Geogebra dicas e ajuda

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Ajuda GeoGebra 3.0 
Última alteração na versão original: Outubro 11, 2007 
 
 
Autores 
Markus Hohenwarter, markus@geogebra.org 
Judith Preiner, judith@geogebra.org 
 
 
Tradução e adaptação para português de Portugal 
António Ribeiro, pontopi@gmail.com
Última alteração: Outubro 14, 2007 
 
 
GeoGebra Online 
Website: www.geogebra.org
Help Search: http://www.geogebra.org/help/search.html 
 
 
 
 
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Conteúdos 
1. O que é o GeoGebra? ............................................................. 5 
2. Exemplos ................................................................................. 6 
2.1. Triângulo e Ângulos ......................................................... 6 
2.2. Equação Linear y = m x + b ............................................. 6 
2.3. Centróide de Três Pontos A, B, C.................................... 7 
2.4. Dividir o Segmento [AB] na Razão 7:3 ............................ 8 
2.5. Sistema de Duas Equações Lineares com Duas 
Incógnitas .................................................................................... 8 
2.6. Tangente ao Gráfico de uma Função .............................. 9 
2.7. Investigação de Funções Polinomiais............................ 10 
2.8. Integrais ......................................................................... 10 
3. Janela Geométrica................................................................. 11 
3.1. Notas Gerais .................................................................. 11 
3.1.1. Menu de Contexto.................................................. 11 
3.1.2. Exibir e Esconder ................................................... 11 
3.1.3. Traço ...................................................................... 12 
3.1.4. Zoom...................................................................... 12 
3.1.5. Razão Entre Eixos ................................................. 12 
3.1.6. Protocolo de Construção........................................ 12 
3.1.7. Barra de Navegação .............................................. 13 
3.1.8. Redefinir................................................................. 13 
3.1.9. Diálogo de Propriedades........................................ 13 
3.2. Modos ............................................................................ 14 
3.2.1. Modos Gerais......................................................... 14 
3.2.2. Ponto...................................................................... 16 
3.2.3. Vector..................................................................... 17 
3.2.4. Segmento............................................................... 17 
3.2.5. Semirecta ............................................................... 18 
3.2.6. Polígono ................................................................. 18 
3.2.7. Recta...................................................................... 18 
3.2.8. Cónica .................................................................... 20 
3.2.9. Arco e Sector ......................................................... 20 
3.2.10. Número e Ângulo ................................................... 21 
3.2.11. Booleano ................................................................ 22 
3.2.12. Lugar Geométrico .................................................. 22 
3.2.13. Transformações Geométricas................................ 23 
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3.2.14. Texto ...................................................................... 24 
3.2.15. Imagens ................................................................. 25 
3.2.16. Propriedades das Imagens .................................... 26 
4. Entrada Algébrica .................................................................. 28 
4.1. Notas Gerais .................................................................. 28 
4.1.1. Alterar Valores ....................................................... 28 
4.1.2. Animação ............................................................... 28 
4.2. Entrada Directa .............................................................. 29 
4.2.1. Números e Ângulos................................................ 29 
4.2.2. Pontos e Vectores.................................................. 30 
4.2.3. Recta...................................................................... 30 
4.2.4. Cónica .................................................................... 31 
4.2.5. Função de x ........................................................... 31 
4.2.6. Listas de Objectos.................................................. 32 
4.2.7. Operações Aritméticas........................................... 32 
4.2.8. Variáveis Booleanas .............................................. 34 
4.2.9. Operações Booleanas............................................ 34 
4.3. Comandos...................................................................... 35 
4.3.1. Comandos Gerais .................................................. 35 
4.3.2. Comandos Booleanos............................................ 35 
4.3.3. Número .................................................................. 36 
4.3.4. Ângulo .................................................................... 38 
4.3.5. Ponto...................................................................... 39 
4.3.6. Vector..................................................................... 41 
4.3.7. Segmento............................................................... 42 
4.3.8. Semirecta ............................................................... 42 
4.3.9. Polígono ................................................................. 42 
4.3.10. Recta...................................................................... 42 
4.3.11. Cónica .................................................................... 44 
4.3.12. Função ................................................................... 45 
4.3.13. Curvas Paramétricas.............................................. 46 
4.3.14. Arco e Sector ......................................................... 46 
4.3.15. Imagem .................................................................. 48 
4.3.16. Texto ...................................................................... 48 
4.3.17. Locus...................................................................... 48 
4.3.18. Sequência .............................................................. 48 
4.3.19. Transformações Geométricas................................ 49 
5. Imprimir e Exportar ................................................................ 51 
5.1. Imprimir .......................................................................... 51 
5.1.1. Zona Gráfica .......................................................... 51 
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5.1.2. Protocolo de Construção........................................ 52 
5.1.3. Zona Gráfica como Imagem................................... 52 
5.2. Zona Gráfica / Área de Transferência............................ 53 
5.3. Protocolo de Construção / Página Web......................... 53 
5.4. Folha Dinâmica como Página Web................................ 54 
6. Opções .................................................................................. 56 
6.1. Captura de Pontos ......................................................... 56 
6.2. Unidade de Ângulo ........................................................ 56 
6.3. Casas Decimais ............................................................. 56 
6.4. Continuidade.................................................................. 56 
6.5. Estilo do Ponto............................................................... 56 
6.6. Estilo do Ângulo Recto................................................... 57 
6.7. Coordenadas ................................................................. 57 
6.8. Rotular ...........................................................................57 
6.9. Tamanho da Fonte......................................................... 57 
6.10. Idioma ........................................................................ 57 
6.11. Zona Gráfica .............................................................. 57 
6.12. Gravar Configurações................................................ 57 
7. Ferramentas .......................................................................... 58 
7.1. Ferramentas Definidas pelo Utilizador........................... 58 
7.2. Configurar Caixa de Feramentas................................... 59 
8. Interface JavaScript ............................................................... 59 
8.1. Exemplos ....................................................................... 59 
8.2. Métodos utilizáveis......................................................... 61 
8.2.1. Linha de Comando................................................. 61 
8.2.2. Definir o estado de um objecto .............................. 61 
8.2.3. Conhecer o estado de um objecto ......................... 62 
8.2.4. Construção / Interface utilizador ............................ 63 
8.2.5. Comunicação GeoGebra / JavaScript.................... 64 
8.2.6. Formato XML do GeoGebra................................... 66 
Índice ............................................................................................. 68 
 
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1. O que é o GeoGebra? 
O GeoGebra é um software de matemática dinâmica que junta 
geometria, álgebra e cálculo. É desenvolvido principalmente para o 
ensino e aprendizagem da matemática nas escolas básicas e 
secundárias, por Markus Hohenwarter, na universidade americana 
Florida Atlantic University. 
 
Por um lado, o GeoGebra é um sistema de geometria dinâmica. 
Permite construir vários objectos: pontos, vectores, segmentos, 
rectas, secções cónicas, gráficos representativos de funções e 
curvas parametrizadas, os quais podem depois ser modificados 
dinamicamente. 
 
Por outro lado, equações e coordenadas podem ser introduzidas 
directamente com o teclado. O GeoGebra tem a vantagem de 
trabalhar com variáveis vinculadas a números, vectores e pontos. 
Permite determinar derivadas e integrais de funções e oferece um 
conjunto de comandos próprios da análise matemática, para 
identificar pontos singulares de uma função, como raizes ou 
extremos. 
 
Estas duas perspectivas caracterizam o GeoGebra: a uma 
expressão na janela algébrica corresponde um objecto na janela de 
desenho (ou zona gráfica) e vice-versa. 
 
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2. Exemplos 
Para ter uma visão geral das potencialidades do GeoGebra vamos 
ver alguns exemplos. 
2.1. Triângulo e Ângulos 
Seleccione o modo Novo ponto na barra de ferramentas. Clique 
na zona gráfica para criar os vértices A, B, C do triângulo. 
Depois, seleccione o modo Polígono e clique sucessivamente 
nos pontos A, B, C e outra vez em A. Na janela algébrica pode ver 
o número correspondente à área do triângulo. 
Para obter os ângulos internos do triângulo deve seleccionar o 
modo Ângulo na barra de ferramentas e clicar sobre o triângulo. 
Agora, escolha o modo Mover e arraste os vértices do triângulo. 
Se não necessitar da janela de álgebra nem dos eixos 
coordenados esconda-os, usando o menu Exibir. 
2.2. Equação Linear y = m x + b 
Vamos ver o significado de m e de b na equação y = mx + b , 
variando os valores para m e de b. Para tal, podemos introduzir as 
seguintes linhas no campo de entrada de comandos, situado na 
base da janela, e pressionar a tecla Enter no fim de cada linha: 
 m = 1 
 b = 2 
 y = m x + b 
 
Agora podemos mudar m e b usando o campo de entrada ou 
directamente na janela de álgebra, dando um clique em m e b com 
o botão direito do rato (MacOS: Maçã + clique) e seleccionando 
Redefinir. Experimente os seguintes valores para m e b: 
 m = 2 
 m = -3 
 b = 0 
 b = -1
Também pode mudar m e b facilmente, usando: 
• as teclas de movimento (setas) (veja Animação); 
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• selectores: clique com o botão direito (MacOS: Maçã + 
clique) em m ou em b e seleccione Exibir / esconder 
objecto (veja também o modo Selector); 
 
De modo análogo podemos investigar as equações de cónicas: 
• elipses: x^2/a^2 + y^2/b^2 = 1 
• hipérboles: b^2 x^2 – a^2 y^2 = a^2 b^2 
• circunferências: (x - m)^2 + (y - n)^2 = r^2 
2.3. Centróide de Três Pontos A, B, C 
Pode construir o centróide de três pontos (baricentro do triângulo 
que eles definem), inserindo as seguintes linhas no campo de 
entrada e pressionando Enter no fim de cada linha: 
 A = (-2, 1) 
 B = (5, 0) 
 C = (0, 5) 
 M_a = PontoMédio[B, C] 
 M_b = PontoMédio[A, C] 
 s_a = Recta[A, M_a] 
 s_b = Recta[B, M_b] 
 S = Intersecção[s_a, s_b] 
 
Também pode usar o rato para fazer esta construção, usando os 
respectivos modos (veja Modos) na barra de ferramentas. 
Em alternativa, pode calcular o centróide directamente no campo 
de entrada: insira S1 = (A + B + C) / 3 , seguido de Enter, e 
compare os resultados usando o comando Relação[S, S1]. 
 
Depois, verifique se S = S1 é verificado para outras posições de 
A, B, e C. Pode fazer isto seleccionando o modo Mover com o 
rato e arrastando os pontos. 
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2.4. Dividir o Segmento [AB] na Razão 7:3 
Dado que o GeoGebra nos permite operar com vectores, é fácil 
realizar esta tarefa. Insira as seguintes linhas no campo de entrada 
e pressione a tecla Enter no fim de cada linha: 
 A = (-2, 1) 
 B = (3, 3) 
 s = Segmento[A, B] 
 T = A + 7/10 (B - A) 
Uma outra maneira de realizar esta tarefa pode ser: 
 A = (-2, 1) 
 B = (3, 3) 
 s = Segmento[A, B] 
 v = Vector[A, B] 
 T = A + 7/10 v 
 
Em seguida podemos introduzir um número t, usando, por 
exemplo, o modo Selector e então redefinir T da maneira 
seguinte: T = A + t v (veja Redefinir). Variando t, pode ver 
o ponto T a mover-se ao longo da recta que tem equação 
paramétrica (veja Recta): g: X = T + s v. 
2.5. Sistema de Duas Equações Lineares 
com Duas Incógnitas 
Duas equações lineares em x e y podem ser representadas 
graficamente por duas rectas g e h. Se estas forem oblíquas, a 
solução algébrica do sistema é o par ordenado que corresponde ao 
ponto S onde se intersectam. Assim, insira no campo de entrada as 
seguintes linhas, pressionando a tecla Enter no fim de cada linha: 
 g: 3x + 4y = 12 
 h: y = 2x - 8 
 S = Intersecção[g, h] 
 
Para mudar as equações pode clicar com o botão direito do rato 
(MacOS: Maçã + clique) em cada uma e seleccionar Redefinir. 
Usando agora o botão esquerdo do rato, pode arrastar as rectas 
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usando o modo Mover , ou rodar cada uma delas em torno de 
um ponto, usando agora o modo Rodar em torno de um ponto. 
2.6. Tangente ao Gráfico de uma Função 
O GeoGebra oferece um comando para traçar a recta tangente ao 
gráfico de uma função f(x) num ponto de abcissa x = a. Insira no 
campo de entrada as seguintes linhas, pressionando a tecla Enter 
no fim de cada linha: 
 a = 3 
 f(x) = 2 sin(x) 
 t = Tangente[a, f] 
 
Fazendo variar o número a (veja Animação), a tangente desliza ao 
longo do gráfico da função f. 
 
Eis uma outra maneira de obter uma tal tangente num ponto T: 
 a = 3 
 f(x) = 2 sin(x) 
 T = (a, f(a)) 
 t: X = T + s (1, f'(a)) 
 
Isto também nos dá o ponto de tangência T, mas agora a equação 
da recta t está na forma paramétrica. 
 
Pode ainda criar a tangente ao gráfico de f usando modos: 
• seleccione o modo Novo ponto e em seguida clique no 
gráfico para obter um novo ponto A sobre ele; 
• seleccione o modo Tangentes e clique sucessivamente 
no gráfico e no ponto A. 
Agora, seleccione o modo Mover e arraste com o rato o ponto A 
no gráfico de f. Pode observar que a tangente também muda de 
forma dinâmica. 
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2.7. Investigação de Funções Polinomiais 
O GeoGebra permiteinvestigar raizes, extremos locais e pontos de 
inflexão de funções polinomiais. Insira no campo de entrada as 
seguintes linhas e pressione Enter no fim de cada linha: 
 f(x) = x^3 - 3 x^2 + 1 
 R = Raiz[f] 
 E = Extremo[f] 
 I = PontoDeInflexão[f] 
 
No modo Mover pode mover o gráfico da função polinomial f 
com o rato. A primeira e segunda derivadas de f também podem 
ser obtidas: insira no campo de entrada as seguintes linhas, 
pressionando a tecla Enter no fim de cada linha: 
 Derivada[f] 
 Derivada[f, 2] 
2.8. Integrais 
Para introduzir o conceito de integral, o GeoGebra oferece a 
possibilidade de visualizar as somas inferior e superior de uma 
função como rectângulos. Insira no campo de entrada as seguintes 
linhas, pressionando a tecla Enter no fim de cada linha: 
 f(x) = x^2/4 + 2 
 a = 0 
 b = 2 
 n = 5 
 L = SomaInferior[f, a, b, n] 
 U = SomaSuperior[f, a, b, n] 
 
Modificando a, b, ou n (veja Animação; veja o modo Selector) 
pode ver o impacto destes três parâmetros nas somas inferior e 
superior. Para mudar o incremento de n para 1 clique com o botão 
direito (MacOS: Maçã + clique) em n e seleccione Propriedades. 
 
O integral definido pode ser mostrado usando o comando 
Integral[f, a, b], ao passo que uma primitiva F é criada 
usando F = Integral[f]. 
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3. Entrada Geométrica 
Neste capítulo vamos explicar como usar o rato para criar e 
modificar objectos no GeoGebra. 
3.1. Notas Gerais 
A janela geométrica mostra a representação gráfica de pontos, 
vectores, segmentos, polígonos, funções, rectas e cónicas. Sempre 
que o rato é movido sobre um de tais objectos aparece a respectiva 
descrição. 
Nota: às vezes, a janela geométrica é chamada zona gráfica. 
 
Existem várias maneiras de dizer ao GeoGebra como deve reagir a 
cada clique do rato na janela geométrica (veja Modos). Por 
exemplo, clicando na zona gráfica pode criar um novo ponto (veja o 
modo Novo Ponto), intersectar objectos (veja também o modo 
 Intersecção de dois objectos), ou criar uma circunferência (veja 
o modo Circunferência dados o centro e um ponto). 
 
Nota: fazendo duplo clique sobre um objecto na janela de álgebra, 
abre-se um campo de edição onde pode redefinir tal objecto. 
3.1.1. Menu de Contexto 
Ao accionar a tecla direita do rato sobre um objecto, surge um 
menu de contexto onde se pode seleccionar a notação algébrica 
(coordenadas polares ou cartesianas, equações implícitas ou 
explícitas, etc.). Aqui também se pode aceder a comandos tais 
como Renomear, Redefinir ou Apagar . 
 
No menu de contexto, se escolher Propriedades surge uma caixa 
de diálogo na qual pode mudar, por exemplo, as seguintes 
propriedades: cor, tamanho, espessura da recta, estilo das rectas, 
e preenchimento. 
3.1.2. Exibir e Esconder 
Os objectos geométricos podem ser visíveis (exibir) ou não 
(esconder). Use o modo Exibir / esconder objecto ou o Menu de 
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Contexto para mudar este estado. O ícone à esquerda de cada 
objecto na janela de álgebra indica-nos o seu estado de visibilidade 
actual ( “exibir” ou “esconder”). 
 
Nota: também pode usar o modo Caixa para exibir /esconder 
objectos para exibir / esconder um ou mais objectos. 
3.1.3. Traço 
Quando são movidos, os objectos geométricos podem deixar um 
traço (ou rasto) na zona gráfica. Use o Menu de Contexto para 
activar ou desactivar esse traço. 
 
Nota: a opção Actualizar janelas, no menu Exibir, apaga todos os 
traços. 
3.1.4. Zoom 
Após clicar com o botão direito (MacOS: Maçã + clique) na zona 
gráfica aparece um menu de contexto que lhe permite aumentar 
(veja o modo Ampliar) ou diminuir (veja o modo Reduzir). 
 
Nota: para especificar um zoom clique na zona gráfica com o botão 
direito (MacOS: Maçã + clique) e mova o rato. 
3.1.5. Razão Entre Eixos 
Clique na zona gráfica com o botão direito (MacOS: Maçã + clique) 
e seleccione Propriedades para obter um menu de contexto onde 
pode: 
• mudar a razão entre o eixo dos xx e o eixo dos yy; 
• exibir / esconder cada eixo coordenado individualmente; 
• modificar a aparência dos eixos (marcações, cor, estilo das 
rectas, etc.). 
3.1.6. Protocolo de Construção 
O protocolo de construção (menu Exibir, Protocolo de construção) 
é uma tabela que mostra todos os passos da construção e permite 
refazer uma construção passo a passo usando a barra de 
navegação situada na base da zona gráfica. É possível inserir 
novos passos e mudar a sua sequência. Veja mais detalhes no 
menu Ajuda do protocolo de construção. 
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Nota: usando a coluna Ponto de quebra, no submenu Exibir do 
menu Protocolo, pode definir certos passos da construção como 
pontos de quebra, o que lhe permite agrupar objectos. Assim, 
quando navega na sua construção, os objectos de cada grupo são 
mostrados simultaneamente. 
3.1.7. Barra de Navegação 
O GeoGebra oferece uma barra de navegação para navegar 
através dos passos de uma construção já realizada. No menu 
Exibir, seleccione Barra de navegação para passos da construção 
e verá a barra de navegação na base da zona gráfica. 
3.1.8. Redefinir 
Pode redefinir um objecto usando o seu Menu de Contexto. Isto é 
muito útil para posteriores alterações na sua construção. Também 
pode abrir a caixa de diálogo Redefinir, seleccionando primeiro o 
modo Mover e fazendo depois um duplo clique sobre um objecto 
dependente na janela de álgebra. 
 
Exemplos: 
 
Para colocar um ponto livre A numa recta h seleccine Redefinir 
para o ponto A e insira Ponto[h] no campo de entrada da caixa 
de diálogo que aparece. Para remover o ponto A da recta h clique 
sobre este e redefina-o, atribuindo-lhe coordenadas. 
 
Um outro exemplo é a conversão de uma recta h, definida por dois 
pontos A e B, no segmento [A,B]. Para tal, seleccione Redefinir e 
insira Segmento[A, B] no campo de entrada da caixa de diálogo 
que aparece. De modo análogo, pode converter o segmento [AB] 
na recta AB. 
 
Redefininir objectos é uma ferramenta muito versátil para alterar 
uma construção. Mas tenha cuidado, pois isso pode alterar também 
a ordem dos passos da construção, no Protocolo de Construção. 
3.1.9. Diálogo de Propriedades 
O diálogo de propriedades permite-lhe modificar propriedades dos 
objectos (cor, espessura, etc.). Pode abrir uma caixa de diálogo por 
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dois processos: clicar com o botão direito do rato (MacOS: Maçã + 
clique) sobre o objecto e seleccionar Propriedades, ou seleccionar 
Propriedades no menu Editar. 
 
No diálogo de propriedades, os objectos são organizados por tipos 
(pontos, rectas, circunferência, etc.), o que permite tratar um 
grande número de objectos simultaneamente. Na coluna Objectos 
pode seleccionar um grupo e atribuir-lhe a mesma propriedade. Se 
o grupo incluir apenas objectos do mesmo tipo, basta clicar sobre o 
nome desse tipo e depois atribuir a propriedade. Se o grupo incluir 
objectos de tipos diferentes, clique sobre o nome de um deles, 
pressione a tecla CTRL e depois vá clicando sobre o nome dos 
restantes para os seleccionar, atribuindo-lhes depois a 
propriedade. Após a atribuição da(s) propriedade(s), pode fechar a 
caixa de diálogo, pois elas ficam automaticamente gravadas. 
3.2. Modos 
Os seguintes modos podem ser seleccionados e activados nos 
menus da barra de ferramentas. Clique na pequena seta situada no 
canto inferior direito de um ícone para obter um menu com outros 
modos. 
Nota: em todos os modos de construção pode criar facilmente 
novos pontos clicando na zona gráfica. 
Marcar um Objecto 
Marcar um objecto significa clicar nele com o botão esquerdo do 
rato. 
Renomeação Rápida de Objectos 
Para renomear um objecto já existente ou acabado de criar, basta 
abrir o diálogo Renomear para esse objecto. 
3.2.1. Modos Gerais 
Nota: o número que segue o nome do modo codificaesse modo na 
interface JavaScript e serve para personalizar a barra de 
ferramentas. 
 Mover (cod 0) 
Neste modo pode mover e situar objectos livres com o rato. Se 
seleccionar um objecto clicando nele no modo Mover, pode: 
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• apaga-lo, pressionando a tecla Delete; 
• move-lo, usando as teclas de movimeto (veja Animação). 
 
Nota: pressionando a tecla Esc também activa o modo Mover. 
 
Com a tecla Ctrl pressionada, pode seleccionar vários objectos ao 
mesmo tempo. 
 
Uma outra maneira de seleccionar múltiplos objectos consiste em 
pressionar continuadamente o botão esquerdo do rato para 
especificar um rectângulo de selecção. Então pode mover os 
objectos seleccionados arrastando um deles com o rato. 
 
O rectângulo de selecção também pode ser usado para especificar 
a parte da janela geométrica que se pretende imprimir, exportar 
como figura ou como folha de trabalho dinâmica em formato html 
(veja Imprimir e Exportar). 
 Rodar em torno de um ponto (cod 39) 
Seleccione primeiro o ponto que é o centro da rotação. Depois 
pode rodar objectos livres em torno dele, movendo-os com o rato. 
 Relação (cod 14) 
Marque dois objectos para obter informação sobre a sua relação 
(veja também o comando Relação). 
 Mover eixos coordenados (cod 40) 
Mova a zona gráfica para modificar a origem do sistema de 
coordenadas. 
Nota: também pode mover a zona gráfica se pressionar 
continuadamente a tecla Shift ou Ctrl e arrastar com o rato. 
 
Neste modo também pode alterar a escala em cada um dos eixos, 
arrastando-o com o rato. 
Nota: alterar a escala de um eixo também é possível em qualquer 
outro modo, desde que mantenha uma das teclas Shift ou Ctrl 
pressionada enquanto arrasta o eixo. 
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 Ampliar (cod 41) 
Clique em qualquer lugar da zona gráfica para ampliar (veja Zoom) 
 Reduzir (cod 42) 
Clique em qualquer lugar da zona gráfica para reduzir (veja Zoom) 
 Exibir / esconder objecto (cod 27) 
Clique num objecto para o exibir ou esconder. 
Nota: clicando num objecto para o esconder, este é destacado; 
para que o objecto se esconda de facto, basta clicar sobre o ícone 
de outro modo, na barra de ferramenras. 
 Exibir/esconder rótulo (cod 28) 
Clique num objecto para exibir ou esconder o respectivo rótulo. 
 Copiar estilo visual (cod 35) 
Este modo modo permite-lhe copiar as propriedades visuais (cor, 
tamanho, estilo das rectas, etc.) de um objecto para outros. Para o 
fazer, seleccione primeiro o objecto cujas propriedades quer copiar 
e depois clique em todos os objectos que devem adoptar essas 
propriedades. 
 Apagar objectos (cod 6) 
Clique em qualquer objecto que queira apagar. 
3.2.2. Ponto 
 Novo ponto (cod 1) 
Clicando na zona gráfica cria um novo ponto. 
Nota: as coordenadas do ponto são fixadas na janela de álgebra 
logo que o botão do rato é accionado na zona gráfica. 
 
Clicando num segmento, numa recta, num polígono, numa cónica, 
num gráfico de uma função ou numa curva, cria um ponto nesse 
objecto (veja o comando Ponto). Clicando na intersecção de dois 
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objectos cria o respectivo ponto de intersecção (veja o comando 
Intersecção). 
 Intersecção de dois objectos (cod 5) 
Os pontos de intersecção de dois objectos podem ser criados de 
duas maneiras: 
• marcando dois objectos, todos os pontos de intersecção são 
criados (se for possível); 
• clicando numa intersecção de dois objectos, um único ponto de 
intersecção é criado. 
 
Para segmentos, semirectas ou arcos, pode especificar se quer 
extender os pontos de intersecção (veja Diálogo de Propriedades). 
Isto pode ser usado para obter os pontos de intersecção situados 
na extensão de um objecto. Por exemplo, a extensão de um 
segmento ou de uma semirecta é uma recta. 
 Ponto médio ou centro (cod 19) 
Clique 
• em dois pontos para obter o respectivo ponto médio; 
• num segmento para obter o respectivo ponto médio; 
• numa cónica para obter o respectivo centro. 
3.2.3. Vector 
 Vector definido por dois pontos (cod 7) 
Marque o ponto origem e o ponto extremidade do vector. 
 Vector a partir de um ponto (cod 37) 
Marcando um ponto A e um vector v , cria o ponto B = A + v e o 
vector que vai de A para B. 
3.2.4. Segmento 
 Segmento definido por dois pontos (cod 15) 
Marcando dois pontos A e B fixa um segmento entre os dois. O 
comprimento do segmento fica visível na janela de álgebra. 
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 Segmento dados o comprimento e um ponto (cod 45) 
Clique num ponto A que deve ser o ponto inicial do segmento. 
Especifique o comprimento a do segmento na janela que aparece. 
 
Nota: este modo cria um segmento de comprimento a e extremo B, 
o qual pode ser rodado em torno de A usando o modo Mover. 
3.2.5. Semirecta 
 Semirecta definida por dois pontos (cod 18) 
Marcando dois pontos A e B cria a semirecta de origem A que 
passa por B. Na janela de álgebra pode ver a equação da recta 
correspondente. 
3.2.6. Polígono 
 Polígono (cod 16) 
Marque três ou mais pontos. Depois clique no primeiro para fechar 
o polígono. Na janela de álgebra vê a área do polígono. 
 Polígono regular (cod 51) 
Marque dois vértices consecutivos do polígono, A e B. Depois 
insira o número n de vértices no campo de texto do diálogo que 
aparece e obtém o polígono regular. 
3.2.7. Recta 
 Recta definida por dois pontos (cod 2) 
Marcando dois pontos A e B fixa a recta que os contém. Um vector 
director da recta é o vector B-A. 
 Recta paralela (cod 3) 
Marcando a recta g e o ponto A obtém a recta que contém A e é 
paralela a g. A direcção da nova recta é a direcção de g. 
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 Recta perpendicular (cod 4) 
Marcando a recta g e o ponto A obtém a recta perpendicular a g no 
ponto.A direcção da nova recta é a de um vector perpendicular a g 
(veja o comando VectorPerpendicular). 
 Mediatriz (cod 8) 
A recta mediatriz de um segmento de recta é determinada por um 
segmento s ou por dois pontos A e B. A direcção da mediatriz é a 
de um vector perpendicular a s ou a AB. 
 Bissectriz (cod 9) 
A bissectriz de um ângulo pode ser definida de duas maneiras: 
• marcando pontos A, B, C obtém a bissectriz do ângulo que 
tem vértice B; 
• marcando duas rectas não paralelas produz uma bisectriz 
para cada um dos ângulos que elas definem. 
Nota: um vector director de uma bissectriz tem comprimento 1. 
 Tangentes (cod 13) 
As tangentes a uma cónica podem ser obtidas de duas maneiras: 
• marcando um ponto A e uma cónica c produz todas as 
tangentes a c que passam por A; 
• marcando uma recta g e uma cónica c produz todas as 
tangentes a c que são paralelas a g. 
 
Marcando um ponto A e o gráfico de uma função f produz a recta 
tangente ao gráfico no ponto de abcissa x(A) e ordenada f(x(A)). 
 Recta polar (cod 44) 
Este modo cria a recta polar ou o diâmetro de uma cónica. Pode: 
• marcar um ponto e uma cónica para obter a recta polar; 
• marcar uma recta (ou um vector) e uma cónica para obter o 
seu diâmetro. 
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3.2.8. Cónica 
 Circunferência dados o centro e um ponto (cod 10) 
Marcando um ponto M e um ponto P define a circunferência de 
centro M contendo P. O raio da circunferência é a distância MP. 
 Circunferência dados o centro e o raio (cod 34) 
Depois de marcar o centro M deve inserir o raio no campo de texto 
da janela que aparece. 
 Circunferência definida por três pontos (cod 11) 
Marcando três pontos não colineares A, B, e C define a 
circunferência que contém esses pontos. Se os três pontos forem 
colineares, a circunferência degenera numa recta. 
 Cónica definida por cinco pontos (cod 12) 
Marcando cinco pontos produz uma cónica que os contém. 
Nota: se 4 ou mais pontos forem colineares, a cónica não está 
definida; se forem apenas 3 colineares, degenera numa recta.3.2.9. Arco e Sector 
Nota: o valor algébrico de um arco é o seu comprimento; o valor 
algébrico de um sector é a sua área. 
 Semicircunferência dados dois pontos (cod 24) 
Marcando dois pontos A e B obtém uma semicircunferência sobre o 
diâmetro [AB]. 
 Arco circular dados o centro e dois pontos (cod 20) 
Marcando três pontos M, A, e B obtém o arco de centro M, iniciado 
em A e terminado em K, sendo K um ponto (invisível) da semirecta 
MB. Nota: o ponto B não tem que pertencer ao arco. 
 Arco circuncircular dados três pontos (cod 22) 
Marcando três pontos produz um arco circular que os contém. 
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 Sector circular dados o centro e dois pontos (cod 21) 
Marcando três pontos M, A, e B obtém o sector de centro M, 
iniciado em A e terminado em K, sendo K um ponto (invisível) da 
semirecta MB. Nota: o ponto B pode não pertencer ao arco. 
 Sector circuncircular dados três pontos (cod 23) 
Marcando três pontos obtém o sector circuncircular que os contém. 
3.2.10. Número e Ângulo 
 Distância ou comprimento (cod 38) 
Este modo dá a distância entre dois pontos, duas rectas, um ponto 
e uma recta. Também dá o comprimento de um segmento ou o 
perímetro de uma circunferência. 
 Área (cod 40) 
Este modo dá a área de um polígono, círculo ou elipse, na forma 
de um texto dinâmico situado na janela geométrica. 
 Declive (cod 50) 
Este modo dá o declive de uma recta, na forma de um texto 
dinâmico situado na janela geométrica. 
 Selector (cod 25) 
Nota: no GeoGebra, um selector (ou cursor) é a representação 
gráfica de um número (ou um ângulo) livre. 
 
Clique em qualquer lugar vazio da zona gráfica para criar um 
número ou um ângulo. A janela que aparece permite-lhe 
especificar o nome e o intervalo [min, max] do número ou do 
ângulo e a posição e o comprimento (em pixeis) do selector. 
Nota: pode criar facilmente um cursor para qualquer número ou 
ângulo livres que já existam, exibindo esse objecto (veja o Menu de 
Contexto; veja também o modo Exibir / esconder objecto). 
 
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A posição de um selector pode ser absoluta na zona gráfica ou 
relativa ao sistema de cordenadas (veja as Popriedades do 
correspondente número ou ângulo). 
 Ângulo (cod 36) 
Este modo cria: 
• ângulo entre três pontos; 
• ângulo entre dois segmentos; 
• ângulo entre duas rectas; 
• ângulo entre dois vectores; 
• todos os ângulos internos de um polígono. 
 
Por defeito, todos estes ângulos têm amplitude entre 0º e 360°. Se 
quiser limitar o tamanho máximo de um ângulo a 180°, desactive 
permitir ângulos reflexos na caixa de Diálogo de Propriedades. 
 Ângulo com amplitude fixa (cod 46) 
Marque dois pontos A e B e insira a amplitude do ângulo no campo 
de texto da janela que aparece. Este modo produz um ponto C e 
um ângulo α, sendo α o ângulo ABC. 
3.2.11. Booleano 
 Caixa para exibir / esconder objectos (cod 52) 
Se clicar na zona gráfica cria uma caixa (variável Booleana) que 
funciona como um interruptor, permitindo exibir ou esconder um ou 
mais objectos. Na janela que aparece pode especificar os objectos 
que devem ser afectados pela caixa. 
3.2.12. Lugar Geométrico 
 Lugar geométrico (cod 47) 
Marque um ponto B que depende de um outro ponto A e cujo locus 
quer desenhar. Então clique no ponto A. 
Nota: o ponto B tem que ser um ponto numa linha (recta, 
segmento, circunferência, etc). 
 
Exemplo: 
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• Insira f(x) = x^2 – 2 x – 1 no campo de entrada. 
• Coloque um novo ponto A no eixo dos xx (veja novamente o 
modo Novo ponto; veja também o comando Ponto). 
• Crie o ponto B = (x(A), f’(x(A))) que depende de A. 
• Seleccione o modo Lugar geométrico e depois clique 
sucessivamente no ponto B e no ponto A. (veja também o 
comando Locus). 
• Movendo A ao longo do eixo dos xx pode ver o ponto B a 
mover-se ao longo da linha que é o seu lugar geométrico. 
3.2.13. Transformações Geométricas 
As seguintes transformações geométricas podem ser aplicadas a 
pontos, rectas, cónicas, polígonos e imagens. 
 Reflexão em relação a um ponto (cod 29) 
Primeiro marque o objecto que vai ser reflectido. Depois clique no 
ponto que serve de espelho. 
 Reflexão em relação a uma recta (cod 30) 
Primeiro marque o objecto que vai ser reflectido. Depois clique na 
recta que serve de espelho. 
 Rodar em torno de um ponto com uma amplitude (cod 32) 
Primeiro marque o objecto que vai ser rodado. Depois clique no 
ponto que é o centro da rotação. Aparece uma janela onde deve 
especificar a amplitude (positiva) e a orientação do ângulo. 
 Translação por um vector (cod 31) 
Primeiro marque o objecto que vai ser transladado. Depois clique 
no vector da translação 
 Homotetia de centro num ponto por um factor (cod 33) 
Primeiro marque o objecto que vai ser transformado. Depois clique 
no ponto que é o centro da homotetia. Aparece uma janela onde 
deve especificar o factor de escala (razão da homotetia). 
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3.2.14. Texto 
 Texto (cod 17) 
Com este modo pode criar na zona gráfica textos estáticos ou 
dinâmicos, incluindo fórmulas escritas em LaTeX: 
• clicando na zona gráfica cria um campo de texto; 
• clicando num ponto cria um campo de texto cuja posição é 
relativa a esse ponto. 
 
Aparece uma caixa de diálogo onde pode escrever o texto. 
Nota: pode usar valores de objectos para criar textos dinâmicos. 
 
Exemplo: 
 
Entrada Descrição 
“Isto é um texto” texto simples (estático) 
“Ponto A = ” + A texto dinâmico usando as coordenadas do ponto A 
“a = ” + a + ”cm” texto dinâmico usando a medida do segmento a 
 
A posição de um texto na zona gráfica pode ser absouta ou relativa 
ao sistema de coordenadas (veja Propriedades do texto). 
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Fórmulas LaTeX 
No GeoGebra também pode escrever fórmulas. Para fazer isso 
marque a opção Fórmula LaTeX no diálogo do modo Texto e 
escreva a sua fórmula conforme a síntaxe LaTeX. 
Em seguida explicam-se alguns comandos LaTeX. Consulte a 
documentação LaTeX para mais informação. 
 
Entrada LaTeX Resultado 
a \cdot b ba ⋅ 
\frac{a}{b} 
b
a
 
\sqrt{x} x 
\sqrt[n]{x} n x 
\vec{v} 
\overline{AB} AB 
x^{2} 2x 
a_{1} 1a 
\sin\alpha + \cos\beta βα cossin + 
\int_{a}^{b} x dx ∫ba xdx 
\sum_{i=1}^{n} i^2 ∑=ni i1 2 
3.2.15. Imagens 
 Inserir imagem (cod 26) 
Este modo permite adicionar uma imagem à sua construção: 
• clicando num lugar vazio da zona gráfica especifica o canto 
inferior esquerdo da imagem; 
• clicando num ponto designa esse ponto como canto inferior 
esquerdo da imagem. 
 
Depois, aparece um diálogo de abertura de ficheiro onde pode 
escolher a imagem para inserir (formatos aceites: gif, tif, jpg, png). 
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3.2.16. Propriedades das Imagens 
Posição 
A posição de uma imagem pode ser absoluta ou relativa ao sistema 
de eixos coordenados (veja Propriedades das imagens). A posição 
relativa é definida pela especificação de três cantos. Isto permite a 
flexibilidade para dilatar, rodar e mesmo distorcer imagens. 
• Canto 1 (posição do canto inferior esquerdo da imagem). 
• Canto 2 (posição do canto inferior direito da imagem). 
Nota: o canto 2 só pode ser definido se o primeiro já o 
estiver. Este canto 2 controla a largura da imagem. 
• Canto 4 (posição do canto superior esquerdo da imagem). 
Nota: o canto 4 só pode ser definido se o primeiro já o 
estiver. Este canto 4 controla a altura da imagem. 
Nota: veja também o comando Canto. 
 
Exemplos: 
Crie três pontos A, B, e C para explorar os efeitos dos cantos. 
• Sejam A e B, respectivamente, o primeiro e o segundo 
cantos da sua imagem. Movendo A e B no modo Mover 
pode explorar a sua influência facilmente. 
• Sejam A e C, respectivamente, o primeiro e o quarto cantos 
da sua imagem. Mova-os e explore a sua influência na 
imagem.• Finalmente, pode definir os três cantos por estes três 
pontos e ver como o movimento destes distorce a imagem. 
 
Já viu como os cantos podem influenciar a posição e o tamanho da 
imagem. Se quiser anexar a imagem a um ponto A, definir a largura 
igual a 3 e a altura igual a 4, faça o seguinte: 
• canto 1: A 
• canto 2: A + (3, 0) 
• canto 4: A + (0, 4) 
Nota: se agora mover o ponto A no modo Mover, a imagem 
mantém as dimensões desejadas. 
Imagem de Fundo 
Pode definir uma imagem como imagem de fundo (veja 
Propriedades da imagem). Uma imagem de fundo fica sob os eixos 
coordenados e nunca mais pode ser seleccionada com o rato. 
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Nota: para alterar a definição de uma imagem como imagem de 
fundo seleccione Propriedades no menu Editar. 
Transparência 
Uma imagem pode tornar-se transparente para deixar ver os 
objectos ou os eixos coordenados que se misturam com ela. Pode 
definir o grau de transparência especificando um valor percentual 
para o preenchimento (veja Propriedades da imagem). 
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4. Entrada Algébrica 
Neste capítulo vamos explicar como usar o teclado para criar ou 
modificar objectos no GeoGebra. 
4.1. Notas Gerais 
Valores, coordenadas e equações de objectos livres ou 
dependentes são mostradas na janela de álgebra (no lado 
esquerdo da janela de visualização). Os objectos livres não 
dependem de qualquer outro e podem ser alterados directamente. 
 
Pode criar ou modificar objectos usando o campo de entrada 
situado na parte inferior da interface GeoGebra (veja Entrada 
Directa; veja Comandos). 
Nota: pressione sempre a tecla Enter após inserir a definição de 
um objecto na linha de entrada de comandos. 
4.1.1. Alterar Valores 
Os objectos livres podem ser alterados directamente mas os 
objectos dependentes não podem. Para manipular um valor de um 
objecto reescreva-o inserindo o novo valor no campo de entrada 
(veja Entrada Directa). 
Exemplo: se desejar alterar o valor de um existente número a = 3, 
escreva a = 5 no campo de entrada e pressione a tecla Enter. 
 
Nota: alternativamente, isto pode ser feito na janela de algebra, 
escolhendo Redefinir no Menu de Contexto ou fazendo um duplo 
clique sobre o objecto com o modo Mover . 
4.1.2. Animação 
Para fazer variar um número ou um ângulo de forma contínua 
seleccione o modo Mover . Então, clique sobre o número ou 
ângulo e pressione as teclas + ou – . 
 
Mantendo uma destas teclas pressionada permite-lhe realizar 
animações. 
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Exemplo: se as coordenadas de um ponto dependem de um 
número k como em P = (2 k, k), o ponto P move-se ao longo de 
uma recta quando k varia continuamente. 
 
Com as teclas de movimento (setas) pode mover qualquer objecto 
livre com o modo Mover (veja Animação; veja Mover). 
Nota: pode ajustar o incremento (ou passo) usando o Diálogo de 
Propriedades desse objecto. 
 
Atalhos: 
• Ctrl + seta define um passo de 10 unidades (lento); 
• Alt + seta define um passo de 100 unidades (rápido). 
 
Nota: um ponto numa recta também pode se movido ao longo 
dessa recta usando as teclas + ou – (veja Animação). 
4.2. Entrada Directa 
O GeoGebra pode tratar números, ângulos, pontos, vectores, 
segmentos, rectas, cónicas, funções e curvas paramétricas. Vamos 
agora explicar como é que tais objectos pode ser introduzidos 
através de coordenadas ou de equações no campo de entrada. 
 
Nota: também pode usar índices nos nomes dos objectos; por 
exemplo, A1 ou SAB escreve-se A_1 ou s_{AB}. 
4.2.1. Números e Ângulos 
Com números e ângulos use o símbolo “.” como ponto decimal. 
 
Exemplo: obtém um número r introduzindo r = 5.32. 
Nota: também pode usar a constante π e o número de Neper e , em 
expressões ou em cálculos, seleccionando-os no menu situado 
logo à direita do campo de entrada. 
 
Os ângulos são inseridos em graus (°) ou em radianos (rad). A 
constante π é útil para valores em radianos. Tanto pode escrever π 
como pi. 
 
Exemplo: um ângulo α pode ser expresso em graus (α = 60) ou 
em radianos (α = pi/3).
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Nota: o GeoGebra realiza todos os cálculos internos em radianos; o 
símbolo ° representa apenas o valor da constante π/180 utilizada 
para converter graus em radianos. 
Selectores e Teclas de Movimento 
Os números e os ângulos livres podem ser representados como 
selectores na zona gráfica (veja o modo Selector). Através das 
teclas de movimento (setas) pode alterar esses números e ângulos 
também na janela de algebra (veja Animação). 
Limites de Intervalo 
Os números e os ângulos livres podem ser limitados a um intervalo 
[min, max] (veja Diálogo de Propriedades). Um tal intervalo também 
é usado para Selectores. 
 
Para cada ângulo dependente pode especificar se ele pode ser um 
ângulo reflexo (ou reentrante) (veja Diálogo de Propriedades). 
4.2.2. Pontos e Vectores 
Pontos e vectores podem ser expressos em coordenadas 
cartesianas ou polares (veja Números e Ângulos). 
Nota: letras maiúsculas denotam pontos ao passo que as 
minúsculas denotam vectores. 
 
Exemplos: 
• Para inserir um ponto P ou um vector v em coordenadas 
cartesianas escreva P = (1, 0) or v = (0, 5). 
• Se desejar exprimir P e v em coordenadas polares, então 
escreva P = (1; 0°) ou v = (5; 90°). 
4.2.3. Recta 
Uma recta é inserida como equação linear em x e y ou na forma 
paramétrica. Tanto num caso como no outro podem ser usadas 
variáveis pré-definidas (números, pontos, vectores, etc.). 
Nota: pode inserir o nome de uma recta no início da entrada, 
seguido por “:” (dois pontos). 
 
Exemplos: 
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• Escreva g : 3x + 4y = 2 para inserir a recta g como 
equação linear. 
• Defina um parâmetro t (t = 3) antes de inserir g na forma 
paramétrica e escreva g: X = (-5, 5) + t (4, -3). 
• Primeiro defina os parâmetros m = 2 e b = -1. Então 
pode inserir a equação g: y = m x + b para obter g na 
forma reduzida. 
EixoX e EixoY 
Os dois eixos coordenados podem ser usados como comandos 
através dos nomes EixoX e EixoY. 
Exemplo: o comando Perpendicular[A, EixoX] constrói a 
recta perpendicular ao eixo xx passando por um dado ponto A. 
4.2.4. Cónica 
Uma secção cónica é inserida como equação quadrática em x e y. 
Variáveis pré-definidas (números, pontos, vectores, etc.) podem ser 
usados. O nome da cónica pode ser inserido no início da entrada, 
seguido por “:” (dois pontos). 
 
Exemplos: 
• Elipse eil: eli: 9 x^2 + 16 y^2 = 144 
• Hipérbole hyp: hip: 9 x^2 – 16 y^2 = 144 
• Parábola par: par: y^2 = 4 x 
• Circunferência k1: k1: x^2 + y^2 = 25 
• Circunferência k2: k2: (x–5)^2 + (y+2)^2 = 25 
 
Nota: se definir previamente os parâmetros a = 4 e b = 3 pode 
inserir a elipse como eli: b^2 x^2 + a^2 y^2 = a^2 b^2. 
4.2.5. Função de x 
Para inserir uma função pode usar também variáveis pré-definidas 
(números, pontos, vectores, etc.) e funções internas. 
Exemplos: 
• Função f: f(x) = 3 x^3 – x^2 
• Função g: g(x) = tan(f(x)) 
• Função interna : sin(3 x) + tan(x) 
 
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Todas as funções internas (sin, cos, tan, etc.) são descritas na 
secção relativa às operações aritméticas (veja Operações 
Aritméticas). 
 
No GeoGebra também pode usar comandos para obter o Integral e 
a Derivada de uma função. 
 
Também pode usar os comandos f’(x) ou f’’(x),… para obter 
a primeira ou a segunda derivada de uma dada função f(x). 
Exemplo: defina a função f como f(x) = 3 x^3 – x^2. Depois 
pode inserir g(x) = cos(f’(x + 2)) para obter a fução g. 
 
Para além do mais, uma função pode ser transladada por um 
vector (veja o comando Translação) e uma função livre pode ser 
movida com o rato (veja o modo Mover). 
Restrição de Uma Função a Um Intervalo 
Para limitar a variação de x a um intervalo [a, b], use o comando 
Função (veja o comando Função). 
4.2.6.Listas de Objectos 
Usando chavetas pode criar uma lista contendo vários objectos 
(pontos, segmentos, circunferências, etc.). 
Exemplos: 
• L = {A, B, C} dá a lista de três pontos A, B e C 
previamente definidos. 
• L = {(0, 0), (1, 1), (2, 2)} dá a lista que 
contém os mesmos pontos A, B e C, mas agora expressos 
pelas respectivas coordenadas cartesianas. 
4.2.7. Operações Aritméticas 
Para inserir números, coordenada ou equações (veja Entrada 
Directa) deve usar expressões aritméticas com parênteses. As 
seguintes operações podem ser realizadas no GeoGebra: 
 
 
Operação Inserir 
adição +
subtracção -
multiplicação * ou espaço 
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Operação Inserir 
produto escalar * ou espaço 
divisão /
exponenciação ^ ou 2
factorial !
função Gamma gamma( )
parênteses ( )
abcissa x( )
ordenada y( )
valor absoluto abs( )
sinal sgn( )
raiz quadrada sqrt( )
raiz cúbica cbrt( )
número aleatório entre 0 e 1 random( )
função exponencial exp( ) ou ℯx
logaritmo natural (base e) ln( ) ou log( )
logaritmo (base 2) ld( )
logaritmo (base 10) lg( )
co-seno cos( )
seno sin( )
tangente tan( )
arco-co-seno acos( )
arco-seno asin( )
arco-tangente atan( )
co-seno hiperbólico cosh( )
seno hiperbólico sinh( )
tangente hiperbólica tanh( )
arco-co-seno hiperbólico acosh( )
arco-seno hiperbólico asinh( )
arco-tangente hiperbólica atanh( )
maior inteiro menor ou igual floor( )
menor inteiro maior ou igual ceil( )
arredonda round( )
 
Exemplos: 
• Ponto médio de dois pontos A e B : M = (A + B) / 2. 
• Norma de um vector v : n = sqrt(v * v). 
 
Nota: no GeoGebra pode fazer cálculos com pontos e vectores. 
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4.2.8. Variáveis Booleanas 
No GeoGebra pode usar as variáveis booleanas “true” (verdadeiro) 
e “false” (falso). 
 
Exemplo: insira a = true ou b = false no campo de entrada e 
depois pressione a tecla Enter. 
Caixa Para Exibir / Esconder e Teclas de Movimento 
Uma variável booleana livre pode ser visualizada na zona gráfica 
como caixa para exibir / esconder objectos (veja o modo Caixa 
para exibir / esconder objectos). Usando as teclas de movimento 
(setas) pode alterar o valor de uma variável booleana na janela de 
álgebra (veja Animação). 
4.2.9. Operações Booleanas 
No GeoGebra pode usar as seguintes operações boleanas: 
 
 Operador Exemplo Objectos 
igual ≟ ou == a ≟ b a == b
números, pontos, 
rectas, cónicas, a, b 
diferente ≠ ou != a ≠ b a != b
números, pontos, 
rectas, cónicas, a, b 
menor < a < b números, a, b 
maior > a > b números, a, b 
menor ou igual ≤ ou <= a ≤ b a <= b números, a, b 
maior ou igual ≥ ou >= a ≥ b a >= b números, a, b 
e � a ∧ b booleanos, a, b 
ou � a ∨ b booleanos, a, b 
negação ¬ ou! ¬a !a booleano, a 
paralela � a ∥ b rectas, a, b 
perpendicular � a ⊥ b rectas, a, b 
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4.3. Comandos 
Usando comandos pode produzir novos objectos ou modificar 
objectos já existentes. O resultado de um comando pode ser 
nomeado introduzindo um rótulo seguido do símbolo “=”. No 
exemplo seguinte o novo ponto é chamado S. 
 
Exemplo: para obter o ponto de intersecção das rectas g e h 
escreva S = Intersecção[g, h] (veja o comando 
Intersecção). 
 
Nota: também pode usar índices nos nomes dos objectos; por 
exemplo, A1 ou SAB escreve-se A_1 ou s_{AB}. 
 
Nota: o nome de um comando pode ter acentos mas não pode ter 
qualquer espaço ou ífen; por exemplo, deve escrever 
ArcoCircular em vez de Arco Circular e Semirecta em 
vez de Semi-recta. 
4.3.1. Comandos Gerais 
Relação 
Relação[objecto a, objecto b]: mostra uma mensagem 
sobre a relação entre os objectos a e b. Nota: este 
comando permite-nos saber se dois objectos são iguais, se 
um ponto está numa recta ou cónica, se uma recta é 
tangente ou secante a uma cónica. 
Apagar 
Apagar[objecto a]: Apaga o objecto a e todos os seus 
dependentes. 
Elemento 
Elemento[lista L, número n]: n-ésimo elemento da lista L 
4.3.2. Comandos Booleanos 
Se[condição, a, b]: dá uma cópia do objecto a se a condição 
for verdadeira; senão, dá uma cópia do objecto b. 
Se[condição, a]: dá uma cópia do objecto a se a condição for 
verdadeira; senão, dá um objecto indefinido. 
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4.3.3. Número 
Comprimento 
Comprimento[vector v]: Norma do vector v. 
Comprimento[ponto A]: Norma do vector posição de A. 
Comprimento[função f, número x1, número x2]: 
Comprimento do gráfico da função f entre x1 e x2. 
Comprimento[função f, ponto A, ponto B]: Comprimento 
da parte do gráfico da função f entre dois pontos A e B. 
Comprimento[curva c, número t1, número t2]: 
Comprimento da curva c entre t1 e t2. 
Comprimento[curva c, ponto A, ponto B]: Comprimento 
da parte da curva c entre dois pontos A e B. 
Comprimento[lista L]: Comprimento da lista L (número de 
elementos na lista). 
Área 
Área[ponto A, ponto B, ponto C, ...]: Área do polígono 
definido pelos pontos A, B, C , .... 
Área[cónica c]: Área delimitada pela cónica c (circunferência 
ou elipse). 
Distância 
Distância[ponto A, ponto B]: Distância entre A e B. 
Distância[ponto A, recta g]: Distância entre A e g. 
Distância[recta g, recta h]: Distância entre g e h. Nota: a 
distância entre rectas secantes é 0. Este comando tem 
interesse para rectas paralelas. 
Resto 
Resto[número a, número b]: Resto da divisão inteira a por b. 
Divisão 
Divisão[número a, número b]: Quociente da divisão inteira a 
por b. 
Declive 
Declive[recta g]: Declive de uma recta g. Nota: este comando 
também desenha o triângulo rectângulo que permite 
visualisar o declive; o tamanho deste triângulo pode ser 
modificado (veja Diálogo De Propriedades). 
Pág. 36 de 73
Curvatura 
Curvatura[ponto A, função f]: Curvatura do gráfico da 
função f no ponto A. 
Curvatura[point A, curva c]: Curvatura da curva c no 
ponto A. 
Raio 
Raio[circunferência c]: Raio da circunferência c. 
Perímetro da Cónica 
PerímetroDaCónica[cónica c]: Dá o perímetro da cónica c 
(circunferência ou elipse). Nota: este comando também dá o 
perímetro de um polígono. 
Perimetro do Polígono 
PerímetroDoPolígono[polígono poly]: Dá o perímetro do 
polígono poly. Nota: este comando também dá o perímetro 
de uma circunferência ou de uma elipse. 
Parâmetro 
Parâmetro[parábola p]: Parâmetro da parábola p (distância 
entre o foco e a directriz). 
Comprimento do Eixo Principal 
ComprimentoDoEixoPrincipal[cónica c]: Comprimento do 
eixo principal da cónica c. 
Comprimento Do Eixo Secundário 
ComprimentoDoEixoSecundário[cónica c]: Comprimento 
do eixo secundário da cónica c. 
Excentricidade 
Excentricidade[cónica c]: Excentricidade da cónica c. 
Integral 
Integral[função f, número a, número b]: Integral 
definido da função f no intervalo [a, b]. Nota: este comando 
desenha a área entre o gráfico de f e o eixo dos xx. 
Integral[função f, função g, número a, número b]: 
Integral definido da diferença f - g no intervalo [a, b]. Nota: 
este comando desenha a área entre os gráficos de f e g. 
 
Nota: veja Integral indefinido
Pág. 37 de 73
Soma Inferior 
SomaInferior[função f, número a, número b, número 
n]: Soma inferior da função f no intervalo [a, b], com n 
rectângulos. Nota: este comando também desenha os 
rectângulos da soma inferior. 
Soma Superior 
SomaSuperior[função f, número a, número b, número 
n]: Soma superior da função f no intervalo [a, b], com n 
rectângulos. Nota: este comando também desenha os 
rectângulos da soma superior. 
Iteração 
Iteração[função f, número x0, número n]: Itera n vezes 
a função f, usando o valor inicial x0. 
Exemplo: após definir f(x) = x^2 , o comando 
Iteração[f, 3, 2] dá o resultado (32)2 = 81. 
Mínimo e Máximo 
Mínimo[número a, número b]: Mínimo de dois dados 
números a e b. 
Máximo[número a, número b]: Máximo de dois dados 
números a eb. 
Razão Afim 
RazãoAfim[ponto A, ponto B, ponto C]: Produz a razão 
afim, λ , de três pontos colineares A, B e C, relacionados 
pela igualdade C = A + λ * AB. 
Razão Dupla 
RazãoDupla[ponto A, ponto B, ponto C, ponto D]: Dá 
a razão dupla, λ , de quatro pontos colineares A, B, C e D, 
sendo λ = RazãoAfim[B, C, D] / RazãoAfim[A, C, D]. 
4.3.4. Ângulo 
Ângulo 
Ângulo[vector v1, vector v2]: Ângulo entre os vectores v1 
e v2 (entre 0º e 360°). 
Ângulo[recta g, recta h]: Ângulo entre os vectores 
directores das rectas g e h (entre 0º e 360°). 
Ângulo[ponto A, ponto B, ponto C]: Ângulo definido por 
BA e BC (entre 0º e 360°). O ponto B é o vértice. 
Pág. 38 de 73
Ângulo[ponto A, ponto B, ângulo alfa]: Ângulo de 
amplitude α , traçado desde A e com vértice B. Nota: o 
ponto A’ = Rotação[A, α, B] também é criado. 
Ângulo[cónica c]: Ângulo do eixo principal da cónica c 
relativamente à horizontal (veja o comando Eixos). 
Ângulo[vector v]: Ângulo entre o eixo dos xx e o vector v. 
Ângulo[ponto A]: Ângulo entre o eixo dos xx e o vector posição 
do ponto A. 
Ângulo[número n]: Converte o número n num ângulo (entre 0 e 
2pi). 
Ângulo[polígono poly]: Dá todos os ângulos internos do 
polígono poly. 
4.3.5. Ponto 
Ponto 
Ponto[recta g]: Ponto sobre a recta g. 
Ponto[cónica c]: Ponto sobre a cónica c (circunferência, elipse, 
hipérbole e parábola). 
Ponto[função f]: Ponto sobre o gráfico da função f. 
Ponto[polígono poly]: Ponto na fronteira do polígono poly. 
Ponto[vector v]: Ponto sobre o vector v. 
Ponto[ponto P, vector v]: Ponto P + v. 
Ponto Médio ou Centro 
PontoMédio[ponto A, ponto B]: Ponto médio de A e B. Nota: 
este comando também dá o centro de uma cónica. 
PontoMédio[segmento s]: Ponto médio do segmento s. Nota: 
este comando também dá o centro de uma cónica. 
Centro[cónica c]: Centro da cónica c (circunferência, elipse, 
hipérbole e parábola) . Nota: este comando também dá o 
ponto médio de dois pontos ou de um segmento. 
Foco 
Foco[cónica c]: Dá o(s) foco(s) da cónica c. 
Vértice 
Vértice[cónica c]: Dá o(s) vertice(s) da cónica c. 
Baricentro 
Baricentro[polígono poly]: Baricentro do polígono poly. 
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Intersecção 
Intersecção[recta g, recta h]: Ponto de intersecção das 
rectas g e h. 
Intersecção[recta g, cónica c]: Todos os pontos de 
intersecção da recta g com a cónica c (no máximo, 2). 
Intersecção[recta g, cónica c, número n]: n-ésimo 
ponto de intersecção da recta g com a cónica c. 
Intersecção [cónica c1, cónica c2]: Todos os pontos de 
intersecção das cónicas c1 e c2 (no máximo, 4). 
Intersecção[cónica c1, cónica c2, número n]: n-ésimo 
ponto de intersecção das cónicas c1 c2. 
Intersecção[polinómio f1, polinómio f2]: Todos os 
pontos de intersecção dos gráficos das funções polinomiais 
f1 e f2. 
Intersecção[polinómio f1, polinómio f2, número n]: 
n-ésimo ponto de interseccão dos gráficos das funções 
polinomiais f1 e f2. 
Intersecção[polinómio f, recta g]: Todos os pontos de 
intersecção do gráfico da função polinomial f com a recta g. 
Intersecção[polinómio f, recta g, número n]: n-ésimo 
ponto de intersecção do gráfico da função polinomial f com 
a recta g. 
Intersecção[função f, função g, ponto A]: Ponto de 
intersecção dos gráficos das funções f e g, com ponto inicial 
A (método de Newton). 
Intersecção[função f, recta g, ponto A]: Ponto de 
intersecção do gráfico da função f e da recta g, com ponto 
inicial A (método de Newton). 
 
Nota: veja também o modo Intersecção de dois objectos
Raiz 
Raiz[polinómio f]: Todas as raizes da função polinomial f, 
apresentadas como abcissas dos pontos de intersecção do 
gráfico de f com o eixo dos xx. 
Raiz[função f, número a]: Uma raiz da função f , com valor 
inicial a (método de Newton), apresentada como abcissa do 
ponto de intersecção do gráfico de f com o eixo dos xx. 
Raiz[função f, número a, número b]: Uma raiz da função 
f no intervalo [a, b] (falsa posição), apresentada como 
abcissa do ponto de intersecção de f com o eixo dos xx. 
Pág. 40 de 73
Extremo 
Extremo[polinómio f]: Todos os extremos locais da função 
polinomial f , apresentados como ordenadas de pontos. 
Ponto de Inflexão 
PontoDeInflexão[polinómio f]: Todos os pontos de inflexão 
da função polinomial f. 
4.3.6. Vector 
Vector 
Vector[ponto A, ponto B]: Vector com origem no ponto A e 
extremidade no ponto B. 
Vector[ponto A]: Vector posição do ponto A. 
Direcção 
Direcção[recta g]: Vector director da recta g. Nota: uma recta 
com equação ax + by = c tem a direcção do vector (b, - a). 
Vector Unitário 
VectorUnitário[recta g]: Vector que tem norma 1 e direcção 
da recta g. 
VectorUnitário[vector v]: Vector com norma 1, a mesma 
direcção e a mesma orientação de um dado vector v. 
Vector Perpendicular 
VectorPerpendicular[recta g]: Vector perpendicular a uma 
dada recta g. Nota: o vector (a, b) é perpendicular à recta 
que tem equação ax + by = c . 
VectorPerpendicular[vector v]: Vector perpendicular a um 
dado vector v. Nota: o vector com coordenadas (- b, a). é 
perpendicular ao vector com coordenadas (a, b). 
Vector Perpendicular Unitário 
VectorPerpendicularUnitário[recta g]: Vector com 
norma 1, perpendicular a uma dada recta g. 
VectorPerpendicularUnitário[vector v]: Vector com 
norma 1, perpendicular a um dado vector v. 
Vector Curvatura 
VectorCurvatura[ponto A, função f]: Vector curvatura de 
uma função f num ponto A do seu gráfico. 
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VectorCurvatura[ponto A, curva c]: Vector curvatura de 
uma curva c num ponto A dessa curva. 
4.3.7. Segmento 
Segmento 
Segmento[ponto A, ponto B]: Segmento definido pelos 
pontos A e B. 
Segmento[ponto A, número a]: Segmento com comprimento 
a e início no ponto A. Nota: o outro extremo do segmento 
também é criado. 
4.3.8. Semirecta 
Semirecta 
Semirecta[ponto A, ponto B]: Semirecta com origem no 
ponto A e que passa pelo ponto B. 
Semirecta[ponto A, vector v]: Semirecta com origem no 
ponto A e que tem a direcção do vector v. 
4.3.9. Polígono 
Polígono 
Polígono[ponto A, ponto B, ponto C,...]: Polígono 
cujos vértices são os pontos A, B, C,… 
Polígono[ponto A, ponto B, número n]: Polígono regular 
com n vértices (incluindo os pontos A e B). 
4.3.10. Recta 
Recta 
Recta[ponto A, ponto B]: Recta definida pelos pontos A e B. 
Recta[ponto A, recta g]: Recta que passa no ponto A e é 
paralela à recta g. 
Recta[ponto A, vector v]: Recta que passa no ponto A e 
tem a direcção do vector v 
Perpendicular 
Perpendicular[ponto A, recta g]: Recta que contém o 
ponto A e é perpendicular à recta g. 
Perpendicular[ponto A, vector v]: Recta que contém o 
ponto A e é perpendicular ao vector v. 
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Mediatriz 
Mediatriz[ponto A, ponto B]: Recta mediatriz do segmento 
[AB]. 
Mediatriz[segmento s]: Recta mediatriz do segmento s. 
Bissectriz 
Bissectriz[pnto A, ponto B, ponto C]: Recta bissectriz 
do ângulo definido pelos pontos A, B, C. Nota: o ponto B é o 
vértice deste ângulo. 
Bissectriz[recta g, recta h]: Dá a bissectriz de cada um 
dos ângulos definidos pelas rectas g e h. Nota: se as rectas 
g e h forem paralelas, dá a recta equidistante das duas. 
Tangente 
Tangente[ponto A, cónica c]: Constrói todas as tangentes à 
cónica c que passam pelo ponto A. 
Tangente[recta g, cónica c]: Constrói todas as tangentes à 
cónica c que são paralelas à recta g. 
Tangente[número a, função f]: Tangente ao gráfico da 
função f(x) no ponto de abcissa x = a. 
Tangente[ponto A, função f]: Tangente ao gráfico da 
função f(x) no ponto de abcissa x = x(A). 
Tangente[ponto A, curva c]: Tangente à curva c no ponto 
A. 
Assímptota 
Assímptota[hipérbole h]: Ambas as assímptotas da 
hipérbole h. 
DirectrizDirectriz[parábola p]: Directriz da parábola p. 
Eixos 
Eixos[cónica c]: Eixo principal e eixo secundário da cónica c. 
Eixo Principal 
EixoPrincipal[cónica c]: Eixo principal da cónica c. 
Eixo Secundário 
EixoSecundário[cónica c]: Eixo secundário da cónica c. 
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Polar 
Polar[ponto A, cónica c]: Recta polar do ponto A, 
relativamente à cónica c. 
Diâmetro 
Diâmetro[recta g , cónica c]: Diâmetro paralelo à recta g , 
relacionado com a cónica c. 
Diâmetro[vector v, cónica c]: Diâmetro com a direcção do 
vector v , relacionado com a cónica c. 
4.3.11. Cónica 
Circunferência 
Circunferência[ponto M, número r]: Circunferência com 
centro M e raio r. 
Circunferência[ponto M, segmento s]: Circunferência 
com centro M e raio igual ao comprimento do segmento s 
Circunferência[ponto M, ponto A]: Circunferência com 
centro M passando por A. 
Circunferência[ponto A, ponto B, ponto C]: 
Circunferência por três pontos não colineares A, B e C. 
Circunferência Osculadora 
CircunferênciaOsculadora[ponto A, função f]: 
Circunferência osculadora do gráfico da função f no ponto A 
CircunferênciaOsculadora[ponto A, curva c]: 
Circunferência osculadora da curva c no ponto A. 
Elipse 
Elipse[ponto F, ponto G, número a]: Elipse com focos 
nos pontos F e G , sendo a o comprimento do eixo principal. 
Nota: condição: 2a > Distância[F, G]. 
Elipse[ponto F, ponto G, segmento s]: Elipse com focos 
nos pontos F e G, sendo o comprimento do eixo principal 
igual ao comprimento do segmento s. 
Hipérbole 
Hipérbole[ponto F, ponto G, número a]: Hipérbole com 
focos nos pontos F e G , sendo o número a o comprimento 
do eixo principal. Nota: condição: 0 < 2a < Distância[F, G]. 
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Hipérbole[ponto F, ponto G, segmento s]: Hipérbole 
com focos nos pontos F e G, sendo o comprimento do eixo 
principal igual ao comprimento do segmento s. 
Parábola 
Parábola[ponto F, recta g]: Parábola com ponto focal F e 
directriz g. 
Cónica 
Cónica[ponto A, ponto B, ponto C, ponto D, ponto 
E]: Cónica definida por cinco pontos A, B, C, D e C. Nota: 
não pode haver quatro pontos colineares. 
4.3.12. Função 
Derivada 
Derivada[função f]: Derivada da função f(x). 
Derivada[função f, número n]: n-ésima derivada de f(x). 
 
Nota: pode escrever f’(x) em vez de Derivada[f]e f’’(x) 
em vez de Derivada[f, 2]. 
Integral 
Integral[função f]: Integral indefinido da função f(x). 
 
Nota: veja Integral definido 
Polinómio 
Polinómio[função f]: Expande a expressão polinomial da 
função f. 
Exemplo: Polinómio[(x - 3)^2] dá x2 - 6x + 9. 
Polinómio de Taylor 
PolinómioDeTaylor [função f, número a, número n]: 
Polinómio de Taylor, de grau n, que é próximo de f numa 
vizinhança de a. Nota : a função f tem que ser (pelo menos) 
n vezes diferenciável numa vizinhança de a. 
Função 
Função[função f, número a, número b]: Restrição da 
função f ao intervalo [a, b]. 
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Função por Ramos 
Pode usar o comando booleano Se (veja comando Se) para definir 
uma função por ramos (também chamada função condicional). 
Nota: pode derivar e integrar tais funções e também calcular as 
intersecções dos seus gráficos, como nas funções “normais”. 
 
Exemplo: 
f(x) = Se[x < 3, sin(x), x^2] dá a função que é igual a 
• sin(x) , se x < 3 
• x2 , se x ≥ 3 
4.3.13. Curvas Paramétricas 
Curva[expressão e1, expressão e2, parâmetro t, 
número a, número b]: Curva cartesiana constituída 
pelos pontos (expressão e1, expressão e2), sendo estas 
expressões dependentes de um parâmetro t que varia no 
intervalo [a, b] 
Exemplo: c = Curva[2 cos(t), 2 sin(t), t, 0, 2 pi] 
 
Derivada[curva c]: Derivada da curva c 
 
Nota: as curvas paramétrica podem ser usadas como funções em 
expressões aritméticas. 
Exemplo: inserindo c(3) na linha de comandos, obtém o ponto da 
curva c que corresponde ao caso em que o parâmetro vale 3. 
 
Nota: usando o rato também pode colocar um ponto numa curva 
paramétrica usando o modo Novo ponto (veja o modo Novo 
ponto; veja também o comando Ponto); também pode usar a e b de 
forma dinâmica (veja o modo Selector). 
4.3.14. Arco e Sector 
Nota: o valor algébrico de um arco é o seu comprimento e o valor 
algébrico de um sector é a sua área. 
Semicircunferência 
Semicircunferência[ponto A, ponto B]: Produz uma 
semicircunferência de diâmetro [AB]. 
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Arco Circular 
ArcoCircular[ponto M, ponto A, ponto B]: Arco circular 
com centro M e que tem por extremos os pontos A e K, 
sendo K um ponto (invisível) da semirecta MB. Nota: o 
ponto B não tem que pertencer ao arco. 
Arco Circuncircular 
ArcoCircuncircular[ponto A, ponto B, ponto C]: Arco 
do circuncírculo do triângulo ABC, liga A a C e passa em B. 
Arco 
Arco[cónica c, ponto A, ponto B]: Arco de cónica ligando 
dois pontos A e B na cónica c (circunferência ou elipse). 
Arco[cónica c, número t1, número t2]: Arco na cónica c, 
determinado pelos valores t1 e t2 do parâmetro t, sendo a 
cónica c definida por uma das formas seguintes: 
• circunferência: (r cos(t), r sin(t)), onde r é o raio; 
• elipse: (a cos(t), b sin(t)), onde a e b são, respectivamente, 
os comprimentos do eixo principal e secundário . 
Sector Circular 
SectorCircular [ponto M, ponto A, ponto B]: Sector 
circular de centro M e que tem por extremos os pontos A e 
K, sendo K um ponto (invisível) da semirecta MB. Nota: o 
ponto B não tem que pertencer ao arco. 
Sector Circuncircular 
SectorCircuncircular[ponto A, ponto B, ponto C]: 
Sector do circuncírculo do triângulo ABC. Nota: o respectivo 
arco liga A a C , passando por B. 
Sector 
Sector[cónica c, ponto A, ponto B]: Sector definido 
pelos pontos A e B da cónica c (circunferência ou elipse) 
Sector[cónica c, número t1, número t2]: Sector da 
cónica c (incluindo o interior), determinado pelos valores t1 
e t2 do parâmetro t, sendo a cónica c definida por uma das 
formas seguintes: 
• circunferência: (r cos(t), r sin(t)), onde r é o raio; 
• elipse: (a cos(t), b sin(t)), onde a e b são, respectivamente, 
os comprimentos do eixo principal e secundário. 
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4.3.15. Imagem 
Canto 
Canto[imagem pic, número n]: n-ésimo canto da imagem pic 
(no máximo, 4 cantos). 
4.3.16. Texto 
Nome 
Nome[objecto]: Texto que mostra o nome de um dado objecto. 
 Nota: use este comando em textos dinâmicos para objectos 
que podem ser renomeados. 
4.3.17. Locus 
Locus 
Locus[ponto B, ponto A]: Lugar geométrico dos pontos B 
que dependem do ponto A. 
Nota: o ponto A deve ser um ponto numa linha (recta, 
segmento, circunferência, curva, etc). 
4.3.18. Sequência 
Sequência 
Sequência[expressão e, variável i, número a, 
número b]: Lista dos objectos criados usando a expressão 
e e a variável indexada i, que varia entre os números a e b.
 Exemplo: L = Sequência[(2, i), i, 1, 6] cria uma 
lista de pontos cujas ordenadas variam de 1 a 6. 
Sequência[expressão E, variável i, número a, 
número b, número s]: Lista dos objectos criados 
usando a expressão E e a variável indexada i, que varia 
entre os números a e b com incremento s. 
Exemplo: L = Sequência[(2, i), i, 1, 6, 0.5] 
cria uma lista de pontos cujas ordenadas variam de 1 a 6 
com incremento de 0.5. 
 
Nota: pode usar a e b de forma dinâmica, como selectores. 
Outros Comandos com Sequências 
Elemento[lista L, número n]: n-ésimo elemento da lista L. 
Comprimento[lista L]: Número de elementos da lista L. 
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Mínimo[lista L]: Valor minimal dos elementos da lista L. 
Máximo[lista L]: Valor maximal dos elementos da lista L. 
Iteração 
ListaDeIteração[função f, número x0, número n]: 
Lista L, de comprimento n+1, cujos elementos são os 
iterados de f , com valor inicial x0. 
Exemplo: após ter definido a função f(x) = x^2 , ocomando L = ListaDeIteração[f, 3, 2]dá-lhe a lista 
L = {3, 32, (32)2} = {3, 9, 81}. 
4.3.19. Transformações Geométricas 
Se aplicar um dos seguintes comandos a um novo nome é 
produzida uma cópia do objecto movido. 
Exemplo: o comando Reflexão[A, g] reflecte o ponto A na recta 
g e muda a localização de A; porém, se atribuir um nome e 
escrever B = Reflexão[A, g], produz um novo ponto B e o 
ponto A permanece onde estava. 
Translação 
Translação[ponto A, vector v]: Translada o ponto A pelo 
vector v. 
Translação[line g, vector v]: Translada a recta g pelo 
vector v. 
Translação[cónica c, vector v]: Translada a cónica c pelo 
vector v . 
Translação[função c, vector v]: Translada o gráfico da 
função f pelo vector v. 
Translação[polígono poly, vector v]: Translada o 
polígono poly pelo vector v. Nota: são também criados 
novos vértices e segmentos. 
Translação[imagem pic, vector v]: Translada a imagem 
pic pelo vector v. 
Translação[vector v, Ponto P]: Translada o vector v , 
colocando a sua origem no ponto P. 
 
Nota: veja também o modo Translação por um vector. 
Rotação 
Rotação[ponto A, ângulo phi]: Roda o ponto A pelo ângulo 
φ, em torno da origem dos eixos coordenados. 
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Rotação[vector v, ângulo phi]: Roda o vector v pelo 
ângulo φ , em torno da origem de v. 
Rotação[recta g, ângulo phi]: Roda a recta g pelo ângulo 
φ, em torno da origem dos eixos coordenados. 
Rotação[cónica c, ângulo phi]: Roda a cónica c pelo 
ângulo φ, em torno da origem dos eixos coordenados. 
Rotação[polígono poly, ângulo phi]: Roda o polígono 
poly pelo ângulo φ, em torno da origem dos eixos 
coordenados. Nota: são também criados novos vértices e 
segmentos. 
Rotação[imagem pic, ângulo phi]: Roda a imagem pic pelo 
ângulo φ, em torno da origem dos eixos coordenados. 
Rotação[ponto A, ângulo phi, ponto B]: Roda o ponto A 
pelo ângulo φ, em torno do ponto B. 
Rotação[recta g, ângulo phi, ponto B]: Roda a recta g 
pelo ângulo φ, em torno do ponto B. 
Rotação[cónica c, ângulo phi, ponto B]: Roda a cónica 
c pelo ângulo φ, em torno do ponto B. 
Rotação[polígono poly, ângulo phi, ponto B]: Roda o 
polígono poly pelo ângulo φ, em torno do ponto B. Nota: são 
também criados novos vértices e segmentos. 
Rotação[imagem pic, ângulo phi, ponto B]: Roda a 
imagem pic pelo ângulo φ, em torno do ponto B. 
Nota: veja também o modo Rodar em torno de um ponto com 
um amplitude. 
Reflexão 
Reflexão[ponto A, ponto B]: Reflecte o ponto A no ponto B. 
Reflexão[recta g, ponto B]: Reflecte a recta g no ponto B. 
Reflexão[cónica c, ponto B]: Reflecte a cónica c no ponto 
B. 
Reflexão[polígono poly, ponto B]: Reflecte o polígono 
poly no ponto B. Nota: são também criados novos vértices e 
segmentos. 
Reflexão[imagem pic, ponto B]: Reflecte a imagem pic no 
ponto B. 
Reflexão[ponto A, recta h]: Reflecte o ponto A na recta h. 
Reflexão[recta g, recta h]: Reflecte a recta g na recta h. 
Reflexão[cónica c, recta h]: Reflecte a cónica c na recta 
h. 
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Reflexão[polígono poly, recta h]: Reflecte o polígono 
poly na recta h. Nota: são também criados novos vértices e 
segmentos. 
Reflexão[imagem pic, recta h]: Reflecte a imagem pic na 
recta h 
 
Nota: veja o modo Reflexão em relação a um ponto; veja 
também o modo Reflexão em relação a uma recta. 
Homotetia 
Homotetia[ponto A, número k, ponto H]: Transformado 
do ponto A na homotetia de centro H e razão k. 
Homotetia[recta h, número k, ponto H]: Transformada 
da recta h na homotetia de centro H e razão k. 
Homotetia[cónica c, número k, ponto H]: Transformada 
da cónica c na homotetia de centro H e razão k. 
Homotetia[polígono poly, número k, ponto H]: 
Transformado do polígono poly na homotetia de centro H e 
razão k. Nota: são também criados novos vértices e 
segmentos. 
Homotetia[imagem pic, número f, ponto S]: 
Transformada da imagem pic na homotetia de centro H e 
razão k. Nota: veja o modo Homotetia de centro num 
ponto por um factor. 
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de visualização. 
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5.1.2. Protocolo de Construção 
Para abrir a janela de Previsão da impressão do protocolo de 
construção é necessário abrir primeiro o Protocolo de construção 
no menu Exibir. Neste encontra a opção Previsão da impressão no 
menu Ficheiro da janela que aparece. 
 
Nota: pode exibir ou esconder as diferentes colunas (Nome, 
Definição, Comando, Álgebra e Ponto de quebra) do protocolo de 
construção no menu Exibir deste mesmo protocolo. 
 
Na janela de Previsão da impressão do protocolo de construção 
pode inserir título, autor e data antes de imprimir a sua construção. 
 
Existe uma barra de navegação na parte inferior da janela do 
protocolo de construção. Ela permite-lhe navegar paso a passo 
pela sua construção (veja Barra de Navegação). 
 
Nota: usando a coluna Ponto de quebra (menu Exibir) pode definir 
certos passos da construção como pontos de quebra, o que lhe 
permite agrupar objectos. Deste modo, quando navega pela sua 
construção os grupos de objectos são mostrados simultaneamente. 
5.1.3. Zona Gráfica como Imagem 
Pode encontrar a opção Zona gráfica como figura no submenu 
Exportar do menu Ficheiro. Aqui pode especificar a escala (em cm) 
e a resolução (em dpi) da imagem a imprimir. O verdadeiro 
tamanho da imagem exportada vê-se na parte inferior da janela. 
Quando exporta a zona gráfica como figura pode escolher um dos 
seguintes formatos digitais de imagem: 
PNG – Portable Network Graphics 
Este é um formato gráfico com base no pixel. Quanto mais alta é a 
resolução em dpi (dots per inch), melhor é a qualidade (300 dpi 
costuma ser suficiente). Para evitar uma perda de qualidade, as 
imagens PNG não devem ser escaladas subsequentemente. 
 
As imagens PNG são boas para usar em páginas Web (HTML) e 
com Microsoft Word. 
Nota: sempre que introduzir uma imagem PNG num documento 
Word (menu Inserir, Inserir imagem do ficheiro) certifique-se que o 
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tamanho está definido como 100 %; caso contrário, a escala (em 
cm) deve ser mudada para 100%. 
EPS – Encapsulated Postscript 
Este é um formato gráfico vectorial. As imagens EPS podem ser 
escaladas sem perder qualidade. Os ficheiros EPS são adequados 
para programas de gráficos vectoriais como o Corel Draw e 
sistemas profissionais de processamento de texto como o LaTeX. 
 
A resolução de um gráfico EPS é sempre 72dpi. Este valor só é 
usado para calcular o verdadeiro tamanho de uma imagem em cm, 
não tendo nenhum efeito na qualidade da imagem. 
 
Nota: O efeito de transparência no preechimento de polígonos ou 
cónicas não é possível no formato EPS. 
SVG – Scaleable Vector Graphic 
(veja formato EPS acima) 
EMF – Enhanced Meta Format 
(veja formato EPS acima) 
PSTricks 
Permite descrever uma imagem usando LaTeX. 
5.2. Zona Gráfica / Área de Transferência 
Pode encontrar a opção Copiar para a área de transferência no 
menu Ficheiro, submenu Exportar. Esta opção permite copiar a 
zona gráfica para a área de transferência do seu sistema como 
figura PNG (veja formato PNG). Esta imagem pode ser passada 
para outros programas (por exemplo, Microsoft Word). 
 
Nota: para exportar a sua construção numa certa escala (em cm) 
use a opção Zona gráfica como figura, no menu Ficheiro, submenu 
Exportar (veja Zona Gráfica como Imagem). 
5.3. Protocolo de Construção / Página Web 
Para abrir a janela Exportar: Protocolo de construção, primeiro 
deve abrir o Protocolo de Construção no menu Exibir. Aqui 
encontra a opção