Matemática trigonometria

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A Trigonometria 
 
Nesta aula abordaremos a Trigonometria, que, em seu sentido literal, significa 
“medida do triângulo”. 
 
Essa conceituação é extremamente importante porque as definições e 
relações de seno, cosseno, tangente, secante e outras são obtidas através de relações 
em triângulos retângulos. 
 
O valor do seno de um ângulo em um triângulo retângulo é obtido através da 
relação entre o cateto oposto ao ângulo e a hipotenusa, lembra-se? 
 
Se não lembra, não há problema, pois aqui vamos rever aqueles conceitos 
aprendidos no Ensino Médio através de algumas aplicações que a Trigonometria possui 
em nossa sociedade. 
 
Projeção e construção de rodovias 
 
Um uso muito interessante do estudo trigonométrico se dá na projeção e 
construção de rodovias. 
 
Geralmente, essas estradas possuem um limite de velocidade um pouco 
superior ao que estamos acostumados nas cidades (80 Km/h e 90 Km/h). 
 
Assim, quando um engenheiro a projeta, ele considera uma inclinação de 
curva para o seu interior, de forma que isso auxilie o automóvel a manter a 
estabilidade ao realizar a mudança de direção. 
 
E, por razões de segurança, deve ser levado em consideração o raio da curva, 
bem como a velocidade máxima que se pretende permitir naquela rodovia. 
Há uma fórmula utilizada pelos engenheiros que fornece o valor do raio da 
curva. Veja: 
 
 
 
 
 
 
Onde g e f são constantes relacionadas ao material do asfalto da rodovia. O 
valor de v é em dado em km/h e R em metros. 
 
Calculando o valor de R 
 
Agora que você sabe a fórmula e considerando que uma rodovia permitirá 
velocidades máximas de 110 Km/h e que o valor de α é 30º, calcule o valor R do raio 
da curva, dados g = 100 e f = 9,42. 
 
 
 
 
 
 2 
Para este calculo, basta usarmos a fórmula dada: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
√ 
 
 
 
 
 
 
 
Logo, o valor do raio da curva é de 12,1 metros. 
 
 
Círculo trigonométrico 
 
Agora, vamos relembrar as relações no círculo trigonométrico: 
 
 
 
Aqui, valem algumas considerações: 
 
 Vamos considerar o círculo trigonométrico com raio igual a 1; 
 
 O ângulo considerado é o formado a partir do eixo Ox, no sentido anti-
horário; 
 
 Os eixos coordenados dividem o círculo em 4 quadrantes, sendo o 
superior direito o 1º quadrante, o superior esquerdo o 2º, o inferior esquerdo o 3º e, 
por fim, o inferior direito o 4º e último quadrante. 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Exemplos clássicos 
 
Uma das aplicações que deram origem aos estudos trigonométricos no Egito 
foi o estudo da pirâmide de Quéops e o cálculo da sua altura, através da semelhança 
de triângulos. 
 
Fixou-se uma estaca qualquer, de comprimento conhecido, para medir a sua 
sombra e, através da semelhança de triângulos, conheceram a altura da própria 
pirâmide. 
 
Já na Grécia, os estudos trigonométricos evoluíram devido à necessidade de se 
conhecer a astronomia, a navegação e a geografia. 
 
Os gregos foram os primeiros a documentar estudos sobre os corpos celestes. 
 
Uma aplicação comum na astronomia é calcular a distância de corpos 
celestes, planetas e estrelas. 
 
Será que você consegue? 
 
Sabendo que a distância entre o planeta Terra e o Sol é de aproximadamente 
93.000.000 milhas e que o ângulo formado entre a linha Terra-Sol e linha Terra-Vênus 
é de 46°, qual é a distância entre o Sol e o planeta Vênus? 
 
 
 
Para solucionarmos esse problema, devemos ter em mente o valor do sen 46º, 
já que o planeta Terra, o Planeta Vênus e o Sol formam um triângulo retângulo, reto 
no ponto do planeta Vênus. 
 
 
 
 
 
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Assim, para o valor de sen 46°, vale a relação: 
 
 
 
 
 
 
 
 
Ângulos de elevação 
 
Outra aplicação comum são problemas envolvendo ângulos de elevação. 
 
Considere que uma pessoa precisa saber a altura de um edifício. 
 
De um determinado ponto do solo, ela encontrou um ângulo de elevação até o 
topo do edifício de 36,7°. 
 
Depois disso, ela se movimentou 50 metros para trás e observou, do solo, o 
topo do edifício sob um ângulo de 22,2º. 
 
Qual seria, então, altura do edifício? 
 
Para este tipo de problema, vamos considerar o seguinte esquema: 
 
 
O que desejamos saber é a altura H do edifício, certo? 
 
Como temos dois ângulos, a medida oposta e parte da medida adjacente de 
um deles, devemos trabalhar com as tangentes desses ângulos. 
 
Dessa forma, podemos expressar a tangente de 36,7° como: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 5 
Já o tangente de 22,2° será: 
 
 
 
 
 
 
Trabalhando os denominadores das frações de (i) e (ii), temos: 
 
{
 
 
 
 
Substituindo o valor de H da 1ª na segunda, temos: 
 
 
 
Assim, o valor de H será: 
 
 
 
Logo, a altura aproximada do edifício será de 45,28 metros. 
 
 
SAIBA MAIS (AULA 4) 
 
Para aprofundar os conceitos de Trigonometria com exercícios resolvidos e 
exercícios aplicados, visite os sites: 
http://pessoal.sercomtel.com.br/matematica/trigonom/trigonometria.htm 
 
http://www.profcardy.com/exercicios/area.php?area=TRIGONOMETRIA 
 
No site do Brasil Escola também há conteúdos muito interessantes, de todas as 
áreas do conhecimento, inclusive Matemática. Vale conferir: 
http://exercicios.brasilescola.com 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO DA AULA 4 
 
 
Questão 1: Na rua Pinheiro Machado, em frente ao palácio do governo da 
capital fluminense, há um árvore frequentemente visitada por sua forma bastante 
retilínea. 
 
Quando há a incidência de raios solares, segundo um ângulo de 30°, a partir 
da linha do horizonte, a sombra que é projetada no solo possui um comprimento . Já 
quando esse ângulo é de 60°, o comprimento da sombra é . 
 
Sabendo que , qual é a altura desta árvore? 
 
 
a) 2 m 
b) 2√ m 
c) 4 m 
d) √ m 
e) 3√ m 
 
Gabarito comentado: 
 
Vamos considerar o esquema abaixo, para facilitar o entendimento: 
 
Como temos dois triângulos retângulos, com os seus catetos, vamos verificar 
as tangentes dos ângulos: 
 
√ 
 
 
 
 
 e √ 
 
 
, então temos que: 
 √ √ 
 
Como , temos que Por fim, o valor de H será: 
 
 
 
 
 7 
 
 
 √ √ 
 
Logo, a alternativa correta é a letra (d). 
 
 
 
 
Questão 2: Um jato supersônico decola percorrendo uma trajetória retilínea e 
formando um ângulo de 60° com o solo da região completamente plana. 
 
Após percorrer a distância de 1500 m, a altura atingida pelo avião, em 
metros, será: 
 
a) 500 m 
b) 500√ m 
c) 750 m 
d) 750√ m 
e) 1500√ m 
 
Gabarito comentado: 
 
 Devemos observar que a decolagem desse jato juntamente com o solo e a 
altura formam um triângulo retângulo. 
 
Observe o esquema abaixo: 
 
Assim, devemos usar a relação seno, já que desejamos encontrar a altura H e 
temos a hipotenusa. 
 
 
√ 
 
 
 
 
 √ metros 
 
Logo, a alternativa correta e a letra (d). 
 
 
 
 
 8 
Questão 3: A ponte Golden Gate, situada em São Francisco, na Califórnia, é 
um dos cartões postais dos Estados Unidos. 
 
Havia um projeto que dividiria a ponte ao meio, elevando-a para ambos os 
lados, de forma que permitisse a passagem de embarcações de grande porte. 
 
A ponte possui, suspensa, aproximadamente 2000 m e o projeto foi esboçado 
conformeo esquema abaixo: 
 
 
No momento em que os ângulos , o vão DE medirá: 
 
a) 500√ m 
b) 1000 - 500√ m 
c) 1000√ m 
d) 2000 - 1000√ m 
e) 2000√ m 
 
Gabarito comentado: 
 
Vamos observar o esboço abaixo: 
 
Assim, devemos calcular os valores de a e b. Para isso, vamos utilizar a 
relação seno: 
 
 
 
 9 
 
√ 
 
 
 
 
 
√ 
 
 
 
 
 
 
{
 √ √ 
√ 
 e, substituindo (ii) em (i), ficamos com: 
 
 √ √ √ 
 
Assim, como o valor que desejamos encontrar é 2000-(a+b), temos: 
 
 √ √ 
 
Logo, a alternativa correta é a letra (d). 
 
Questão 4: Um holofote está situado no alto de uma torre de uma prisão de 
segurança máxima, perpendicular ao solo, a 60 metros de altura. 
 
Ele varre uma área desse terreno, em movimentos de ida e volta, alinhados 
com a base desta torre, conforme o esquema abaixo: 
 
 
Sabendo que a distância do ponto B para o ponto C é de 40 metros e a 
distância do ponto B para o ponto D é de 300 metros, qual é o valor do ângulo CAD? 
 
a) 15º 
b) 30° 
c) 40° 
d) 45º 
e) 60º 
 
Gabarito comentado: 
 
Vamos observar o esboço abaixo: 
 
 
 
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0 
 
Como o e o são retângulos em A, podemos encontrar as tangentes 
dos ângulos : 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Como queremos saber o valor do ângulo , vamos nos valer da relação 
trigonométrica tangente, envolvendo a soma de ângulos: 
 
 
 
 
 
Então, temos: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Como o valor da tangente é 1, temos que o valor de 
 
Logo, a alternativa correta é a letra (d). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Questão 5: Um veleiro navega em uma direção AB, próxima a um farol J, 
como apresentado no esquema abaixo: 
 
 
Ao navegar e passar pelo ponto A, ele percebe que a reta AJ da embarcação 
com o farol forma com a reta AB, do seu deslocamento, um ângulo de 45º. 
 
Percorrendo mais 2000 m até o ponto B, percebe que a reta BJ forma com a 
direção AB um ângulo de 60°. 
 
Permanecendo o seu caminho sempre na direção AB, qual será a menor 
distância até o farol J? 
 
a) 1000 metros 
b) 2000 metros 
c) 1000√ metros 
d) 1000(√ +1) metros 
e) 2000(√ +1) metros 
 
Gabarito comentado: 
 
Para solucionarmos o exercício, vamos observar o esquema abaixo: 
 
 
 
 
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A menor distância que o problema pede é a perpendicular do ponto J até a 
direção AB. Assim, temos dois triângulos retângulos formados: . 
 
 
Como queremos saber a altura e temos os catetos, usaremos a relação 
tangente: 
 
 √ 
 
 
 
 
 
 
 
{
 √ 
 
 
 
Substituindo (i) em (ii), temos: 
 
 √ (√ ) 
 
√ 
 (√ ) 
 
Logo, a alternativa correta é a letra (d).