Apostila Experimental

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Universidade Federal de Lavras - UFLA
Departamento de F´ısica - DFI
Apostila de Laborato´rio de F´ısica IV
Prof. Dr. Ju´lio Ce´sar Ugucioni
SUMA´RIO
1 Experimento 1: Lei de Refrac¸a˜o e Reflexa˜o interna total 23
2 Experimento 2: Dispersa˜o da Luz 27
3 Experimento 3: Profundidade Aparente 29
4 Experimento 4: Espelhos e Leis de Reflexa˜o 32
5 Experimento 5: Lentes convergentes e divergentes 35
6 Experimento 6: Difrac¸a˜o da luz. 40
7 Experimento 7: Polarizac¸a˜o da luz 43
NORMAS OPERACIONAIS EM
LABORATO´RIOS DE FI´SICA
1. Estar consciente do que estiver fazendo, ser disciplinado e responsa´vel;
2. O acesso ao laborato´rio e´ restrito quanto experimentos esta˜o em an-
damento;
3. Respeitar as adverteˆncias do professor sobre perigos e riscos;
4. Para utilizar os instrumentos ou equipamentos, e´ necessa´rio auto-
rizac¸a˜o dos professores e monitores.
5. Manter ha´bitos de higiene;
6. Na˜o e´ permitido beber, comer, fumar ou aplicar cosme´ticos dentro do
laborato´rio;
7. Na˜o usar sanda´lias ou outros sapatos abertos;
8. Usar preferencialmente calc¸as compridas;
9. Guardar casacos, pastas e bolsas nas a´reas reservadas para isso, e
na˜o na bancada, onde podem danificar os instrumentos de medidas,
materiais ou equipamentos, ale´m de atrapalhar o desenvolvimento do
experimento;
10. Mantenha uma organizac¸a˜o da bancada para na˜o danificar os equipa-
mentos nem muito menos se machucar;
11. Manusear os instrumentos e materiais com o ma´ximo cuidado;
12. Verificar atentamente a tensa˜o dos equipamentos e das tomadas antes
de pluga´-los;
Normas Operacionais em Laborato´rios de F´ısica 2
13. Sempre usar material dida´tico adequado e seguir esse roteiro na execuc¸a˜o
das pra´ticas. Caso queira improvisar ou adotar outra metodologia, in-
formar o professor antes de a fazer;
14. Na˜o respirar vapores e gases, na˜o provar reagentes de qualquer natu-
reza;
15. Ao derramar qualquer substaˆncia, providenciar a limpeza imediata-
mente, utilizando material pro´prio para tal;
16. Na˜o jogar nenhum material so´lido ou l´ıquido dentro da pia ou rede de
esgoto comum;
17. Nunca apanhar cacos de vidro, caso o haja, com as ma˜os ou pano.
Usar escova ou vassoura;
18. Caso voceˆ tenha alguma ferida exposta, esta deve estar devidamente
protegida;
19. Manter o rosto sempre afastado do recipiente onde esteja ocorrendo
um aquecimento;
20. Na˜o usar vidrarias trincadas ou quebradas;
21. O laborato´rio deve ser mantido limpo e livre de todo e qualquer ma-
terial na˜o relacionado a`s atividades nele executadas;
22. Cada equipe e´ responsa´vel pelo material utilizado na aula pra´tica,
portanto ao te´rmino do experimento limpar e guardar os materiais em
seus devidos lugares;
23. No caso de quebra ou dano de vidrarias, materiais ou equipamentos,
comunicar imediatamente ao professor ou monitor;
24. Ao te´rmino da aula, desligar todos os equipamentos e tira´-los da to-
mada;
25. Em caso de acidentes, avisar imediatamente o professor.
MODELO DE RELATO´RIOS EM
LABORATO´RIO DE FI´SICA IV
Um relato´rio e´ um conjunto de informac¸o˜es que e´ utilizado para registrar
resultados parciais ou totais de uma determinada atividade, experimento,
projeto, ac¸a˜o, pesquisa, ou outro evento, que esteja finalizado ou em anda-
mento. Nesse sentido, saber como registrar esses dados de forma adequada
e´ de extrema importaˆncia. Essa parte da apostila trata somente de algumas
sugesto˜es para uma melhor organizac¸a˜o das informac¸o˜es a serem registradas
em um relato´rio acadeˆmico.
Normalmente, utiliza-se uma formatac¸a˜o padronizada para escrita de re-
lato´rios, o que na˜o implica apresentar modificac¸o˜es nessa forma decorrentes
do autor do trabalho ou mesmo do professor responsa´vel pela disciplina.
O relato´rio e´ dividido em diferentes partes, cada uma com sua im-
portaˆncia no texto. No entanto, fica a crite´rio do autor ou mesmo professor
responsa´vel a escolha das partes mais importantes. A seguir sa˜o apresenta-
dos algumas partes que devem estar contidas em relato´rios de laborato´rios
de F´ısica.
ˆ T´ıtulo: Ao qual se refere o relato´rio ou trabalho.
ˆ Autores: Deve conter o nome completo dos autores do trabalho.
ˆ Resumo: Deve contemplar informac¸o˜es importantes referentes ao tra-
balho como um todo. Tem que ser objetivo, coerente e curto, dando
ao leitor do trabalho compreensa˜o dos que foi realizado e conduz´ı-lo a
concluso˜es do mesmo.
ˆ Introduc¸a˜o: Nessa parte, pode-se descrever o conteu´do teo´rico ne-
cessa´rio para dar suporte a`s concluso˜es, situando o leitor no assunto
Modelo de Relato´rios em Laborato´rio de F´ısica IV 4
que esta´ sendo abordado. Pode conter histo´rico do que ja´ foi produ-
zido sobre o objeto em estudo, com os resultados mais importantes da
literatura. Um relato´rio de laborato´rio deve explicar a F´ısica envolvida
para ana´lise dos resultados experimentais obtidos. Deduc¸o˜es equac¸o˜es
e relac¸o˜es matema´ticas podem ser utilizadas para melhor entendimento
da teoria abordada.
ˆ Objetivos: E´ curto e breve; e´ formado por apenas um para´grafo,
dando uma ide´ia da onde queremos chegar com a realizac¸a˜o desse
trabalho.
ˆ Procedimento experimental: E´ a metodologia usada para rea-
lizac¸a˜o da pra´tica experimental. Pode ser escrito em forma de ı´tens
numerados em ordem cronolo´gica, ou mesmo escrito em forma de um
texto descritivo. Pode conter esquemas da montagem experimental,
se poss´ıvel. Por meio dele, deve-se explicar os me´todos que foram uti-
lizados para obtenc¸a˜o dos dados experimentais e quais crite´rios foram
usados para avaliac¸a˜o de incertezas. Um fato importante que deve
ser lembrado e´ que o leitor do trabalho deve ser capaz de reproduzir
o experimento a partir da leitura desta sec¸a˜o. Importante, os verbos
devem ser utilizados na forma impessoal (foi feito ou fez-se) e no
tempo passado, ja´ que os procedimentos foram realizados.
ˆ Resultados e discusso˜es: Essa e´ parte mais importante de um re-
lato´rio onde devem ser apresentados os dados coletados, a discussa˜o
do comportamento ou tendeˆncia dos dados e o resultados das ana´lises.
Na˜o se deve apresentar apenas tabelas com nu´meros ou gra´ficos sem
comenta´rios sobre incertezas obtidas. Os resultados da ana´lise es-
tat´ıstica, bem como tratamento de dados por meio de ajustes de cur-
vas sa˜o obrigato´rios, sendo interessante a comparac¸a˜o com a literatura
discutida na introduc¸a˜o. Um fato importante e´ mostrar a qualidade e
confiabilidade dos resultados por meio de estat´ıstica apropriada. Por
exemplo, o erro percentual entre o valor experimental e o valor teo´rico
nos revela confianc¸a ou na˜o dos resultados apresentados. Tente justi-
ficar eventuais discrepaˆncias que forem observadas e aponte sugesto˜es
para melhorar a qualidade dos dados.
ˆ Concluso˜es: A conclusa˜o deve ser um texto independente do resto
do relato´rio como no resumo. O leitor deve ser capaz de entender o
relato´rio todo por meio da leitura somente dessa parte. Essa parte
pode definir se um relato´rio sera´ aprovado ou na˜o e deve ser discutida
em relac¸a˜o ao objetivo proposto, focando se esse foi alcanc¸ado ou na˜o.
Pode ser enunciado os valores encontrados e e as comparac¸o˜es com
resultados da literatura. Se forem utilizados diferentes me´todos ex-
perimentais para analisar um determinado conjunto de dados, a com-
Modelo de Relato´rios em Laborato´rio de F´ısica IV 5
parac¸a˜o entre os me´todos e´ importante para encontrar o mais apro-
priado e com menor incerteza. A justificativa dos resultados que na˜o
forem adequados e´ de extrema importaˆncia e mostra domı´nio dos au-
tores sobre os conteu´dos abordados.
ˆ Refereˆncias bibliogra´ficas: Na˜o e´ necessa´rio que a formatac¸a˜o das
referencias bibliogra´ficas sejam de acordo com as normas ABNT. Pore´m,
as refereˆncias devem ser apresentadas de formaclara, na qual outros
leitores consigam entender. Enumere os livros, apostilas, revistas ci-
ent´ıficas, sites na internet etc. consultados para a elaborac¸a˜o do re-
lato´rio e cite-os no texto do relato´rio. Vale lembrar que para sites e´
necessa´rio colocar data e hora´rio do acesso. Seguem alguns formas
baseadas na ABNT:
– Livro: SOBRENOME, PRENOME abreviado. T´ıtulo: subt´ıtulo
(se houver). Edic¸a˜o (se houver). Local de publicac¸a˜o: Editora,
data de publicac¸a˜o da obra. Nº de pa´ginas ou volume. (Colec¸a˜o
ou se´rie) Ex.: TIPPLER, P.A.; MOSCA, G. F´ısica para Cien-
tistas e Engenheiros - Eletricidade e Magnetismo, O´ptica. Sexta
Edic¸a˜o. Rio de Janeiro: LTC, 2014. Volume 2.
– Artigos: SOBRENOME, PRENOME; SOBRENOME, PRE-
NOME abreviado abreviado T´ıtulo: subt´ıtulo (se houver). Nome
do perio´dico, Local de publicac¸a˜o, volume, nu´mero ou fasc´ıculo,
paginac¸a˜o, data de publicac¸a˜o do perio´dico. Ex.: CALDEIRA-
FILHO, A. M. ; UGUCIONI, J.C. ; MULATO, M. . Red mercuric
iodide crystals obtained by isothermal solution evaporation: Cha-
racterization for mammographic X-ray imaging detectors. Nu-
clear Instruments & Methods in Physics Research, Section A, Ac-
celerators, Spectrometers, Detectors and Associated Equipment,
v. 737, p. 87-91, 2014.
– Textos eletroˆnicos, Sites, etc: Os elementos essenciais para
referenciar os documentos em meio eletroˆnico sa˜o os mesmos re-
comendados para documentos impressos, acrescentando-se, em
seguida, as informac¸o˜es relativas a descric¸a˜o f´ısica do meio ou
suporte (CD, disquete). Quando se tratar de obras consultadas
on line, sa˜o essenciais as informac¸o˜es sobre o enderec¸o eletroˆnico,
apresentado entre os sinais<>, precedido da expressa˜o Dispon´ıvel
em: e a data de acesso do documento, precedido da expressa˜o
“Acesso em:”. Ex.: Introduc¸a˜o a Teoria de Erros. Dispon´ıvel em:
< https : //drive.google.com/ viewerng/viewer?a = v&pid =
site&srcid = ZGVmYXV sdGRvbWFpbnxwcm9manV saW9jZ
XNhcnV ndWNpb25pfGd4Ojc0ZGQzY zFkZDIwMGV kMGI
>. Acesso em: 07/01/2015.
Modelo de Relato´rios em Laborato´rio de F´ısica IV 6
– Outras formas de refereˆncias podem ser consultadas em
livros ou sites especializados.
Muito Importante!!
Esquemas, Figuras, Gra´ficos e Tabelas: Essa na˜o e´ uma parte do
relato´rio, mas sim uma orientac¸a˜o de como apresentar essas informac¸o˜es
tanto na introduc¸a˜o e procedimentos experimentais como nos resultados
e discusso˜es. Esquemas, figuras e gra´ficos sa˜o reconhecidos como figuras
no texto. Toda figura e tabela deve ser numerada de acordo a ser citada
no texto, o que implica na sua explicac¸a˜o. Essa numerac¸a˜o pode ser
nu´meros cardinais (1,2,3...), romanos (I, II, III), letras do alfabeto (A,
B, C...). Toda tabela e figura deve apresentar uma legenda explicativa,
e essa pode ser colocada embaixo das figuras e acima das tabelas. Essa
regra na˜o e´ padra˜o e pode ser modificada de acordo com os autores.
Importante: Se algum texto foi extra´ıdo de algum livro, deve ser colo-
cado nas refereˆncias bibliogra´ficas. Na˜o mencionar as fontes caracteriza
pla´gio.
Important´ıssimo: Um relato´rio e´ um relato das observac¸o˜es feitas em
laborato´rio. Um relato´rio nunca manda fazer. Assim o uso da forma
impessoal (foi feito ou fez-se...), como foi anteriormente dito para es-
crita do procedimento experimental, deve ser regra para o relato´rio todo.
Toda grandeza experimental determinada deve ser enunciada com as
respectivas unidades. Cuidado para na˜o esquecer das unidades na con-
fecc¸a˜o do relato´rio.
Refereˆncias Bibliogra´ficas
ˆ SILVA, H.S. Modelo de relato´rio-Apostila de F´ısica Experimental 1
Mecaˆnica 1 – Cinema´tica, Dinaˆmica, Momento, Trabalho, Energia.
Depto. de F´ısica, CCN, UFPI.
ˆ Normas da ABNT. Dispon´ıvel em: < http : //www.leffa.pro.br/textos/
abnt.htm#5.16 > Acesso em: 30/05/2014.
INTRODUC¸A˜O A TEORIA DE
ERROS
Quando falamos de teoria de erros temos que levar em considerac¸a˜o e´
essa ferramenta matema´tica nos auxilia no entendimento de flutuac¸o˜es asso-
ciadas as medidas, ou seja, nos auxilia na obtenc¸a˜o das poss´ıveis variac¸o˜es
de valores devido a uma forma de coleta, falha do experimentador, condic¸o˜es
ambientais, entre outras condic¸o˜es. Assim, por meio desse capitulo, vamos
lembrar alguns conceitos importantes que nos conduzem a essa teoria.
Algumas Definic¸o˜es Importantes
1. Grandeza experimental - e´ a grandeza cujo valor e´ determinado
por um conjunto de dados experimentais.
2. Medida direta - e´ o resultado da leitura de um instrumento de me-
dida. Ex.: o comprimento com uma re´gua graduada, a massa de uma
bolinha com uma balanc¸a ou o intervalo de tempo com um cronoˆmetro.
3. Medida indireta - e´ a que resulta da aplicac¸a˜o de uma relac¸a˜o ma-
tema´tica nas medidas diretas, que conduzem a uma determinada gran-
deza f´ısica.
4. Valor verdadeiro - valor real de uma determinada grandeza, que
devemos considerar desconhecido para a maioria dos problemas.
5. Incerteza ou erro (I) - e´ a diferenc¸a entre o valor experimental (x)
e o valor verdadeiro (xv) em mo´dulo (I = |x − xv|). Essa quantidade
indica o quanto e´ o melhor valor obtido para esta grandeza, que so´
pode ser interpretado em termos de probabilidades.
6. Precisa˜o - e´ a indicac¸a˜o do quanto essa e´ reprodut´ıvel.
Introduc¸a˜o a teoria de erros 8
7. Acura´cia - e´ a indicac¸a˜o de quanto um resultado esta´ pro´ximo do
valor verdadeiro.
8. Discrepaˆncia - e´ a diferenc¸a entre dois valores medidos de uma
mesma grandeza f´ısica.
Dentre as incertezas classificamos essas em sistema´ticas e aleato´rias. Va-
mos relembrar.
1. Incertezas ou erros sistema´ticos - sa˜o responsa´veis por desvios regu-
lares nas medidas devido a imperfeic¸o˜es instrumentais, observacionais
ou teo´ricas. Esses tipos de incertezas podem levar a um efeito aditivo
ou multiplicativo nos resultados encontrados. Dentre essas incertezas
temos:
ˆ Instrumentais: Incertezas ou erros que resultam da calibrac¸a˜o do
instrumento de medida. Esse erro pode ser eliminado por meio
da recalibrac¸a˜o do equipamento.
ˆ Teo´ricas: Incertezas ou erros que resultam do uso de fo´rmulas
teo´ricas aproximadas ou do uso de valores aproximados de cons-
tantes f´ısicas.
ˆ Ambientais: Incertezas ou erros devido a efeitos do ambiente a
qual e´ submetida a experieˆncia. Esse erro pode ser eliminado por
meio do controle das condic¸o˜es ambientais.
ˆ Observacionais: Incertezas ou erros devido a falhas de proce-
dimento do observador. Essas incertezas podem ser reduzidas
seguindo cuidadosamente os procedimentos de uso de cada ins-
trumento.
ˆ Residuais: Incertezas ou erros que na˜o podem ser reduzidos a um
valor baixo ou para as quais na˜o se podem realizar correc¸o˜es.
ˆ Grosseiras: Sa˜o devidos a` falta de atenc¸a˜o, pouco treino ou falta
de per´ıcia do operador. Normalmente esse tipo de incerteza ou
erro gera valores com diferenc¸as muito grandes em relac¸a˜o ao
valor real.
2. Incertezas ou erros aleato´rios - sa˜o resultado de flutuac¸o˜es que sa˜o
inevita´veis no processo de medida e que provocam uma dispersa˜o ao
redor de um valor me´dio. Essa pode ser reduzida pela repetic¸a˜o de
n medidas. Nesse sentido, e´ necessa´rio calcular o valor me´dio de n
medidas ideˆnticas e a sua incerteza por meio do calculo do desvio
padra˜o.
Introduc¸a˜o a teoria de erros 9
Valor me´dio ou me´dia para medidas ideˆnticas
Esse e´ definido pela equac¸a˜o 1 Se realizarmos n medidas ideˆnticas, ou
seja, realizadas da mesma maneira com os mesmos instrumentos, os resul-
tados podem ser ligeiramente diferentes. Assim, para um mesmo valor, o
valor me´dio de n medidas e´ definido como:
x¯ =< x >=
n∑
i=1
xi
n
(1)
Vale lembrar que o valor me´dio x¯ se torna mais pro´ximo do valor real ou
verdadeiro quanto maior for o nu´mero de medidas.
Incertezas em Instrumentos de Medidas
Essas incertezasa limitac¸a˜o de leitura dos equipamentos, denominadas
tambe´m como incertezas de calibrac¸a˜o. No geral, quando compramos certo
equipamento, o fabricante informa esse valor de incerteza em manuais. Com
a falta dessa informac¸a˜o e´ sempre importante considerar que:
A incerteza de calibrac¸a˜o de qualquer instrumento pode ser es-
timada admitindo a menor divisa˜o ou menor leitura do mesmo
dividido por 2, ou seja:
σc ∼= L
2
(2)
onde σc e´ a incerteza padra˜o de calibrac¸a˜o e L e´ a menor leitura ou divisa˜o
do equipamento.
Se tivermos certeza muito grande nos valores obtidos por esse equipa-
mento, devemos usar a seguinte relac¸a˜o da na equac¸a˜o 3
σc ∼= L
3
(3)
Desvio ou incerteza padra˜o populacional (σp) e amostral (σa)
O desvio padra˜o e´ forma de obtenc¸a˜o de incertezas aleato´rias que vamos
usar em Laborato´rio de F´ısica III. Esse tipo de ana´lise e´ considerado mais
preciso que a me´dia dos desvios (δ¯), visto nos semestres anteriores. Desse
modo, vamos iniciar lembrando da definic¸a˜o de variaˆncia populacional:
σ2 =
n∑
i=1
(yi − y¯)2
n
(4)
onde o desvio padra˜o populacional e´:
Introduc¸a˜o a teoria de erros 10
σp =
√
σ2 =
√√√√√√
n∑
i=1
(yi − y¯)2
n
(5)
A variaˆncia amostral e´ definida como sendo:
s2 =
n∑
i=1
(yi − y¯)2
n− 1 (6)
onde o desvio padra˜o amostral e´:
σa =
√
s2 =
√√√√√√
n∑
i=1
(yi − y¯)2
n− 1 (7)
A diferenc¸a no uso do desvio padra˜o populacional (σp) e amostral (σa)
esta´ na quantidade de amostras ou medidas de uma determinada grandeza
f´ısica. Quanto maior for o numero de medidas, a utilizac¸a˜o de σp e´ mais
adequada. Vamos limitar de uso de σp em 10 medidas.
Desvio padra˜o total (σ)
Esse desvio e´ definido como a soma do desvio aleato´rio (nesse caso o
desvio padra˜o σp ou σa) ao quadrado e a incerteza de calibrac¸a˜o (σc) ao
quadrado, ou seja:
σ2 = σ2p + σ
2
c (8)
para o desvio padra˜o populacional e,
σ2 = σ2a + σ
2
c (9)
para o desvio padra˜o amostral.
Esse desvio total e´ diferente do desvio total calculado anteriormente com
a me´dia dos desvios, sendo tambe´m mais preciso.
Propagac¸a˜o de erros e desvio padra˜o
A propagac¸a˜o de erros deve ser considerada com cuidado quando tra-
tamos do desvio padra˜o. Vamos considerar a seguinte situac¸a˜o: dado uma
func¸a˜o w (x, y, z), sendo x, y e z grandezas experimentais e suas incertezas
associadas sa˜o σx, σy e σz. A incerteza em w deve ser dada pela seguinte
relac¸a˜o:
Introduc¸a˜o a teoria de erros 11
σ2w =
(
∂w
∂x
)2
σ2x +
(
∂w
∂y
)2
σ2y +
(
∂w
∂z
)2
σ2z (10)
Linearizac¸a˜o de curvas.
A linearizac¸a˜o de curvas nos resulta na obtenc¸a˜o dos coeficientes linear e
angular que sa˜o associados a grandezas f´ısicas importantes. Vamos relembrar
como fazer linearizac¸a˜o de dados experimentais. Para facilitar essa ana´lise,
vamos considerar alguns pontos relevantes quando ja´ possu´ımos o gra´fico de
nosso dados experimentais:
1. Se os dados experimentais obedecerem a uma teoria espec´ıfica, ou seja,
se estivermos estudando a posic¸a˜o de queda de um corpo, sabemos
que esse corpo abandonado deve obedecer a uma func¸a˜o hora´ria que
depende do quadrado do tempo. Nesse caso, ja´ sabemos de imediato
que nossos dados experimentais na˜o va˜o obedecer a uma reta, e sim a
uma para´bola. Dessa forma, devemos fazer a linearizac¸a˜o dos dados
experimentais.
2. Caso na˜o conhec¸amos a teoria envolvida, devemos observar o gra´fico
dos dados experimentais, e se na˜o obedecer a uma reta, devemos tentar
encontrar a melhor forma de ajuste. Lembre-se que esse trabalho pode
ser dif´ıcil se na˜o soubermos trabalhar com func¸o˜es. Vale lembrar que
um gra´fico e´ uma dispersa˜o de pontos e a tendeˆncia desse pontos que
nos conduz a um resultado linear ou na˜o-linear. Como exemplo, se
um gra´fico apresentar pontos dispersos obedecendo a um crescimento
linear, classificamos esses dados como uma reta.
3. A quantidade de pontos experimentais e´ um fato importante para ve-
rificarmos qual e´ a tendeˆncia e a melhor curva de ajuste. Quanto mais
pontos experimentais tiver, melhor sera´ para encontrar qual e´ a curva
de ajuste. Como exemplo, se nossos dados obedecerem a uma func¸a˜o
senoidal e o numero de pontos for pequeno, talvez nos equivocaremos
com relac¸a˜o a tendeˆncia dos dados experimentais, no levando assim a
um valor constante ou mesmo a uma reta, o que na˜o seria real para
nossa ana´lise.
Como essas informac¸o˜es ja´ podemos entender como linearizar curvas.
Para isso existem diferentes formas, sendo que a mais simples e´ aplicar aos
dados experimentais a tendeˆncia dos pontos escolhida para linearizar. Como
exemplo, se nossos dados obedecerem a uma tendeˆncia logar´ıtmica (como
y = A lnx), para linearizar devemos aplicar ao x logar´ıtmico neperiano, e
assim graficar y em func¸a˜o de lnx. Se nosso dados obedecerem a uma func¸a˜o
exponencial (como y = A10x), devemos graficar y em func¸a˜o de 10x. Dessa
forma estamos linearizando nossos dados experimentais.
Introduc¸a˜o a teoria de erros 12
Me´todo dos Mı´nimos Quadrados (MMQ)
O me´todo dos mı´nimos quadrados (MMQ) e´ uma ferramenta u´til para o
ajuste de curvas lineares e obtenc¸a˜o dos coeficientes angular e linear. Esse
calculo e´ baseado na minimizac¸a˜o das diferenc¸as entre os pontos experi-
mentais e uma reta que representa o melhor ajuste. Com isso, obtemos as
seguintes equac¸o˜es, que representam um sistema com duas inco´gnitas (a e
b) e duas equac¸o˜es, ja´ que os valores x, y, x2 e x.y sa˜o conhecidos.
a
n∑
i=1
x2i + b
n∑
i=1
xi =
n∑
i=1
yixi (11)
a
n∑
i=1
xi + nb =
n∑
i=1
yi (12)
Resolvendo esse sistema. obtemos as seguintes soluc¸o˜es:
a =
n
∑n
i=1 xiyi −
∑n
i=1 xi
∑n
i=1 yi
∆
(13)
b =
∑n
i=1 x
2
i
∑n
i=1 yi −
∑n
i=1 xi
∑n
i=1 xiyi
∆
(14)
onde ∆ = n
∑n
i=1 x
2
i − (
∑n
i=1 xi)
2.
Para obter as incertezas em “a” e “b”, usamos as seguintes expresso˜es:
σa = σy
√
n
∆
(15)
σb = σy
√∑
x2
∆
(16)
onde o valor de σy deve ser calculado com base no valor de a e b pela seguinte
expressa˜o:
σy =
√√√√ 1
n− 2
n∑
i=1
(yi − b− axi)2 (17)
Qualidade do ajuste: coeficiente de determinac¸a˜o (r2), cor-
relac¸a˜o (r) e teste χ2.
Devemos agora obter o coeficiente de determinac¸a˜o (r2) e o coeficiente
de correlac¸a˜o (r) para verificar se os valores de ajuste sa˜o adequados. Vale
lembrar que o r2 indica o quanto a reta de regressa˜o esta´ adequada ao
ajuste da reta, enquanto que o r deve ser usado como uma medida de qua˜o
correlacionados sa˜o os valores experimentais com o ajuste escolhido. Se os
Introduc¸a˜o a teoria de erros 13
dados experimentais forem muito dispersos ou se a curva de ajuste na˜o for
adequadas ao dados experimentais, esse valor sera´ pro´ximo de 0. Quanto
mais pro´ximo o valor de r2 e r for de 1, melhor sera´ o ajuste e a correlac¸a˜o
dos dados experimentais. Para obter r2 usamos a seguinte expressa˜o:
r2 =
∑n
i=1(yi − b− axi)2∑n
i=1(yi − y¯)2
(18)
O χ2 e´ outra ferramenta que indica se o ajuste de uma curva e´ o mais
adequado ou na˜o. Em estat´ıstica esse valor esta´ associado a probabilidade
ma´xima (P) de uma func¸a˜o f(x) ser uma func¸a˜o verdadeira. Desse modo
defini-se P como sendo:
P =
Cn∏n
i=1 σi
e
−1
2
χ2 (19)
onde C e´ uma constante de proporcionalidade, σi e´ o desvio padra˜o e
n∏
i=1
σi =
σ1 · σ2 · σ3... · σn e´ definido como produto´rio dos desvios padro˜es. O χ2 e´
definido como:
χ2 =
n∑
i=1
(yi − b− axi)2
σ2i
(20)
Para que P seja ma´ximo, χ2 tem que ser mı´nimo. Dessa forma valores
altos de χ2 esta˜o associados a uma ajuste ruim.
Refereˆncias Bibliogra´ficas
1. VUOLO, J. H. Fundamentos da Teoria de Erros. Segunda Edic¸a˜o. Sa˜o Paulo:
Edgard Blu¨cher Ltda, 1996.
2. TAYLOR,J.R. Introduc¸a˜o a` ana´lise de erros. O estudo de incertezas em
medic¸o˜es f´ısicas. Segunda edic¸a˜o. Porto Alegre: Editora Bookman, 2012.
3. SANTORO, A.; MAHON, J.R.; OLIVEIRA, J.U.C.L.; MUNDIM FILHO,
L.M.; OGURI,V.; SILVA, W.L.P. Estimativa e Erros em Experimentos de
F´ısica. Terceira edic¸a˜o. Rio de Janeiro: EdUERJ, 2013.
UMA BREVE INTRODUC¸A˜O AO
SCIDAVIS
O nome SciDAVis vem do ingleˆs Scientific Data Analysis and Visualiza-
tion (Visualizac¸a˜o e Ana´lise de Dados Cient´ıficos). E´ um software livre, que
pode ser utilizado em va´rias plataformas (Linux, Mac OS / X, Windows),
para analisar dados e fazer gra´ficos em duas e treˆs dimenso˜es. Este projeto
iniciou-se como um fork do QtiPlot. Mais informac¸o˜es (em ingleˆs) podem
ser obtidas na pa´gina do projeto.
De um modo geral, este tutorial utiliza como refereˆncia a versa˜o 0.2.3
deste software, mas a maioria dos itens abordados devera˜o funcionar perfei-
tamente em verso˜es anteriores, especialmente na se´rie 0.2, e posteriores.
Para que o SciDAVis possa ser utilizado em seu computador alguns pro-
gramas devem estar previamente instalados nele. Se voceˆ usa o Windows
devera´ instalar primeiramente o Python1 2.6 (normalmente, durante a ins-
talac¸a˜o e´ perguntado se voceˆ deseja instalar esta dependeˆncia). Se voceˆ usa
Linux ou Mac, consulte a pa´gina do projeto para saber exatamente quais
sa˜o as dependeˆncias de software. A partir deste momento, tudo o que for
dito funcionara´ de forma igual em qualquer que seja a plataforma utilizada.
Comec¸ando a usar o SciDAVIs
Depois de conclu´ıda a instalac¸a˜o, inicie o programa. Uma tela como a
mostrada na Figura 1 sera´ aberta (na˜o necessariamente igual). Nesta figura
podemos identificar uma tabela e os diversos controles do programa (menus
e boto˜es de func¸o˜es). O uso do SciDAVis e´ simples e, em geral, intuitivo.
A maior parte de suas funcionalidades podem ser conhecidas simplesmente
1Na verdade, o Python so´ e´ realmente necessa´rio se voceˆ preferir utiliza´-lo como lin-
guagem de scripting ao inve´s da linguagem padra˜o, que e´ o muParser.
Uma breve introduc¸a˜o ao SciDAVIs 15
Figura 1: Tela Inicial do programa
navegando pelos menus e/ou clicando com o bota˜o direito do mouse em
algumas a´reas, por isto, vamos nos concentrar em coisas mais objetivas e
que servira˜o como base para outras.
Alterando o idioma
O idioma padra˜o do SciDAVis e´ o Ingleˆs, por isso sera´ necessa´rio altera´-
lo, caso queira utilizar a interface em Portugueˆs. Para isto, acesse o menu
Edit −→Preferences....
A sec¸a˜o General-Geral(Figura 2) mostrara´ a aba Application-Aplicac¸a˜o,
onde se pode ver a opc¸a˜o Language, que deve ser alterada de English para o
idioma desejado. Feito isto, clique em Apply-Aplicar para que as mudanc¸as
no idioma entrem em vigor imediatamente. Algumas verso˜es mais atuais
trazem o idioma “portugueˆs brasileiro”.
Se desejar, aproveite que esta´ no editor de prefereˆncias e acesse a aba
Formato nume´rico para trocar o separador decimal e usar v´ırgula, ao inve´s
de ponto (particularmente, neste ponto eu costumo de-selecionar o checkbox
“Usar separador de grupos”).
Construindo um gra´fico
Como exemplo, considere um conjunto de dados como o da Tabela 1,
que consiste de treˆs colunas de valores: X, Y e σY .
As novas tabelas criadas pelo SciDAVis tem, por padra˜o, apenas duas
colunas. Enta˜o a primeira coisa que devemos fazer e´ alterar o nu´mero de
Uma breve introduc¸a˜o ao SciDAVIs 16
Figura 2: Janela de controle de prefereˆncias
Tabela 1: Valores para teste.
X Y σY
1,0 0,33 0,02
1,9 3,19 0,10
2,8 7,20 0,50
3,8 14,80 0,90
4,9 21,10 1,3
colunas da tabela. Para isto, acesse o menu Tabela, e podera´ simplesmente
adicionar uma nova coluna (Adicionar coluna) ou enta˜o alterar suas di-
menso˜es (Dimenso˜es) para definir uma tabela com quantas linhas e colunas
desejar.
Agora entre com os valores na tabela. As novas colunas adicionadas sa˜o,
por padra˜o, definidas como sendo de valores em Y. Para mudar isto, clique
com o bota˜o direito no cabec¸alho da coluna desejada e, no menu que surgira´
(Figura 3), acesse a opc¸a˜o Definir coluna(s) como. No nosso exemplo,
vamos escolher a opc¸a˜o Erro em Y (desvio padra˜o em Y) para a coluna 3.
Com isto, teremos nossa tabela com a seguinte configurac¸a˜o: coluna 1⇒ X,
coluna 2 ⇒ Y e coluna 3 ⇒ yEr.
Um ponto importante a ser citado aqui e´ a maneira como se faz a selec¸a˜o
Uma breve introduc¸a˜o ao SciDAVIs 17
Figura 3: Alterando o tipo de dado da coluna.
de colunas no SciDAVis (a partir da versa˜o 0.2.0). Se voceˆ tentar selecionar
mais de uma coluna clicando no cabec¸alho da primeira e arrastando o mouse,
notara´ que a primeira coluna selecionada se move, ou seja, a coluna 2 troca
de lugar com a coluna 3, por exemplo2. Deste modo, para selecionar duas
colunas, pressione a tecla Ctlr e clique nas colunas que deseja selecionar. Se
precisar selecionar va´rias colunas, clique na primeira, segure a tecla Shift e
depois clique na u´ltima coluna a ser selecionada.
Tudo preparado. Agora vamos plotar um gra´fico. Estamos querendo plo-
tar uma curva que tem barras de erro em Y. A maneira mais fa´cil de fazer isto
e´: selecione, pelo menos, as colunas 2 e 3 (Y e yEr), acesse o menu Gra´fico
e escolha uma das opc¸o˜es que aparecem (linha, dispersa˜o, linha+s´ımbolo,
etc.). Escolhendo, por exemplo, Dispersa˜o obtemos um gra´fico como o apre-
sentado na figura 4.
Os campos T´ıtulo, T´ıtulo do eixo X e T´ıtulo do eixo Y podem
ser editados simplesmente dando um duplo clique sobre os nomes, assim
como qualquer outro texto que esteja sendo mostrado no gra´fico. Se desejar
alterar outras opc¸o˜es do gra´fico (ampliar/reduzir a escala de um eixo ou
colocar grades, por exemplo), deˆ um duplo clique sobre os nu´meros de um
dos eixos e um dia´logo com as opc¸o˜es dispon´ıveis sera´ aberto.
2Esta e´ uma caracter´ıstica do programa que tem como intenc¸a˜o futura implementac¸a˜o
da funcionalidade de apenas arrastar uma coluna para um gra´fico para adicionar uma
nova curva, dentre outras coisas.
Uma breve introduc¸a˜o ao SciDAVIs 18
Figura 4: Gra´fico dos dados a tabela 1.
Ana´lise dos dados
Estat´ısticas em linhas e colunas: Para obter informac¸o˜es de colunas
como: me´dia dos valores, desvio padra˜o, variaˆncia, soma e etc., simples-
mente selecione a(s) coluna(s) desejada(s) e acesse o menu Ana´lise → Es-
tat´ısticas em coluna. Com isto, sera´ gerada uma nova tabela com va´rias
informac¸o˜es sobre a(s) coluna(s) selecionada(s). O procedimento para obter
dados estat´ısticos das linhas e´ semelhante, bastando selecionar as desejadas
e acessar o menu Ana´lise → Estat´ısticas em linhas.
Ajustes utilizando fo´rmulas incorporadas: Como em outros programas
de ana´lise de dados, o menu Ana´lise apresenta algumas opc¸o˜es diferentes
para tabelas e gra´ficos, dependendo da janela que esteja em foco. Por isso,
para que as opc¸o˜es de ajuste de curvas possam ser usadas, deixe a janela
com o gra´fico “por cima” da tabela.
Acessando o menu Ana´lise → Ajuste ra´pido sa˜o mostradas as princi-
pais curvas de ajuste incorporadas ao SciDAVis. Outras curvas podem ser
definidas no Assistente de ajuste, que discutiremos adiante.
Como exemplo, ainda para o gra´fico da figura 4, vamos tentar dois ajus-
tes: uma regressa˜o linear e uma regressa˜o polinomial de ordem 2. No menu
Ana´lise → Ajuste ra´pido, escolha Regressa˜o linear. Imediatamente sera´
efetuado o ajuste da curva do gra´fico, tratando-a como se fosse uma reta,
ou seja, com se obedecesse a` equac¸a˜o y = ax + b. O resultado e´ mostrado
na figura 5 (esquerda). Nesta mesma figura, podemos ver que o Regis-
Uma breve introduc¸a˜o ao SciDAVIs 19
Figura 5: Exemplos de curvas de ajustes.
tro de resultados foi alterado: agora ele conte´m informac¸o˜es referentes
aos coeficientes obtidos (valores e respectivoserros) e a` qualidade do ajuste
(Chi-quadrado (χ2) e coeficiente de correlac¸a˜o (R2). Ja´ na figura 5 (direita),
podemos ver a curva de ajuste obtida ao ser usada uma regressa˜o polinomial
de ordem 2, ao inve´s da linear. Neste caso, a ordem do polinoˆmio deve ser
escolhida no dia´logo que aparece ao ser acessado o menu Ana´lise→ Ajuste
ra´pido → Regressa˜o polinomial.
Eventualmente, podemos querer copiar os valores dos paraˆmetros para
exibi-los no gra´fico (ou adicionar alguma informac¸a˜o textual ao mesmo).
Devido a` uma limitac¸a˜o do SciDAVis (que devera´ ser eliminada no futuro)
na˜o e´ poss´ıvel simplesmente selecionar um texto, copia´-lo, clicar no gra´fico
com o bota˜o direito do mouse e colar o texto. Mas isto na˜o impede que
qualquer texto seja adicionado ao gra´fico. A adic¸a˜o de informac¸o˜es textuais
aos gra´ficos pode ser feita acessando o menu Gra´fico → Adicionar texto.
Neste momento, surgira´ um dia´logo perguntando se voceˆ quer adicionar o
texto em uma nova camada ou na camada ativa. Escolha na camada ativa
e, em seguida, clique em algum lugar do gra´fico. Com isto, podemos, por
exemplo, copiar texto do registro de resultados (selecionando-o com o mouse
e teclando Ctrl+C, por exemplo) e inseri-lo na a´rea do gra´fico. No caso
espec´ıfico de paraˆmetros obtidos nos ajustes de curvas, podemos tambe´m,
no dia´logo de configurac¸a˜o de prefereˆncias, na sec¸a˜o Ajustes, habilitar a
opc¸a˜o Colar paraˆmetros no gra´fico. Desta forma, para todo ajuste que
for efetuado, as informac¸o˜es dos paraˆmetros sera˜o sempre adicionadas ao
gra´fico.
Ainda no que se refere a` inserc¸a˜o de texto nos gra´ficos, uma vez que
ja´ exista algum texto no mesmo, e´ poss´ıvel realizar a operac¸a˜o de clicar
na caixa de texto para seleciona´-la e utilizar as teclas de atalho Ctrl+C e
Ctrl+V, para copia´-la e a colar, respectivamente.
Utilizando o “Assistente de Ajuste”: Embora a regressa˜o polinomial de
Uma breve introduc¸a˜o ao SciDAVIs 20
Figura 6: Caixa de dia´logo do Assistente de Ajuste
ordem 2 efetuada nos nossos dados de teste tenha sido satisfato´ria (a curva
de ajuste passa por todos os pontos), pode ser que tenhamos uma ideia de
uma func¸a˜o que possa descreve melhor seu comportamento. Se tal func¸a˜o
na˜o estiver presente na lista de func¸o˜es incorporadas, podemos implementa´-
la acessando o menu Ana´lise → Assistente de ajuste (o atalho Ctrl+Y
pode ser utilizado, se preferir). Um dia´logo como o mostrado na figura 6
sera´ aberto.
Para inserir a func¸a˜o desejada basta digita´-la na a´rea de texto, utilizando
a letra “x” (sem aspas) como varia´vel e quaisquer outras letras que queira
como paraˆmetros. Feito isto, deˆ um nome a` func¸a˜o e clique em Salvar. No
nosso exemplo, vamos utilizar como func¸a˜o de ajuste a expressa˜o:
a ∗ x ∗ x+ b/x+ c (21)
ou seja:
ax2 +
b
x
+ c (22)
onde estamos utilizando a, b e c como paraˆmetros e x como varia´vel. Na˜o
se esquec¸a de mudar os paraˆmetros no local indicado, caso use outras letras.
Salve a func¸a˜o com o nome que queira (poli2teste, por exemplo). Feito isto,
clique no checkbox Ajustar com func¸a˜o definida por usua´rios e, em
Uma breve introduc¸a˜o ao SciDAVIs 21
Figura 7: Caixa de dia´logo com as opc¸o˜es finais do ajuste.
seguida, no bota˜o Ajustar. Um novo dia´logo, como o mostrado na figura 7
sera´ aberto.
Para finalizar o ajuste basta inserir, nos campos correspondentes, esti-
mativas iniciais para os paraˆmetros a, b e c, clicar em Ajustar e, depois de
gerada a curva de ajuste, clicar em Fechar. Se a curva tiver barras de erro,
como a do nosso exemplo, na˜o esquec¸a de alterar a opc¸a˜o Fonte de erros
em Y de Erros desconhecidos para Associados (considerando que tais erros
sejam os que inserimos na pro´pria tabela).
Escolhendo os valores 1, -1 e 0 para a, b e c, respectivamente, observa-
mos, no registro de resultados, que o ajuste forneceu novos valores para os
paraˆmetros. Notamos que o valor do fator de correlac¸a˜o obtido com este
ajuste foi bem parecido com o obtido na regressa˜o com polinoˆmio de grau 2,
pore´m, o valor de χ2 caiu pela metade, o que indica que a u´ltima expressa˜o
utilizada, juntamente com os paraˆmetros obtidos no ajuste, descreve melhor
o comportamento da nossa curva.
Salvando o projeto e exportando gra´ficos
Salvar o projeto e´ muito simples, basta acessar o menu Arquivo→Salvar
como... e, no dia´logo que se abrira´, dar o nome que desejar ao arquivo. Os
projetos do SciDAVis tem a extensa˜o sciprj.
Para utilizar os gra´ficos gerados pelo SciDAVis no´s podemos clicar com
o bota˜o direito do mouse e:
ˆ selecionar a opc¸a˜o Copiar → Camada (ou Janela);
ˆ selecionar a opc¸a˜o Exportar → Camada (ou Janela).
Uma breve introduc¸a˜o ao SciDAVIs 22
A diferenc¸a entre os dois casos e´ que, no primeiro, voceˆ tera´ que “Colar”
a figura num editor de textos ou imagens, por exemplo, e no segundo a figura
sera´ salva no local que desejar, com a vantagem de ser poss´ıvel escolher o
formato de sa´ıda (jpg, png, bmp, etc.).
Refereˆncias Bibliogra´ficas
1. Breve Introduc¸a˜o ao SciDAVis. Dispon´ıvel em: < https : //dl.dropboxusercon
tent.com/u/61494578/manuals and tutorials/breve introducao ao scidavis−
v0 1.pdf >. Acesso em 03/02/2015
2. Tutorial do SciDavis. Dispon´ıvel em: < http : //www.fisica.ufmg.br/ lab1/
Tutorial SciDAV is fim.pdf >. Acesso em 03/02/2015.
3. The SciDavis Handbook. Dispon´ıvel em: < http : //scidavis.sourceforge.net/
manual/ >. Acesso em 03/02/2015.
4. SciDavis site. Dispon´ıvel em: < http : //scidavis.sourceforge.net/index.ht
ml >. Acesso em 03/02/2015.
CAPI´TULO 1
EXPERIMENTO 1: LEI DE
REFRAC¸A˜O E REFLEXA˜O
INTERNA TOTAL
(Fonte: Iluso˜es de o´tica – Nem
tudo e´ o que parece ser. . . 1).
Objetivos
Nesse experimento vamos testar a validade da lei de Snell para refrac¸a˜o.
Determinar o aˆngulo cr´ıtico no qual ocorre reflexa˜o total interna e confirma´-
lo usando a Lei de Snell-Descartes.
1Dispon´ıvel em < http : //www.desenhoonline.com/site/wp −
content/uploads/ilus%C3%A3o− de−%C3%B3tica6.jpg >. Acesso em 07− 03− 2015
Experimento 1: Lei de Refrac¸a˜o e Reflexa˜o interna total. 24
Materiais utilizados
Bloco o´ptico, Pec¸as de acr´ılico em forma de meia lua e trape´zio, Disco gi-
rato´rio, Fenda u´nica, Lente convergente plano-convexa de 60 mm de diaˆmetro
e 120 mm de distaˆncia focal e papel.
Procedimento experimental
Os procedimentos a seguir sa˜o importantes para a realizac¸a˜o das pra´ticas
de forma adequada. Desse modo leia atentamente esses antes de iniciar
o experimento.
A lente e o acr´ılico na˜o devem ser manuseados de forma a deixar
res´ıduos nas suas faces onde sera˜o feitas as medidas o´pticas. Nesse
sentido cuidado ao manusea´-los.
Parte 1 - Obtenc¸a˜o do ı´ndice de refrac¸a˜o do acr´ılico
Figura 1.1: Montagem do Experimento
1. Monte o experimento conforme a figura 1.1.
2. Ligue a fonte de luz tomando cuidado que esteja na voltagem correta.
3. Calibre o disco girato´rio de forma que o feixe luz atravesse os mesmos
aˆngulos (0 graus) dos dois lados desse.
4. Varie o aˆngulo de incideˆncia de 0o a 90o de 5 graus em 5 graus. Monte
uma tabela para coleta de dados.
5. Obtenha o incide de refrac¸a˜o (n) por meio da lei de Snell para cada
aˆngulo. Fac¸a o tratamento estat´ısticos adequado para a ana´lise dos
valores obtidos, ou seja, obtenha uma me´dia dos valores de ı´ndice de
refrac¸a˜o e o seu desvio por meio da teoria de propagac¸a˜o de erros.
Considere o valor do ı´ndice de refrac¸a˜o do ar igual a 1.
6. Fac¸a um gra´fico de seno do aˆngulo de refrac¸a˜o em func¸a˜o do aˆngulo
de incideˆncia e obtenha o valor de n.
Experimento 1: Lei de Refrac¸a˜o e Reflexa˜o interna total. 25
Parte 2 - Medidas usando a face curva do acr´ılico
1. Com a mesma montagem experimental a parte 1, posicione o acr´ılico
de modo que o raio de incideˆncia atinja a partecurva do mesmo.
2. Varie o aˆngulo de incideˆncia e de 5 em 5 graus, da mesma forma como
foi feito na parte 1.
3. Discuta em seu relato´rio diferenc¸as observas entre a parte 1 e a parte
2. Foi poss´ıvel obter o aˆngulo de refrac¸a˜o para todos os aˆngulos?
Parte 3 - Reflexa˜o interna total
Figura 1.2: a) Aparato experimental. b) Esquema dos feixes dentro do
acr´ılico.
1. Monte o aparato como mostrado na figura 1.2a).
2. Coloque a folha de papel sobre o disco girato´rio, desenhe a posic¸a˜o do
acr´ılico.
3. Gire o disco girato´rio ate´ que o padra˜o visto na figura 1.2b) seja obtido,
ou seja, o feixe de cor vermelha desaparec¸a.
4. Risque no papel a posic¸a˜o do feixe incidente e refletido.
5. Retire o acr´ılico e fac¸a, com o uso de uma re´gua o prolongamento dos
feixes.
Experimento 1: Lei de Refrac¸a˜o e Reflexa˜o interna total. 26
6. Usando um transferidor mec¸a o aˆngulo entre o feixe incidente e refle-
tido.
7. Calcule o aˆngulo cr´ıtico e compare com os resultados obtidos pela lei
de Snell.
CAPI´TULO 2
EXPERIMENTO 2: DISPERSA˜O
DA LUZ
“A luz das estrelas fixas e´ da
mesma natureza que a luz do Sol ”
Isaac Newton.
Objetivos
Nesse experimento vamos analisar a dependeˆncia do ı´ndice de refrac¸a˜o
de um prisma com o comprimento de onda.
Materiais utilizados
Bloco o´ptico, prisma de acr´ılico, Disco girato´rio, Fenda u´nica, Lente
convergente plano-convexa de 60 mm de diaˆmetro e 120 mm de distaˆncia
focal.
Procedimento experimental
Os procedimentos a seguir sa˜o importantes para a realizac¸a˜o das pra´ticas
de forma adequada. Desse modo leia atentamente esses antes de iniciar
o experimento.
A lente e o acr´ılico na˜o devem ser manuseados de forma a deixar
res´ıduos nas suas faces onde sera˜o feitas as medidas o´pticas. Nesse
sentido cuidado ao manusea´-los.
1. Monte o aparato experimental como mostrado na figura 2.1.
Experimento 2: Dispersa˜o da Luz. 28
Figura 2.1: Prima e dispersa˜o da luz branca.
2. Ligue a fonte de luz tomando cuidado que esteja na voltagem correta.
3. Calibre o disco girato´rio de forma que o feixe luz atravesse os mesmos
aˆngulos (0 graus) dos dois lados desse.
4. Girando o prisma continuamente num mesmo sentido em torno de um
eixo paralelo a`s suas faces, o aˆngulo de desvio deve decrescer, alcanc¸ar
um valor mı´nimo e enta˜o crescer. O mesmo aˆngulo de desvio, chamado
aˆngulo de desvio mı´nimo θ ocorre para aquele aˆngulo de incideˆncia
particular em que o raio refratado dentro do prisma faz aˆngulos iguais
com as duas faces do prisma.
5. Fazer uma tabela com aˆngulo de desvio mı´nimo correspondentes a
cada comprimento de onda (λ), ou seja, para cada cor, e trac¸ar um
gra´fico do aˆngulo de desvio mı´nimo em func¸a˜o do comprimento de
onda tabelado.
6. Utilizar os aˆngulos de desvio mı´nimo e o aˆngulo entre as faces do
prisma e encontrar o incide de refrac¸a˜o (n) para cada comprimento de
onda.
7. Apresentar seus dados em uma tabela e fazer o gra´fico o ı´ndice de
refrac¸a˜o (n) em func¸a˜o do comprimento de onda (λ).
8. Levando em conta os erros acidentais e as imprecisa˜o de leitura, pode-
se afirmar que o aˆngulo mı´nimo e´ diferente para diferentes cores?
CAPI´TULO 3
EXPERIMENTO 3:
PROFUNDIDADE APARENTE
(Fonte: POR QUE TEMOS ILUSA˜O DE O´TICA? 2).
Objetivos
Determinar o ı´ndice de refrac¸a˜o usando a profundidade aparente.
Materiais utilizados
Bloco o´ptico, acr´ılico, Disco girato´rio, Aparado com Fendas, Lente con-
vergente plano-convexa de 60 mm de diaˆmetro e 120 mm de distaˆncia focal,
papel, paqu´ımetro/re´gua.
2Dispon´ıvel em < http : //minilua.com/
que− temos− ilusao− otica/ >. Acesso em 08− 03− 2015
Experimento 3: Profundidade Aparente 30
Procedimento experimental
Os procedimentos a seguir sa˜o importantes para a realizac¸a˜o das pra´ticas
de forma adequada. Desse modo leia atentamente esses antes de iniciar
o experimento.
A lente e o acr´ılico na˜o devem ser manuseados de forma a deixar
res´ıduos nas suas faces onde sera˜o feitas as medidas o´pticas. Nesse
sentido cuidado ao manusea´-los.
Parte 1 - Determinac¸a˜o do ı´ndice de refrac¸a˜o usando a profundi-
dade aparente.
Figura 3.1: Montagem para determinac¸a˜o da profundidade aparente.
1. Monte o aparato como mostrado na figura 3.1, lembrando em colocar
o papel branco sobre o disco girato´rio e marcando a posic¸a˜o do mesmo.
2. Risque no papel a posic¸a˜o dos feixes incidente e refletido.
3. Retire o acr´ılico e fac¸a, com o uso de uma re´gua o prolongamento dos
feixes para encontrar a profundidade aparente (d). Determine esse
valor bem como o valor da espessura do acr´ılico (t).
4. Obtenha o ı´ndice de refrac¸a˜o por meio da expressa˜o n = td . Compare
seus resultados com o valor nominal de 1,5 para o ı´ndice de refrac¸a˜o
do acr´ılico.
5. Discuta e obtenha a expressa˜o n = td em seu relato´rio.
Experimento 3: Profundidade Aparente 31
Figura 3.2: Esquema para determinac¸a˜o do ı´ndice de refrac¸a˜o do acr´ılico.
6. Terminado essa parte, monte o aparato como mostrado na figura 3.2,
tomando os mesmos cuidados e anotando as informac¸o˜es necessa´rias.
7. Risque no papel a posic¸a˜o dos feixes incidente e refletido.
8. Retire o acr´ılico e fac¸a, com o uso de uma re´gua o prolongamento dos
feixes para encontrar a distaˆncia x. Use o valor ja´ determinado para
a espessura do acr´ılico (t).
9. Obtenha o ı´ndice de refrac¸a˜o por meio da expressa˜o n = 11−x
t
. Com-
pare seus resultados com o valor nominal para o acr´ılico de 1,5 para o
ı´ndice de refrac¸a˜o.
10. Discuta a expressa˜o n = tt−x em seu relato´rio.
CAPI´TULO 4
EXPERIMENTO 4: ESPELHOS E
LEIS DE REFLEXA˜O
“Do meu telesco´pio, eu via Deus caminhar!
A maravilha, a harmonia e a organizac¸a˜o do universo
so´ pode ter se efetuado conforme um plano
de um ser todo-poderoso e onisciente.”
Isaac Newton.
Objetivos
Nesse experimento vamos estudar espelhos planos, coˆncavo e convexo.
Sera˜o estudadas as leis de reflexa˜o nesses aparatos.
Materiais utilizados
Bloco o´ptico, superf´ıcie refletora conjugada, Disco girato´rio, Fenda u´nica
e mu´ltipla (5 fendas), espelhos coˆnvavo (f = 200mm) e convexo (f = 50mm),
aparato para formac¸a˜o da imagem.
Procedimento experimental
Os procedimentos a seguir sa˜o importantes para a realizac¸a˜o das pra´ticas
de forma adequada. Desse modo leia atentamente esses antes de iniciar
o experimento.
A lente e a superf´ıcie refletora conjugada na˜o devem ser manuseados
de forma a deixar res´ıduos nas suas faces onde sera˜o feitas as medidas
Experimento 4: Espelhos e Leis de Reflexa˜o 33
o´pticas. Nesse sentido cuidado ao manusea´-los.
Parte 1 - Reflexa˜o em espelho plano
Figura 4.1: Montagem experimental para estudo da face plana do aparado.
1. Monte o equipamento conforme a figura 4.1.
2. Incida o feixe de luz na face plana superf´ıcie refletora conjugada.
3. Varie o aˆngulo do feixe de incideˆncia por meio do disco girato´rio de 0o,
10o, 20o, 30o, 40o, 50o, 60o, 70o e 80o e obtenha o aˆngulo de reflexa˜o.
4. Monte uma tabela comparando os resultados.
5. A lei da reflexa˜o foi comprovada por esse experimento?
Parte 2 - Reflexa˜o em espelhos coˆncavo e convexo
1. Monte o equipamento conforme a figura 4.2. Nesse caso vamos usar a
fenda mu´ltipla (5 fendas).
2. Coloque sobre o disco girato´rio uma folha de papel e incida os feixes
de luz sobre a face coˆncava, tomando cuidado para que o ve´rtice do
espelho esteja no centro do disco girato´rio e os feixes incidentes esteja
perpendiculares a esse ponto.
3. Fac¸a um esboc¸o a regia˜o coˆncava e dos feixes de luz no papel, tomando
cuidado para na˜o forc¸ar o la´pis sobre a disco girato´rio. Desenhe os
feixes incidentes e refletidos. Desenhe tambe´m os prolongamentos dos
feixes.
Experimento 4: Espelhos e Leis de Reflexa˜o 34
Figura4.2: Montagem experimental para estudo da face coˆncava e convexa.
4. Encontre distaˆncia focal (f) e o raio de curvatura (R). Qual e´ a relac¸a˜o
entre esses valores. Onde esta´ localizado o centro de curvatura? Use
a folha de papel para indicar esses valores. No espelho coˆncavo o foco
e´ virtual ou real?
5. Repita os procedimentos e responda as questo˜es dadas anteriomente
para o espelho convexo
Parte 3 - Determinac¸a˜o da distaˆncia focal em espelhos esfe´ricos.
1. Disponha o experimento em uma linha reta espelho-objeto-apataro de
reflexa˜o. Primeiro vamos fazer para o espelho coˆncavo.
2. Coloque o espelho a uma distaˆncia que se consiga observar um ponto
n´ıtido no aparato.
3. Mec¸a a distaˆncia do objeto (do) e da imagem ao espelho (di).
4. Varie a distaˆncia mais 4 vezes, observando o ponto n´ıtido.
5. Usando a relac¸a˜o de Gauss que descreve: 1f =
1
do
+ 1di , obtenha a
distaˆncia focal f.
6. A imagem observada e´ real ou virtual? Direta ou invertida?
7. Repita os procedimentos para o espelho convexo. E´ poss´ıvel ou na˜o
realizar o experimento?
CAPI´TULO 5
EXPERIMENTO 5: LENTES
CONVERGENTES E
DIVERGENTES
“Na vida, na˜o existe nada
temer, mas a entender.”
Marie Curie.
Objetivos
Nesse experimento vamos estudar lente convergente de bordo fino, lente
convergente e divergente de bordo grosso. Sera˜o estudadas as leis de refrac¸a˜o
em lentes.
Materiais utilizados
Bloco o´ptico, lente convergente e divergente de bordo fino, perfis bi-
convexo e biconcavo representando lentes de bordo grosso, Disco girato´rio,
Fenda mu´ltipla (5 fendas) e papel milimetrado.
Procedimento experimental
Os procedimentos a seguir sa˜o importantes para a realizac¸a˜o das pra´ticas
de forma adequada. Desse modo leia atentamente esses antes de iniciar
o experimento.
A lente e o acr´ılico na˜o devem ser manuseados de forma a deixar
Experimento 5: Lentes convergentes e divergentes 36
res´ıduos nas suas faces onde sera˜o feitas as medidas o´pticas. Nesse
sentido cuidado ao manusea´-los.
Parte 1 - Determinac¸a˜o da distaˆncia focal de uma lente de bordo
fino
Figura 5.1: Montagem experimental para estudo da lente fina.
1. Monte o equipamento conforme a figura 5.1.
2. Posicione as lentes e a letra F de modo de consiga visualizar a imagem
no aparato. Mova o aparato ate´ que o F fique n´ıtido.
3. Anote as distaˆncias objeto-lente (do), lente imagem (di) e os tama-
nhos o objeto (o) e da imagem gerada (i). Obtenha as incertezas nas
medidas anteriores. Lembre-se que tamanho do objeto na˜o varia.
4. Obtenha di e i para quatro do diferentes. Tome cuidado de sempre
manter a imagem n´ıtida.
5. Fac¸a uma tabela com do e di e obtenha a distaˆncia focal por meio da
equac¸a˜o de Gauss para lentes. Nessa mesma tabela acrescente i e o.
6. Nessa mesma tabela calcule di/do e i/o. Qual a relac¸a˜o entre esses
resultados. Lembre-se de i/o e´ o aumento da imagem.
7. Calcule a me´dia das distaˆncias focais (f), seu desvio padra˜o(σ). Com-
pare o resultado do desvio padra˜o com o desvio obtido pela teoria de
propagac¸a˜o de erros.
8. Classifique a imagem como real ou virtual, direta ou invertida.
Experimento 5: Lentes convergentes e divergentes 37
Parte 2 - Determinac¸a˜o da distaˆncia focal de uma lentes conver-
gentes e divergentes de bordo grosso
Figura 5.2: Montagem experimental para estudo de lentes convergentes e
divergentes.
1. Monte o equipamento conforme a figura 5.2. Nesse caso vamos usar a
fenda mu´ltipla (5 fendas).
2. Coloque sobre o disco girato´rio uma folha de papel e incida os feixes
de luz sobre a lente convergente (biconvexo), tomando cuidado para
que o ve´rtice da lente esteja no centro do disco girato´rio e os feixes
incidentes esteja perpendiculares a esse ponto.
3. Fac¸a um esboc¸o a lente e dos feixes de luz no papel, tomando cuidado
para na˜o forc¸ar o la´pis sobre a disco girato´rio. Desenhe os feixes in-
cidentes e refratados. Desenhe tambe´m os prolongamentos dos feixes,
caso tenha.
4. Encontre distaˆncia focal (f) e o raio de curvatura (R) para ambas as
faces.
5. Qual e´ a relac¸a˜o entre esses valores. Onde esta´ localizado o centro
de curvatura? A imagem gerada e´ virtual ou real? O foco e´ real ou
virtual? O que significa o ponto de cruzamento dos feixes?
6. Use a folha de papel para indicar esses valores.
Experimento 5: Lentes convergentes e divergentes 38
7. Compare a distaˆncia de onde os feixes cruzam com a distaˆncia focal
calculada pela equac¸a˜o de Gauss e de Bessel.
8. Repita os procedimentos e responda as questo˜es dadas anteriomente
para lente divergente (bicoˆncava).
9. Use a equac¸a˜o dos fabricantes de lentes e calcule a distaˆncia focal para
a s duas lentes. Compare os resultados da distaˆncia focal obtidos pela
diferentes equac¸o˜es e discuta os resultados.
Parte 3 - Instrumentos o´pticos.
Figura 5.3: Aparato do experimento.
1. Monte o equipamento conforme a figura 5.3. Nesse caso na˜o vamos
realizar o experimento no escuro.
2. Vamos primeiramente montar uma luneta.
3. Usando as lentes de f = -10 cm e f = 25 cm nos locais de L1 e L2, ou
seja, como ocular e objetiva respectivamente.
4. Usando a fenda mu´ltipla, prenda o papel milimetrado nos cavaleiros
meta´licos.
5. Posicione no final do trilho do banco o´ptico o aparato com o papel
milimetrado.
6. Ajuste ate´ que a imagem fique n´ıtida.
7. Obtenha o tamanho da imagem lente e calcule o aumento A. Lembre-se
que A = i/o, onde i e´ o tamanho da imagem e o do objeto.
8. Mec¸a a distaˆncia entre as lentes e compare com a soma das distaˆncias
focais das lentes.
9. Agora vamos montar um microsco´pio.
10. Utilize as lentes de f = 25 cm e f = 5 cm nos locais de L1 e L2, ou seja,
como ocular e objetiva.
Experimento 5: Lentes convergentes e divergentes 39
11. Posicione o papel milimetrado agora pro´ximo da objetiva.
12. Ajuste a distaˆncia entre as lentes de modo de possa visualizar nitida-
mente a imagem.
13. Repita as ana´lises feitas para os instrumentos anteriores e discuta seus
resultados em seu relato´rio.
CAPI´TULO 6
EXPERIMENTO 6: DIFRAC¸A˜O
DA LUZ.
(Fonte: 10 incr´ıveis iluso˜es de o´ptica. 3).
Objetivos
Nesse experimento vamos estudar os fenoˆmenos de difrac¸a˜o por diferentes
fontes de luz.
Materiais utilizados
Bloco o´ptico, fenda u´nica, lentes com distaˆncias focais de 5 cm , 10 cm
e 12 cm, re´gua milimetrada, rede de difrac¸a˜o de 500 fendas/mm, laser e fio
de cabelo.
3Dispon´ıvel em < http : //vamoslasabercomoe.blogspot.com.br/search/label/10%20incr
%C3%ADveis%20ilus%C3%B5es%20de%20%C3%B3ptica%20%20 −
%20%20HY PE%20SCIENCE%20%20 − %20%2017%20de%20Julho%20de%202014 >
Acesso em08− 03− 2015
Experimento 6: Difrac¸a˜o e polarizac¸a˜o da luz 41
Procedimento experimental
Os procedimentos a seguir sa˜o importantes para a realizac¸a˜o das pra´ticas
de forma adequada. Desse modo leia atentamente esses antes de iniciar
o experimento.
A lente e a rede de difrac¸a˜o na˜o devem ser manuseados de forma
a deixar res´ıduos nas suas faces onde sera˜o feitas as medidas o´pticas.
Nesse sentido cuidado ao manusea´-los.
Parte 1 - Difrac¸a˜o da luz branca e obtenc¸a˜o do comprimento de
onda da luz branca.
1. Monte o equipamento conforme de costume colocando a lente conver-
gente de f = 5cm a 4 cm da fonte luminosa. Colocar fenda diante
dessa.
2. Utilizar a lente de f = 10cm para projetar no anteparo.
3. Ajustar a posic¸a˜o da lente para que a imagem fique em n´ıtida no
anteparo.
4. Coloque a rede de difrac¸a˜o a uma certa distaˆncia. Essa posic¸a˜o sera´
nosso “a”
5. Medir a distaˆncia de cada cor em relac¸a˜o ao centro com a re´gua mili-
metrada (procure encontrar as cores vermelho, laranja, amarelo, verde,
azul e violeta). Esse valor sera´ nosso X.
6. Varie “a” e obtenha X para as diferentes cores.
7. Obtenha o comprimentode onda de cada cor por meio da seguinte
expressa˜o: λ = D.X
(a2+X2)1/2
. Compare dos resultados com a tabela
abaixo. D e´ a constante da rede de difrac¸a˜o que e´ e´ dada por: D =
1
500fendas/mm . Lembre-se que os valores de distancias devem ser calcu-
lados em metro para a formula acima.
8. Por que podemos usar essa expressa˜o para esse experimento? Os com-
primentos de onda esta˜o entre os valores da tabela?
9. Obtenha frequeˆncia para cada comprimento de onda.
Parte 2 - Difrac¸a˜o de um laser vermelho e obtenc¸a˜o do compri-
mento de onda
1. Utilize uma base para apoiar o Laser.
2. Incida diretamente sobre a rede de difrac¸a˜o o feixe de Laser.
Experimento 6: Difrac¸a˜o e polarizac¸a˜o da luz 42
3. Posicione a rede de difrac¸a˜o a uma certa distaˆncia e anote esse valor
(valor de “a”).
4. O que voceˆ observou de diferente referente a parte 1 desse experimento.
5. Medir a distaˆncia X.
6. Varie a e obtenha X.
7. Utilize a mesma expressa˜o da parte 1 para calcular o comprimento de
onda.
8. Obtenha frequeˆncia.
Parte 3 - Medida do diaˆmetro de um fio de cabelo por meio de
um laser.
1. Utilize uma base para apoiar o Laser.
2. Anote a distaˆncia L entre a parede e o suporte do fio de cabelo.
3. Coloque uma folha de papel na parede e fixe com fita adesiva.
4. Incida o Laser diretamente sobre o fio de cabelo.
5. Observe um padra˜o de interfereˆncia no papel fixo a parede. Risque o
ponto central e os pontos do padra˜o de difrac¸a˜o. A distancias entre
esses pontos sera´ nosso ∆x.
6. Com o comprimento de onda(λ) obtido na parte 2, calcule a espessura
do fio de cabelo (e), pela seguinte expressa˜o: e = λ.L∆x . Fac¸a isso para
pelo menos 4 diferentes distaˆncias e compare com o obtido por um
microˆmetro.
7. Justifique que o experimento e a expressa˜o dadas sa˜o adequados para
obtenc¸a˜o da espessura do fio de cabelo.
CAPI´TULO 7
EXPERIMENTO 7:
POLARIZAC¸A˜O DA LUZ
“Na˜o existem me´todos fa´ceis
para resolver problemas dif´ıceis.”
Rene´ Descartes
Objetivos
Nesse experimento vamos estudar os fenoˆmenos de difrac¸a˜o por diferentes
fontes polarizac¸a˜o da luz.
Materiais utilizados
Bloco o´ptico, fenda u´nica, lentes com distaˆncias focais de 5 cm e 10 cm,
laser, polaroides.
Procedimento experimental
Os procedimentos a seguir sa˜o importantes para a realizac¸a˜o das pra´ticas
de forma adequada. Desse modo leia atentamente esses antes de iniciar
o experimento.
A lente e o polaro´ide na˜o devem ser manuseados de forma a deixar
res´ıduos nas suas faces onde sera˜o feitas as medidas o´pticas. Nesse
sentido cuidado ao manusea´-los.
Experimento 7: Polarizac¸a˜o da luz. 44
Parte 1 - Polarizac¸a˜o da luz branca e do Laser.
1. Monte o equipamento conforme de costume colocando a fonte e a lente
convergente de f = 5cm a 4 cm da fonte luminosa. Colocar fenda u´nica
diante dessa.
2. Utilizar a lente de f = 10cm para projetar no anteparo.
3. Ajustar a posic¸a˜o da lente para que a imagem fique em n´ıtida no
anteparo.
4. Coloque dois polaro´ides diante da fenda.
5. Ajuste o aˆngulo de rotac¸a˜o para 0o nos dois polaroides. Anote o grau
do primeiro e do segundo. Esse ultimo valor sera´ utilizado como in-
tensidade ma´xima da luz no anteparo.
6. Varie do aˆngulo do segundo polaro´ide a ponto que na˜o se veja mais a
luz no anteparo. Anote esse aˆngulo.
7. Fac¸a o mesmo para 20, 40, 60, 80 e 90 graus.
8. Obtenha uma relac¸a˜o entre esses aˆngulos.
Parte 2 - Polarizac¸a˜o da luz por reflexa˜o.
1. Monte o experimento como mostrado na figura 7.
2. Caso seja necessa´rio, coloque entre a fenda e o acr´ılico uma lente de
distaˆncia focal igual a 10 cm.
3. Ajuste a luz para que atravesse o cristal com aˆngulo de incideˆncia e
refrac¸a˜o iguais a 0 graus.
4. Gire o disco a 20 graus. observe o feixe refletido e posicione nesse local
o polaro´ide e projete o feixe a 10 cm desse. Inicie com os o polaro´ide
a 0 graus.
Experimento 7: Polarizac¸a˜o da luz. 45
5. Gire o polaro´ide ate´ observar no anteparo intensidade de luz ma´xima
e mı´nima. Anote os aˆngulos respectivos a esses valores.
6. Gire o disco para 40 , 50 e 60 graus, posicionando os polaro´ides nos
feixes refletidos e observe o angulo de polarizac¸a˜o da luz para esses
aˆngulos do disco.
7. Os valores ma´ximos de polarizac¸a˜o significam que a luz esta polarizada
nesse aˆngulo.
8. Calcule a tangente desses aˆngulos ma´ximos e compare com o ı´ndice de
refrac¸a˜o do acr´ılico que e´ aproximadamente igual a 1,5.
9. Para qual aˆngulo de incideˆncia da luz no disco o valor da tangente e´
comparado com n?
10. Esse aˆngulo e´ conhecido como aˆngulo de Brewster, comente sobre isso
em seu relato´rio.