AULA2 Matemática Aplicada (IL10002)

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Aula 2
A função do 1º grau – Modelo Linear
Função do 1º grau (ou função Afim)
Nesta aula, estudaremos as características do modelo linear, que utiliza como
expressão matemática a função do 1º grau (função linear ou equação de 1ª
ordem).
O estudo do modelo linear é muito importante nas áreas de administração,
economia, finanças e estatística, ajudando-nos a conhecer melhor o
comportamento de variáveis como custo, receita, lucro, demanda, oferta,
consumo e poupança, depreciação, taxa de juros, salários comissionados, risco e
retorno, entre muitos outros.
A Matemática é a única linguagem que temos em comum com
a natureza.
Stephen Hawking
Primeiramente, vamos apresentar a função polinomial (que possui vários
monômios). Ela é do tipo:
y = f(x) = an.xn+an-1.xn-1 + ⋯ + a2.x2 + a1.x1 + a0.x0
 
E dizemos que possui grau (ou ordem) “n”.
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A ordem de um polinômio é dada pelo expoente de maior grau; assim, dizemos
que a equação abaixo é do 3º grau:
y = f(x) = a3.x3 + a2.x2 + a1.x1 + a0.x0
 
Exemplo real:
y = f(x) = 14.x3-10.x2 + 0,25.x - 10
 
Esta é do 2º grau (ou função quadrática):
y = f(x) = a2.x2 + a1.x1 + a0.x0
 
Exemplo real:
y = f(x) = 6,8.x2-12.x - 6
 
E esta é do 1º grau (ou função afim):
y = f(x) = a1.x1+a0.x0
 
Exemplo real:
y = f(x) = 3.x - 6
 
x0 = 1 - Qualquer base elevada a zero é sempre 1. 
x1 = x - Qualquer base elevado a um é sempre ela mesma.
E poderíamos ter, ainda, a de grau zero (ou função constante):
y = f(x) = a0.x0
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Exemplo real:
y = f(x) = 10
 
A função do 1º grau, então, assim como as demais funções apresentadas acima,
é um caso particular de uma função polinomial, em que temos, pelo menos, o
termo de primeira ordem.
Veja a partir da equação do 1º grau:
y = f(x) = a1.x1 + a0.x0
 
Temos:
y = f(x) = -7.x+8 
a1 = -7 e a0 = 8 
 
y = f(x) = 12.x 
a1 = 12 e a0 = 0
 
Portanto, para que tenhamos uma equação do 1º grau, não podemos deixar de
ter o coeficiente a1 ≠ 0 e nenhum termo superior a a1, uma vez que isso
caracterizaria uma equação de ordem superior.
Então, a partir dessa discussão, adotaremos a seguinte nomenclatura para a
equação (função) do 1º grau:
y = f(x) = a1.x1 + a0.x0
 
y = f(x) = a.x + b
 
A equação mostra que existe uma relação matemática entre as variáveis “y” e
“x”. Apresentada a equação como está, se alterarmos o valor de “x”, teremos
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um novo valor de “y”, o que nos leva a definir a variável “x” como
independente e a variável “y” como dependente.
Clique aqui e confira um exemplo.
Uma vendedora de uma loja recebe um salário fixo (salário mínimo de R$
880,00) mais uma comissão (5%) sobre as vendas. Assim, se em um
determinado mês ela vendeu R$ 20.000,00, qual terá sido seu salário? 
 
Temos de modelar o problema, e, intuitivamente, a equação matemática
que melhor atende à características do problema é a função do primeiro
grau, por ter uma relação entre duas variáveis (salário e volume de
vendas), um termo constante (b) e uma variável (a.x). 
 
A partir da expressão geral:
y = f(x) = a.x + b
Substituindo os valores:
y = f(x)= 0,05.x + 880
NOTA: a comissão de 5% (dada em porcentagem) sobre as vendas (x) deve
ser convertida em decimal para ser inserida na equação. 5% pode ser lido
como cinco por cento ou por cem; então, temos:
     5% =      5      = 0,05 
100
Para um volume de vendas de R$20.000,00, teremos o seguinte salário:
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+
Representação gráfica da Função do 1º grau
y = f(x) = 0,05 x 20.000 + 880 = 1.000 + 880 = R$1.880,00
E se suas vendas forem de R$35.000,00?
y = f(x) = 0,05 x 35.000 + 880 = 1.750 + 880 = R$2.630,00
Podemos notar, então, que o salário da vendedora irá variar em função
das suas vendas, e, como essa variação é proporcional (linear), dizemos
que essa “variação em função das vendas” é do 1º grau ou de 1ª ordem
ou, ainda, que a função que relaciona as duas variáveis é do 1º grau.
A representação gráfica é um importante recurso em auxílio à interpretação
mais rápida e clara do comportamento das variáveis de um problema. Veja que
o mesmo modelo pode ser representado por uma equação, uma tabela de
valores e um gráfico.
Faça a representação gráfica do exemplo anterior.
A partir da equação do problema:
y = f(x) = 0,05.x + 880
Podemos montar a tabela de valores tendo os valores de “x” como base,
variando no entorno da região de interesse, que são os valores de R$ 20.000,00
e R$ 35.000,00. Assim, temos:
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Em seguida, marcamos os pontos em um sistema cartesiano de coordenadas:
NOTA 1: na verdade, apenas dois pontos seriam necessários, uma vez que
se trata de uma reta (função linear), e, por dois pontos, já é possível se
definir uma reta.
NOTA 2: nesse exemplo, não foram utilizados valores negativos (para “x”)
por não possuir significado no problema a existência de “volume de
vendas” negativo.
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Coeficientes Angular e Linear
Interligando os pontos que foram marcados, chegamos à representação da
função.
Fica claro que, à medida que o volume de vendas realizado pela vendedora
aumenta, o seu salário aumenta no mesmo ritmo (5%), ou seja, de forma linear
(proporcional), e que, na hipótese de ela não realizar nenhuma venda, seu
salário será somente a parte fixa de R$ 880,00.
Se variarmos o valor da comissão para 3% e 10% e refizermos o problema,
teremos as seguintes representações:
Observamos claramente que, se aumentarmos a comissão sobre as vendas, a
vendedora irá receber um salário maior, mesmo que o volume de suas vendas
não se altere. A comissão está, nesse caso, alterando a inclinação da reta.
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Quanto maior a comissão (coeficiente “a”), maior será a inclinação da reta e
vice-versa.
Por isso chamamos “a” de coeficiente angular da reta, uma vez que a sua
variação altera a inclinação da reta.
Perceba agora o que ocorre se o salário mínimo alterar para R$ 630,00 e R$
1.100,00, admitindo que a comissão se mantenha a mesma (5%).
Observamos que o salário da vendedora será maior ou menor dependendo do
valor do salário fixo, mas o que ela ganhará pela comissão será o mesmo, que,
no caso, é de 5% sobre o volume de vendas. O salário fixo está, nesse caso,
alterando o ponto em que a reta intercepta o eixo vertical.
Por isso chamamos “b” de coeficiente linear da reta, uma vez que a sua
variação altera o ponto de interceptação ao longo da linha do eixo vertical.
Clique aqui e acesse o arquivo da planilha eletrônica Excel e simule a variação
dos coeficientes angular (a) e linear (b). Logo abaixo, observe seus efeitos na
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função na tabela e no gráfico.
Variando os valores de “a” (coeficiente angular), podemos chegar a três
situações possíveis:
1. Coeficiente angular positivo (a > 0): a função é dita crescente, ou seja, à
medida que a variável independente ("x") aumenta, o valor da função("y")
também aumenta.
Representação algébrica:
y = f(x) = 4.x + 70
 
2. Coeficiente angular negativo (a < 0): a função é dita decrescente, ou seja, à
medida que o variável independente ("x") aumenta, o valor da função ("y")
diminui.
Representação algébrica:
y = f(x) = -4.x + 70
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3. Coeficiente angular nulo (a = 0): a função é dita constante, ou seja, ainda
que a variável independente ("x") aumente, o valor da função ("y") não se altera,
permanecendo constante.
Representação algébrica:
y = f(x) = 70
 
Não é difícil de entender que, se conhecermos os dois coeficientes da reta
(angular e linear), teremos condições de representá-la algébrica (equação) e
graficamente (tabela ou gráfico). Ainda é possível, a partir de dois pontos
quaisquer de uma reta, conhecer também seus coeficientes e sua
representação. Vejamos:
Seja a equação da reta:
y = f(x) = a.x+
 
Um ponto em um sistema cartesiano é representado por suas coordenadas “x“ e
“y” da seguinte forma: p (x, y).
Para um determinado valor de x1 teremos um valor y1 (ponto p1):
y1 = f(x1) = a.x1+
Para um determinado valor de x2 teremos um valor y(2) (ponto p2):
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Modelo Linear
y2 = f(x2) = a.x2+b
Se subtrairmos y2-y1:
y2-y1 = (a.x2+b)-(a.x1+b) 
y2-y1 = a.x2+b-a.x1-b=a(x2-x1)
 
Logo, “a” (coeficiente angular da reta) pode ser calculado a partir de um par de
pontos dessa reta como sendo:
      y2-y1 
a =             
      x2-x1
 
A partir do coeficiente angular (“a”) e das coordenadas dos dois pontos p1
(x_1,y_1 )e p2 (x_2,y_2 ), pode-se determinar “b” na equação geral da reta.
Clique aqui e veja um exemplo.
O conceito de linearidade remete à condição do que segue uma lógica que se
pode prever, uma lei de formação; dizemos, então, que segue em linha, e isso
se relaciona com a proporcionalidade entre as variáveis.
Vejamos... 
Seja a função do 1º grau dada pela equação:
y = f(x) = 2.x + 8
 
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Graficamente, temos:
A lei de formação é dada pela equação que nos permite prever um valor à
frente, e a linha se refere à reta que representa a equação. Agora vamos
mostrar a proporcionalidade entre as variáveis.
Vamos tomar como referência o ponto de partida de coordenada (2, 12) e medir
as distâncias ao longo dos eixos desse ponto inicial para outros dois pontos: (6,
20) e (12, 32).
Percebam que podemos escrever a seguinte proporção: 4 está para 10 (em
verde), assim como 8 está para 20 (vermelho). Algebricamente, temos:
 4  =  8  
10    20 
 
E, de fato, se multiplicarmos em diagonal para podermos resolver a equação de
igualdade, temos:
4 x 20 = 8 x 10
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+
80 = 80
 
Inúmeras outras relações podem ser estabelecidas, e, em todas elas,
provaremos que a relações entre as variáveis estão sempre em proporção.
Existem relações entre as variáveis nas áreas de administração, economia,
finanças, estatística, logística etc. que possuem proporcionalidade entre suas
variáveis e. assim poderemos aproveitar essa equação da reta (função ou
equação do 1º grau) para representá-la.
Clique aqui e conheça um exemplo.
Para estudar o comportamento do custo de uma “corrida” de táxi, pode-se
adotar o modelo linear.
Observação:
No cálculo exato desse custo, devem ser levados em consideração também o
tempo, conforme os valores abaixo, e o volume de malas, se houver.
Valores:
Tempo parado: R$ 28,98 por hora (convencional) ou R$ 50,40 por hora
(especial).
Volumes, mais de 60 x 30 cm na menor face (convencional): R$ 2,30, especial: R$
2,05.
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Vídeo da Unidade
Para aprofundar seus conhecimentos, assista ao vídeo: A função do 1º
grau - Modelo linear.
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