Resolução dos exercícios de Construções Geométricas (desenho técnico)

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Universidade Federal do Ceará 
Departamento de Engenharia de Pesca 
Disciplina: Desenho Técnico Para Ciências Agrárias 
Professor: Dr. Jean Michel Corrêa 
 
RESOLUÇÃO DOS EXERCÍCIOS DE CONSTRUÇÕES GEOMÉTRICAS 
 
1 – Construa ângulos de 15°, 30°, 45°, 60° e 75° com o auxílio de compasso e régua. 
Trace uma reta e marque o ponto A. Com centro em A, faça uma abertura e determine ¼ 
de arco que corte a reta no ponto 1. Sem modificar a abertura do compasso trace um 
arco com centro 1, cortando o outro arco, determinando o ponto 2. Pegue a régua e trace 
uma reta saindo de A, cortando o arco da circunferência no ponto 3 e passando pelo 
ponto 2, formando ângulo de 60°. Sem modificar a abertura do compasso trace um 
pequeno arco com centro no ponto 1 e outro pequeno arco com centro no ponto 3. O 
ponto 4 é a interseção entre os pequenos arcos. Pegue a régua e trace uma reta saindo de 
A, cortando o arco da circunferência no ponto 5 e passando pelo ponto 4, formando 
ângulo de 30°. Sem modificar a abertura do compasso trace um pequeno arco com 
centro no ponto 1 e outro pequeno arco com centro no ponto 5. O ponto 6 é a interseção 
entre os pequenos arcos. Pegue a régua e trace uma reta saindo de A, cortando o arco da 
circunferência no ponto 7 e passando pelo ponto 6, formando ângulo de 15°. Com o 
compasso, faça uma abertura entre os pontos 1 e 7 e transporte essa medida para o ponto 
5 e determine no arco o ponto 8. Pegue a régua e trace uma reta saindo de A e passando 
pelo ponto 8, formando ângulo de 45°. Com a mesma abertura transporte essa medida 
para o ponto 3 e determine no arco o ponto 9. Pegue a régua e trace uma reta saindo de 
A e passando pelo ponto 9, formando ângulo de 75°. 
 
2 – Divida o ângulo reto em três partes iguais. 
A partir do vértice A do ângulo, trace um arco r, de tal maneira que ele corte as duas 
retas que formam o ângulo em dois pontos, B e C. Com o mesmo raio, trace dois arcos, 
um centrado no ponto B e outro no ponto C, determinando os pontos E e F. Ligando-se 
o ponto A aos pontos E e F, obtêm-se três ângulos iguais, cada qual com 30°. 
 
3 – Dados uma reta e o ponto P fora da reta, trace uma perpendicular a reta. 
Trace um arco com raio r1 qualquer, centrado no ponto P, de tal forma que cruze a reta 
em dois pontos, A e B. A partir dos pontos A e B, trace dois arcos, com raio r2 
qualquer. O encontro dos dois arcos determina o ponto C. Ligando os pontos C e P, 
encontra-se a perpendicular desejada. 
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4 – Dados uma reta e o ponto P sobre a reta, trace uma perpendicular a reta AB. 
Trace um arco centrado no ponto P, com um raio r qualquer, de forma que cruze a reta 
nos pontos A e B. Com o mesmo raio r, trace dois arcos, centrados nos pontos A e B, 
determinando o ponto C. 
 
5 – Trace um segmento perpendicular ao segmento AB na sua extremidade. 
Trace uma reta e marque os pontos AB e determine um ponto C fora dessa reta. Com 
centro no ponto C trace uma circunferência cortando o ponto A e outro ponto na reta. 
Pegue a régua e trace uma reta saindo do ponto 2, passando pelo centro C até encontrar 
o ponto 3 no outro lado da circunferência. Trace uma reta do ponto 1 ao ponto 3. 
 
6 – Trace um segmento paralelo ao segmento AB e que passe pelo ponto O. 
Trace uma reta e marque os pontos AB e determine um ponto O fora dessa reta. Trace 
um arco com abertura BO e centro B cortando AB em 1. Sem modificar a abertura do 
compasso trace um arco com centro A cortando AB em 2. Com abertura do compasso 
O1, transporte essa medida para o ponto 2 e determine o ponto 3. Pegue a régua e trace 
uma reta passando pelos pontos O e 3. 
 
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7 – Divida o segmento AB em três partes iguais. 
Trace uma reta e marque os pontos AB. Trace uma reta A’ de 60° saindo do ponto A e 
passando abaixo e a direita de AB e outra reta B’ de 60° saindo do ponto B e passando 
acima e a esquerda de AB. Com abertura do compasso, corte a reta A’ em dois pontos 
eqüidistantes (A1 e A2) e a reta B’ em dois pontos eqüidistantes (B1 e B2). Pegue a 
régua e una os pontos A1B1 e A2B2, cortando o segmento AB em dois pontos. 
 
8 – Determine o centro do arco AB usando o próprio arco. 
Com o auxílio do transferidor trace a metade do arco com os pontos A e B na sua 
extremidade e determine o ponto 1 no meio do arco. Trace a mediatriz entre os pontos 
A1 e B1. O encontro das mediatrizes determinará o ponto C, que será o centro do arco 
AB. 
 
9 – Dado o ângulo α = 50° e a semi-reta OX, construir o ângulo XOY = α. 
Com centro no vértice do ângulo dado trace um arco de circunferência cortando seus 
lados nos pontos A e B (veja figura a seguir). Sem modificar a abertura do compasso 
trace um arco com centro O cortando OX em C. Pegue com o compasso a distância AB 
e trace, com centro em C e com este raio, um arco determinando sobre o primeiro o 
ponto D. A semi-reta OY que passa por D é tal que XOY = α. 
 
 
10 – Construa a circunferência que passa por três pontos A, B, e C dados em posição. 
Seja O o centro da circunferência que passa por A, B, e C. Como OA = OB então O 
pertence à mediatriz de AB. Como OB = OC então O pertence à mediatriz de BC. 
Assim, o ponto O é a interseção destas duas mediatrizes. 
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11 – Construir um triângulo qualquer sendo dados os três lados: AB = 6 cm, AC = 5 cm, 
BC = 4 cm. 
Trace uma reta e marque os pontos AB. Com centro em A, faça uma abertura de 5 cm e 
marque um pequeno arco acima da reta AB. Com centro em B, faça uma abertura de 4 
cm e marque um pequeno arco acima da reta AB. O ponto C é a interseção entre os 
pequenos arcos. Pegue a régua e trace retas passando pelos pontos AC e BC. 
 
 
12 – Construir um triângulo conhecendo-se dois lados AB = 6 cm, AC = 4,5 cm e um 
ângulo α = 50°. 
Trace uma reta e marque os pontos AB. Construa o ângulo BÂC (vide 9ª questão). Com 
centro em A, faça uma abertura de 5 cm na reta AC, determinando o ponto C. Pegue a 
régua e trace uma reta passando pelos pontos BC. 
 
 
 
 
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13 – Construir um triângulo eqüilátero conhecendo-se a altura h = 4 cm. 
Trace uma reta e marque a altura de 4 cm, determinando o ponto C. Com centro em C, 
faça uma abertura com o compasso um pouco maior que a metade de h e um arco que 
corte a reta h no ponto 1. Sem modificar a abertura do compasso trace um arco com 
centro 1, cortando o outro arco a esquerda de 1, determinando o ponto 2 e o outro arco a 
direita de 1, determinando o ponto 3. Pegue a régua e trace retas saindo de C e passando 
por 2 e 3. Trace a bissetriz entre a reta h e a reta c2 e entre a reta h e a reta c3 (vide 1ª 
questão). Trace um segmento perpendicular ao pé da altura (vide 5ª questão), 
determinando o ponto A. Trace uma reta saindo de A e passando pelo pé da altura 
(ponto h). Com abertura do compasso AH e centro H, trace um arco a direita de h, 
determinando o ponto B. Pegue a régua e trace retas passando pelos pontos AB e BC. 
 
14 – Construir um triângulo isósceles conhecendo-se a base AB = 4 cm e a altura h = 5 
cm. Achar o circuncentro e o baricentro do triângulo. 
Trace uma reta e marque os pontos AB. Trace a mediatriz entre A e B. Com o compasso 
marque 5 cm na mediatriz, determinando o ponto C. Pegue a régua e trace retas 
passando pelos pontos AC e BC. Trace as mediatrizes dos lados do triângulo, 
determinando três pontos médios. O circuncentro é o encontro das mediatrizes. Trace 
retas saindo de A até o ponto médio de BC e de B até o ponto médio de AC. O 
baricentro é o encontro das medianas. 
 
 
 
15 – Construir um triângulo eqüilátero conhecendo-se AB = 4,5 cm. Traçar o círculo 
inscrito e ex-inscrito no triângulo. 
Trace uma reta e marque os pontos AB. Trace a mediatriz entre A e B. O encontro dos 
arcos determinará o ponto C, acima da reta AB. Pegue a régua e una os pontos AC e 
BC. Trace a bissetriz do ângulo BÂC e ABC (vide 1ª questão).O incentro é o encontro 
das bissetrizes dos ângulos internos. Trace a bissetriz entre o lado AB e o 
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prolongamento do lado AC e entre o lado AB e o prolongamento do lado BC. O ex-
incentro é o encontro das bissetrizes dos ângulos externos. 
 
 
16 – Construir um triângulo conhecendo-se a base AB = 5 cm, um ângulo α = 40° e a 
altura h = 6 cm. Achar o ortocentro. 
Trace uma reta e marque os pontos AB. Trace um ângulo de 40° com o auxílio do 
transferidor no ponto A e trace uma reta. Com centro em A faça uma abertura com o 
compasso que corte a reta AB em dois pontos, determinando os pontos 1 e 2. Trace a 
mediatriz entre 1 e 2 e a mediatriz deverá passar pelo ponto A. Com centro em B faça 
uma abertura com o compasso que corte a reta AB em dois pontos, determinando os 
pontos 3 e 4. Trace a mediatriz entre 3 e 4 e a mediatriz deverá passar pelo ponto B. 
Com o compasso marque 6 cm nas mediatrizes, determinando os pontos 5 e 6. Pegue a 
régua e trace uma reta tracejada passando pelos pontos 1 e 2. Pegue a régua e trace uma 
reta passando pelos pontos AC e BC. Com centro em B faça uma abertura com o 
compasso que corte a reta AC em dois pontos, determinando os pontos 7 e 8. Trace a 
mediatriz entre 7 e 8 e a mediatriz deverá passar pelo ponto B. Com centro em C faça 
uma abertura com o compasso que corte a reta AB em dois pontos, determinando os 
pontos 9 e 10. Trace a mediatriz entre 9 e 10 e a mediatriz deverá passar pelo ponto C. 
O ortocentro é o encontro das alturas. 
 
17 – Construir o triângulo ABC conhecendo o lado BC = 4,7 cm e as medianas mb = 
5cm e mc = 3,5 cm. 
Trace uma reta e marque os pontos BC. Com centro em B, faça uma abertura de 3,3 cm 
(2/3 de 5 cm) e marque um pequeno arco acima da reta BC. Com centro em B, faça uma 
abertura de 2,3 cm (2/3 de 3,5 cm) e marque um pequeno arco acima da reta AB. O 
ponto B’ é a interseção entre os pequenos arcos, determinando o baricentro. Pegue a 
régua e trace retas passando pelos pontos BB’ e B’C. Trace a mediatriz entre B e C, 
determinando o ponto médio (M) em BC. Trace uma reta saindo de M e passando por 
B’. Faça uma abertura MB’ com o compasso e divida a reta em três partes iguais. O 
último ponto a ser cortado é o ponto A. Pegue a régua e trace retas passando pelos 
pontos AB e AC. 
 
18 – Construir um triângulo escaleno de base 10 cm e ângulos adjacentes 75° e 45°. 
Encontrar o baricentro, ortocentro, circuncentro, incentro, ex-incentro, reta de Euler e o 
círculo dos nove pontos. 
Trace uma reta e marque os pontos AB. Trace um ângulo de 75° com o auxílio do 
transferidor no ponto A e trace uma reta. Trace um ângulo de 45° com o auxílio do 
transferidor no ponto B e trace uma reta. O ponto C é a interseção entre as retas. 
Circuncentro = Trace as mediatrizes dos lados do triângulo, determinando três pontos 
médios. O circuncentro é o encontro das mediatrizes. 
Baricentro = Trace retas saindo de A até o ponto médio de BC e de B até o ponto médio 
de AC. O baricentro é o encontro das medianas. 
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Ortocentro = Com centro em B faça uma abertura com o compasso que corte a reta AC 
em dois pontos, determinando os pontos 1 e 2. Trace a mediatriz entre 1 e 2 e a 
mediatriz deverá passar pelo ponto B. Com centro em C faça uma abertura com o 
compasso que corte a reta AB em dois pontos, determinando os pontos 3 e 4. Trace a 
mediatriz entre 3 e 4 e a mediatriz deverá passar pelo ponto C. O ortocentro é o 
encontro das alturas. 
Incentro = Trace a bissetriz do ângulo BÂC e ABC. O incentro é o encontro das 
bissetrizes dos ângulos internos. 
Ex-incentro = Trace a bissetriz entre o lado AB e o prolongamento do lado AC e entre o 
lado AB e o prolongamento do lado BC. O ex-incentro é o encontro das bissetrizes dos 
ângulos externos. 
Reta de Euler = Trace uma reta passando pelo ortocentro, baricentro e circuncentro. 
Círculo dos nove pontos = Determine o ponto médio (M) entre o ortocentro e o 
circuncentro. Com centro em M, faça uma abertura com o compasso que passe pelos 
três pontos médios dos lados do triângulo, pelos três pés das alturas e pelos três pontos 
médios entre o ortocentro e os vértices. 
 
19 – Construa um quadrado com 3 cm de diagonal. 
Trace uma reta r e marque o ponto A. Trace uma reta perpendicular ao ponto A (vide 4ª 
questão). Com centro em A, faça uma abertura com o compasso que corte a reta AB, 
determinando o ponto 1 e a reta perpendicular a r, determinando o ponto 2. Com a 
abertura do compasso 12 e centro 1, trace um arco e com centro 2, trace outro arco. O 
encontro dos arcos determinará a bissetriz de 90°. Pegue a régua e trace 3 cm na 
bissetriz saindo de A, encontrando o ponto D. Com centro em D faça uma abertura com 
o compasso que corte a reta r em dois pontos, determinando os pontos 1 e 2. Trace a 
mediatriz entre 1 e 2, determinando o ponto B. Com centro em D faça uma abertura com 
o compasso que corte a reta perpendicular a r em dois pontos, determinando os pontos 3 
e 4. Trace a mediatriz entre 3 e 4, determinando o ponto C. Pegue a régua e trace retas 
passando pelos pontos BD e CD. 
 
20 – Construa um retângulo com 5 cm de comprimento e 3 cm de largura. 
Trace uma reta e marque os pontos AB. Com centro em A faça uma abertura com o 
compasso que corte a reta AB em dois pontos, determinando os pontos 1 e 2 e com 
centro em B faça uma abertura com o compasso que corte a reta AB em dois pontos, 
determinando os pontos 3 e 4. Trace a mediatriz entre 1 e 2 e a mediatriz deverá passar 
pelo ponto A. Com o compasso marque 3 cm na mediatriz, determinando o ponto C. 
Trace a mediatriz entre 3 e 4 e a mediatriz deverá passar pelo ponto B. Com o compasso 
marque 3 cm na mediatriz, determinando o ponto D. Pegue a régua e trace uma reta 
passando pelos pontos C e D. 
 
21 – Construa um losango com 4 cm de lado. 
Trace uma reta e marque os pontos AB. Trace a mediatriz entre A e B. O encontro dos 
arcos determinará o ponto C, acima da reta AB e o ponto D, abaixo da reta AB. Pegue a 
régua e una os pontos AC, AD, BC e BD. 
 
22 – Construa um paralelogramo com 6 cm de comprimento, 3 cm de largura e um dos 
ângulos 60°. 
Trace uma reta e marque os pontos AB. Com centro em A, faça uma abertura com o 
compasso que corte a reta AB no ponto 1 e ainda com centro em A trace ¼ de arco da 
circunferência acima da reta AB. Com centro em 1 e com a mesma abertura do 
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compasso, corte o arco da circunferência, determinando o ponto 2. Pegue a régua e trace 
uma reta de 3 cm saindo de A e passando por 2, determinando o ponto C. Com centro 
em C, faça uma abertura com o compasso de 6 cm e marque um pequeno arco. Com 
centro em B, faça uma abertura com o compasso de 3 cm e marque um pequeno arco. O 
encontro dos pequenos arcos determinará o ponto D. Pegue a régua e trace retas 
passando pelos pontos BD e CD. 
 
23 – Construa um trapézio isósceles com 7 cm de base maior, 5 cm de base menor e 
altura de 4 cm. 
Trace uma reta e marque os pontos AB. Trace a mediatriz entre A e B. Com o compasso 
marque 4 cm na mediatriz, determinando o ponto 2. Trace uma reta perpendicular ao 
ponto A (vide 4ª questão). Com o compasso marque 3 cm na mediatriz, determinando o 
ponto 1. Pegue a régua e trace uma reta passando pelos pontos 1 e 2. Com centro em 2, 
faça uma abertura com o compasso de 2,5 cm que corte a reta paralela a AB em dois 
pontos, determinando os pontos C e D. Pegue a régua e trace retas passando pelos 
pontos AC e BD. 
 
24 – Construa as seguintes figuras geométricas: pentágono, hexágono, heptágono, 
octógono e eneágono. 
Pentágono = Traçar uma circunferência com centro em C e demarcar o diâmetro 
determinando os pontos A e B. Com centro em A e raio maior que o raio da 
circunferência, determinar o primeiro arco. Repetir o procedimento com o centro em B 
e o mesmo arco determinando os pontos D e E. Traçar o segmento DE determinando os 
pontos G e P; 
Com centro emB e raio igual a circunferência, traçar o arco determinando os pontos H, 
K e I; 
Compasso com centro em K e raio KG determinar o ponto J. Com o centro do compasso 
em G e raio GJ determinar o ponto L; 
Demarcar os segmentos GL, LM, MN, NO e OG. 
 
 
Hexágono = Traçar uma circunferência com centro em C e demarcar o diâmetro 
determinando os pontos A e B; 
Traçar um arco com centro em B e raio igual ao raio da circunferência. Repetir o 
procedimento para o centro em A e obter os pontos A, F, D, B, E e G que dividem a 
circunferência em seis partes iguais; 
Traçar os segmentos de reta AF, FD, DB, BE, EG e GA para obter o Hexágono Regular. 
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Heptágono = Traçar uma circunferência com centro em C e demarcar o diâmetro 
determinando os pontos A e B; 
Traçar uma semi-reta partindo de A e marcar sete (7) pontos eqüidistantes (D, E, F, G, 
H, I e J); 
Traçar um segmento de reta de J a B e traçar paralelas a JB intersectando os pontos I, H, 
G, F, E e D; 
Traçar dois (2) arcos com raio AB, um com centro em A e outro em B, determinando o 
ponto R. Traçar um segmento ligando R a P e determinar o ponto S; 
Sendo AS a medida padrão, com o compasso marcar os outros pontos (T, U, V, X e Z) 
dividindo a circunferência em sete (7) partes iguais. 
 
 
Octógono = Traçar uma circunferência com centro em C e demarcar o diâmetro 
determinando os pontos A e B. Com centro em A, e raio maior que o raio da 
circunferência, determinar o primeiro arco. Repetir o procedimento com o centro em B 
e o mesmo arco determinando os pontos D e E. Traçar o segmento DE determinando os 
pontos G e P; 
Traçar um arco com centro em G com raio maior que metade de GA. Proceder da 
mesma forma para os pontos A e B determinando os pontos H e I; 
Traçar uma reta de H até C e prolongá-la até interceptar a circunferência. Proceder da 
mesma forma em I. Os pontos A, J, G, M, B, L, D e N dividem a circunferência em oito 
partes iguais. 
 
 
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Eneágono = Traçar uma circunferência com centro em C e demarcar o diâmetro 
determinando os pontos A e B; 
Traçar uma semi-reta partindo de A e marcar nove (9) pontos eqüidistantes (D, E, F, G, 
H, I, J, L e M); 
Traçar um segmento de reta de M a B e traçar paralelas a MB intersectando os pontos 
(N, O, P, Q, R, S, T e U); 
Traçar dois (2) arcos com raio AB, um com centro em A e outro em B e traçar um 
segmento a interseção com o ponto T e determinar o ponto X1; 
Sendo AX1 a medida padrão, com o compasso marcar os outros pontos (X2, X3, X4, X5, 
X6, X7 e X8) dividindo a circunferência em nove (9) partes iguais. Ligando os 
segmentos de reta AX1, X1X2, X2X3, X3X4, X4X5, X5X6, X6X7, X7X8 e X8A obtendo-se 
o Eneágono. 
 
 
25 – Inscreva uma elipse a partir de um losango de 5 cm de diagonal menor. 
Trace uma reta e marque os pontos AB. Trace a mediatriz entre A e B. O encontro dos 
arcos determinará o ponto C, acima da reta AB e o ponto D, abaixo da reta AB. Pegue a 
régua e una os pontos AC, AD, BC e BD. Trace as mediatrizes dos lados do losango, 
determinando quatro pontos médios. Pegue a régua e trace retas saindo de A até o ponto 
médio de BC e BD e de B até o ponto médio de AC e AD, determinando os pontos E e 
F (focos da elipse). Com centro em A, faça uma abertura com o compasso entre os 
pontos médios de BC e BD e com centro em B, faça uma abertura com o compasso 
entre os pontos médios de AC e AD. Com centro em E, faça uma abertura com o 
compasso entre os pontos médios de AC e BC e com centro em F faça uma abertura 
com o compasso entre os pontos médios de AD e BD. 
 
26 – Construa uma espiral levogira com um ponto P distante 2 cm do pólo. 
Trace uma reta r e marque os pontos P’P distantes 2 cm entre si. Trace um arco no 
sentido anti-horário com abertura P’P e centro P’ cortando a reta r a esquerda do ponto 
P’, determinando o ponto 1. Trace um arco no sentido anti-horário com abertura P1 e 
centro P cortando a reta a direita do ponto P, determinando o ponto 2 e assim 
sucessivamente. 
 
27 – Construa retas tangentes a uma circunferência, passando por um ponto P. 
• Ligue P ao centro da circunferência, gerando o segmento OP; 
• Defina o ponto médio M do segmento OP; 
• Trace uma circunferência com centro em M passando por O e por P. Definem-se assim 
os pontos A e B; 
• As retas que ligam os pontos P e A, e P e B são tangentes à circunferência inicial; 
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28 – Construa retas tangentes a duas circunferências com raios 2 e 4 cm. 
• Defina o ponto médio do segmento que une os centros das circunferências e traça-se 
uma circunferência de centro em P passando por O e O’; 
• Trace uma circunferência de raio r – r’, interna à circunferência maior. Com isso serão 
obtidos os pontos M e N. Do prolongamento dos segmentos de O’M e O’N serão 
definidos os pontos A e D; 
• Através do traçado de paralelas, obter os pontos B e C. Os segmentos AB e DC são 
tangentes às duas circunferências. 
 
 
29 – Construa arcos concordantes entre duas retas paralelas. 
• Dadas as retas r e s, paralelas, e o ponto A, contido em s; 
• Trace uma perpendicular pelo ponto A, determinando o ponto B. 
• Trace a mediatriz do segmento AB, obtendo o ponto O; 
• Trace o arco de concordância entre as duas retas com abertura OA e centro em O. Os 
pontos de tangência são A e B. 
 
 
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30 – Construa arcos concordantes entre duas retas concordantes com 3 cm de raio do 
arco de concordância. 
• Dado o ângulo formado peias retas t e s e o raio do arco de concordância r; 
• Determine o ponto A, traçando paralelas às retas t e s. Determine os pontos de 
tangência B e C, traçando, a partir de A, linhas perpendiculares às retas t e s, 
respectivamente. 
• Trace o arco que concordará com as retas dadas. 
 
 
 
31 – Construa um arco concordante entre duas circunferências com 2 cm de raio do arco 
de concordância. 
• Dadas duas circunferências e o raio do arco de concordância r; 
• Trace um arco com centro em A e raios = raios da circunferência 1 + raio de 
concordância e um segundo arco com centro em B e raios = raio da circunferência 2 + 
raio de concordância. Assim será determinado o ponto G; 
• Determine os pontos de tangência H e I, ligando A com G e B com G; 
• Trace o arco de concordância entre suas circunferências com centro em G e abertura r.