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# 59441176 Problemas Cap 3 Todos

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```1
Problema 3.1

Encontre os autovalores e os autovetores de 0
0y
i
i
\u3c3 \u2212\u239b \u239e= \u239c \u239f\u239d \u23a0 . Suponha que o
elétron está no estado de spin \u3b1\u3b2
\u239b \u239e\u239c \u239f\u239d \u23a0
. Se yS é medido, qual é a probabilidade
2
= ?

Solução:

O vetor de estado pode ser escrito como:

a b\u3c8 \u3b1 \u3b2
\u3b1\u3c8 \u3b2
= +
\u239b \u239e= \u239c \u239f\u239d \u23a0

...........................................................................................................................
Lembre-se:

\u2211 +==
'
''
a
bbaaaa \u3c8\u3c8\u3c8\u3c8
...........................................................................................................................

...........................................................................................................................
Lembre-se:

\u239f\u239f\u23a0
\u239e
\u239c\u239c\u239d
\u239b
\u2212
+= \u3b1
\u3b1\u3b1 . (3.2.27a) \u239f\u239f\u23a0
\u239e
\u239c\u239c\u239d
\u239b
\u2212
+= \u3b1
\u3b1\u3c7 (3.2.28)
...........................................................................................................................

Para os autovalores temos:
( )det 0y I\u3c3 \u3bb\u2212 =
2
...........................................................................................................................
Lembre-se:

\u239f\u239f\u23a0
\u239e
\u239c\u239c\u239d
\u239b \u2212=
0
0
2 i
i
S y
= . (1.4.18b)

Portanto:

yyS \u3c32
== .
...........................................................................................................................

Temos ainda que:

0
0
0
y
i
i o
I
\u3c3
\u3bb\u3bb \u3bb
\u2212\u239b \u239e= \u239c \u239f\u239d \u23a0
\u239b \u239e= \u239c \u239f\u239d \u23a0

Substituindo, temos:

2 2
0 0
det 0
0 0
det 0
0
i
i
i
i
i
\u3bb
\u3bb
\u3bb
\u3bb
\u3bb
\u23a1 \u23a4\u2212\u239b \u239e \u239b \u239e\u2212 =\u23a2 \u23a5\u239c \u239f \u239c \u239f\u239d \u23a0 \u239d \u23a0\u23a3 \u23a6
\u23a1 \u23a4\u2212 \u2212\u239b \u239e =\u23a2 \u23a5\u239c \u239f\u2212\u239d \u23a0\u23a3 \u23a6
+ =

Os autovalores são:

1 1\u3bb = e 2 1\u3bb = \u2212

3
Para os autovetores, temos:

( ) 0
y
y
\u3c3 \u3c8 \u3bb \u3c8
\u3c3 \u3bb \u3c8
=
\u2212 =

Substituindo, temos:

0
0
0
0
i
i
i
i
i
i
\u3bb \u3b1
\u3bb \u3b2
\u3bb\u3b1 \u3b2
\u3b1 \u3bb\u3b2
\u3bb\u3b1 \u3b2
\u3b2\u3b1 \u3bb
\u2212 \u2212\u239b \u239e\u239b \u239e =\u239c \u239f\u239c \u239f\u2212\u239d \u23a0\u239d \u23a0
\u2212 \u2212 =\u23a7\u23a8 \u2212 =\u23a9
\u2212 \u2212 =
= \u2212

De acordo com a condição de normalização, temos:

2 2 1\u3b1 \u3b2+ = .

4
Substituindo, temos:

( )
( )
( )
2
2
2
2
2
2 2 2 2
2 2 2
2
2
2
2
2
2
1
1
1
1
1
i\u3b2 \u3b2\u3bb
\u3b2 \u3b2\u3bb
\u3b2 \u3bb \u3b2 \u3bb
\u3b2 \u3bb \u3bb
\u3bb\u3b2 \u3bb
\u3bb\u3b2 \u3bb
\u2212 + =
+ =
+ =
+ =
= +
= +

Para \u3b1 , temos:

( )
2
21
i \u3bb\u3b1 \u3bb \u3bb= \u2212 +

Substituindo 1\u3bb = \u2212 , temos:

2
1
2
i\u3b1
\u3b2
=
=

5
Substituindo 1\u3bb = , temos:

2
1
2
i\u3b1
\u3b2
= \u2212
=

Portanto,

1
12
i\u3c8+ \u2212\u239b \u239e= \u239c \u239f\u239d \u23a0 1=\u3bb 1+=+ \u239f
\u239f
\u23a0
\u239e
\u239c\u239c\u239d
\u239b=
\u3bb\u3b2
\u3b1\u3c8

e

1
12
i\u3c8\u2212 \u239b \u239e= \u239c \u239f\u239d \u23a0 1\u2212=\u3bb 1\u2212=\u2212 \u239f
\u239f
\u23a0
\u239e
\u239c\u239c\u239d
\u239b=
\u3bb\u3b2
\u3b1\u3c8

...........................................................................................................................
Lembre-se:
( )
( ) \u2212\u2212
++
\u2212==
+==
\u3c8\u3bb\u3c8\u3c3
\u3c8\u3bb\u3c8\u3c3
1
1
y
y
...........................................................................................................................

Imagine que o sistema esta em um estado \u3c8 . Qual é a probabilidade ou
amplitude de transição para o sistema ser achado em +\u3c8 quando yS é
medido?

A probabilidade de que o elétron esteja no estado de spin \u3b1\u3c8 \u3b2
\u239b \u239e= \u239c \u239f\u239d \u23a0
, se yS é
medido, pode ser escrita como:

2
yP S\u3c8 \u3c8+= .

6
Temos ainda que:

\u239f\u239f\u23a0
\u239e
\u239c\u239c\u239d
\u239b \u2212=
0
0
2 i
i
S y
=

Substituindo,

( )
( )
2
2
01 1
022
1
2 2
i
P i
i
P i
\u3b1
\u3b2
\u3b1
\u3b2
\u2212\u239b \u239e\u239b \u239e= \u239c \u239f\u239c \u239f\u239d \u23a0\u239d \u23a0
\u239b \u239e= \u239c \u239f\u239d \u23a0
=
=

temos a probabilidade de que o elétron seja achado em +\u3c8 com autovalor
2/=+ quando yS é medido:

( )
2
2
2
2 2
8
P i
P i
\u3b1 \u3b2
\u3b1 \u3b2
= +
= +
=
=
.
1
Problema 3.10

\u2020
0 0 0( ) ( , ) ( ) ( , )t U t t t U t t\u3c1 \u3c1= .

b. Suponha que nós temos um conjunto puro em 0t = . Prove que ele não
pode evoluir em um conjunto misto quando a evolução temporal é

Solução:

( ) ( )i i
i
i
w\u3c1 \u3b1 \u3b1=\u2211 .

Para acharmos a evolução temporal de \u3c1 devemos evoluir os kets e os brás

( ) ( )
0 0
( ) ( ) \u2020
0 0
, ; ( , )
, ; ( , )
i i
i i
t t U t t
t t U t t
\u3b1 \u3b1
\u3b1 \u3b1
=
=
.

Substituindo, temos:

( )
( ) ( )
0 0
( ) ( ) \u2020
0 0
( ) ( ) \u2020
0 0
\u2020
0 0 0
( ) , ; , ;
( ) ( , ) ( , )
( ) ( , ) ( , )
( ) ( , ) ( , )
i i
i
i
i i
i
i
i i
i
i
t w t t t t
t wU t t U t t
t U t t w U t t
t U t t t U t t
\u3c1 \u3b1 \u3b1
\u3c1 \u3b1 \u3b1
\u3c1 \u3b1 \u3b1
\u3c1 \u3c1
=
=
\u239b \u239e= \u239c \u239f\u239d \u23a0
=
\u2211
\u2211
\u2211

2
b. A função densidade para o estado puro pode ser escrito como:

\u3c1 \u3b1 \u3b1= .

Do item (a), temos que:

( ) \u20200 0 0
\u2020
0 0
0 0
( ) ( , ) ( , )
( ) ( , ) ( , )
( ) , ; , ;
t U t t t U t t
t U t t U t t
t t t t t
\u3c1 \u3c1
\u3c1 \u3b1 \u3b1
\u3c1 \u3b1 \u3b1
=
=
=

A expressão acima ainda está mostrando que este é um estado puro.

Podemos checar esta afirmação.

2
0 0 0 0
2
0 0
2
( ) , ; , ; , ; , ;
( ) , ; , ;
( ) ( )
t t t t t t t t t
t t t t t
t t
\u3c1 \u3b1 \u3b1 \u3b1 \u3b1
\u3c1 \u3b1 \u3b1
\u3c1 \u3c1
=
=
=

e

( ) 1Tr t\u3c1 =

1
Problema 3.11

Considere um conjunto de sistemas de spin 1. A matriz densidade é agora
uma matriz 3 3× . Quantos parâmetros reais independentes são necessários
para caracterizar a matriz densidade? O que nós devemos conhecer em
adição a [ ]xS , yS\u23a1 \u23a4\u23a3 \u23a6 e [ ]zS para caracterizar o conjunto completamente?

Solução :

Da equação (3.4.9),

\u2211=
i
ii
i bbwbb ''''''
)()( \u3b1\u3b1\u3c1 , (1)

podemos escrever a matriz densidade como

\u239f\u239f
\u239f
\u23a0
\u239e
\u239c\u239c
\u239c
\u239d
\u239b
=
fec
edb
cba
**
*\u3c1 . (2)

Como a matriz densidade \u3c1 é Hermitiana,

+= \u3c1\u3c1 , (3)

temos que a , d e f são reais, enquanto b , c e e devem ser complexos.
Portanto, devemos ter uma matriz da forma:

\u239f\u239f
\u239f
\u23a0
\u239e
\u239c\u239c
\u239c
\u239d
\u239b
\u2212=\u2212=
+=\u2212=
+=+=
=
fieeeiccc
ieeedibbb
icccibbba
2121
2121
2121
**
*\u3c1 . (4)

Logo, temos 9 variáveis independentes: a , d , f , 1b , 2b , 1c , 2c , 1e e 2e . No
entanto, temos ainda da equação (3.4.11),

1=\u3c1Tr , (5)

2
ou seja,

1=++ fda . (6)

Portanto, 8 parâmetros independentes são necessários para caracterizar a

Se conhecermos [ ]xS , [ ]yS e [ ]zS , então necessitaremos de apenas 5

...........................................................................................................................
Problema 3.9:

\u239f\u239f\u23a0
\u239e
\u239c\u239c\u239d
\u239b=
dc
ba\u3c1 .

A média de um conjunto de um operador A é
[ ] [ ]ATrA \u3c1= .

Calculando os valores médios:

[ ] ( )cb
cd
ab
Tr
dc
ba
TrSx +=\u239f\u239f\u23a0
\u239e
\u239c\u239c\u239d
\u239b=\u23a5\u23a6
\u23a4\u23a2\u23a3
\u23a1
\u239f\u239f\u23a0
\u239e
\u239c\u239c\u239d
\u239b
\u239f\u239f\u23a0
\u239e
\u239c\u239c\u239d
\u239b=
2201
10
2
===

[ ] ( )cbi
icid
iaib
Tr
i
i
dc
ba
TrS y \u2212=\u239f\u239f\u23a0```