Matematica I - Professor Edezio

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MATEMÁTICA I - PROF. EDEZIO 1
MATEMÁTICA I
FUNÇÕES REAIS DE UMA 
VARIÁVEL REAL
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EDEZIO
2
EMENTA
 Funções Reais de uma Variável Real
 Principais Funções Elementares e suas 
Aplicações
 Limite
 Livro Texto:
HAZZAN, Samuel, MORETTIN, Pedro & BUSSAB, 
Wilton. Cálculo: funções de uma e várias 
variáveis. São Paulo: Ed. Saraiva, 2005.
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CONJUNTOS NUMÉRICOS
 Conjunto dos Naturais: IN={0, 1, 2, ...}.
 Conjunto dos Inteiros: 
Z={...,-3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ...}
 Conjunto dos Racionais:
Q={pq / p∈Z,q∈Z,q≠0}
Ex . : −25 ∈Q, 3=
3
1∈Q
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CONJUNTOS NUMÉRICOS
 Conjunto dos Irracionais: são os números 
que não podem ser escritos na forma p/q.
 Conjunto do Reais: IR= Q U I
Ex . : √2∈ I, 5√3∈ I, π=3,1415…
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INTERVALOS
 São subconjuntos de IR. Sejam a e b 
números reais tais que a<b. Definimos:
 Intervalo aberto:
 Intervalo fechado:
]a,b[=(a,b)={x∈R/a<x<b }
o
b
o
a
[a,b ]= {x∈R/a≤x≤b }
●
a
●
b
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Tipos de Intervalos
 Intervalo semi-aberto à direita:
 Intervalo semi-aberto à esquerda:
[a,b [=[a,b )={x∈R /a≤x<b }
o
b
●
a
]a,b ]=(a,b ]={x∈R/a<x≤b}
o
a
●
b
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Tipos de Intervalos
 Intervalo aberto de a até infinito:
 Intervalo fechado de a até infinito:
]a,∞[=(a,∞)={x∈R /x>a}
o
a
[a,∞[=[ a,∞)= {x∈R/ x≥a }
●
a
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Tipos de Intervalos
 Intervalo aberto de menos infinito até b:
 Intervalo fechado de menos infinito até b:
]−∞ ,b[=(−∞ ,b)={x∈R /x<b}
O
b
]−∞ ,b[=(−∞ ,b ]={x∈R / x≤b}
●
b
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PRODUTO CARTESIANO
 Produto Cartesiano de A por B : É o 
conjunto formado pelos pares 
ordenados, dentro dos quais o 
primeiro elemento de cada par pertence 
ao conjunto A e o segundo elemento de 
cada par pertence ao conjunto B, sendo 
A e B conjuntos dados, não vazios. Este 
conjunto é denotado por A x B
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EXEMPLO
 Ex : A={0,1,2}, B={5,6}, AxB={(0,5);(1,5);(2,5);(0,6);
(1,6);(2,6)}
 Obs : A x {}=Bx{}={}.Se A e B são não vazios, 
denotando o número de elementos de A por n(A) e o 
número de elementos de B por n(B), temos que o 
número de elementos de AxB dado por n(AxB) é dado 
pelo produto de n(A) por n(B), ou seja :
n(AxB) = n(A) . n(B)
 No exemplo acima temos 
n(AxB) = 3 . 2 = 6.
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RELAÇÃO ENTRE CONJUNTOS
 Relação de um conjunto A com um 
conjunto B, dados A e B é um 
subconjunto qualquer de AxB
 Ex : A = {0,1,2}, B = {5,6}, R = {(0,5);
(1,6)} , R AxB, logo é uma relação de A 
em B. Se diz neste exemplo que o 
elemento 0 A é relacionado com o 
elemento 5 B e o elemento 1 A é 
relacionado com o elemento 6 B.
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Representação Gráfica
 Quando os Conjuntos A e B são numéricos, as 
relações são formadas por pares ordenados de 
números. Um par ordenado de números reais pode 
ser representado geometricamente por meio de dois 
eixos perpendiculares, sendo o horizontal chamado de 
eixo das abscissas, ou eixo x; e o vertical, de eixo das 
ordenadas ou eixo y.
 Um par ordenado (a,b) pode ser representado 
colocando-se a no eixo x, e b no eixo y, e traçando-se 
uma vertical por a e uma horizontal por b. O ponto P 
de intersecção dessas duas retas é a representação 
do par (a,b).
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Representação Gráfica
 Dessa forma, podemos representar geometricamente 
a relação R do exemplo anterior.
(0,5)●
(1,6)●
x
y
0 1
6
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Função
 Função de um conjunto A com um 
conjunto B é uma relação de A com B, 
com as seguintes propriedades (A e B são 
não vazios):
1. Todos os elementos de A são relacionados 
com elementos de B 
2. Um elemento de A não pode ser 
relacionado com dois ou mais elementos 
de B
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Exemplos
1. A={4,7,8}; B={9,2,1,6} R = {(4,1);(7,9)}. R 
não é uma função, pois nem todos os 
elementos de A são relacionados com os 
elementos de B
2. A={4,7,8};B={9,2,1,6} R = {(4,9);(4,1);
(7,6);(8,9)}. R não é uma função, pois 
apesar de todos os elementos de A estarem 
relacionados com B, temos que um 
elemento de A (o 4) está relacionado com 
dois elementos de B (9 e 1).
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Exemplos
3. A = {4,7,8};B={9,2,1,6} R = {(4,9);
(7,9);(8,6)}. R é uma função. Além de 
todos os elementos de A estarem 
relacionados com B, esses estão 
relacionados cada um com apenas um 
elemento de B.
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Representações de uma função
 Por uma letra minúscula qualquer seguida de dois pontos, 
seguida do conjunto A, de uma seta, e do conjunto B, sendo 
abaixo colocadas as relações entre os elementos de A com os 
elementos de B. Por exemplo, tomando os conjuntos A e B 
como no exemplo anterior temos a seguinte representação:
f: {4,7,8} {9,2,1,6}
4 9
7 9
8 6
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Representações de uma função
 Por lei de associação. Quando existe uma forma geral 
de associar os elementos de A com os de B, é 
utilizada esta representação. É utilizada uma letra 
minúscula (por exemplo g) seguida por outra letra 
minúscula (geralmente x) dentro de um parênteses, 
vindo após o sinal de igualdade com a lei de 
associação adequada.
 Ex : A={1,2,3}; B={6,7,8,9}, g(x) = x +5, ou seja 
g: A B é tal que 1 é associado a 1+5=6, 2 é 
associado a 2+5=7 e 3 a 3+5=8. A letra x é 
chamada de variável.
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Representações de uma função
 Por Diagrama de Venn (ou de flechas), onde as 
relações são dadas por setas.
1
7
8
6
5
4
3
13
9
A B
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Domínio, contra domínio e imagem
 O conjunto A é chamado de domínio da 
função. O conjunto B é denominado de 
contra domínio da função. O conjunto 
formado pelos elementos de B relacionados 
aos elementos de A é definido como imagem 
da função. Neste exemplo, o domínio é dado 
por {1,7,8,6}, o contra domínio é definido por 
{5,4,3,9,13} e sua imagem é dada por 
{5,9,3}.
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FUNÇÕES REAIS UMA VARIÁVEL REAL
 São todas aquelas funções com domínio em A e 
contradomínio em B, onde tanto A como B são 
subconjuntos dos reais.
 Exemplo:
f : [0,∞) → IR
x ↦ y=x2
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Exercícios
1. Uma livraria vende uma revista por R$ 5,00 a unidade. Seja x 
a quantidade vendida.
a) Obtenha a função receita R(x);
b) Calcule R(40);
c) Qual a quantidade que deve ser vendida para dar uma 
receita igual a R$ 700,00?
2. O custo de fabricação de x unidades de um produto é dado 
pela função C(x)=100+ 2x.
a) Qual o custo de fabricação de 10 unidades?
b) Qual o custo de fabricação da décima unidade, já tendo 
sido fabricadas nove unidades?
3. Resolva a questão anterior considerando a função custo 
C(x)=1/3 x3 -24x2+ 600x + 400.
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Exercícios
4. Chama-se custo médio de fabricação de um produto ao custo de 
produção dividido pela quantidade produzida. Indicando o custo 
médio correspondente a x unidades produzidas por Cme=C(x)/x. 
O custo de fabricação de x unidades de um produto é C(x)=500+4x.
a) Qual o custo médio de fabricação de 20 unidades?
b) Qual o custo médio de fabricação de 40 unidades?
c) Para que valor tende o custo médio à medida que se aumenta x?
5. Em determinado país o imposto de renda é igual a 10% da renda, 
para rendas até $ 900,00. Para rendas acima de $ 900,00, o 
imposto de rendaé igual a $ 90,00 (10% de $ 900,00) mais 
20% da parte de renda que excede $ 900,00.
a) Qual o imposto de renda para uma renda de $ 600,00?
b) Qual o imposto de renda para uma renda de $ 1.200,00?
c) Chamando de x a renda e de y o imposto de renda, obtenha a 
expressão de y em função de x.
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Exercícios
6. Determine o domínio das seguintes funções:
a) y=2x+7 f ) y=√2−x
b ) y= 1
x−2
g ) y= 3
√x−1
c ) y= 1
x
+
3
x−3
h ) y=√2x−6+ 3x
d ) y=√x i ) y= √ x−3x−1
e ) y=√x−2 j) y=√ x+√x−2
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Funções Crescentes e Decrescente
 Dizemos que uma função f é crescente 
num intervalo [a,b] se para quaisquer 
valores x1 e x2 do intervalo, com x1< x2 
tivermos f(x1) < f(x2).
 Analogamente dizemos que f é 
decrescente num intervalo [a,b] se para 
quaisquer valores x1 e x2 do intervalo, 
com x1< x2 tivermos f(x1) > f(x2).
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Funções Crescentes e Decrescentes
 
a b a b
Crescente Decrescente
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Funções Crescentes e Decrescentes
 
●
●
●
o
o
o
1 2
1
2
3
a
b
Não é crescente . 
É dita não-decrescente
Não é decrescente. 
É dita não-crescente
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Ponto de Máximo e de Mínimo
 Seja uma função definida num domínio D. Dizemos 
que xo é um ponto de máximo relativo (ou 
simplesmente ponto de máximo) se existir um 
intervalo aberto I, com centro em xo tal que:
 Em outras palavras se as imagens de todos os 
valores de x pertencentes ao domínio, situados num 
intervalo centrado em xo, forem menores ou iguais à 
imagem de xo.
f (x )≤f ( x0 ) ∀ x∈I∩D .
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Ponto de Máximo e de Mínimo
 Analogamente dizemos que xo é um ponto de 
mínimo relativo (ou simplesmente ponto de 
mínimo) se existir um intervalo aberto I, com centro 
em xo, tal que:
 Em outras palavras se as imagens de todos os valores 
de x pertencentes ao domínio, situados num intervalo 
centrado em xo, forem maiores ou iguais à imagem de 
xo.
f (x )≥f ( x0 ) ∀ x∈I∩D .
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Ponto de Máximo e de Mínimo
 Dizemos que x0 é um ponto de máximo 
absoluto se 
 E x0 é um ponto de mínimo absoluto se
f (x )≤ f ( x0 ) ∀ x∈D .
f (x )≥f ( x0 ) ∀ x∈D .
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Ponto de Máximo e de Mínimo
 Pontos de máximo: a, x2, b.
 Pontos de mínimo: x1, x3.
 x2 é máx. absoluto e x1 é min. absoluto.
a
x1
x2
x3
b
● ●
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Estudo do Sinal de uma Função
 Estudar o sinal de uma função significa 
obter os valores de x para os quais y>0 
ou y < 0 ou y = 0.
1
3 5
6
+
+
-
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Estudo do Sinal de uma Função
 No exemplo anterior temos na função 
definida no intervalo [1,6]:
 y > 0 para 1≤ x < 3 ou para 5 < x ≤ 6;
 y < 0 para 3< x < 5;
 y = 0 para x = 3 ou x = 5.
 Obs.: x=3 e x=5 são denominados 
zeros ou raízes da função.
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Exercícios
1. Obtenha os intervalos nos quais a função dada é crescente e 
nos quais ela é decrescente indicando pontos de máximo e de 
mínimo.
-2
1
-4
-7
3 5 6
●
●
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Exercícios
2. Estude o sinal das seguintes funções:
x3
a)
x4
b)
2 5
c)
x
2 5
x
x
e)
-1 0 1
f)
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Respostas
1. Função crescente:[-7,-4], [1,5];
Função decrescente: [-4,1], [5,6];
Pontos de máx. rel.: -4, 5;
Pontos de mín. rel.: -7, 1, 6;
Ponto de máx. absoluto: -4;
Ponto de mín. absoluto: 1.
2. (a)
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Principais Funções Elementares
 Função Constante
Seja . Chamamos de função constante 
à função dada por:
c∈lR
f : lR → lR
x ↦ y=f (x )=c
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Função Constante
 Observação: 
1. Im f = {c};
2. O gráfico de f é uma reta horizontal 
de ordenada c.
x
y
c f(x) = c
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Função Linear
 Seja Chamamos de função linear à 
função dada por:
 Obs.: Se a≠0, temos:
1. Im f = lR;
2. O gráfico de f é uma reta que passa pela 
origem (0,0) do plano cartesiano.
a∈lR .
f : lR → lR
x ↦ y=f (x )=ax
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Função Linear
 
x
y f(x) = ax
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Função Linear
3. A função linear f(x) = x é chamada 
função identidade e contém as 
bissetrizes do 1º e 3º quadrantes.
x
y
f(x) = x
1
1
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Função do 1º Grau (ou Afim)
 Sejam com a≠0. Chamamos 
de função afim ou do 1º grau à função 
dada por:
a, b∈lR,
f : lR → lR
x ↦ y=f (x )=ax+b
Y = ax + b
x
y
b ὠ
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Função do 1º Grau (ou Afim)
 Observações:
1. As funções lineares f(x) = ax com são casos 
particulares de funções afins f(x)=ax +b, em que b = 0;
2. Im f = lR;
3. O gráfico de f é uma reta no plano cartesiano, inclinada 
em relação aos eixos;
4. O número b é denominado coeficiente linear da reta e 
determina a ordenada em que esta reta intercepta o eixo 
y (pois b= f(0));
5. O número a é denominado coeficiente angular ou 
inclinação da reta (especifica a sua direção) a=tg ὠ.
a≠0
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Função do 1º Grau (ou Afim)
5. Além disso, se:
1. a>0, então f(x)=ax+b é crescente, isto é, x1<x2 
 implica f(x1)<f(x2) (isto significa que à medida 
que “aumentam” os valores de x, “aumentam” 
os valores correspondentes y=f(x));
2. a<0, então f(x)=ax+b é decrescente, isto é, 
x1<x2 implica f(x1)>f(x2) (isto significa que à 
medida que “aumentam” Os valores de x, 
“diminuem” os valores correspondentes y=f(x)).
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Função do 1º Grau (ou Afim)
 
(a>0) (a<0)
x1 x2
f(x1)
f(x2)
x1 x2
f(x1)
f(x2)
x
y y
x
0º < Ө < 90º —>a = tg Ө > 0
 Função crescente
90º < Ө < 180º —>a = tg Ө < 0
 Função decrescente
 Ө Ө
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Função do 1º Grau (ou Afim)
6. O estudo da variação de sinal da função f(x)=ax+b pode ser 
dividido em dois casos:
1º caso: a>0: 
x=−ba⇒ f (x )=0 ; x>−
b
a ⇒ f ( x )>0 ; x<−
b
a⇒ f (x )<0.
-b/a
(+)
(-) x
y
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Função do 1º Grau (ou Afim)
6. 2º caso: a<0:
x=−ba⇒ f (x )=0 ; x>−
b
a ⇒ f ( x )<0 ; x<−
b
a⇒ f (x )>0.
-b/a
(+)
(-) x
y
b
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Exemplos
1. Obtenha a função cujo gráfico é dado pela figura 
abaixo:
Seja y=a.x+b a função procurada. Então:
b=1 (onde corta o eixo y), assim y=a.x+1; o ponto 
(1,3) pertence ao gráfico,logo: 3=a.1+1, sendo 
assim a=2; desta forma y=2x+1.
1
3
1
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Exemplos
2. Obtenha a função cujo gráfico é dado pela figura abaixo:
Seja y=ax+b a função procurada. Pelo gráfico temos: 
1 2
2
3
{3=a⋅2+b2=a⋅1+b}
x
y
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Exemplos
Subtraindo membro a membro teremos:
3-2=2.a-1.a=a(2-1)
Assim, y=x+b. Novamente como o ponto (1,2) pertence ao 
gráfico, temos: 2=1+b o que acarreta b=1, logo: y=x+1.
De uma forma mais geral, conhecendo dois pontos P(x0,y0) e 
Q(x1,y1) de uma reta, o seu coeficiente angular a, é dado por: 
a= 3−22−1=1
a=
y1− y0
x1−x0
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Exemplos
Conhecendo um ponto P(x0,y0) de uma 
reta e seu coeficiente angular a, a 
função correspondente é dada por:
y-y0= a(x – x0)
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Exercícios
1. Esboce os gráficos dafunções:
a) y=5; b)y=-3x; c)y=3x+2; d)y=-x+2.
2. Estude o sinal das seguintes funções:
a)y=2x-6; b)y=-3x; c)y-2x+8; d) y=5x+2.
3. Obtenha a equação da reta que passa por P e tem coeficiente 
angular a nos seguintes casos:
a) P(1,3) e a=2; b) P(-1,4) e a=-1; c) P(-1,-2) e a=2.
4. Obtenha a equação da teta que passa pelos pontos A e B nos 
seguintes casos:
a)A(1,2) e B(2,3); b) A(-1,0); c) A(2,1) e B(0,4).
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Aplicações
 Funções Custo, Receita e Lucro
 Seja x a quantidade produzida de um produto. O custo total 
de produção depende de x, e a relação entre eles 
chamamos de função custo e a indicamos por C. 
 Obs.: Existem custos que não dependem da quantidade 
produzida, tais como aluguel, seguros e outros.
 Seja x a quantidade vendida de um produto. Chamamos de 
função receita ao produto de x elo preço de venda e a 
indicamos por R.
 A função lucro é definida como a diferença entre a função 
receita R e a função Custo C. Assim, 
L(x)=R(x) – C(x)
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Exemplo
 Suponhamos que a função custo seja C(x)=5000+10x e 
a função lucro seja L(x)=15x. O ponto de 
nivelamento ou ponto crítico é o valor de x tal que 
R(x)=C(x).
Ou seja, 15x=5000+10x,
5x=5000,
x=1000.
Assim, se x>1000, o lucro será positivo, se x<1000, o 
lucro será negativo (prejuízo).
A função lucro é dada por: L(x)=R(x)-C(x)
L(x)=15x-(5000-10x)
L(x)=5x-5000
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Exemplo
prejuízo
lucro positivo
1000
ponto crítico
R
C
N
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Exercícios
1. Determine o ponto de nivelamento e esboce os gráficos da 
função receita e custo em cada caso:
a) R(x)=4x e C(x)= 50+2x; b) R(x)=200x e 
C(x)=10000+150x;
2. Obtenha as funções lucro em cada caso do exercício anterior, 
esboce o seu gráfico e faça o estudo do sinal.
3. Uma editora vende certo livro por $60,00 a unidade. Seu 
custo fixo é $10000,00 por mês, e o custo variável por 
unidade é $40,00. Qual o ponto de nivelamento?
4. Em relação ao exercício anterior, quantas unidades a editora 
deverá vender por mês para ter um lucro mensal de 
$8000,00?
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Exercícios
5. O custo fixo mensal de uma empresa é $30.000,00, 
o preço unitário de venda é $8,00 e o custo 
variável por unidade é $6,00.
a) obtenha a função lucro mensal;
b) obtenha a função lucro líquido mensal, sabendo-
se que o imposto de renda é 30% do lucro.
6. Uma editora pretende lançar um livro e estima que 
a quantidade vendida será 20.000 unidades por 
ano. Se o custo fixo de fabricação for $150.000,00 
por ano, e o variável por unidade $20,00, qual o 
preço mínimo que deverá cobrar pelo livro para 
não ter prejuízo?
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Aplicações
 Função Demanda e Oferta do 1º Grau
A demanda de um determinado bem é 
a quantidade desse bem que os 
consumidores pretendem adquirir num 
certo intervalo de tempo (dia, mês, ano 
e outros).
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