito: Verdadeiro Exercício 4 Há mais de 50 maneiras diferentes de compor as referidas equipes. Resolução: Neste caso, fica fácil resolver o exercício pelo princípio fundamental da contagem! No caso: Jeronymo Marcondes, Arthur Lima Aula 04 Estatística p/ ISS Manaus (Auditor Fiscal) Com videoaulas www.estrategiaconcursos.com.br Cada bolinha é uma representação das combinações possíveis para cada carreira. Assim, a EROLQKD�³DJHQWH´��SRU�H[HPSOR��p�D�TXDQWLGDGH�GH�FRPELQDo}HV�TXH�SRGHP�VHU�UHDOL]DGDV� com agentes. Facilitando, para escrivão, perito e delegado só existem 2 combinações para cada, afinal, só há duas pessoas com essas patentes no total! Mas, para agente, a quantidade de combinações de duplas possíveis é: ܥସǡଶ ൌ ?Ǩ ?Ǩ ?Ǩൌ ? ൈ ? ? ൌ ? Portanto, é possível fazer 6 duplas diferentes com os 4 agentes. Assim, com base no nosso diagrama de bolinhas: ࡱ࢛ࢋ࢙�ࢊࢌࢋ࢘ࢋ࢚ࢋ࢙ ൌ ൈ ൈ ൈ ൌ ૡ Gabarito: Falsa Exercício 5 Se cinco dos citados policiais forem escolhidos, aleatoriamente e independentemente dos cargos, então a probabilidade de que esses escolhidos constituam uma equipe com a exigência inicial será superior a 20%. Resolução: Com base no exercício anterior nós já sabemos que há 48 formas diferentes de compormos equipes no formato desejado, ou seja, 1 perito, 1 escrivão, 1 delegado e 2 agentes. Se nós já sabemos o total de combinações que desejamos, precisamos saber o total de combinações possíveis, pois, assim, poderemos calcular a probabilidade de ocorrência das combinações desejadas. O total de combinações possíveis é uma combinação de 10 elementos em grupos de 5: Jeronymo Marcondes, Arthur Lima Aula 04 Estatística p/ ISS Manaus (Auditor Fiscal) Com videoaulas www.estrategiaconcursos.com.br ܥଵǡହ ൌ ? ?Ǩ ?Ǩ ?Ǩൌ ? ?ൈ ? ൈ ? ൈ ? ൈ ? ? ൈ ? ൈ ? ൈ ? ൈ ?ൌ ? ൈ ? ൈ ? ൈ ? ൈ ? ൌ Assim: ܲሺ݃ݎݑݏ�݊�݂ݎ݉ܽݐ�݀݁ݏ݆݁ܽ݀ሻ ൌ ? ? ? ? ?؆ ?ǡ ? ? Gabarito: Falsa 6 - FGV ± MPE/BA ± 2017) Um criminoso está avaliando se vale a pena ou não recorrer ao instituto da colaboração premiada. Caso não recorra, a sua probabilidade de ser condenado é igual a p, com 12 anos de reclusão. Se resolver delatar, pode pegar 6 anos de prisão, com probabilidade de 0,4, ou 10 anos, com a probabilidade complementar. Supondo que a decisão será tomada com base na esperança matemática da pena, o criminoso deve: a) não delatar se o valor de p for inferior a 0,75; b) delatar se o valor de p for superior a 0,55; c) não delatar caso o valor de p seja superior a 0,80; d) mostrar-se indiferente caso o valor de p seja 0,70; e) delatar caso o valor de p seja inferior a 0,60. RESOLUÇÃO: Chamando de X o número de anos de reclusão do criminoso e de E(X) a esperança de X, ou seja, o número médio de anos de reclusão do criminoso, temos o seguinte cenário: 1) Se o criminoso não recorre ao instituto da colaboração premiada, E(X) é dada por: E(X) = 12p 2) Se o criminoso recorre ao instituto da colaboração premiada (resolve delatar), E(X) é dada por: (�;�� ��Â��������Â���± 0,4) = 2,4 + 6 = 8,4 anos Jeronymo Marcondes, Arthur Lima Aula 04 Estatística p/ ISS Manaus (Auditor Fiscal) Com videoaulas www.estrategiaconcursos.com.br Ao igualar a E(X) caso o criminoso delate e caso não delate chegamos ao seguinte valor para p: 12p = 8,4 p = 8,4/12 = 0,7 Portanto, para p = 0,7, tomando como base na esperança matemática da pena, é indiferente para o criminoso delatar ou não, pois em ambos os casos a média de anos de reclusão esperada é a mesma (8,4 anos). Para valores de p menores que 0,7 o criminoso não deve recorrer ao instituto da colaboração premiada, pois a média de anos de reclusão caso não delate será menor que 8,4 anos (média esperada caso resolva delatar). Já para valores de p maiores que 0,7, o criminoso deve recorrer ao instituto de colaboração premiada, pois a média de anos de reclusão caso não delate será maior que 8,4 anos. Portanto, a alternativa D é o gabarito da questão. Resposta: D 7 - FGV ± MPE/BA ± 2017) Suponha que um sorteio seja realizado entre duas turmas de desembargadores, uma com 7 e outra com 9 membros, para saber qual delas examinará a questão da redução da maioridade penal. Na menor turma 4 juízes são contrários, enquanto na maior apenas 2 acham que a maioridade não deve ser reduzida. Depois de sorteada a turma, um juiz é escolhido, de forma aleatória, para atuar como o relator. Ele é a favor da redução. Então, a probabilidade de que a turma menor tenha sido a escolhida é: a) 49/76; b) 9/15; c) 2/9; d) 27/76; e) 6/15. RESOLUÇÃO: Para a resolução dessa questão faremos uso da probabilidade condicional. O que a questão nos pede é a probabilidade de a turma menor ter sido a sorteada, dado que o juiz escolhido é a favor da redução da maioridade penal: Jeronymo Marcondes, Arthur Lima Aula 04 Estatística p/ ISS Manaus (Auditor Fiscal) Com videoaulas www.estrategiaconcursos.com.br �ሺ��� ?����ሻ ൌ �ሺ� ת ��ሻ�ሺ��ሻ A questão nos diz que temos 2 turmas de desembargadores (logo cada uma pode ser sorteada com a mesma probabilidade), e que na turma menor (7 juízes) há 4 juízes contra a redução da maioridade penal, logo 7 ± 4 = 3 juízes dessa turma são a favor da redução. Há ainda a informação de que na turma maior (9 juízes) há 2 juízes contra a redução da maioridade penal, assim 9 ± 2 = 7 juízes dessa turma são a favor da redução. Portanto, temos que: �ሺ�ሻ ൌ �ሺ�ሻ ൌ ? ? �ሺ��� ?��ሻ ൌ ? ? �ሺ��� ?��ሻ ൌ ? ? �ሺ��ሻ ൌ �ሺ��� ת ��ሻ �ሺ��� ת ��ሻ �ሺ��� ת ��ሻ ൌ �ሺ�ሻ ? �ሺ��� ?��ሻ �ሺ��� ת ��ሻ ൌ ? ? ? ? ?ൌ ? ? ? �ሺ��� ת ��ሻ ൌ �ሺ�ሻ ? �ሺ��� ?��ሻ �ሺ��� ת ��ሻ ൌ ? ? ? ? ?ൌ ? ? ? Logo, temos que: �ሺ��ሻ ൌ ? ? ? ? ? ?ൌ ? ? ? ? ? ? ? ൌ ? ? ? ? ? Agora temos todos os dados necessários para o cálculo da probabilidade que buscamos: �ሺ��� ?����ሻ ൌ ? ? ? ? ? ? ? ?ൌ ? ? ? ? ? ? ? ? ?ൌ ? ? ? ? Portanto, a alternativa D é o gabarito da questão. Resposta: D Jeronymo Marcondes, Arthur Lima Aula 04 Estatística p/ ISS Manaus (Auditor Fiscal) Com videoaulas www.estrategiaconcursos.com.br 8 - TJ\RO ± CESGRANRIO/2008) Uma urna contem 10 bolas, cada uma gravada com um número GLIHUHQWH�GH���D�����8PD�EROD�p�UHWLUDGD�DOHDWRULDPHQWH�H�XP�³;´�p�PDUFDGR�QD�PHVPD��;�p�XPD� variável aleatória: a) Com desvio padrão de 10 b) Com 1º quartil de 0,25 c) Com média de 5 d) Com distribuição de probabilidade uniforme e) Com distribuição de probabilidade assimétrica Resolução: Veja, todas as possíveis realizações decorrentes da extração de uma bola têm a mesma probabilidade. O que é isso? Distribuição uniforme. Resposta: d (FINEP ± CESPE/2009) Uma empresa produz determinado tipo de peça. A probabilidade de cada peça ser perfeita é de 0,7, e a probabilidade de cada peça ser defeituosa é de 0,3. Tomando 0,06, 0,17 e 0,24 como valores aproximados de ?ǡ ?଼, ?ǡ ?ହ e ?ǡ ?ସ, respectivamente, julgue as afirmativas. Exercício 9 Na produção de 400 itens o número esperado de peças defeituosas é de 150. Resolução: 3HVVRDO�� QyV� HVWDPRV� WUDWDQGR� GH� XPD� GLVWULEXLomR� ELQRPLDO�� FRP� R� HYHQWR� ³HQFRQWUDU� SHoD� GHIHLWXRVD´�FRPR�VXFHVVR�portanto: ܧሺݔሻ ൌ ݊ ? Assim: Jeronymo Marcondes, Arthur Lima Aula 04 Estatística p/ ISS Manaus (Auditor Fiscal) Com videoaulas www.estrategiaconcursos.com.br ܧሺݔሻ ൌ ݊ ? ൌ ? ? ? ? ?ǡ ? ൌ Resposta: Falsa Exercício 10 A probabilidade de que uma amostra aleatória de 10 peças contenha exatamente 8 peças perfeitas é menor que 10%. Resolução: 9HMD�TXH�DJRUD��QRVVR�³VXFHVVR´�p�HQFRQWUDU uma peça sem defeito (perceba que tanto faz definir quem é sucesso ou fracasso, teste para ver). Assim, vamos utilizar nossa fórmula para distribuição binomial: ܲሺݏݑܿ݁ݏݏݏ ൌ ݇ሻ ൌ ܥǡ ڄ ڄ ሺ ? െ ሻି Substituindo os valores: ܲሺݏݑܿ݁ݏݏݏ ൌ ݇ሻ ൌ ܥଵǡ଼ ڄ ?ǡ ?଼ ڄ ሺ ?ǡ ?ሻଶ ൌ ? ?Ǩሺ ?ሻǨ ?Ǩ ? ?ǡ ? ? ? ?ǡ ? ?ൌ ǡ Resposta: Falsa Exercício 11 A probabilidade de que uma amostra aleatória de 5 peças contenha, (no máximo), 2 peças defeituosas é maior que 70%. Jeronymo Marcondes, Arthur Lima Aula 04 Estatística p/ ISS Manaus (Auditor Fiscal) Com videoaulas www.estrategiaconcursos.com.br Resolução: Vamos refazer o cálculo anterior com as mudanças requisitadas, só que agora estamos procurando ��³VXFHVVRV´�HP�XPD�DPRVWUD�GH���SHoDV� ܲሺݏݑܿ݁ݏݏݏ ൌ ݇ሻ ൌ ܥǡ ڄ ڄ ሺ ? െ ሻି Substituindo os valores: ܲሺݏݑܿ݁ݏݏݏ ൌ ?ሻ ൌ ܥହǡଷ ڄ ?ǡ ?ଷ ڄ ?ǡ ?ଶ ൌ ?Ǩሺ ?ሻǨ ?Ǩڄ ?ǡ ? ? ?ڄ ?ǡ ? ?ൌ ?ǡ ? ? ? ? ܲሺݏݑܿ݁ݏݏݏ ൌ ?ሻ ൌ ܥହǡସ ڄ ?ǡ ?ସ ڄ ?ǡ ?ଵ ൌ ?Ǩሺ ?ሻǨ ?Ǩڄ ?ǡ ? ?ڄ ?ǡ ? ൌ ?ǡ ? ? ܲሺݏݑܿ݁ݏݏݏ ൌ ?ሻ ൌ ܥହǡହ ڄ ?ǡ ?ହ ڄ ?ǡ ? ൌ ?ǡ ? ? A probabilidade de existirem, no máximo, duas peças defeituosas é de: ܲሺݏݑܿ݁ݏݏݏ ൌ ? ݏݑܿ݁ݏݏݏ ൌ ? ݏݑܿ݁ݏݏݏ ൌ ?ሻ Como os eventos são mutuamente excludentes, basta somar: ܲሺݏݑܿ݁ݏݏݏ ൌ ? ݏݑܿ݁ݏݏݏ ൌ ? ݏݑܿ݁ݏݏݏ ൌ ?ሻ ൌ ?ǡ ? ? ?ǡ ? ? ?ǡ ? ? ? ?ൌ ǡ ૡૡૠ Resposta: Verdadeira. Jeronymo Marcondes, Arthur Lima Aula 04 Estatística p/ ISS Manaus (Auditor Fiscal) Com videoaulas www.estrategiaconcursos.com.br 12 - CGU ± ESAF/2008) Seja X a soma de n variáveis aleatórias independentes de Bernoulli, isto é, que assumem apenas os valores 1 e 0 com probabilidades p e 1-p, respectivamente. Assim, a distribuição de X é: a) Binomial com parâmetros n e p. b) Gama com parâmetros n e p. c) Qui quadrado com n graus de liberdade. d) Laplace. H��³W´�GH�6WXGHQW�FRP�Q-1 graus de liberdade. Resolução: Essa é uma questão puramente de definição! Por definição, letra (a). Resposta: a 13 - AFRFB ± ESAF/2009) Em um experimento binomial com três provas, a probabilidade de ocorrerem dois sucessos é doze vezes a probabilidade de ocorrerem três sucessos. Desse modo, as probabilidades de sucesso e fracasso são, em percentuais, respectivamente, iguais a: a) 20 % e 80 % b) 80 % e 20 % c) 60 % e 40 % d) 30 % e 70 % e) 25 % e 75 % Resolução: No caso de 3 experimentos a probabilidade de 2 sucessos é de: ܲሺݏݑܿ݁ݏݏ ൌ ?ሻ ൌ ܥଷǡଶ ڄ ଶ ڄ ሺ ? െ ሻଵ ൌ ? ڄ ? ڄ ሺ ? െ ሻ Já a probabilidade de 3 sucessos é de: Jeronymo Marcondes, Arthur Lima Aula 04 Estatística p/ ISS Manaus (Auditor Fiscal) Com videoaulas www.estrategiaconcursos.com.br ܲሺݏݑܿ݁ݏݏ ൌ ?ሻ ൌ ܥଷǡଷ ڄ ଷ ൌ ? Do enunciado sabemos que: ܲሺݏݑܿ݁ݏݏ ൌ ?ሻ ൌ ? ? ? ሺܲݏݑܿ݁ݏݏ ൌ ?ሻ Agora é só substituir e resolver a equação: ? ڄ ଶ ڄ ሺ ? െ ሻ ൌ ? ?ڄ ? ? ? െ ?ଷ ൌ ? ? ? ? ? ? െ ? ?ଷ ൌ ? Se isolarmos p², tem-se que: ଶሺ ? െ ? ?ሻ ൌ ? Para que essa expressão seja verdade, ou ሺ ൌ ?ሻ, o que não corresponde à solução que buscamos, ou ሺ ? െ ? ? ൌ ?ሻ. Assim, resolvendo a expressão: ? െ ? ? ൌ ? ՜ ൌ ? ?ൌ ǡ Assim, a chance de fracasso é de: ܲሺ݂ݎܽܿܽݏݏሻ ൌ ? െ ?ǡ ? ൌ ǡ ૡ Resposta: a Jeronymo Marcondes, Arthur Lima Aula 04 Estatística p/ ISS Manaus (Auditor Fiscal) Com videoaulas www.estrategiaconcursos.com.br 14 - BACEN ± FCC/2005) A probabilidade de um associado de um clube de pagar sua mensalidade com atraso é de 5%. Entre 5 associados escolhidos aleatoriamente, a probabilidade de pelo menos um pagar sua mensalidade sem atraso é: a)� ? ? ሺ ?ǡ ? ?ሻହ b) ? െሺ ?ǡ ? ?ሻହ c)� ? െ ሺ ?ǡ ? ?ሻହ d)�ሺ ?ǡ ? ?ሻହ e)� ?ǡ ? ?ڄ ሺ ?ǡ ? ?ሻହ Resolução: Para facilitar a resolução deste exercício, fica mais fácil avaliar a probabilidade de ninguém pagar a mensalidade sem atraso (ܲሺݔ ൌ ?ሻ) e fazer: ? െ ሺܲݔ ൌ ?ሻ ൌ ܲሺݔ ൌ ?ሻ ܲሺݔ ൌ ?ሻ ܲሺݔ ൌ ?ሻ ܲሺݔ ൌ ?ሻ ܲሺݔ ൌ ?ሻ Ou seja, o cálculo fica bem mais fácil, pois só calculamos a probabilidade de que ninguém pague com atraso. Assim, sabendo que a chance de sucesso é de 95% (100% ± 5%) e a de fracasso é de 5%: ܲሺݔ ൌ ?ሻ ൌ ܥହǡ ڄ ?ǡ ? ? ? ?ǡ ? ?ହ ൌ ǡ Assim, a probabilidade pedida é de: െ ǡ Resposta: b Jeronymo Marcondes, Arthur Lima Aula 04 Estatística p/ ISS Manaus (Auditor Fiscal) Com videoaulas www.estrategiaconcursos.com.br 15 - MDIC ± ESAF\2013) Em uma população de 50 empresas de uma região, 20 são empresas exportadoras. Qual o valor mais próximo do número esperado de empresas exportadoras em uma amostra aleatória de tamanho 20 retirada sem reposição da amostra. a) 10 b) 8 c) 7,5 d) 6 e) 4 Resolução: 9HMD� D� SDODYULQKD� FKDYH�� ³VHP� UHSRVLomR´�� 7UDWD-se de uma variável com distribuição hipergeométrica. Qual a esperança de uma variável com distribuição hipergeométrica? ܧሺܺሻ ൌ ݊ ? ൌ ? ?ڄ ? ? ? ?ൌ ૡ Resposta: b 16 - SUSEP ± ESAF/2010) Um estudo indica que, nas comunidades que vivem em clima muito frio e com uma dieta de baixa ingestão de gordura animal, a probabilidade de os casais terem filhos do sexo masculino é igual a 1/4. Desse modo, a probabilidade de um casal ter dois meninos e três meninas é igual a: a) 37/64 b) 45/216 c) 1/64 d) 45/512 e) 9/16 Jeronymo Marcondes, Arthur Lima Aula 04 Estatística p/ ISS Manaus (Auditor Fiscal) Com videoaulas www.estrategiaconcursos.com.br Resolução: Queremos saber a probabilidade de 2 sucessos (filhos homens) em 5 experimentos (5 filhos). Assim: ܲሺݏݑܿ݁ݏݏ ൌ ?ሻ ൌ ܥହǡଶ ? ൬ ? ?൰ଶ ? ൬ ? ?൰ଷ ൌ ? ? ? ? ? ?ڄ ? ? ? ?ൌ A questão foi anulada, pois não há alternativa certa. Resposta: anulada 17 - ISS-SP ± FCC\2012) Suponha que ao realizar um experimento ocorra o evento A com probabilidade p e não ocorra com probabilidade (1-p). Repetimos o experimento de forma independente até que A ocorra pela primeira vez. Seja: X = número de repetições do experimento até que A ocorra pela primeira vez. Sabendo que a média de X é 3, a probabilidade condicional H[SUHVVD�SRU�3��;� ���_�;�����p�LJXDO�D a) 5/27 b) 4/27 c) 2/9 d) 1/3 e) 6/19 Jeronymo Marcondes, Arthur Lima Aula 04 Estatística p/ ISS Manaus (Auditor Fiscal) Com videoaulas www.estrategiaconcursos.com.br Resolução: Bom, em primeiro lugar temos de encontrar a probabilidade de sucesso. O exercício nos deu o valor da média do processo, assim: ܧሺܺሻ ൌ ? Como esta é uma variável com distribuição geométrica (leia o enunciado e veja se entendeu): ܧሺܺሻ ൌ ? ൌ ? ՜ ൌ Agora, atenção! O exercício está te pedindo uma probabilidade condicional: 3��;� ���_�;���� Como se encontra isso? ܲሺܺ ൌ ?ȁܺ ?ሻ ൌ ܲሺܺ ൌ ?�݁�ܺ ?ሻ�ܲሺܺ ?ሻ Bom, o numerador é a própria probabilidade de que X seja igual à 2. O denominador será o somatório da probabilidade de que X VHMD�LJXDO�j�³�´��³�´�H�³�´� Assim: ܲሺܺ ൌ ?ሻ ൌ ൌ ? ? ܲሺܺ ൌ ?ሻ ൌ ൈ ሺ ? െ ሻ ൌ ? ?ൈ ? ?ൌ ? ? ܲሺܺ ൌ ?ሻ ൌ ൈ ሺ ? െ ሻଶ ൌ ? ?ൈ ? ?ൌ ? ? ? Agora, substitua na fórmula da probabilidade condicional: ܲሺܺ ൌ ?ȁܺ ?ሻ ൌ ܲሺܺ ൌ ?�݁�ܺ ?ሻ�ܲሺܺ ?ሻ ൌ ቀ ? ?ቁቀ ? ? ? ? ? ? ?ቁ ൌ ቀ ? ?ቁቀ ? ? ? ?ቁ ൌ ૢ Resposta:e Jeronymo Marcondes, Arthur Lima Aula 04 Estatística p/ ISS Manaus (Auditor Fiscal) Com videoaulas www.estrategiaconcursos.com.br 18 - TRE-ES ± FCC/2011) O custo para a realização de um experimento é de 500 reais. Se o experimento falhar haverá um custo adicional de 100 reais para a realização de uma nova tentativa. Sabendo-se que a probabilidade de sucesso em qualquer tentativa é 0,4 e que todas são independentes, o custo esperado de todo o procedimento o primeiro sucesso: a)1.500. b)1.400. c)1.300. d)1.200. e) 1.000. Resolução: Em primeiro lugar, precisamos encontrar quantas vezes o experimento terá de ser realizado, na média, até termos sucesso. Perceba que trata-se de um caso de distribuição geométrica, assim: ܧሺܺሻ ൌ ? ൌ ? ?ǡ ?ൌ ǡ Isso quer dizer que o experimento será realizado, na média, duas vezes e meia até ³DFHUWDUPRV´� Bom, agora pense! Na primeira vez, você terá que desembolsar 500 reais para realizar o experimento, mas você vai errar. Assim, você terá que desembolsar mais 600 reais (100 reais adicionais mais os 500 necessários para realizar o experimento de novo) para tentar uma segunda vez. Até aí você já gastou 1100 reais para jogar duas vezes. Mas, ainda falta 0,5 vezes para você acertar. Assim, na média, você irá gastar mais: ?ǡ ? ൈ ? ? ?ൌ Portanto, até acertar, você gastará, na média: ? ? ? ? ? ? ?ൌ Resposta: b Jeronymo Marcondes, Arthur Lima Aula 04 Estatística p/ ISS Manaus (Auditor Fiscal) Com videoaulas www.estrategiaconcursos.com.br 19 - AFRFB ± ESAF/2013\modificada) Em uma cidade de colonização alemã, a probabilidade de uma pessoa falar alemão é de 60%. Selecionando-se ao acaso 4 pessoas desta cidade, a probabilidade de, exatamente, 3 delas não falarem alemão é, em valores percentuais, igual a a) 6,4. b) 12,26. c) 15,36. d) 3,84. e) 24,5. Resolução: 9HMD��YDPRV�VXSRU�TXH�QRVVR�³VXFHVVR´�VHMD�HQFRQWUDU�DOJXpP�TXH�IDOD�DOHPmR��$VVLP� ܲሺݏݑܿ݁ݏݏ ൌ ?ሻ ൌ ܥସǡଵ ? ?ǡ ?ଵ ? ?ǡ ?ଷ ൌ ?Ǩሺ ?ሻǨ ? ?Ǩ ? ?ǡ ? ? ?ǡ ? ? ?ൌ ?ǡ ? ? ? ?ൌ ? ?ǡ ? ? ? Resposta: c A questão original foi DQXODGD� SRU� QmR� SRVVXLU� D� SDODYUD� ³H[DWDPHQWH´�� WDO� FRPR� FRORTXHL� QR� enunciado. Se essa palavra não constasse, o sucesso seria obtido se 3 ou 4 pessoas falassem alemão, pois, neste caso, pelo menos, três pessoas não estariam falando alemão! 20 - DNIT ± ESAF/2013) Dois dados de seis faces são lançados simultaneamente, e os números das faces voltadas para cima são somados. A probabilidade da soma obtida ser menor do que cinco ou igual a dez é igual a: a) 35% b) 20% c) 30% d) 15% e) 25% Jeronymo Marcondes, Arthur Lima Aula 04 Estatística p/ ISS Manaus (Auditor Fiscal) Com videoaulas www.estrategiaconcursos.com.br Resolução: Vamos pensar no nosso espaço amostral. ȳ ൌ ሼሺ ?Ǣ ?ሻǢ ሺ ?Ǣ ?ሻǢ ሺ ?Ǣ ?ሻǢ ሺ ?Ǣ ?ሻǢ ሺ ?Ǣ ?ሻǢ ሺ ?Ǣ ?ሻǢ ሺ ?Ǣ ?ሻǢ ሺ ?Ǣ ?ሻǢ ሺ ?Ǣ ?ሻǢ ሺ ?Ǣ ?ሻǢ ሺ ?Ǣ ?ሻǢ ሺ ?Ǣ ?ሻǢ ሺ ?Ǣ ?ሻǢ ሺ ?Ǣ ?ሻǢ ሺ ?Ǣ ?ሻǢ ሺ ?Ǣ ?ሻǢ ሺ ?Ǣ ?ሻǢ ሺ ?Ǣ ?ሻǢ ሺ ?Ǣ ?ሻǢ ሺ ?Ǣ ?ሻǢ ሺ ?Ǣ ?ሻǢ ሺ ?Ǣ ?ሻǢ ሺ ?Ǣ ?ሻǢ ሺ ?Ǣ ?ሻǢ ሺ ?Ǣ ?ሻǢ ሺ ?Ǣ ?ሻǢ ሺ ?Ǣ ?ሻǢ ሺ ?Ǣ ?ሻǢ ሺ ?Ǣ ?ሻǢ ሺ ?Ǣ ?ሻǢ ሺ ?Ǣ ?ሻǢ ሺ ?Ǣ ?ሻǢ ሺ ?Ǣ ?ሻǢ ሺ ?Ǣ ?ሻǢ ሺ ?Ǣ ?ሻǢ ሺ ?Ǣ ?ሻሽ Ou seja, há trinta e seis combinações possíveis. Quantas combinações têm soma menor do que 5? ሺܵ݉ܽ ൏ ?ሻ ൌ ሼሺ ?Ǣ ?ሻǢ ሺ ?Ǣ ?ሻǢ ሺ ?Ǣ ?ሻǢ ሺ ?Ǣ ?ሻǢ ሺ ?Ǣ ?ሻǢ ሺ ?Ǣ ?ሻሽ Quantas somam dez? ሺܵ݉ܽ ൌ ? ?ሻ ൌ ሼሺ ?Ǣ ?ሻǢ ሺ ?Ǣ ?ሻǢ ሺ ?Ǣ ?ሻሽ Portanto: ܲሺݏ݉ܽ ൏ ?�ݑ�ݏ݉ܽ ൌ ? ?ሻ ൌ ? ? ?ൌ ? ?ൌ ? ? ? Resposta: e 21 - MTUR ± ESAF/2013) Com os dígitos 3, 4, 5, 7, 8 e 9 serão formadas centenas com dígitos distintos. Se uma centena for selecionada ao acaso, a probabilidade de ser menor do que 500 e par é a) 15% b) 10% c) 25% d) 30% e) 20% Jeronymo Marcondes, Arthur Lima Aula 04 Estatística p/ ISS Manaus (Auditor Fiscal) Com videoaulas www.estrategiaconcursos.com.br Resolução: Vamos pensar quantos números pares e menores do que 500 podem ser formados. Bom, o primeiro digito deve ser 3 ou 4, pois o número deverá ser menor do que 500. Vamos começar com 3, neste caso temos 5 possibilidades para o algarismo da dezena. Entretanto, como é exigido que o número seja par, só temos 2 opções para o algarismo da unidade: 4 e 8. Neste caso, se a dezena não for composta nem por 4 ou 8, temos 3 possibilidades para a mesma e 2 para a unidade, o que nos leva à: ? ? ? ? ? ൌ ?�ݏݏܾ݈݅݅݅݀ܽ݀݁ݏ Mas, caso a dezena seja composta por um destes números: ? ? ? ? ? ൌ ?�ݏݏܾ݈݅݅݅݀ܽ݀݁ݏ E no caso de 4? Bom, o número 8 não pode estar na dezena, pois, caso contrário, não sobraria um número par para a unidade. ? ? ? ? ? ൌ ?�ݏݏܾ݈݅݅݅݀ܽ݀݁ݏ Portanto, temos um total de 12 possibilidades com a nossa característica desejada. O total de possibilidades será dada pela permutação dos 6 elementos, de forma que: ? ? ? ? ? ൌ ? ? ?�ݏݏܾ݈݅݅݅݀ܽ݀݁ݏ Portanto, a probabilidade desejada é de: ܲሺ൏ ? ? ?�݁�ܽݎሻ ൌ ? ? ? ? ?ൌ ? ? ? Resposta: b Jeronymo Marcondes, Arthur Lima Aula 04 Estatística p/ ISS Manaus (Auditor Fiscal) Com videoaulas www.estrategiaconcursos.com.br 22 - AFRFB ± ESAF/2009) O número de petroleiros que chegam a uma refinaria ocorre segundo uma distribuição de Poisson, com média de dois petroleiros por dia. Desse modo, a probabilidade de a refinaria receber no máximo três petroleiros em dois dias é igual a: a) ଷଶଷ ݁ିସ b) ଷଵ ݁ସ c) ଵଷ ݁ିସ d) ଵଷ ݁ିଶ e) ଷଶଷ ݁ିଶ Resolução Olha a distribuição de Poisson aí gente! ܲሺݏݑܿ݁ݏݏݏ ൌ ݇ሻ ൌ ݁ି ڄ ሺ݊ ? ሻ݇Ǩ O que nós queremos saber é qual a probabilidade de que a refinaria receba zero, um, dois ou três petroleiros em dois dias. Portanto, sabemos que nossa média é de 2 petroleiros por dia e a quantidade de vezes que o experimento é realizado é igual à 2, pois são dois dias. Qual a chance de ݇ ൌ ?Ǣ ?Ǣ ?Ǣ ?? ܲሺݏݑܿ݁ݏݏݏ ൌ ?ሻ ൌ ݁ିସ ڄ ሺ ?ሻ ?Ǩ ൌ ݁ିସ ܲሺݏݑܿ݁ݏݏݏ ൌ ?ሻ ൌ ݁ିସ ڄ ሺ ?ሻଵ ?Ǩ ൌ ? ? ݁ିସ ܲሺݏݑܿ݁ݏݏݏ ൌ ?ሻ ൌ ݁ିସ ڄ ሺ ?ሻଶ ?Ǩ ൌ ? ڄ ݁ି ସ Jeronymo Marcondes, Arthur Lima Aula 04 Estatística p/ ISS Manaus (Auditor Fiscal) Com videoaulas www.estrategiaconcursos.com.br ܲሺݏݑܿ݁ݏݏݏ ൌ ?ሻ ൌ ݁ିସ ڄ ሺ ?ሻଷ ?Ǩ ൌ ? ? ? ? ݁ିସ ൌ ? ? ? ? ݁ିସ Agora some! ܲሺݏݑܿ݁ݏݏ ?ሻ ൌ ݁ିସ ?݁ି ସ ?݁ି ସ ? ? ? ݁ିସ ൌ ?݁ି ସ ? ?݁ ିସ ? ?݁ ିସ ? ?݁ ିସ ? ൌ ? ? ? ݁ିସ Resposta: c 23 - ICMS-RJ ± 2014/FCC) O número de atendimentos, via internet, realizados pela Central de Atendimento Fazendário (CAF) segue uma distribuição de Poisson com média de 12 atendimentos por hora. A probabilidade dessa CAF realizar pelo menos 3 atendimentos em um período de 20 minutos é a) 0,594 b) 0,910 c) 0,766 d) 0,628 e) 0,750 Dados: ࢋି ൌ ǡ Ǣ ࢋି ൌ ǡ ૡ Resolução: Vamos lembrar da fórmula de novo: ܲሺݏݑܿ݁ݏݏݏ ൌ ݇ሻ ൌ ݁ିఒ ڄ ሺߣሻ݇Ǩ A média (݊ ? ) é igual à 12 atendimentos por hora, a quantidade de sucesso que queremos é igual à 3 e o tempo desejado é 1/3 de hora. Jeronymo Marcondes, Arthur Lima Aula 04 Estatística p/ ISS Manaus (Auditor Fiscal) Com videoaulas www.estrategiaconcursos.com.br -³����GH�KRUD��SURIHVVRU´" Exatamente! Você tem que usar a mesma unidade de medida para todas as informações. Assim, se em uma hora são realizados 12 atendimentos, em 1/3 de hora: ߣ ൌ ? ? ? ൌ ? A probabilidade de realizar, pelo menos, 3 atendimentos em uma hora é igual à: ܲሺ݈݁�݉݁݊ݏ� ?ሻ ൌ ? െ ሺܲ ?ሻ െ ܲሺ ?ሻ െ ܲሺ ?ሻ Agora basta encontrar estes valores: ܲሺݏݑܿ݁ݏݏݏ ൌ ?ሻ ൌ ݁ିସ ڄ ሺ ?ሻ ?Ǩ ൌ ݁ିସ ? ? ? ൌ ݁ିସ ܲሺݏݑܿ݁ݏݏݏ ൌ ?ሻ ൌ ݁ିସ ڄ ሺ ?ሻଵ ?Ǩ ൌ ݁ିସ ? ? ? ൌ ?݁ି ସ ܲሺݏݑܿ݁ݏݏݏ ൌ ?ሻ ൌ ݁ିସ ڄ ሺ ?ሻଶ ?Ǩ ൌ ݁ିସ ? ? ? ? ൌ ?݁ି ସ Portanto: ܲሺ݈݁�݉݁݊ݏ� ?ሻ ൌ ? െ ሺܲ ?ሻ െ ܲሺ ?ሻ െ ܲሺ ?ሻ ൌ ? െሺ݁ିସ ?݁ି ସ ?݁ି ସሻ ? െ ? ?݁ ିସ ൌ ? െ ??ሺ ?ǡ ? ? ?ሻ ൌ ?ǡ ? ? ? Resposta: c Jeronymo Marcondes, Arthur Lima Aula 04 Estatística p/ ISS Manaus (Auditor Fiscal) Com videoaulas www.estrategiaconcursos.com.br 24 - ICMS-SP ± FCC/2013) Sabe-se que em determinado município, no ano de 2012, 20% dos domicílios tiveram isenção de determinado imposto. Escolhidos, ao acaso e com reposição, quatro domicílios deste município a probabilidade de que pelo menos dois tenham tido a referida isenção é igual a a) 0,4096 b) 0,4368 c) 0,1808 d) 0,3632 e) 0,2120 Resolução: Vamos nos utilizar da velha e boa fórmula: ܲሺݏݑܿ݁ݏݏݏ ൌ ݇ሻ ൌ ܥǡ ڄ ڄ ሺ ? െ ሻି %RP��QyV�VDEHPRV�TXH�D�SUREDELOLGDGH�GH�³VXFHVVR´�p�GH������������$VVLP��D�SUREDELOLGDGH�GH��� sucessoV�HP����³MRJDGDV´�p�GH� ܲሺݏݑܿ݁ݏݏݏ ൌ ?ሻ ൌ ܥସǡଶ ڄ ?ǡ ?ଶ ڄ ሺ ?ǡ ?ሻଶ ൌ ?Ǩ ?Ǩ ?Ǩൈ ?ǡ ? ?ൈ ?ǡ ? ?ൌ ?ǡ ? ? ? ? Porém, como sempre, o exercício pede a probabilidade de que ao menos 2 jogadas tenham sucesso. Assim, precisamos das probabilidades de 3 e 4 sucessos: ܲሺݏݑܿ݁ݏݏݏ ൌ ?ሻ ൌ ܥସǡଷ ڄ ?ǡ ?ଷ ڄ ሺ ?ǡ ?ሻଵ ൌ ?Ǩ ?Ǩ ?Ǩൈ ?ǡ ? ? ?ൈ ?ǡ ? ൌ ?ǡ ? ? ? ? ܲሺݏݑܿ݁ݏݏݏ ൌ ?ሻ ൌ ܥସǡସ ڄ ?ǡ ?ସ ڄ ሺ ?ǡ ?ሻ ൌ ?Ǩ ?Ǩ ?Ǩൈ ?ǡ ? ? ? ?ൈ ? ൌ ?ǡ ? ? ? ? Assim: ܲሺܽ�݉݁݊ݏ� ?�ݏݑܿ݁ݏݏݏሻ ൌ ?ǡ ? ? ? ? ?ǡ ? ? ? ? ?ǡ ? ? ? ?ൌ ?ǡ ? ? ? ? Resposta: c Jeronymo Marcondes, Arthur Lima Aula 04 Estatística p/ ISS Manaus (Auditor Fiscal) Com videoaulas www.estrategiaconcursos.com.br 25 - TJ RO ± CESPE\2012) Resolução: Pessoal, nós estudamos isso na aula 02. Se você fizer a soma de todos os desvios das observações com relação a sua média, o resultado será igual à zero. No caso: ሺݔ െ ݔҧሻ ൌ ? Este é o motivo pelo qual elevamos esta expressão ao quadrado quando calculamos a variância. Neste caso, a expressão acima não pode ser uma medida de dispersão, pois ela sempre será igual à zero! Resposta: e Jeronymo Marcondes, Arthur Lima Aula 04 Estatística p/ ISS Manaus (Auditor Fiscal) Com videoaulas www.estrategiaconcursos.com.br (PETROBRAS ± CESGRANRIO/2014) Use o texto abaixo para responder as questões a seguir. Um analista observou que a média das remunerações recebidas pelos 100 empregados que responderam a uma determinada pesquisa estava muito baixa: R$ 2.380,00. Após investigar, verificou que 15% das respostas estavam com valor nulo e todas elas eram referentes às respostas dos empregados que se recusaram a responder a esse quesito, embora recebessem remuneração. Exercício 26 Retirando essas observações nulas, a média dos salários dos respondentes é, em reais, (A) 2.380 (B) 2.487 (C) 2.650 (D) 2.737 (E) 2.800 Resolução: A média original era tal que: ܯ±݀݅ܽ ൌ ?ݔ݊ ൌ ?ݔ ? ? ?ൌ ? ? ? ? Portanto: ݔ ൌ ? ? ? ?ൈ ? ? ?ൌ ? ? ? ? ? ? Se 15% de 100 (15 0bservações) eram nulas e nós a retiramos: ݊ݒܽ�݉±݀݅ܽ ൌ ?ݔ݊ ൌ ? ? ? ? ? ? ? ? ?െ ? ?ൌ ? ? ? ? ? ? ? ? ൌ ? ? ? ? Resposta: e Jeronymo Marcondes, Arthur Lima Aula 04 Estatística p/ ISS Manaus (Auditor Fiscal) Com videoaulas www.estrategiaconcursos.com.br Exercício 27 Inicialmente, o analista registrou variância dos salários, em reais2, igual a 2.835.600,00. Retirando as observações nulas, a média dos quadrados dos salários dos respondentes é, em reais², aproximadamente, (A) 10.000.000,00 (B) 8.500.000,00 (C) 6.300.000,00 (D) 4.400.000,00 (E) 2.800.000,00 Resolução: Nós temos sempre de lembrar que: ݒܽݎ݅݊ܿ݅ܽ ൌ ݉±݀݅ܽ�݀ݏ�ݍݑܽ݀ݎܽ݀ݏ െ ݍݑܽ݀ݎܽ݀�݀ܽ�݉±݀݅ܽ Então, antes de retirarmos as observações nulas: ݒܽݎ݅݊ܿ݅ܽ ൌ ? ? ? ? ? ? ?ൌ ݉±݀݅ܽ�݀ݏ�ݍݑܽ݀ݎܽ݀ݏ െ ሺ ? ? ? ?ሻ ? ? ? ? ? ? ? ?ൌ ݉±݀݅ܽ�݀ݏ�ݍݑܽ݀ݎܽ݀ݏ െ ? ? ? ? ? ? ? ݉±݀݅ܽ�݀ݏ�ݍݑܽ݀ݎܽ݀ݏ ൌ ? ? ? ? ? ? ? Veja, a média dos quadrados é: ݉±݀݅ܽ�݀ݏ�ݍݑܽ݀ݎܽ݀ݏ ൌ ?ሺݔሻ ?݊ Antes de retirarmos as 15 observações: ݉±݀݅ܽ�݀ݏ�ݍݑܽ݀ݎܽ݀ݏ ൌ ?ሺݔሻ ?݊ ՜ ? ? ? ? ? ? ? ൌ ?ሺݔሻ ? ? ? ? ՜ ሺݔሻ ? ൌ ? ? ? ? ? ? ? ? ? Este valor não muda, mesmo quando tiramos as observações nulas, pois o quadrado de zero é zero! Então, a nova média dos quadrados é: Jeronymo Marcondes, Arthur Lima Aula 04 Estatística p/ ISS Manaus (Auditor Fiscal) Com videoaulas www.estrategiaconcursos.com.br ݉±݀݅ܽ�݀ݏ�ݍݑܽ݀ݎܽ݀ݏ ൌ ?ሺݔሻ ? ? ? ൌ ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ൌ ? ? ? ? ? ? ? ? Resposta: a 28 - LIQUIGAS ± CESGRANRIO/2012) Resolução: As formas que podem gerar a vitória de M são dadas por: ݀ݑܽݏ�݆݃ܽ݀ܽݏǣ ሺܯǡ ܯሻ ൌ ? ?ൈ ? ?ൌ ? ? ݐݎ²ݏ�݆݃ܽ݀ܽݏǣ ሺܯǡ ܰǡ ܯሻǢ ሺܰǡ ܯǡ ܯሻ ൌ ? ൈ ? ?ൈ ? ?ൈ ? ?ൌ ? ? ? ݍݑܽݐݎ�݆݃ܽ݀ܽݏǣ ሺܯǡ ܰǡ ܰǡ ܯሻǢ ሺܰǡ ܰǡ ܯǡ ܯሻǢ ሺܰǡ ܯǡ ܰǡ ܯሻ ൌ ? ൈ ? ?ൈ ? ?ൈ ? ?ൈ ? ?ൌ ? ? ? ? Assim, a probabilidade de M ganhar é: ܲሺܯ�݄݃ܽ݊ܽݎሻ ൌ ? ? ? ? ? ? ? ? ?ൌ ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?ൌ ? ? ? ?ൌ ? ? ? ? Resposta: d Jeronymo Marcondes, Arthur Lima Aula 04 Estatística p/ ISS Manaus (Auditor Fiscal) Com videoaulas www.estrategiaconcursos.com.br (DEPEN ± CESPE/2015) Exercício 29 Resolução: 6H� R� HYHQWR� ³DSUHVHQWDU� GHSUHVVmR´� HVWi� FRQWLGR� HP� ³DSUHVHQWDU� SHUWXUEDomR� DQWLVVRFLDO´�� LVVR� significa que todo preso com depressão tem perturbação antissocial. Assim, qual a probabilidade de união? Basta perceber que a probabilidade de intersecção será dada pela própria probabilidade de B, já que este está contido em A. ܲሺܣ ܤሻ ൌ ܲሺܣሻ ܲሺܤሻ െ ܲሺܣ ת ܤሻ ൌ ?ǡ ? ?ǡ ? െ ?ǡ ? ൌ ?ǡ ? Resposta: Verdadeiro Exercício 30 Jeronymo Marcondes, Arthur Lima Aula 04 Estatística p/ ISS Manaus (Auditor Fiscal) Com videoaulas www.estrategiaconcursos.com.br Resolução: Estes eventos não são mutuamente exclusivos porque não há como acontecer A e não acontecer B. Veja, como P(A)=0,6 e P(B)=0,5, isso significa que se A ocorrer, a probabilidade de B ocorrer é, pelo menos, de 10% (0,1), pois: Ou seja, só sobra 40% para que B ocorra e A não! Com relação ao valor proposto, uma forma de encontrar esta probabilidade de intersecção é: ܲሺܣȁܤሻ ൌ ܲሺܣ ת ܤሻܲሺܤሻ ՜ ܲሺܣ ת ܤሻ ൌ ܲሺܣȁܤሻ ൈ ܲሺܤሻ Veja, pelo enunciado, nós conhecemos o valor de P(B). Mas, não conhecemos o valor de P(A|B). Isso não importa para responder: ܲሺܣ ת ܤሻ ൌ ܲሺܣȁܤሻ ൈ ?ǡ ? A probabilidade de A ocorrer, dado B, é igual a um número menor do que 1 (ܲሺܣȁܤሻ) multiplicado por 0,5. Assim, o valor em questão deve ser menor ou igual a 0,5. Resposta: Verdadeiro Jeronymo Marcondes, Arthur Lima Aula 04 Estatística p/ ISS Manaus (Auditor Fiscal) Com videoaulas www.estrategiaconcursos.com.br Exercício 31 Resolução: Já fizemos muitos exercícios assim. Independência implica que: ܲሺܣȁܤሻ ൌ ܲሺܣሻ ܲሺܤȁܣሻ ൌ ܲሺܤሻ Resposta: Falsa (DEPEN ± CESPE/2015) Exercício 32 Jeronymo Marcondes, Arthur Lima Aula 04 Estatística p/ ISS Manaus (Auditor Fiscal) Com videoaulas www.estrategiaconcursos.com.br Resolução: Trata-se de uma binomial, afinal, podemos enxergar este experimento como um caso de seleção GH�LQGLYtGXRV��VHQGR�³VXFHVVR´�HQFRQWUDU�XP�SUHVLGLiULR�FRP�WXEHUFXORVH��$VVLP��YDPRV�HQFRQWUDU� a probabilidade de nenhum dos escolhidos ter a doença e fazer 100% menos este valor, o que nos dará a probabilidade de, pelo menos, 1 deles ter a doença! ܲሺݏݑܿ݁ݏݏ ൌ ?ሻ ൌ ܥଶǡ ൈ ?ǡ ? ? ൈ ?ǡ ? ?ଶ ൌ ?ǡ ? ?ଶ ൌ ?ǡ ? ? ? ? A probabilidade de que, pelo menos, 1 tenha a doença é de: ? െ ?ǡ ? ? ? ?ൌ ?ǡ ? ? ? ? Resposta: Verdadeiro Exercício 33 Resolução: Mesma coisa, mas agora vamos calcular diretamente esta probabilidade, com base na binomial do exercício anterior: ܲሺݏݑܿ݁ݏݏ ൌ ?ሻ ൌ ܥଶǡଶ ൈ ?ǡ ? ?ଶ ൌ ?ǡ ? ?ଶ ൌ ?ǡ ? ? ? ? Resposta: Falsa Jeronymo Marcondes, Arthur Lima Aula 04 Estatísticap/ ISS Manaus (Auditor Fiscal) Com videoaulas www.estrategiaconcursos.com.br ==8805== Exercício 34 (Analista do CNMP - Estatística ± 2015/FCC) Resolução: 3ULPHLUR��YDPRV�HQWHQGHU�R�TXH�D�TXHVWmR�SHGH��(OD�SHGH�³R�UHVXOWDGR�GD�GLYLVmR�GD�VRPD�GRV� YDORUHV�GDV�DOWXUDV�HOHYDGRV�DR�TXDGUDGR�SHOR�Q~PHUR�GH�DVVRFLDGRV´��,VVR�QDGD�PDLV�p�GR�TXH�D� média dos quadrados. E sabemos que para calcular a variância, podemos fazer através da diferença da média dos quadrados menos o quadrado da média. Deu pra perceber onde quero chegar, né? Relembrando a fórmula do coeficiente de variação: ܥܸ ൌ � ܦ݁ݏݒ݅�ܽ݀ݎ ݉±݀݅ܽ Podemos facilmente obter o valor do desvio-padrão: ? ?ǡ ? ? ?ൌ � ܦ݁ݏݒ݅�ܽ݀ݎ ? ? ? ൌ ? ? Como a variância é o desvio-padrão elevado ao quadrado, sabemos agora que a variância é: ܸܽݎ݅݊ܿ݅ܽ ൌ � ܦ݁ݏݒ݅�ܽ݀ݎ ଶ ൌ ? ?ଶ ൌ ? ? ? Vamos agora substituir estes valores na fórmula de variância: ܸܽݎ݅݊ܿ݅ܽ ൌ ݉±݀݅ܽ�݀ݏ�ݍݑܽ݀ݎܽ݀ݏ െ ݍݑܽ݀ݎܽ݀�݀ܽ�݉±݀݅ܽ ? ? ?ൌ ݉±݀݅ܽ�݀ݏ�ݍݑܽ݀ݎܽ݀ݏ െ ? ? ?ଶ ݉±݀݅ܽ�݀ݏ�ݍݑܽ݀ݎܽ݀ݏ ൌ ? ? ? ? ? ? ? ?ൌ ? ? ? ? ? Resposta: d Jeronymo Marcondes, Arthur Lima Aula 04 Estatística p/ ISS Manaus (Auditor Fiscal) Com videoaulas www.estrategiaconcursos.com.br Exercício 35 (Analista do CNMP - Estatística ± 2015/FCC) Resolução: 3ULPHLUR��YDPRV�FDOFXODU�R�³=´�HP�FDGD�SDODYUD� X (NÚMERO DE LETRAS) Y (NÚMERO DE VOGAIS) Z (X + Y) O 1 1 2 PAPA 4 2 6 É 1 1 2 POP 3 1 4 Com os valores de Z, é só calcular a variância. Lembrem da fórmula: ܸܽݎ݅݊ܿ݅ܽ ൌ ?ሺݔ െ ݔҧሻଶ݊ Jeronymo Marcondes, Arthur Lima Aula 04 Estatística p/ ISS Manaus (Auditor Fiscal) Com videoaulas www.estrategiaconcursos.com.br Primeiramente, calculamos a média de Z: ? ? ? ? ? ൌ ?ǡ ? E substituímos na fórmula da variância: ܸܽݎ݅݊ܿ݅ܽ ൌ ሺ ? െ ?ǡ ?ሻଶ ሺ ? െ ?ǡ ?ሻଶ ሺ ? െ ?ǡ ?ሻଶ � ሺ ? െ ?ǡ ?ሻଶ ? ൌ ? ? ? Resposta: a Exercício 36 (Analista Judiciário TRE/RR ± Estatística ± 2015/FCC) Resolução: Mais uma de interpolação linear! É bom treinar seu raciocínio, pois este assunto está sempre presente nas provas. Vamos ao que temos pelo enunciado: sabemos que a mediana é no valor de 5600 e está na classe [5000;6500). E sabemos que 80 funcionários, ou seja, 40% dos funcionários, recebem menos que R$ 5.000. Dessa forma, para completar 50% (pois a mediana divide os dados em 2), de 5000 a 5600, deve-se ter 10% de frequência. Mas o que quero dizer com isso? Sabendo qual a frequência acumulada até a classe [5000;6500), saberemos que o restante será composto de pessoas que recebem acima de R$ 6.500. Agora ficou mais fácil de visualizar, não é? Vamos apelar para a boa e velha regra de três: Jeronymo Marcondes, Arthur Lima Aula 04 Estatística p/ ISS Manaus (Auditor Fiscal) Com videoaulas www.estrategiaconcursos.com.br ? ? ? ?െ ? ? ? ? ? ? ? ൌ ? ? ? ?െ ? ? ? ?ݔ ՜ ݔ ൌ ? ? ? Temos que a classe [5000;6500) tem uma frequência absoluta de 25%, e as classes anteriores acumulam 40%. A frequência acumulada da classe [5000;6500) é de 65% (40%+25%). Portanto, aqueles que recebem acima de R$ 6.500 é 35%. Resposta: e Exercício 37 (Analista Judiciário TRE/RR ± Estatística ± 2015/FCC) Resolução: Essa questão refere-se a uma distribuição binomial, dado que o objetivo é saber, se jogarmos 5 vezes o dado, qual a probabilidade de obtenção de exatamente 3 sucessos! Ou seja, o caso clássico de uma distribuição binomial, que nos permite calcular a probabilidade de um certo número de sucessos em um certo número de jogadas. Mas, tem uma pegadinha! Quantos lançamentos você tem de fazer para que na 5ª jogada ocorra o 3º sucesso? Ora, você sabe que na quinta jogada você tem de ter tido sucesso? E nas primeiras 4 jogadas? Você não sabe! Pode ser qualquer combinação de sucessos e fracassos. Então, faça o Jeronymo Marcondes, Arthur Lima Aula 04 Estatística p/ ISS Manaus (Auditor Fiscal) Com videoaulas www.estrategiaconcursos.com.br seguinte, calcule qual a probabilidade de 2 sucessos e 2 fracassos nas primeiras 4 jogadas e multiplique o resultado pela probabilidade de sucesso na última jogada e pronto! Você já aprendeu a fórmula: ܲሺݔ ൌ ݇ሻ ൌ ܥǡ ൈ ൈ ሺ ? െ ሻି Ou seja, esta fórmula é a da probabilidade de obtermos k sucessos em n jogadas! Assim, verifique qual a probabilidade de 2 sucessos nas 4 primeiras jogadas: ܲሺݔ ൌ ?ሻ ൌ ܥସǡଶ ൈ ଶ ൈ ሺ ? െ ሻଶ E qual a probabilidade de sucesso? Ora, é a de obtermos um valor superior a 4! Ou seja, a chance de obtermos 5 ou 6. Portanto, 2/6 do total de faces: ൌ ? ?ൌ ? ? Substituindo: ܲሺݔ ൌ ?ሻ ൌ ܥସǡଶ ൈ ? ?ଶ ൈ ൬ ? ?൰ଶ ൌ ?Ǩ ?Ǩ ?Ǩൈ ? ?ൈ ? ?ൌ ? ൈ ? ? ?ൌ ? ? ? ? Tá bom, você já teve 2 sucesso nas 4 primeiras jogadas! E como obter o sucesso na última jogada? Multiplique este valor pela probabilidade de mais um sucesso, ou seja, 1/3: ܲሺݏݑܿ݁ݏݏ� ?�ݒ݁ݖ݁ݏ�݁ ݉� ?�݆݃ܽ݀ܽݏሻ ൌ ? ? ? ?ൈ ? ?ൌ ? ? ? Resposta: b Jeronymo Marcondes, Arthur Lima Aula 04 Estatística p/ ISS Manaus (Auditor Fiscal) Com videoaulas www.estrategiaconcursos.com.br Exercício 38 (Analista Judiciário TRE/RR ± Estatística ± 2015/FCC) Resolução: Primeira coisa é perceber que você terá que usar a distribuição de Poisson, portanto, como sempre, primeiro lembre da fórmula: ܲሺݔ ൌ ݇ሻ ൌ ݁ିఒ ൈ ߣ݇Ǩ Não tem jeito, tem que lembrar desta fórmula. Mas, pense assim, sabendo isso, uma questão de Poisson está garantida, pois elas costumam ser fáceis. Bom, vamos ao enunciado. O exercício pede a probabilidade de, pelo menos, duas consultas em um dia. Como fazer isso? ? ? ? ?െ ܲሺ ?�ݑ�݄݊݁݊ݑ݉ܽ�ܿ݊ݏݑ݈ݐܽ�݁݉�ݑ݉�݀݅ܽሻ Assim, precisamos saber: ܲሺݔ ൌ ?ሻ�݁�ܲሺݔ ൌ ?ሻ A média do processo, ou seja, ߣ que é dado no exercício é a média semanal, mas precisamos da diária. Portanto, você já sabe que a média de um processo de Poisson é dada por: ߣ ൌ ݊ ൈ Então: Jeronymo Marcondes, Arthur Lima Aula 04 Estatística p/ ISS Manaus (Auditor Fiscal) Com videoaulas www.estrategiaconcursos.com.br ?ǡ ? ൌ ? ൈ ൌ ?ǡ ? Essa é a probabilidade de sucesso em um dia! Agora é só substituir na fórmula: ܲሺݔ ൌ ?ሻ ൌ ݁ିǡହ ൈ ?ǡ ? ?Ǩ ൌ ݁ିǡହ ܲሺݔ ൌ ?ሻ ൌ ݁ିǡହ ൈ ?ǡ ?ଵ ?Ǩ ൌ ?ǡ ?݁ି ǡହ Portanto, a probabilidade de que haja, pelo menos, 2 consultas em um dia é de: ܲሺ݈݁�݉݁݊ݏ�݀ݑܽݏ�ܿ݊ݏݑ݈ݐܽݏሻ ൌ ? െ ݁ି ǡହ െ ?ǡ ?݁ି ǡହ ൌ ? െ ?ǡ ?݁ିǡହ Com base nos dados do enunciado: ܲሺ݈݁�݉݁݊ݏ�݀ݑܽݏ�ܿ݊ݏݑ݈ݐܽݏሻ ൌ ?ǡ ? ? ?ൌ ?ǡ ? ? Resposta: a (TELEBRAS ± CESPE/2015) Jeronymo Marcondes, Arthur Lima Aula 04 Estatística p/ ISS Manaus (Auditor Fiscal) Com videoaulas www.estrategiaconcursos.com.br Exercício 39 Resolução: Cada opção tem 50% de chance de ocorrer, assim vamos criar uma variável que seja chamada de W e seja dada por: ܹ ൌ ܺ ܻ Neste caso, a esperança conjunta seria dada por: ܧሺܹሻ ൌ ܧሺܺ ܻሻ Assim, vamos calcular: ܧሺܹሻ ൌ ?ǡ ? ൈሺ ?ǡ ? ?ൈ ? ? ? ? ?ǡ ? ?ൈ ?ሻ ?ǡ ? ൈሺ ? ?ሻ ܧሺܹሻ ൌ ? ? ? ?ൌ ? ? ? Resposta: Falsa Exercício 40 Jeronymo Marcondes, Arthur Lima Aula 04 Estatística p/ ISS Manaus (Auditor Fiscal) Com videoaulas www.estrategiaconcursos.com.br Resolução: Temos que resolver uma equação cujo valor de p é uma incógnita. O que iremos fazer é comparar os valores das duas esperanças: ܧሺ݀݁݅ݔܽݎ�݊ܽ�ݎݑܽሻ ൌ ܧሺ݀݁݅ݔܽݎ�݊�݁ݏݐܽܿ݅݊ܽ݉݁݊ݐ�ܽ݃ሻ ൈ ? ? ? ? ?ǡ ? ?ൈ ? ൌ ? ? ൌ ? ? ? ? ? ?ൌ ?ǡ ? ? ? Ou seja, o valor limite é de 0,025. Se você aumentar p, a esperança do prejuízo de deixar na rua aumenta também! Portanto, 0,025 é o valor máximo de p em que Roberto ainda acha vantajoso deixar o carro na rua. Resposta: Verdadeira.(SUSAM ± FGV/2014 - alterada) Suponha que A e B sejam dois eventos independentes, com probabilidades positivas. Com base nestas informações, julgue as afirmativas. Exercício 41 A e B não podem ser mutuamente exclusivos. Resolução: Perfeito! Veja, independência implica que a probabilidade de ocorrência de um evento não é afetada pela ocorrência de outro. Se A e B fossem mutuamente exclusivos, isso significaria que a ocorrência de A implica na não ocorrência de B. Ora, mas isso não é independência! Resposta: Verdadeiro Jeronymo Marcondes, Arthur Lima Aula 04 Estatística p/ ISS Manaus (Auditor Fiscal) Com videoaulas www.estrategiaconcursos.com.br Exercício 42 P[A|B] = P[A]. Resolução: Essa é a própria definição de independência, ou seja, a probabilidade de ocorrência de A, dado B, é igual à probabilidade incondicional de A ± a probabilidade de ocorrência de A não é afetada por B. Resposta: Verdadeiro 43 - SUSAM ± FGV/2013) Uma variável aleatória discreta X tem distribuição uniforme, x = 1, 2, ..., �����$�SUREDELOLGDGH�FRQGLFLRQDO�GH�TXH�;�VHMD�XP�Q~PHUR�tPSDU�GDGR�TXH�����[�����p�LJXDO�D (A) 4/7. (B) 1/2. (C) 3/7. (D) 5/7. (E) 3/4. Resolução: O fato de a distribuição ser uniforme só afeta no fato de que cada intervalo entre dois números tem a mesma probabilidade! O que nós estamos procurando é: ܲሺÀ݉ܽݎȁ ? ? ݔ ? ?ሻ Nós sabemos, pela fórmula de probabilidade condicional que: Jeronymo Marcondes, Arthur Lima Aula 04 Estatística p/ ISS Manaus (Auditor Fiscal) Com videoaulas www.estrategiaconcursos.com.br ܲሺÀ݉ܽݎȁ ? ? ݔ ? ?ሻ ൌ ܲሺÀ݉ܽݎ ת ? ? ݔ ? ?ሻܲሺ ? ? ݔ ? ?ሻ Veja, qual a probabilidade de obter um número que fica entre 23 e 30? Tratam-se de 8 números em um universo de 100! Assim: ܲሺ ? ? ݔ ? ?ሻ ൌ ? ? ? ? E a probabilidade de intersecção? ܲሺÀ݉ܽݎ ת ? ? ݔ ? ?ሻ ൌǫ Esta intersecção é dada pela multiplicação da probabilidade de o número ser ímpar (50 de 100) pela probabilidade de estar no intervalo em questão (8 de 100). ܲሺÀ݉ܽݎ ת ? ? ݔ ? ?ሻ ൌ ? ? ? ? ?ൈ ? ? ? ?ൌ ? ? ? ? ? ? ? ?ൌ ? ? ? ? Substituindo na fórmula: ܲሺÀ݉ܽݎȁ ? ? ݔ ? ?ሻ ൌ ܲሺÀ݉ܽݎ ת ? ? ݔ ? ?ሻܲሺ ? ? ݔ ? ?ሻ ൌ ቀ ? ? ? ?ቁቀ ? ? ? ?ቁ ൌ ? ?ൌ ? ? Resposta: b Jeronymo Marcondes, Arthur Lima Aula 04 Estatística p/ ISS Manaus (Auditor Fiscal) Com videoaulas www.estrategiaconcursos.com.br 44 - SUSAM ± FGV/2014) Resolução: O melhor jeito de resolver esta questão é tratando aquelas probabilidades como números! Assim, YDPRV� ROKDU� VRPHQWH� D� OLQKD� GRV� ³PDVFXOLQRV´�� afinal o exercício pergunta a probabilidade condicional de ser contra, dado que é do sexo masculino. à favor contra indiferente Soma Masculino 20 12 28 60 O total de homens, neste caso, são 60! A probabilidade de ser contra, dado que é homem, é de: ܲሺܿ݊ݐݎܽȁ݄݉݁݉ሻ ൌ ? ? ? ?ൌ ? ?ൌ ?ǡ ? Resposta: a Jeronymo Marcondes, Arthur Lima Aula 04 Estatística p/ ISS Manaus (Auditor Fiscal) Com videoaulas www.estrategiaconcursos.com.br 45 - CODEMIG ± FGV/2016) Resolução: A FGV adora essa questão! A quantidade de combinações possíveis com as bolas é de: ܥସǡଶ ൌ ?Ǩ ?Ǩ ?Ǩൌ ? ൈ ? ൌ ? As combinações que tem duas bolas da mesma cor são duas: duas brancas ou duas pretas. Portanto: ܲሺ ?�ܾ݈ܽݏ�݀݁�݉݁ݏ݉ܽ�ܿݎሻ ൌ ? ?ൌ ? ? Resposta: b (ANATEL ± CESPE/2015) Jeronymo Marcondes, Arthur Lima Aula 04 Estatística p/ ISS Manaus (Auditor Fiscal) Com videoaulas www.estrategiaconcursos.com.br Exercício 46 Resolução: Esta questão é um pouco mais complexa, sendo que vamos resolvê-la por meio de uma forma mais simples. A definição de eventos independentes é que a probabilidade condicional é igual à probabilidade incondicional, portanto: ܲሺܣȁܤሻ ൌ ܲሺܣሻ E: ܲሺܤȁܣሻ ൌ ܲሺܤሻ A relação exposta pelo exercício implica que: ܲሺܣȁܤሻ ൌ ܲሺܤȁܣሻ ՜ ܲሺܣ�݁�ܤሻܲሺܤሻ ൌ ܲሺܣ�݁�ܤሻܲሺܣሻ Dividindo ambos os lados pela probabilidade de intersecção: ?ܲሺܤሻ ൌ ?ܲሺܣሻ ՜ ܲሺܣሻ ൌ ܲሺܤሻ Ou seja, não implica em independência. Resposta: Falsa Jeronymo Marcondes, Arthur Lima Aula 04 Estatística p/ ISS Manaus (Auditor Fiscal) Com videoaulas www.estrategiaconcursos.com.br Exercício 47 Resolução: Nós já conhecemos esta fórmula de probabilidade condicional: ܲሺܣȁܤሻ ൌ ܲሺܣ�݁�ܤሻܲሺܤሻ ൌ ? Se P(B)>0, então isso implica que: ܲሺܣ�݁�ܤሻ ൌ ? Ou seja, são eventos disjuntos. Resposta: Verdadeiro Jeronymo Marcondes, Arthur Lima Aula 04 Estatística p/ ISS Manaus (Auditor Fiscal) Com videoaulas www.estrategiaconcursos.com.br LISTA DE EXERCÍCIOS RESOLVIDOS 1 - FCC ± TRT/11 ± 2017) Num lote de 20 peças, as proporções de peças boas, com pequenos defeitos e com grandes defeitos são, 0,7, p e q, respectivamente. Sabe-se que p > q. Uma amostra aleatória, sem reposição, de 3 peças é selecionada. A probabilidade da amostra conter exatamente duas peças defeituosas é igual a a) 3/19 b) 5/39 c) 7/38 d) 3/17 e) 1/19 2 - SEFAZ-ES ± CESPE/2013) O número de reclamações diárias registradas por uma central de atendimento ao cidadão for uma variável aleatória que segue a distribuição de Poisson com média igual a ln10, então a probabilidade P(N= 0) será igual a a) 0,09 b) 0,14 c) 0,18 d) 0,1 e) 0,05 (Polícia Federal ± CESPE\2012) Dez policiais federais ² dois delegados, dois peritos, dois escrivães e quatro agentes ² foram designados para cumprir mandado de busca e apreensão em duas localidades próximas à superintendência regional. O grupo será dividido em duas equipes. Para tanto, exige-se que cada uma seja composta, necessariamente, por um delegado, um perito, um escrivão e dois agentes. Considerando essa situação hipotética, julgue os itens que se seguem. Jeronymo Marcondes, Arthur Lima Aula 04 Estatística p/ ISS Manaus (Auditor Fiscal) Com videoaulas www.estrategiaconcursos.com.br Exercício 3 Se todos os policiais em questão estiverem habilitados a dirigir, então, formadas as equipes, a quantidade de maneiras distintas de se organizar uma equipe dentro de um veículo com cinco lugares ² motorista e mais quatro passageiros ² será superior a 100. Exercício 4 Há mais de 50 maneiras diferentes de compor as referidas equipes. Exercício 5 Se cinco dos citados policiais forem escolhidos, aleatoriamente e independentemente dos cargos, então a probabilidade de que esses escolhidos constituam uma equipe com a exigência inicial será superior a 20%. 6 - FGV ± MPE/BA ± 2017) Um criminoso está avaliando se vale a pena ou não recorrer ao instituto da colaboração premiada. Caso não recorra, a sua probabilidade de ser condenado é igual a p, com 12 anos de reclusão. Se resolver delatar, pode pegar 6 anos de prisão, com probabilidade de 0,4, ou 10 anos, com a probabilidade complementar. Supondo que a decisão será tomada com base na esperança matemática da pena, o criminoso deve: a) não delatar se o valor de p for inferior a 0,75; b) delatar se o valor de p for superior a 0,55; c) não delatar caso o valor de p seja superior a 0,80; d) mostrar-se indiferente caso o valor de p seja 0,70; e) delatar caso o valor de p seja inferior a 0,60. Jeronymo Marcondes, Arthur Lima Aula 04 Estatística p/ ISS Manaus (Auditor Fiscal) Com videoaulas www.estrategiaconcursos.com.br 7 - FGV ± MPE/BA ± 2017) Suponha que um sorteio seja realizado entre duas turmas de desembargadores, uma com 7 e outra com9 membros, para saber qual delas examinará a questão da redução da maioridade penal. Na menor turma 4 juízes são contrários, enquanto na maior apenas 2 acham que a maioridade não deve ser reduzida. Depois de sorteada a turma, um juiz é escolhido, de forma aleatória, para atuar como o relator. Ele é a favor da redução. Então, a probabilidade de que a turma menor tenha sido a escolhida é: a) 49/76; b) 9/15; c) 2/9; d) 27/76; e) 6/15. 8 - TJ\RO ± CESGRANRIO/2008) Uma urna contem 10 bolas, cada uma gravada com um número GLIHUHQWH�GH���D�����8PD�EROD�p�UHWLUDGD�DOHDWRULDPHQWH�H�XP�³;´�p�PDUFDGR�QD�PHVPD��;�p�XPD� variável aleatória: a) Com desvio padrão de 10 b) Com 1º quartil de 0,25 c) Com média de 5 d) Com distribuição de probabilidade uniforme e) Com distribuição de probabilidade assimétrica (FINEP ± CESPE/2009) Uma empresa produz determinado tipo de peça. A probabilidade de cada peça ser perfeita é de 0,7, e a probabilidade de cada peça ser defeituosa é de 0,3. Tomando 0,06, 0,17 e 0,24 como valores aproximados de ?ǡ ?଼, ?ǡ ?ହ e ?ǡ ?ସ, respectivamente, julgue as afirmativas. Exercício 9 Na produção de 400 itens o número esperado de peças defeituosas é de 150. Jeronymo Marcondes, Arthur Lima Aula 04 Estatística p/ ISS Manaus (Auditor Fiscal) Com videoaulas www.estrategiaconcursos.com.br Exercício 10 A probabilidade de que uma amostra aleatória de 10 peças contenha exatamente 8 peças perfeitas é menor que 10%. Exercício 11 A probabilidade de que uma amostra aleatória de 5 peças contenha, (no máximo), 2 peças defeituosas é maior que 70%. 12 - CGU ± ESAF/2008) Seja X a soma de n variáveis aleatórias independentes de Bernoulli, isto é, que assumem apenas os valores 1 e 0 com probabilidades p e 1-p, respectivamente. Assim, a distribuição de X é: a) Binomial com parâmetros n e p. b) Gama com parâmetros n e p. c) Qui quadrado com n graus de liberdade. d) Laplace. H��³W´�GH�6WXGHQW�FRP�Q-1 graus de liberdade. 13 - AFRFB ± ESAF/2009) Em um experimento binomial com três provas, a probabilidade de ocorrerem dois sucessos é doze vezes a probabilidade de ocorrerem três sucessos. Desse modo, as probabilidades de sucesso e fracasso são, em percentuais, respectivamente, iguais a: a) 20 % e 80 % b) 80 % e 20 % c) 60 % e 40 % d) 30 % e 70 % e) 25 % e 75 % Jeronymo Marcondes, Arthur Lima Aula 04 Estatística p/ ISS Manaus (Auditor Fiscal) Com videoaulas www.estrategiaconcursos.com.br 14 - BACEN ± FCC/2005) A probabilidade de um associado de um clube de pagar sua mensalidade com atraso é de 5%. Entre 5 associados escolhidos aleatoriamente, a probabilidade de pelo menos um pagar sua mensalidade sem atraso é: a)� ? ? ሺ ?ǡ ? ?ሻହ b) ? െሺ ?ǡ ? ?ሻହ c)� ? െ ሺ ?ǡ ? ?ሻହ d)�ሺ ?ǡ ? ?ሻହ e)� ?ǡ ? ?ڄ ሺ ?ǡ ? ?ሻହ 15 - MDIC ± ESAF\2013) Em uma população de 50 empresas de uma região, 20 são empresas exportadoras. Qual o valor mais próximo do número esperado de empresas exportadoras em uma amostra aleatória de tamanho 20 retirada sem reposição da amostra. a) 10 b) 8 c) 7,5 d) 6 e) 4 16 - SUSEP ± ESAF/2010) Um estudo indica que, nas comunidades que vivem em clima muito frio e com uma dieta de baixa ingestão de gordura animal, a probabilidade de os casais terem filhos do sexo masculino é igual a 1/4. Desse modo, a probabilidade de um casal ter dois meninos e três meninas é igual a: a) 37/64 b) 45/216 c) 1/64 d) 45/512 e) 9/16 Jeronymo Marcondes, Arthur Lima Aula 04 Estatística p/ ISS Manaus (Auditor Fiscal) Com videoaulas www.estrategiaconcursos.com.br 17 - ISS-SP ± FCC\2012) Suponha que ao realizar um experimento ocorra o evento A com probabilidade p e não ocorra com probabilidade (1-p). Repetimos o experimento de forma independente até que A ocorra pela primeira vez. Seja: X = número de repetições do experimento até que A ocorra pela primeira vez. Sabendo que a média de X é 3, a probabilidade condicional H[SUHVVD�SRU�3��;� ���_�;�����p�LJXDO�D a) 5/27 b) 4/27 c) 2/9 d) 1/3 e) 6/19 18 - TRE-ES ± FCC/2011) O custo para a realização de um experimento é de 500 reais. Se o experimento falhar haverá um custo adicional de 100 reais para a realização de uma nova tentativa. Sabendo-se que a probabilidade de sucesso em qualquer tentativa é 0,4 e que todas são independentes, o custo esperado de todo o procedimento o primeiro sucesso: a)1.500. b)1.400. c)1.300. d)1.200. e) 1.000. Jeronymo Marcondes, Arthur Lima Aula 04 Estatística p/ ISS Manaus (Auditor Fiscal) Com videoaulas www.estrategiaconcursos.com.br 19 - AFRFB ± ESAF/2013\modificada) Em uma cidade de colonização alemã, a probabilidade de uma pessoa falar alemão é de 60%. Selecionando-se ao acaso 4 pessoas desta cidade, a probabilidade de, exatamente, 3 delas não falarem alemão é, em valores percentuais, igual a a) 6,4. b) 12,26. c) 15,36. d) 3,84. e) 24,5. 20 - DNIT ± ESAF/2013) Dois dados de seis faces são lançados simultaneamente, e os números das faces voltadas para cima são somados. A probabilidade da soma obtida ser menor do que cinco ou igual a dez é igual a: a) 35% b) 20% c) 30% d) 15% e) 25% 21 - MTUR ± ESAF/2013) Com os dígitos 3, 4, 5, 7, 8 e 9 serão formadas centenas com dígitos distintos. Se uma centena for selecionada ao acaso, a probabilidade de ser menor do que 500 e par é a) 15% b) 10% c) 25% d) 30% e) 20% Jeronymo Marcondes, Arthur Lima Aula 04 Estatística p/ ISS Manaus (Auditor Fiscal) Com videoaulas www.estrategiaconcursos.com.br 22 - AFRFB ± ESAF/2009) O número de petroleiros que chegam a uma refinaria ocorre segundo uma distribuição de Poisson, com média de dois petroleiros por dia. Desse modo, a probabilidade de a refinaria receber no máximo três petroleiros em dois dias é igual a: a) ଷଶଷ ݁ିସ b) ଷଵ ݁ସ c) ଵଷ ݁ିସ d) ଵଷ ݁ିଶ e) ଷଶଷ ݁ିଶ 23 - ICMS-RJ ± 2014/FCC) O número de atendimentos, via internet, realizados pela Central de Atendimento Fazendário (CAF) segue uma distribuição de Poisson com média de 12 atendimentos por hora. A probabilidade dessa CAF realizar pelo menos 3 atendimentos em um período de 20 minutos é a) 0,594 b) 0,910 c) 0,766 d) 0,628 e) 0,750 Dados: ࢋି ൌ ǡ Ǣ ࢋି ൌ ǡ ૡ Jeronymo Marcondes, Arthur Lima Aula 04 Estatística p/ ISS Manaus (Auditor Fiscal) Com videoaulas www.estrategiaconcursos.com.br 24 - ICMS-SP ± FCC/2013) Sabe-se que em determinado município, no ano de 2012, 20% dos domicílios tiveram isenção de determinado imposto. Escolhidos, ao acaso e com reposição, quatro domicílios deste município a probabilidade de que pelo menos dois tenham tido a referida isenção é igual a a) 0,4096 b) 0,4368 c) 0,1808 d) 0,3632 e) 0,2120 25 - TJ RO ± CESPE\2012) Jeronymo Marcondes, Arthur Lima Aula 04 Estatística p/ ISS Manaus (Auditor Fiscal) Com videoaulas www.estrategiaconcursos.com.br (PETROBRAS ± CESGRANRIO/2014) Use o texto abaixo para responder as questões a seguir. Um analista observou que a média das remunerações recebidas pelos 100 empregados que responderam a uma determinada pesquisa estava muito baixa: R$ 2.380,00. Após investigar, verificou que 15% das respostas estavam com valor nulo e todas elas eram referentes às respostas dos empregados que se recusaram a responder a esse quesito, embora recebessem remuneração. Exercício 26 Retirando essas observações nulas, a média dos salários dos respondentes é, em reais, (A) 2.380 (B) 2.487 (C) 2.650 (D) 2.737 (E) 2.800 Exercício 27 Inicialmente, o analista registrou variância
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