Números Reais e Funções

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Cap´ıtulo 1
Os Nu´meros Reais
1.1 Os Nu´meros Racionais
Indicamos por N, Z e Q os conjuntos dos nu´meros naturais, inteiros e racionais respectiva-
mente. Assim
N = {0, 1, 2, 3, . . .},
Z = {. . . ,−3,−2,−1, 0, 1, 2, 3, . . .},
Q =
�a
b
; a, b ∈ Z , b �= 0
�
.
A soma e o produto em Q sa˜o dados, respectivamente, por:
a
b
+
c
d
:=
ad+ bc
bd
a
b
· c
d
:=
ac
bd
.
1.2 Os Nu´meros Reais
Os nu´meros racionais podem ser representados por pontos em uma reta horizontal ordenada,
chamada reta real.
1
−3 −2 −1 0
1
2
1
4
3
2
5
2
3 4 5
✲
Denotamos o conjunto dos nu´meros reais por R. Temos R ⊃ Q (R conte´m Q) e todo nu´mero
real que na˜o e´ racional e´ dito irracional.
Exemplo 1.1. Qual e´ o sinal de
x+ 1
1− x em func¸a˜o de x?
O numerador e´ positivo quando x > −1, negativo quando x < −1 e zero quando x = −1. O
denominador e´ positivo quando x < 1, negativo quando x > 1 e zero quando x = 1. Portanto
a frac¸a˜o sera´ positiva quando −1 < x < 1, negativa quando x < −1 ou x > 1 e zero quando
x = −1.
Exerc´ıcio: Resolva a inequac¸a˜o
2x+ 1
x− 4 < 0. [R : −
1
2
< x < 4].
1.3 Mo´dulo de um Nu´mero Real
Definic¸a˜o 1.1. Seja x ∈ R. O mo´dulo ou valor absoluto de x e´ dado por
|x| =
�
x, x ≥ 0
−x, x < 0.
Segue da definic¸a˜o acima que |x| ≥ 0 e −|x| ≤ x ≤ |x|, para todo x ∈ R.
Exemplo 1.2. Resolva a equac¸a˜o |2x+ 1| = 3.
Exemplo 1.3. Para quaisquer x, y ∈ R, vale
| xy| = | x| | y| .
Exemplo 1.4 (Desigualdade triangular). Para quaisquer x, y ∈ R , vale
| x+ y| ≤ | x| + | y| .
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Exemplo 1.5. Descreva o valor de | x+ 1| + | x− 1| sem utilizar o mo´dulo.
• Se x ≥ 1, enta˜o
�
| x+ 1| = x+ 1
| x− 1| = x− 1 e, portanto, | x+1|+ | x− 1| = x+1+ x− 1 = 2x.
• Se −1 ≤ x < 1, enta˜o
�
| x+ 1| = x+ 1
| x− 1| = −x+ 1 e, portanto, | x+1|+| x−1| = x+1−x+1 =
2.
• Se x < −1, enta˜o
�
| x+ 1| = −x− 1
| x− 1| = −x+ 1 e, portanto, | x+1|+ | x−1| = −x−1−x+1 =
−2x.
Logo | x+ 1| + | x− 1| =

2x, x ≥ 1
2, −1 ≤ x < 1
−2x, x < −1.
Definic¸a˜o 1.2. Um intervalo em R e´ um subconjunto de R que tem uma das seguintes formas:
• [a, b] = �x ∈ R : a ≤ x ≤ b� Intervalo fechado,
• (a, b) = �x ∈ R : a < x < b� Intervalo aberto,
• [a, b) = �x ∈ R : a ≤ x < b� ,
• (a, b] = �x ∈ R : a < x ≤ b�,
• (−∞, b] = �x ∈ R : x ≤ b�
• (−∞, b) = �x ∈ R : x < b�,
• [a,+∞) = �x ∈ R : a ≤ x�,
• (a,+∞) = �x ∈ R : a < x�,
• (−∞,+∞) = R.
Exemplo 1.6.
�
x ∈ R : 2x− 3 < x+ 1� = �x ∈ R : x < 4� = (−∞, 4).
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Cap´ıtulo 2
Func¸o˜es
2.1 Noc¸o˜es Gerais
O objeto fundamental do ca´lculo sa˜o as func¸o˜es. As func¸o˜es surgem quando uma quantidade
depende de outra. Por exemplo, a a´rea A de um c´ırculo depende de seu raio r. A lei que relaciona
r com A e´ dada por A = πr2, neste caso dizemos que A e´ uma func¸a˜o de r. Outros exemplos
sa˜o, a populac¸a˜o P de uma determinada espe´cie depende do tempo t, o custo C de envio de um
pacote pelo correio depende de seu peso w.
Exerc´ıcio 2.1. Esboc¸e os gra´ficos das seguintes func¸o˜es:
a) f(x) =
�
1− x se x ≤ 1,
x2 se x > 1;
b) g(x) = |x| =
�
x se x ≥ 0,
−x se x < 0.
c) f(x) = |x− 1| + 3 d) g(x) = |x| =
�
x se x ≥ 0,
−x se x < 0.
e) f(x) = x2 − 1 f) g(x) = x2 + 1
g) f(x) = (x− 1)2 h) g(x) = (x+ 1)2
i) f(x) = x2 + 6x+ 10.
Exerc´ıcio 2.2. Um fabricante de refrigerante quer produzir latas cil´ındricas para seu produto. A
lata dever ter um volume de 360 ml. Expresse a a´rea superficial total da lata em func¸a˜o do seu
raio e deˆ o dom´ınio da func¸a˜o. RESPOSTA: S(r) = 2πr2 + 2πr360/πr2 = 2πr2 + 720/r. Como r so´ pode assumir valores positivos,
DS = (0,+∞).
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2.2 Operac¸o˜es com Func¸o˜es
Definic¸a˜o 2.1. Dadas func¸o˜es f : Df → R e g : Dg → R e dado x ∈ Df ∩Dg, podemos definir
algumas operac¸o˜es com func¸o˜es:
• soma: (f + g)(x) = f(x) + g(x);
• produto: (fg)(x) = f(x)g(x);
• quociente:
�
f
g
�
(x) =
f(x)
g(x)
, se g(x) �= 0.
Definic¸a˜o 2.2. Dadas func¸o˜es f : Df → R e g : Dg → R, com Imf ⊂ Dg, definimos a func¸a˜o
composta
h : Df → R
por
h(x) = g(f(x)), para todo x ∈ Df .
Neste caso, escrevemos h = g ◦ f .
Exerc´ıcio 2.3. Se f(x) = 2x+ 1 e g(x) = x2 + 3x, determine:
(a) g ◦ f(x) R : 4x2 + 10x+ 4,
(b) f ◦ g(x) R : 2x2 + 6x+ 1.
Exerc´ıcio 2.4. Encontre f ◦ g ◦ h se f(x) = x
x+ 1
, g(x) = x10 e h(x) = x+ 3.
Resposta :
(x+ 3)10
(x+ 3)10 + 1
.
Exerc´ıcio 2.5. Se f(x) =
√
x e g(x) =
√
2− x, encontre e determine o dom´ınio das func¸o˜es:
(a) f ◦ g(x) = 4√2− x, Df◦g = (−∞, 2] (b) g ◦ f(x) =
�
2−√x, Dg◦f = [0, 4]
(c) f ◦ f(x) = 4√x, Df◦f = [0,+∞) (d) g ◦ g(x) =
�
2−√2− x, Dg◦g = [−2, 2].
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