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1 ` Universidade Federal do Amazonas Faculdade de Tecnologia Mestrado em Engenharia Elétrica Prof. Dr. João Edgar Trabalho Final de Sistemas Lineares 2013 PROJETO BALL AND BEAM Por Hiram Amaral Monitoria de Rodrigo Araújo Manaus – Julho – 2013 2 1. Enunciado............................................................................................................. 3 2. Introdução............................................................................................................. 4 3. Modelagem do sistema ........................................................................................ 5 4. Critérios de projeto ............................................................................................... 6 5. Equações do sistema............................................................................................ 6 6. Função de Transferência...................................................................................... 7 7. Análise do sistema Ball and Beam........................................................................ 7 8. Mapa de Pólos e Zeros.......................................................................................... 8 9. Resposta do sistema ao degrau em malha aberta................................................ 8 10. Equações de estado............................................................................................ 9 11. Análise da controlabilidade do sistema trave...................................................... 10 12. Análise da observabilidade do sistema trave...................................................... 11 13. Análise da controlabilidade do sistema servo..................................................... 12 14. Análise da observabilidade do sistema servo..................................................... 12 15. Projeto de controlador para métodos de equação de estado.............................. 13 16. Controlador de realimentação de estado completo............................................. 13 17. Método 1 – Determinação a partir da linha de 45 graus...................................... 14 18. Determinação de pólos a partir da linha de 45 graus.......................................... 14 19. Determinação de K, P, L e da constante g da trave............................................ 15 20. Determinação das matrizes K, P, L e da constante g do servo........................... 16 21. Método 2 – Determinação a partir de zeta........................................................... 17 22. Entrada de referência.......................................................................................... 18 23. Projeto do Observador – Controlador.................................................................. 19 24. Código Matlab do Servo...................................................................................... 20 25. Modelamento no Simulink................................................................................... 21 26. Construção do modelo no Simulink..................................................................... 21 27. Resultados obtidos no Laboratório...................................................................... 25 28. Posição bola........................................................................................................ 25 29. Tensão aplicada ao sistema................................................................................ 25 30. Ângulo da Trave.................................................................................................. 25 31. Alterações realizadas após a simulação............................................................. 26 32. Conclusões.......................................................................................................... 29 33. Bibliografia........................................................................................................... 31 34. Anexos 3 1. Enunciado Simular o controle do Ball and Beam usando o modelo da planta e garantir que as especificações sejam cumpridas sem qualquer saturação do atuador. O projeto deve considerar as matrizes e as constantes dadas: % Modelo Trave kbb=0.4184; A=[0 1; 0 0] B=[0 kbb]'; C=[1 0]; D=0; % Modelo Servo-Motor k=1.7588; tau=0.0285; A=[0 1; 0 -1/tau] B=[0 k/tau]' C=[1 0] D=0; 4 2. Introdução O objetivo da experiência Ball and Beam é estabilizar a bola para a posição desejada ao longo da trave. Um sistema de controle em cascata deve ser projetado para atender às especificações. A bola é colocada sobre a trave, onde é permitido rolar com um grau de liberdade ao longo do comprimento da trave. Um braço de alavanca está ligado à trave em uma extremidade e uma engrenagem conectada a um servo na outra. À medida que a engrenagem do servo gira de um ângulo θ, a alavanca altera o ângulo da trave de α Quando o ângulo é alterado a partir da posição horizontal, a gravidade faz com que a bola role ao longo da trave. Um controlador deve ser projetado para o sistema de modo que a posição da bola possa ser manipulada. O sistema Ball and Beam pode ser visualizado na Figura 1. O experimento foi realizado no Laboratório de Automação e controle da Universidade do Amazonas sob a orientação do monitor Rodrigo Araújo. Figura 1 – Ball and Beam Fonte: Quanzer - Manual do Ball and Beam 5 3. MODELAGEM DO SISTEMA Figura 2 – Diagrama de Corpo Livre do Ball and Beam Fonte: Quanzer - Manual do Ball and Beam ` Para simplificar o problema, não foram considerados neste experimento a atrito entre a bola e a trave e o amortecimento viscoso, e, portanto, supõe-se que a bola rola sem escorregar e atrito entre a trave e bola é insignificante. As constantes e variáveis para este exemplo são definidos como se segue: (m) a massa da bola 0,064 kg (R), o raio da esfera de 0,0127 m (d) braço de alavanca compensados 0,0254 m (g) a aceleração gravitacional -9,8 m / s ^ 2 (L) o comprimento do feixe de 0,42 m (J), o momento de inércia da bola 3,873e-7 m 2 (r) coordenada da posição da bola (Alpha) ângulo da trave de coordenadas (Theta) ângulo engrenagem do servo A Figura 3 ilustra o diagrama em bloco de malha-aberta do sistema, onde claramente, podem-se identificar as funções de transferências do sistema: istemas servo (SRV02) e trave (BB01) Figura 3 – Diagrama em bloco do sistema Ball and Beam Fonte: Quanzer - Manual do Ball and Beam 6 A entrada do sistema Vm(s) entra na planta do subsistema do servo que tem como saída o ângulo θl(s) que é aplicado ao subsistema da trave e tem-se na saída o sinal X(s). Considerando a planta do diagrama em bloco, temos a função de transferência da planta. Função de transferência da planta da trave(BB01) é formada pela relação entre a saída X(s) e a entrada da planta θl(s), conforme segue: Da relação entre saída da planta SRV02 (θl(s)) e sua entrada Vm(s) produzem a Função de transferência do sistema do servo: 4. Critérios de projeto * Tempo de estabilização <3 segundos * Overshoot <5% 5. Equações do sistema A função de transferência da planta SRV02 produz o ângulo gerado pelo servo através da aplicação de tensão em seus terminais. Negligenciando o atrito entre a bola e a trave, e o amortecimento viscoso as forças agindo sobre a bola tem a seguinterepresentação: A equação que relaciona o ângulo de feixe para o ângulo da engrenagem pode ser \ Da equação assumindo as condições iniciais como zero na equação conseguimos a função de transferência de malha aberta da planta BB01 7 6. Função de Transferência Da equação P(s)=Ps(s)+Pbb(s) onde temos as plantas em série pode ser representada pela seguinte equação do processo P(s)= + P(s)= X(s)= Deve-se notar que a função de transferência da planta é um integrador duplo. Como tal, irá fornecer um problema de controle que demandará certo esforço para ser solucionado. A partir dos parâmetros do sistema, dados, a função de transferência pode ser implementada em MATLAB para que possamos analisar a estabilidade do sistema através dos gráficos da curva da função de transferência e da localização dos pólos no plano complexo, conforme segue: ‘. Por questões didáticas, as plantas serão projetadas separadamente e depois integradas 7. ANÁLISE DO SISTEMA BALL AND BEAM Com os comandos tf, pzmap, step conseguimos realizar as análises do sistema. disp('======== Função de Transparência do Sistema Ball and Beam ========') m = 0.064; R = 0.0127; g = -9.8; L = 0.42; d = 0.0254; J = 3.87e-7; s = tf('s'); TF_BaB = -m*g*d/L/(J/R^2+m)/s^2 disp('---------------- Instabilidade do sistema em malha aberta ---------') figure(1) step(TF_BaB) grid disp('----------------------- Mapa de pólos e zeros --------------------') figure(2) pzmap(TF_BaB) grid disp('===================================================================') 8 ===== Função de Transparência do Sistema Ball and Beam ======= Transfer function: 0.5713 ------ s^2 ============================================================== 8. Mapa de Pólos e Zeros O sistema Ball and Beam é um sistema que tem dois pólos na origem, como visto no mapa de pólos / zeros da Figura 4. Uma vez que os pólos não são rigorosamente no semi-plano esquerdo, o sistema de circuito aberto pode ser instável. pzmap (FT_BaB) Figura 4 – Mapa de pólos e zeros Fonte: Retorno do código matlab 9. Resposta do sistema ao degrau em malha aberta. 9 Percebe-se ao observar a resposta da bola para uma entrada em degrau na engrenagem do servo motor o ângulo theta que o sistema tende à instabilidade step (FT_BaB) A partir deste gráfico, é claro que o sistema é instável em malha aberta fazendo com que a bola role à direita da extremidade da viga. Portanto, é necessário um método para controlar a posição da bola neste sistema. O projeto para controlar a bola sobre a trave neste trabalho será através de realimentação de estados, onde utilizar-se-á um estimador de ordem completa para resolver o problema. Figura 5 – Gráfico Ball and Beam em malha aberta Fonte: Retorno do código matlab 10. Equações de estado As equações do sistema linearizadas estão representadas em forma de equação de estado. Isto pode ser feito através da seleção da posição da bola ( ) e velocidade ( ) como a variável de estado e o ângulo de engrenagem ( ) como entrada. A representação de espaço de estados é mostrado abaixo: 10 Para o nosso exemplo de espaço de estados, estaremos utilizando um modelo ligeiramente diferente. A mesma equação para a bola ainda se aplica, mas em vez de controlar a posição angular através da engrenagem, , que irá controlar o binário do feixe. Abaixo está a representação deste sistema: ) As equações de espaço de estado podem ser representadas em MATLAB com os seguintes comandos: ss, tf2ss, Nota: Neste trabalho estaremos trabalhando com as variáveis de estado posição e ângulo para solucionar o problema de controlar a bola sobre a trave. Nos códigos a seguir são analisadas as plantas da trave e do servo separadamente para que seja verificadas estabilidade do sistema. 11. ANÁLISE DA CONTROLABILIDADE DO SISTEMA TRAVE disp('====== Determinação da Controlabilidade do sistema TRAVE ==========') disp('------------------------ Matriz da TRAVE -------------------------') kbb=0.4184; A=[0 1; 0 0] B=[0;kbb] C=[1 0] D=[0] n=size(A,1) Gc=[C; C*A] posto_Gc=rank(Gc) if posto_Gc<=n disp('Sistema Controlável') else disp('Sistema Não Controlável') end disp('===================================================================') Retorno do Código Matlab da trave =========== Determinação da Controlabilidade do sistema TRAVE ========= ---------------------------------------- Matriz da TRAVE ------------------------------------------- A = 0 1 11 0 0 B = 0 0.4184 C = 1 0 D = 0 n = 2 Gc = 1 0 0 1 posto_Gc = 2 Sistema Controlável 12. ANÁLISE DA OBSERVABILIDADE DO SISTEMA TRAVE =========================================================== disp('======== Determinação da Observabilidade do sistema TRAVE ========') disp('------------------------ Matriz da TRAVE -------------------------') kbb=0.4184; A=[0 1; 0 0] B=[0;kbb] C=[1 0] D=[0] n=size(A,1) Go=[B A*B] posto_Go=rank(Go) if posto_Go<=n disp('Sistema Observável') else disp('Sistema Não Observável') end disp('===================================================================') ============ Determinação da Observabilidade do sistema TRAVE ========== --------------------------------------- Matriz da TRAVE ------------------------------------------------ A = 0 1 0 0 B = 0 0.4184 C = 1 0 D = 0 n = 2 Go = 0 0.4184 0.4184 0 12 posto_Go = 2 Sistema Observável =============================================================== 13. ANÁLISE DA CONTROLABILIDADE DO SISTEMA SERVO disp('======== Determinação da Controlabilidade do sistema TRAVE ========') disp('----------------------- Matriz da TRAVE -------------------------') k=1.7588 tau=0.0285 % Modelo Servo-Motor A=[0 1; 0 -1/tau] B=[0; k/tau] C=[1 0] D=[0] n=size(A,1) Gc=[C; C*A] posto_Gc=rank(Gc) if posto_Gc<=n disp('Sistema Controlável') else disp('Sistema Não Controlável') end disp('===================================================================') ========== Determinação da Observabilidade do sistema TRAVE ============ ------------------------------------------- Matriz da TRAVE ------------------------------------------- k = 1.7588 tau = 0.0285 A = 0 1.0000 0 -35.0877 B = 0 61.7123 C = 1 0 D = 0 n = 2 Go = 1.0e+003 * 0 0.0617 0.0617 -2.1653 posto_Go = 2 Sistema Observável 13 14. ANÁLISE DA OBSERVABILIDADE DO SISTEMA SERVO disp('======== Determinação da Observabilidade do sistema TRAVE =========') disp('---------------------- Matriz da TRAVE ---------------------------') k=1.7588 tau=0.0285 % Modelo Servo-Motor A=[0 1; 0 -1/tau] B=[0; k/tau] C=[1 0] D=[0] n=size(A,1) Go=[B A*B] posto_Go=rank(Go) if posto_Go<=n disp('Sistema Observável') else disp('Sistema Não Observável') end disp('===================================================================') ========== Determinação da Observabilidade do sistema TRAVE ============ ------------------------------------------ Matriz da TRAVE --------------------------------------------- k = 1.7588 tau = 0.0285 A = 0 1.0000 0 -35.0877B = 0 61.7123 C = 1 0 D = 0 n = 2 Go = 1.0e+003 * 0 0.0617 0.0617 -2.1653 posto_Go = 2 Sistema Observável ================================================================ 15. PROJETO DE CONTROLADOR PARA MÉTODOS DE EQUAÇÃO DE ESTADOS Com os comandos ss , place , lsim conseguimos realizar a implementação do projeto do observador e controlador do sistema 14 16. Controlador de realimentação de estado completo Será projetado um controlador para este sistema físico que utiliza o controle de realimentação completa. Um esquema deste tipo de sistema é mostrado abaixo: Figura 8 – Gráfico Ball and Beam em malha aberta Fonte: Retorno do código matlab É importante lembrar que o polinômio característico para este sistema de circuito fechado é o determinante de (sI-(A-BK)), onde s é a variável de Laplace. Para o nosso sistema A e B * k matrizes são ambos 4x4 e que neste projeto está dividida em dois sistema de matrizes de segunda ordem. Assim, deveriam existir quatro pólos para o nosso sistema. Em nosso projeto de controlador de realimentação de estado completo, podemos mover esses pólos em qualquer lugar desejado. Considerando que a análise foi realizada separadamente em cada subsistema (trave + servo), a determinação desses pólos se dará separadamente em cada subsistema. Dada a dificuldade aos iniciantes, de se determinar, ou estimar esses pólos serão utilizadas duas formas de se calcular esses valores: 17. Método 1 – Determinação a partir da linha de 45 graus Para este projeto assume-se os seguintes critérios: Overshoot <5% que corresponde a uma zeta de 0,7 No local das raízes este critério é representado como uma linha de 45 graus que emana da origem e que se estende para fora na metade esquerda do plano. Queremos colocar os nossos pólos desejados em ou abaixo desta linha. O critério seguinte é um tempo de repouso inferior a 3 segundos, o que corresponde a um sigma = 4.6/Ts = 4,6 / 3 = 1,53, representado por uma linha 15 vertical no -1,53 no lugar das raízes. Qualquer coisa além dessa linha na metade esquerda do plano é um local adequado para os nossos pólos. Portanto, vamos colocar os nossos pólos em p1 = -3+2i; p2 = -3-2i; Vamos colocar os outros pólos longe para a esquerda em, p1 = -10+8i; p2 = -10-8i; de modo que eles não afetem a resposta do sistema. Agora com os pólos pode-se usar MATLAB para encontrar o controlador (matriz K) usando o comando place. 18. DETERMINAÇÃO DAS MATRIZES K, P, L e da constante g da TRAVE disp('========= Determinação da Matriz K, P, g e L da TRAVE =============') disp('--------------------- Sistema da Trave ---------------------------') kbb=0.4184; A=[0 1; 0 0]; B=[0; kbb]; C=[1 0]; D=[0]; %----------------------------------------- p1 = -3+2i; p2 = -3-2i; P=[p1 p2]; K = place(A,B,P) g=1/abs(C*inv(-(A-B*K))*B) %---------------------------------------- P=8*P L=place(A',C',P')'%regulação disp('===================================================================') 19. Determinação da Matriz K, P, g e L da TRAVE ----------------------------------------- Sistema da Trave --------------------------------------------- K = 31.0707 14.3403 g = 31.0707 P = -24.0000 +16.0000i -24.0000 -16.0000i L = 48.0000 832.0000 ================================================================ 20. DETERMINAÇÃO DAS MATRIZES K, P, L e da constante g do SERVO disp('========== Determinação da Matriz K, P, g e L da SERVO ===========') disp('----------------------- Sistema da Servo -------------------------') kbb=0.4184; A=[0 1; 0 0]; B=[0; kbb]; 16 C=[1 0]; D=[0]; %----------------------------------------- p1 = -10+8i; p2 = -10-8i; P=[p1 p2]; K = place(A,B,P) g=1/abs(C*inv(-(A-B*K))*B) %---------------------------------------- P=8*P L=place(A',C',P')'%regulação disp('===================================================================') ============= Determinação da Matriz K, P, g e L da SERVO =============== ------------------------------------------------ Sistema da Servo -------------------------------------- K = 391.9694 47.8011 g = 391.9694 P = -80.0000 +64.0000i -80.0000 -64.0000i L = 1.0e+004 * 0.0160 1.0496 ============================================================== Após a adição da matriz K, as equações de estado tornaram-se: Agora, podemos simular a resposta de circuito de malha-fechada para uma entrada de 0.25 etapa usando o lsim comando. Adicione o seguinte para o seu m- file.Executar o seu m-file e você deve obter o seguinte gráfico: disp('---- Gráfico do sistema SERVO com o controlador ------') K=[ 391.9694 47.8011] t = 0:0.01:5; u = 0.25*ones(size(t)); sys_cl = ss(A-B*K,B,C,D); [y,t,x] = lsim(sys_cl,u,t); plot(t, y) 17 Figura 9 – Gráfico Ball and Beam em malha aberta Fonte: Retorno do código matlab O gráfico identifica um grande erro de estado estacionário, para compensar isso, será preciso adicionar uma compensação de entrada de referência. No entanto, são cumpridos os critérios de tempo de ultrapassagem e de sedimentação. Se quiséssemos reduzir o overshoot ainda mais, poderíamos fazer a parte imaginária do pólo menor do que a parte real. Além disso, se deseja-se um tempo mais rápido de acomodação pode-se mover os pólos mais para a metade esquerda do plano. O projetista tem a liberdade para fazer a melhor escolha de acordo com as exigências do projeto. 21. Método 2 – Determinação a partir da zeta Código Matlab dos pólos da Trave disp('======= Determinação dos pólos do sistema Trave (por zeta) ========') disp('----------------------- Matriz da TRAVE --------------------------') kbb=0.4184; A=[0 1; 0 0] B=[0;kbb] C=[1 0] D=[0] %Regulador de estado ts=1; %tempo de estabelecimento mp=.5/100; % máximo sobre o impulso zeta=abs(log(mp))/sqrt(pi^2+log(mp)^2) Wn=4/(zeta*ts) alpha=4; P0=roots([1 2*zeta*Wn Wn^2]) k=place(A,B,P0)%regulação P=8*P0 18 L=place(A,B,P)%regulação disp('===================================================================') Retorno do Código Matlab dos pólos da Trave por Zeta ============== Determinação dos pólos do sistema Trave (por zeta) ========= ----------------------------------- Matriz da TRAVE por ZETA --------------------------------------- A = 0 1 0 0 B = 0 0.4184 C = 1 0 D = 0 zeta = 0.8602 Wn = 4.6503 P0 = -4.0000 + 2.3718i -4.0000 - 2.3718i k = 51.6856 19.1205 P = -32.0000 +18.9741i -32.0000 -18.9741i L = 1.0e+003 * 3.3079 0.1530 22. Entrada de referência Agora queremos livrar-se do erro de estado estacionário. Precisamos calcular qual é o valor de estado estacionário dos estados deve ter, multiplicando pelo ganho K escolhido, e usar um novo valor como referência para o cálculo da entrada. Isto pode ser feito pela adição de um ganho Nbarra constante após a referência. O esquema abaixo mostra esta relação: Figura 11 – Gráfico Ball and Beam em malha aberta Fonte: Retorno do código matlab g 19 . O g pode ser encontrado usando a função rscale.m função. Figura 12 – Gráfico Ball and Beam em malha fechada Fonte: Retorno do código matlab Agora, o erro de estado estacionário tenha sido eliminada e todos os critérios de concepção são satisfeitas. Nota: Um problema de projeto não tem necessariamente uma resposta única. Usando este método (ou qualquer outro) pode resultar em muitoscompensadores diferentes. Para a prática você pode querer voltar e tentar mudar as pole positions para ver como o sistema responde. 23. Projeto do Observador – Controlador Código Matlab da Trave disp('====================== Sistema Trave =========================') disp('================ Projeto do Controladoer da TRAVE =================') disp('-------------------------- Matriz da TRAVE -----------------------') kbb=0.4184 A=[0 1; 0 0]; B=[0; kbb]; C=[1 0]; D=[0]; %----------------------------------------- p1 = -3+2i; p2 = -3-2i; P0=[p1 p2]; K = place(A,B,P0) g=1/abs(C*inv(-(A-B*K))*B) %---------------------------------------- %Controlador - Observador de estado 20 P=8*P0 L=place(A',C',P')'%regulação disp('===================================================================') Retorno do Código Matlab da Trave =============== Projeto do Controladoer da TRAVE ============= ----------------------- Matriz da TRAVE --------------------- kbb = 0.4184 K = 31.0707 14.3403 g = 31.0707 P = -24.0000 +16.0000i -24.0000 -16.0000i L = 48.0000 832.0000 ============================================================= 24. Código Matlab do Servo disp('============== Sistema Servo Mecanismo ========================') disp('=============== Projeto do Controladoer da Servo ==================') disp('------------------------ Matriz da Servo -------------------------') k=1.7588 tau=0.0285 A1=[0 1; 0 -1/tau] B1=[0; k/tau] C1=[1 0] D1=[0] %----------------------------------------- p1 = -10+8i; p2 = -10-8i; P1=[p1 p2]; K1 = place(A1,B1,P1) g1=1/abs(C1*inv(-(A1-B1*K1))*B1); %---------------------------------------- %Controlador - Observador de estado P2=8*P1 L1=place(A1',C1',P1')'%regulação disp('===================================================================') Retorno do Código Matlab do Servo >>================ Projeto do Controladoer da Servo ================== ------------------------------------------ Matriz da Servo -------------------------------------------- k = 1.7588 tau = 0.0285 A1 = 21 0 1.0000 0 -35.0877 B1 = 0 61.7123 C1 = 1 0 D1 = 0 K1 = 2.6575 -0.2445 P2 = -80.0000 +64.0000i -80.0000 -64.0000i L1 = -15.0877 693.3937 =============================================================== 25. MODELAMENTO NO SIMULINK Para simular o código desenvolvido para a planta da trave foi montado o arquivo da Figura 13 que demonstra o processo do observador agindo sobre o subsistema da trave. O sinal do gerador de pulso é transformado de centímetros para metro antes de ser aplicado ao ganho g. O somador ganho g é adicionado ao ganho K e à matriz de ganho L (observador). Os sinais somados passam por um saturador de ângulo e são aplicados à planta Trave. Na saída da planta a posição também é saturada e é capturada pelo osciloscópio Posição. Figura 13– Observador do sistema trave Fonte: Retorno do código matlab Os valores das matrrizes são inseridos nas caixas de diálodo que são responsáveis por capturar esses valores dos arquivos .m do Matlab. 22 26. Construção do modelo no Simulink Figura 14 – Matrizes das equações de estado do simulador Fonte: Retorno do código matlab Figura 15 – Matrizes das equações de estado do simulador Fonte: Retorno do código matlab Figura 16 – Projeto do sistema trave Fonte: Retorno do código matlab Para simular o código desenvolvido para a planta do servo foi montado o arquivo da Figura 13 que demonstra o processo do observador agindo sobre o 23 subsistema da trave. O sinal do gerador de pulso é transformado de centímetros para metro antes de ser aplicado ao ganho g. O somador ganho g é adicionado ao ganho K e à matriz de ganho L (observador). Os sinais somados passam por um saturador de ângulo e são aplicados à planta Trave. Na saída da planta a posição também é saturada e é capturada pelo osciloscópio Posição. Figura 17 – Simulink da planta do servo Fonte: Retorno do código matlab Figura 18 – Projeto da planta do servo Fonte: Retorno do código matlab Figura 19 – Projeto Realimentação de estado do Ball and Beam Fonte: Retorno do código matlab 24 Figura20 – Projeto Reallimentação de estado Ball and Beam Fonte: Retorno do código matlab Arquivo entregue para simulação Figura 21 – Retorno gráfico da simulação no Simulink Fonte: Quanzer - manual do usuário 25 27. Resultados obtidos no Laboratório 28. Posição da bola Figura 22 – Resultado da simulação: Posição da bola do Ball and Beam Fonte: Retorno do código matlab 29. Tensão aplicada ao sistema Figura 23 – Resultado da simulação: Gráfico da tensão Fonte: Retorno do código matlab 30. Ângulo da Trave Figura 24 – Resultado da simulação: Ângulo da trave do Ball and Beam Fonte: Retorno do código matlab 26 31. Alterações realizadas após a simulação BaB_T153_S1510_P1010 Figura 25 – Alteração para -1,53+1,53i e -1,53-1,53i Fonte: Retorno do código matlab BaB_T1_S1510_P1010 Figura 26 – Alteração no projeto trave para -1,53+1i e -1,53-1i Fonte: Retorno do código matlab 27 BaB_T1153_S1510_P1010 Figura 27 – Alteração no projeto trave para -1+1.53i e -1-1.53i Fonte: Quanzer - manual do usuário BaB_T153_S1010_P1010 Figura 28 – Alteração no projeto servo para -10+10i e -10-10i Fonte: Quanzer - manual do usuário 28 BaB_T153_S2015_P1010 Figura 29 – Alteração no projeto servo para -20+15i e -20-15i Fonte: Quanzer - manual do usuário BaB_T153253_S1515_P1010 Figura 30 – Alteração no projeto servo para -1.53+2.53i e -1.53-2.53i (distorção) Fonte: Quanzer - manual do usuário 29 BaB_T1531_S4545_P1010 Figura 31 – Alteração no projeto servo para -4.5+4.5i e -4.5-4.5i (distorção) Fonte: Quanzer - manual do usuário 32. Conclusões O sistema Ball and Beam foi simulado para um sinal de referência degrau com amplitude variável primeiramente no Simulink antes de ser aplicado à planta real. Os pólos complexos de malha fechada foram escolhidos de uma forma que o sistema apresentasse uma resposta superamortecida a entrada degrau, corrigindo a instabilidade do sistema de malha aberta.O Integrador disposto em série ao sistema de possibilitou anular o erro estacionário. Na análise gráfica realizada pode ser percebido que a inclusão de um integrador na planta pode corrigir valores de erro estacionário significativos, que poderiam causar distorções que impossibilitariam o funcionamento dentro das especificações definidas. A diferença entre o modelo simulado em computador e o simulado na planta real são claras, chegando ao ponto de motivar algumas alterações nos valores do projeto para possibilitar o funcionamento na planta real. Podemos atribuir como causa a essas diferenças o fato de serem negligenciados as variáveis atrito e amortecimento viscoso, que adicionado ao desnivelamento da planta produziram as necessidades de correções do projeto. O overshoot inicial foi acima do especificado e corrigido através da determinação de novos pólos 30 complexos com o objetivo reduzir consideravelmente o efeito overshoot sobre o sistema. Os resultados obtidos a partir do modelo simulado no Simulink foram bem próximos ao simulado na planta real que pode ser visualizado nas Figuras 22 (posição da bola), 23(tensão aplicada ao sistema) e 24(ânguloda trave). As Figuras de 25 a 31 demonstram como a ferramenta computacional pode auxiliar o projetista de controle, pois pode ser visualizado nos gráficos 25 a 29 várias configurações que podem ser utilizadas dependendo da necessidade do projetista. Nas Figuas 30 e 31 pode ser visto que os pólos complexos que não sejam bem definidos pelo projetista geram distorções e inviabilizam o projeto. Considerando os resultados conseguidos na simulação em laboratório, na planta real, conclui-se que os objetivos do projeto foram alcançados. Contudo, esses podem ser utilizados para que possam ser melhorados em futuros estudos em temas de Sistemas Lineares, automação e controle. . 31 33. Bibliografia [1] Tutorial Matlab & Simulink para Sistemas de controle, disponível em: http://ctms.engin.umich.edu/CTMS/index.php?aux=Extras_Mfile consulta em 01/072013 [2] Universidade do amazonas, Sistemas Lineares – Apontamentos de aula do prof. Dr. João Edgar. Manaus – Amazonas 2013 [3] Ball and Beam Poisitiom Control using QuaRC, Quanser – User manual Document Number 710, revision 1.1
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