Matemática - Pré-Vestibular Impacto - Trigonometria - Relações Trigonométricas Identidades

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JACKY01/*04/08
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
RELAÇÕES TRIGONOMÉTRICAS 
(IDENTIDADES TRIGONOMÉTRICAS). 
FAÇO IMPACTO - A CERTEZA DE VENCER!!!
 
PROFº: GEORGE CHRIST 
Fa
le
 c
on
os
co
 w
w
w
.p
or
ta
lim
pa
ct
o.
co
m
.b
r 
VE
ST
IB
UL
AR
 –
 2
00
9 
 
 
CONTEÚDO 
A Certeza de Vencer 
07
2 
 
1. RELAÇÕES TRIGONOMÉTRICAS. 
 A secante de um arco x (sec x) é o inverso do 
cosseno deste mesmo arco e vice-versa. 
 
 
 
 
 
 
 
 A cossecante de um arco x (cossec x) é o inverso do 
seno deste mesmo arco e vice-versa. 
 
 
 
 
 
 
 
 A cotangente de um arco x (cotg x) é o inverso da 
tangente deste mesmo arco e vice-versa. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 RELAÇÃO FUNDAMENTAL DA TRIGONOMETRIA: 
 A soma dos quadrados do seno e cosseno de um arco 
qualquer é igual a 1 (um). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 RELAÇÃO AUXILIAR 1: A soma entre o quadrado da 
tangente de um arco x e a unidade é igual ao quadrado da 
secante do mesmo arco. 
 
 
. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 RELAÇÃO AUXILIAR 2: A soma entre o quadrado da 
cotangente de um arco x e a unidade é igual ao quadrado 
da cossecante do mesmo arco. 
 
 
 
 
 
. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 A tangente de um arco x é igual a quociente entre o 
seno e o cosseno deste mesmo arco. 
 
 
 
 
 A cotangente de um arco x é igual ao quociente 
entre o cosseno e o seno deste mesmo arco. 
 
 
 
 
 Exemplos: 
01. (UNEB – BA) Se x pertence ao intervalo 0,
2
π⎡ ⎤⎢ ⎥⎣ ⎦ e 
tg x 2= , então cos x vale: 
a) 3
2
 b) 2
2
 c) 1
2
 d) 5
5
 e) 3
5
 
 
x 
A 
P 
cosx 
x 
O 
senx 
1 
1 
– 1 
– 1 
cosx 
senx 1 
Aplicando o Teorema de Pitágoras: 
2 2 2
2 2 2
2 2
a b c
1 sen x cos x
sen x cos x 1
= +
= +
+ =
 
DEMONSTRAÇÃO 
DEMONSTRAÇÃO 
 Dividindo Ambos os membros da RELAÇÃO FUNDAMENTAL DA 
TRIGONOMETRIA 2 2sen x cos x 1+ = por 2cos x , temos: 
( )2 2 2
2 2
2 2 2
2 2
2 2
sen x cos x 1 cos x
sen x cos x 1
cos x cos x cos x
sen x 11
cos x cos x
tg x 1 sec x
+ = ÷
+ =
⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
+ =
 
DEMONSTRAÇÃO 
 Dividindo Ambos os membros da RELAÇÃO FUNDAMENTAL DA 
TRIGONOMETRIA 2 2sen x cos x 1+ = por 2sen x , temos: 
( )2 2 2
2 2
2 2 2
2 2
2 2
2 2
sen x cos x 1 cos x
sen x cos x 1
sen x sen x sen x
cos x 11
sen x sen x
1 cotg x cossec x
cotg x 1 cossec x
+ = ÷
+ =
⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
+ =
+ =
 
OBSERVAÇÕES 
a) A secante possui o mesmo sinal do cosseno; 
b) A cossecante possui o mesmo sinal do seno; 
c) A cotangente possui o mesmo sinal da tangente.
Grave a Frase: USA SEMPRE A TUA CABEÇA 
U: todos são positivos; 
S: o seno e a cossecante são positivos; 
T: a tangente e a cotangente são positivas; 
C: o cosseno e a secante são positivos.
U S 
C T 
1sec x
cos x
= , com cos x 0≠ 
1cos x
sec x
= , com sec x 0≠ 
2 2sen x cos x 1+ = 
2 2tg x 1 sec x+ = 
2 2cotg x 1 cossec x+ = 
1cossec x
s en x
= , com sen x 0≠ 
1sen x
cossec x
= , com cossec x 0≠ 
1cotg x
tg x
= , com tg x 0≠ 
1tg x
cot g x
= , com cot g x 0≠ 
sen xtg x
cos x
= , com cos x 0≠ 
cos xcotg x
sen x
= , com sen x 0≠ 
 
 
 FAÇO IMPACTO – A CERTEZA DE VENCER!!!
Fa
le
 c
on
os
co
 w
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co
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 Resolução: 
 Como x é um arco do primeiro quadrante todas as 
razões trigonométricas são positivas. 
 Calculamos a secante de x pela Relação Auxiliar 1: 
 
( )
2 2
2 2
2
tg x 1 sec x
2 1 sec x
sec x 5
sec x 5 sec x 5 1º quadrante
+ =
+ =
=
= ± ⇒ =
 
 Calculamos o cosseno de x pela relação: 
 
1cos x
sec x
. 51 5cos x cos x
55 . 5
=
= ⇒ =
 
 ALTERNATIVA (D) 
 
2. IDENTIDADES TRIGONOMÉTRICAS. 
 Identidades Trigonométricas são igualdades 
envolvendo as razões trigonométricas, que são verificadas 
para todo arco x que podem ser atribuídos a tais razões. 
 
 Exemplos: 
02. (UCDB – MT) Para todo x ∈ � tal que x k.
2
π≠ + π , 
k ∈ � , expressão ( ) ( )2 2cos x . tg x 1+ é igual a: 
a) sen x
cos x
 c) 1 e) sen x cos x+ 
b) 1 cos x+ d) 2sen x 
 Resolução: 
 Como 2 2tg x 1 sec x+ = , temos: 
 ( ) ( )2 2 2 2 2 21cos x . tg x 1 cos x.sec x cos x. 1cos x+ = = = 
 ALTERNATIVA (C) 
 
3. EXERCÍCIOS (DESTRUIÇÃO TOTAL). 
 
01. (CEFET) Assinale a alternativa falsa: 
a) 1sec x
3
= c) 3cos x
4
= e) cos x 50= 
b) tg x 50000= d) sen x 1= 
 
Na questão 02, assinale na coluna I as proposições 
corretas e na coluna II as proposições erradas. 
02. (UNICAP) Sabendo que 3sen 60º
2
= e 1sen 30º
2
= , 
tem-se: 
I – II 
0 – 0 tg 30º 3= 
1 – 1 3tg 60º
3
= 
2 – 2 cot g 30º 3= 
3 – 3 sec 60º 2= 
4 – 4 3cossec 30º
3
= 
 
03. (UCDB) Simplificando a expressão 
( ) ( ) ( )E sec x cos x . cossec x sen x . tg x cotg x= − − + , 
obtém-se: 
a) E sen x= c) E tg x= e) E 1= 
b) E cos x= d) E 0= 
 
04. (UCSAL) Qualquer que seja o número real x, a 
expressão 4 4cos x sen x− é equivalente a: 
a) 2sen x 1− c) 22 cos x 1− e) ( )sen x cos x .cos x+ 
b) 2 sen x cos x d) 22 cos x− 
 
05. (UCDB – MT) Simplificando-se a expressão 
sen x 1 cos xy
1 cos x sen x
+= ++ obtém-se: 
a) y 2cotg x= c) y 2cos x= e) y 2cossec x= 
b) y 2sen x= d) y 2 tg x= 
 
06. (UCDB) Sabe-se que 24 tg x 9= e 5 x 3
2
π < < π . 
Então a expressão E 4 sen x 6cos x cot g x= − − + vale: 
a) 3
2
 b) 3
2
− c) 2
3
 d) 2
3
− e) 9
4
 
 
07. (U.F.VIÇOSA) Sabendo que 1sen x
3
= e x
2
π < < π , o 
valor de cossec x sec x
cot g x 1
−
− é: 
a) 3 2
4
 b) 2 2
3
 c) 3 2
4
− d) 2 2
3
− e) 3 
 
08. (UNIFOR) Para todo x k .
2
π≠ , k ∈ � , a expressão 
cossec cos
sec sen
θ + θ
θ + θ é equivalente é: 
a) tg− θ c) cotg− θ e) sec . tgθ θ 
b) tg θ d) cotg θ 
 
09. (PUC) O arco que tem medida x em radianos é tal que 
x
2
π < < π e tg x 2= − . O valor do seno de x é: 
a) 3 b) 2 c) 3
3
 d) 6
3
 e) 2
2
 
 
10. (UAAM) Sabendo que 2sen x
3
= e que x está no 1º 
quadrante, o valor de cotg x é: 
a) 5
2
 b) 1
3
 c) 5
3
 d) 5
3
 e) 5
2
 
 
GABARITO 
01 02 03 04 05 06 07 08 09 10
A I – 2,3 II – 0,1,4 E C E D C D D E