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1/2 
 
Método da Decomposição LU ou Fatoração Lu 
 
Exemplo 
 
A matriz A ficará definida como: 
 
 
 
 
 
 
Observação: A matriz L não possui inversa, isto é, a matriz L é inversível. 
 
O sistema AX = B poderá ser rescrito no formato L(UX) = B. Denominaremos UX = y. 
Logo, podemos determinar X resolvendo o par de equações: Ly = B e UX = y. 
 
 
 
 
Exemplo: Supondo 
 
  
 
Ou seja, A= X = B = . 
 
Usaremos o processo de Gauss para triangularizar a matriz A. Primeiro, observe se será 
necessário o pivotemento de alguma linha. 
 
1º Passo: Primeiro Pivô a11= 3. Então, faremos L1  L1, L2  L2 – m21 L1, L3 L3 – m31 L1; onde 
 e 
 
Ficando assim: 
 
 
2º Passo: Segundo Pivô a22= 1/3. Então, faremos L1  L1, L2  L2, L3 L3 – m32 L2; 
onde . 
 
Ficando assim: . 
 
1 0 0 0 
* 1 0 0 
* * 1 0 
* * * 1 
 
 * * * 
0  * * 
0 0  * 
0 0 0  
 
 
 
 
 
 
 
 
2/2 
 
 
 
3º Passo: Definimos, com isso, a matriz U: 
 
 
 
 
4º Passo: A Matriz L será a matriz triangular inferior com diagonal com 1’s e definida pelos 
multiplicadores m21, m31 e m32. Como podemos observar no exemplo: 
 
 
 
 
 
5º Passo: Resolveremos o par de equações: Ly = B e UX = y. 
 
Primeiro, encontraremos y: 
 
Ly = B  , utilizando a multiplicação de matrizes. 
 
Em seguida, igualdade de matrizes, o sistema pode ser resolvido encontrando 
y1=1, y2 = 5/3, y3 = 0. 
 
 
6º Passo: Encontraremos os valores de x: 
 
UX = y  , Utilizando a multiplicação de matrizes. 
 
Em seguida, igualdade de matrizes, encontraremos os valores de x procurados inicialmente: 
x1= -3, x2 = 5 e x3 = 0. 
 
 
 
1/3 
 
Método de Gauss-Jacob 
 
 
Exemplo: Supondo 
 
 
 
Dado x0 = e  = 0.05 ( precisão) 
 
 
O método consiste em dado x0 (aproximação inicial) obter x1, ...xk, através da relação recursiva: 
x k+1 = Cxk + G pode ser escrito na forma: 
 
 
 
 
Exemplo: 
 
 
Seja 
 
  onde B = 
 
 
 
1º Passo: Observe que x corresponde na definicao do método a , y a e z a , ou seja, 
podemos reescrever o sistema como: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2/3 
 
 
 
 
2º Passo: Portanto, podemos reescrever da forma: 
 
 
 
3º Passo: Podemos, a partir do 2º passo, definir a matriz 
e a matriz G = 
 
 
4º Passo: Iniciamos o processo iterativo. Assim, temos para k = 0: 
 
 
 
5º Passo: Como realizamos a primeira iteração, faremos o teste de parada para verificar se a 
solução encontrada alcançou a precisão desejada. O teste de parada será realizado a cada iteração. 
 
 
Teste de Parada: 
 
Para identificarmos se alcançamos a precisão desejada, mediremos a distância entre xk e xk-1 por mk 
= . Da mesma maneira que no teste de parada dos métodos estudados 
anteriormente, onde procurávamos a raiz da função, podemos aplicar o teste do erro relativo. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
3/3 
 
 
Observação: Podemos usar como teste de parada um número máximo de iterações. 
 
 
Exemplo: 
 
 
 Então, (lembre-se  = 0.05). 
Portanto, passamos para k = 1. 
 
 
 
O procedimento para quando alcançamos a precisão desejada ou o máximo de iteração desejada. 
Para chegarmos a  = 0.05 deveremos fazer mais duas iterações. Você deverá fazer como exercício 
para verificar a seguinte resposta: 
 
 
x2 = com e 
 
x3 = com com 
 
 
 
Observação: O método de Gauss-Jacobi tem a convergência garantida, se o critério das linhas for 
satisfeito. 
 
 
 
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 Método de Gauss-Jordan 
 
 Lembre-se que deveremos resolver o exemplo em 2 passos: 
 
 
1º passo: Transformar o sistema linear na forma de matriz completa 
 
Exemplo: 
  
 A X = B 
 
Observação: Podemos escrever o sistema como AX = B. Onde A é a matriz dos coeficientes, X a matriz 
das incógnitas, e B a matriz dos termos independentes. 
 
2º passo: Transformaremos o sistema em um sistema cuja matriz dos coeficientes seja a matriz 
identidade, tomando em cada passo como pivô os elementos da diagonal da matriz A. Para isso, 
trabalharemos com a matriz completa. 
 
 
Aceitaremos o primeiro pivô, no exemplo, como o primeiro elemento da primeira linha (primeiro 
elemento da diagonal principal, a11) não nulo. Os elementos abaixo do pivô deverão ser anulados, 
utilizando operações elementares com a linha que contém o pivô e as respectivas linhas abaixo do 
pivô. 
 
Observação 1: Quando passarmos para a segunda linha, o pivô será o elemento não nulo a22, os 
elementos a serem anulados deverão ser os abaixo (a32) e os acima (a12) do pivô, e assim 
sucessivamente. 
 
Observação 2: Caso o pivô seja nulo, devemos fazer troca de linha, de forma que o elemento pivô 
seja diferente de zero. 
 
Exemplo: Nosso primeiro pivô é o elemento a11= 1. Devemos zerar o elemento a21, utilizando 
operações elementares com as linhas 1 e 2; modificando, assim, toda linha 2. E depois zerar o 
elemento a31, utilizando operações elementares com as linhas 1 e 3; modificando, assim, toda linha 3. 
 
Neste exemplo, multiplique a linha 1 por -2 e some com a linha 2. O resultado será uma nova linha, 
cujo primeiro elemento obrigatoriamente é nulo (L2  -2 L1 + L2). Esta nova linha será a nova linha 2. 
Analogamente, podemos anular o elemento a31 (L3  -3 L1 + L3). 
 
  A soma destas linhas será a nova linha 2  
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2/2 
 
 
 
 
O novo sistema ficará: 
 
 
 
Para facilitar as contas, vamos transformar o pivô a22 em 1, dividindo toda a linha 2 por 2. 
 
Ficando assim: 
 
 
 
 
 
O procedimento se repete com o próximo pivô, ou seja, o elemento da diagonal principal que está na 
próxima linha (2). Pivô: a22. Anularemos os elementos a12 com a operação L1  -2 L2 + L1 e o 
elemento a32 com a operação L3  -3 L2 + L3, da mesma forma como foi feito anteriormente. 
 
 
 
 
Novamente, para facilitar as contas, vamos transformar o pivô a33 em 1, multiplicar toda a linha 3 
por -2 (ou dividir por -1/2). 
 
 
 
 
Anularemos o elemento a13 realizando a operação L2  7/2 L3 + L2 e o elemento a23 com a operação 
L1  -11/2 L3 + L1, que se encontram acima do pivô a33, utilizando os mesmos procedimentos. Assim, 
encontrando a matriz abaixo. 
 
 
 
 
Então, podemos ver que esta matriz determina que x = 1, y = 2 e z = 3. 
 
 
1/3 
 
Método Gauss-Seidel 
 
 
Exemplo 
 
Supondo: 
 
 
 
Dado x0 = e  = 5 x 10-2 (precisão) 
 
Da mesma forma que o método anterior, dado x0 (aproximação inicial) obter x1, ...xk, através 
da relação recursiva: x k+1 = Cxk + G. 
 
 
Podemos escrever na forma: 
 
 
 
 
 
Exemplo: Seja  onde B = 
 
 
 
1º Passo: Observe que x corresponde na definição do método a , y a e z a , ou seja, 
podemos reescrever o sistema como: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2/3 
 
 
2º Passo: Portanto podemos reescrever: 
 
 
 
3º Passo: Podemos definir a matriz e a matriz G = 
 
 
4º Passo: Iniciamos as iterações. Assim, temos para k = 0: 
 
 
 
5º Passo: Como realizamos a primeira iteração, faremos o teste de parada para verificar se a 
solução encontrada alcançou a precisão desejada. O teste de parada será realizado a cada 
iteração. 
 
 
Teste de Parada: 
 
Utilizaremos o mesmo teste de parada do método anterior, ou seja, a distância entre xk e xk-1 
por mk = . Da mesma maneira que no teste de parada dos métodos 
estudados na aula anterior, onde procurávamos a raiz da função, podemos aplicar o teste do 
erro relativo. 
 
 
 
Observação: Podemos optar em usar como testede parada um número máximo de iterações. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
3/3 
 
 
Exemplo: 
 
 
 Então, Portanto, passamos para k = 1. 
 
 
 
Observação: O método de Gauss-Seidel tem a convergência garantida se o critério de 
Sassenfeld for satisfeito. 
 
 
 
1/2 
 
)dx 
Caso Contínuo 
 
 
Exemplo 
 
Seja f(x) contínua em um intervalo [a,b] e g1(x) e g2(x) duas funções contínuas em [a,b] 
escolhidas; encontrar a função (x) = α1 g1(x) + α2 g2(x), de forma que esteja o mais próximo 
possível de f(x), usando o critério dos quadrados mínimos. 
 
Para isso, deveremos utilizar o conceito de integral definida: 
 
 . 
 
Iremos encontrar o mínimo para: 
 
 
 
 
Realizando as operações matemáticas (quadrado) e substituir a definição de , ficamos 
com a expressão: 
 
 
 
Com o mesmo raciocínio do caso discreto, devemos achar os pontos críticos de F utilizando 
para isso o conteúdo de derivada novamente e, mais uma vez, podendo expressar na forma 
de matriz. 
 
Exemplo 
 
Determinar uma função linear que aproxime a função f(x) = 4 x3, no interalo [0,1] 
 
Portanto: 
 
 = α1 g1(x) + α2 g2(x) 
 
Onde g1(x) = 1 e g2(x) = x para α1, α2  
 
A = α = e b = 
 
 
Para o cálculo de: 
 
 a11= 
 
 
 
 
 
 
 
 
2/2 
 
 
a12= 
 
a22= 
 
b1= 
 
b2= 
 
 
 
 
 
Logo α1 = e α2 = 
 
 
Concluímos que a aproximação por quadrados mínimos de f(x) = 4 x3 no intevalo [0,1] por um 
polinômio do primeiro grau é a reta = x - 
 
 
 
 
 
 
 
 
1/2 
 
Caso Discreto 
 
Exemplo 
 
Seja a tabela abaixo resultado de um experimento, montaremos o diagrama de dispersão e 
definiremos a função que mais se aproxima da curva: 
 
 
x -1 -0.75 -0.6 -0.5 -0.3 0 0.2 0.4 0.5 
f(x) 2.05 1.15 0.45 0.4 0.5 0 0.2 0.6 0.51 
 
 
 
Este diagrama de dispensão sugere aproximarmos a curva por uma parábola, passando pela 
origem. 
 
Portanto, g (x) = x2 e procuramos por (x) = α1 x
2 
 
Para determinar α1 e, consequentemente, (x) = α1g1(x), podemos impor que o desvio 
f(xi) - (xi) seja mínimo para i = 1,..., m. 
 
Veremos a seguir um modo de impor que tal desvio seja mínimo usando o método dos 
quadrados mínimos. Este método escolhe αi de tal forma que a soma dos quadrados dos 
desvios seja mínima. 
 
 
F(α1, α2, ..., αn) = 
 
 
 
Exemplo 
 
Vamos aplicar no exemplo anterior 
 
x -1 -0.75 -0.6 -0.5 -0.3 0 0.2 0.4 0.5 
f(x) 2.05 1.15 0.45 0.4 0.5 0 0.2 0.6 0.51 
 
 
 
 
 
 
 
2/2 
 
 
 
 
Procuramos por f(x) (x) = α1 x
2 e g(x) = x2 
 
Usando a definição de ponto mínimo aprendido em cálculo diferencial, encontramos os pontos 
críticos, ou seja, f `(x) = 0 (derivada de primeira ordem). 
 
 
 
 
Calculando as derivadas parciais para cada i e impondo a condição da derivada ser igual a 
zero, desmembramos tais equações em um sistema linear com n equações (equações normais) 
e n incognitas 
 
O sistema pode ser escrito na forma A = b, onde A = ( tal que aij = = aji 
(A é simétrica) e bi = . 
 
 
Temos então: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Soma 
x -1 -0.75 -0.6 -0.5 -0.3 0 0.2 0.4 0.5 
(x2)(x2) 1 0.316 0.13 0.06 0.008 0 0.002 0.026 0.06 1.606 
f(x)(x2) 2.05 0.649 0.16 0.1 0.045 0 0.008 0.096 0.13 3.238 
 
 
Portanto, 1.606 α = 3.238 
 
Podemos, assim, concluir que α = 2.016. Então (x) = 2.016 x2 
 
 
 
 
1/2 
 
Caso não Linear 
 
 
Exemplo 
 
Seja os dados do experimento utilizando f(x)  α1 e
-α
2
x , α1 e α2 positivos abaixo: 
 
 
x -1 -0.7 -0.4 -0.1 0.2 0.5 0.8 1.0 
f(x) 36.55 17.26 8.155 3.85 1.82 0.86 0.406 0.25 
 
 
Aqui a função será linearizada utilizando y  α1 e
-α
2
x 
 
Portanto: z = ln y  ln (α1) - α2 x 
 
Se a1 = ln (α1) e a2 = α2 
 
Então, ln (y)  a1 - a2 x =  (x) torna-se um problema linear com parâmetros a1 e a2 
 
Assim sendo, podemos utilizar o quadrados mínimos. 
 
Exemplo 
 
Iremos ajustar z = ln (y) por quadrados mínimos, definindo assim  (x) = a1 + a2 x 
onde a1 = ln (α1) e a2 = - α2 
 
Observe que g1 (x) = 1 e g2(x) = x 
 
 
Portanto teremos: 
 
x -1 -0.7 -0.4 -0.1 0.2 0.5 0.8 1.0 
z= ln(y) 3.599 2.849 2.099 1.349 0.599 -0.151 - 0.901 -
1.402 
 
 
Resolvendo o sistema encontraremos os valores de a1 e a2: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2/2 
 
 
g1(x) = 1. Portanto, 
 
Da mesma forma calculamos g2(x) = 3.59 = a22 
 
a12 = a21 = 
 
b1 = 
 
b2 = 
 
 
A = a = e b = 
 
 
Resolvendo o sistema encontramos: a1 = 1.099 e a2=-2.5 
 
Voltando ao início, α1 = e
a
1 = e
1.099 = 3.001 e α2 = - a2 = 2.5 
 
Portanto: α1 e
- α
2
 x = 3.00 e-2.5 x. 
 
 
 
Veja abaixo outros exemplos de transformações que podemos usar: 
 
 
1) Hipérbole: y  = ( z = 
 
 
2) Exponencial: : y  
 
 
Se y > 0, z = ln (y)  ln( α1)+ x ln (α2 )= a1 + a2 x = (x) 
 
 
 
1/1 
 
Interpolação Polinomial 
 
 
Exemplo: 
 
Um experimento tem como resultado uma tabela, onde são definidos a 
temperatura e o calor específico de um material específico. Suponha que, em 
algum momento, precisa-se calcular o calor específico em certa temperatura que 
não se encontra na tabela ou mesmo saber qual a temperatura para certo calor 
específico. Para estes casos, necessitamos fazer a interpolação polinomial. 
 
Definição: Dados os pontos ( (x0,f(x0)), (x1,f(x1)),..., (xn,f(xn)) ), faremos a 
aproximação de f(x) por um polinômio de grau menor ou igual a n. 
 
Tal que: 
 
F(xn) = Pn (xn), onde k=0,1,2, ...,n 
 
Observe que possuímos n+1 pontos, pois partimos de x0 . 
 
Através de demonstração matemática garante-se que tal polinômio Pn(x) que se 
deseja construir existe e é único, desde que possua grau menor ou igual a n, tal 
que Pn (xk) = f(xk), k = 0,1,2,...,n, desde que xk ≠ xj, j ≠ k. 
 
 
 
Modos de se obter Pn (x) 
 
Vimos que é possível, e de uma maneira única, definir o polinômio Pn (x). Porém, 
existem várias maneiras de encontrá-lo. 
 
Dentre estas veremos o método de Lagrange e o método de Newton. 
 
 
 
1/1 
 
Método de Newton 
 
Exemplo 
 
Determinar o polinômio P2 (x) usando a forma de Newton para os seguintes pares 
ordenados (-1,4), (0,1), (2,1). 
 
Portanto, estaremos construindo P2 = f(x0) + f[x0,x1] (x – x0) + f[x0,x1,x2] (x – x0)(x – x1) 
 
 
P2 = 4 + f[x0,x1] (x – (-1)) + f[x0,x1,x2] (x – (-1))(x – 0) 
 
 
f[x0,x1] = 
 
 
f[x0,x1,x2] = 
 
f[x1,x2] = = = 0 
 
Portanto, f[x0,x1,x2] = = = 1 
 
 
 
Logo: 
 
P2 = 4 + (-3) (x – (-1)) + 1 (x – (-1))(x – 0) = x
2 – 2 x + 1 
 
 
 
1/1 
 
Métodos de Lagrange 
 
 
Exemplo 
 
 Suponha a interpolação linear em dois pontos distintos x0 e x1, com o par ordenado (x0, 
f(x0)) e (x1, f(x1)). 
 
O polinômio que iremos definir é de grau n = 1 e Pn (x) é função linear. Portanto, usando a 
forma de Lagrange ficamos com: 
 
P1 (x) = f(x0) M0 (x) + f(x1) M1 (x) onde e 
 
Portanto: 
 
P1 (x) = f(x0) + f(x1) 
 
 
Podemos escrever esta função da seguinte forma: 
 
, onde y0 = f(x0) e y1= f(x1) 
 
 
Na disciplina de álgebra linear aprendemos a escrever a equação da reta através do 
determinante de uma matriz, ou seja, o determinante de: 
 
 
 
Exemplo: 
 
Vamos supor que possuímos dois pares ordenados (-1, 4) e (0,1) 
 
Então, a interpolação linear, usando a forma de Lagrange, ficaria: 
 
P1 (x) = f(x0) M0 (x) + f(x1) M1 (x) onde e 
 
Portanto: 
 
P1 (x) = 4 + 1 = - 4x + x + 1 = -3x+1 
 
 
 
 
 
1/1 
 
Regra dos Retângulos 
 
Exemplo 
 
Calcular a integral definida:. 
 
Considere n = 5 e 3 casas decimais. 
 
Definimos, então, h = 1 – 0/10 = 1/10 = 0.1. 
 
Você poderá realizar estes cálculos utilizando a planilha do Excel. 
 
Observe que para i = 0, a primeira coluna corresponde ao cálculo de (0+0.1)/2 e a 
terceira coluna a função aplicada neste valor, ou seja, f(0.05) = 0.049875. 
 
Portanto, o somatório da função nos pontos será 3,469912 e o resultado da integral 
(área) será = 0.1 (3,469912) = 0.34699. 
 
OBS: Pelo método analítico, você encontrará 0.34657. 
 
 
i 
 
F( 
0 0,05 0,049875 
1 0,15 0,146699 
2 0,25 0,235294 
3 0,35 0,311804 
4 0,45 0,37422 
5 0,55 0,422265 
6 0,65 0,456942 
7 0,75 0,48 
8 0,85 0,493469 
9 0,95 0,499343 
Somatório 
 
3,469912 
 
 
1/1 
 
Regra dos Trapézios 
 
 
Exemplo 
 
 
Determine uma aproximação para usando 10 subintervalos. 
 
 
 
= 1.7197 
 
 
 
O erro cometido: 
 
 
 
	A5_metodo_da_decomposicao_lu.pdf (p.1-2)
	A5_metodo_gauss_jacob.pdf (p.3-5)
	A5_metodo_gauss_jordan.pdf (p.6-7)
	A5_metodo_gauss_seidel.pdf (p.8-10)
	A6_caso_continuo.pdf (p.11-12)
	A6_caso_discreto.pdf (p.13-14)
	A6_caso_nao_linear.pdf (p.15-16)
	A6_interpolacao_polinomial.pdf (p.17)
	A6_metodo_de_newton.pdf (p.18)
	A6_metodos_lagrange.pdf (p.19)
	A7_regra_retangulos.pdf (p.20)
	A7_regra_trapezios.pdf (p.21)