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Cálculo II – 2014.2 – Prof. Fausto Lima Custódio Exercícios retirados de provas anteriores 1- Encontre a equação da reta tangente a superficie abaixo no ponto (3,0). 𝑧 = 𝑓(𝑥, 𝑦) = √𝑥 + 𝑒4𝑦 2- Encontre a equação da reta tangente a superficie abaixo no ponto (-1,1). 𝑧 = 𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑒𝑥 2−𝑦2 3- Suponha que em certa região do espaço o potencial elétrico seja dado por: 𝑉(𝑥, 𝑦, 𝑧) = 𝑥2 − 𝑥𝑦 + 2𝑥𝑦𝑧 a) (2 pontos) Encontre a taxa de variação do potencial no ponto P(1,1,1) na direção do vetor v = i + j + k. b) (1 ponto) Em que direção o potencial varia mais rapidamente no ponto P? c) (1 ponto) Qual a máxima taxa de variação do potencial em P? 4-Você está escalando uma montanha cuja forma é dada por: 𝑧 = 500 − 𝑥2 − 2𝑦2 Sabendo que o eixo x aponta na direção leste e o eixo y na direção norte, e que você está no ponto (10, 10, 200) calcule: d) (1 ponto) A taxa de variação da altura (z) na direção norte. e) (1 ponto) A taxa de variação da altura (z) na direção sudeste. f) (1 ponto) A direção em que a taxa de variação é máxima. g) (1 ponto) A máxima taxa de variação. 5- A temperatura em um ponto é dada por: 𝑇(𝑥, 𝑦, 𝑧) = 200𝑒−𝑥 2−3𝑦2−9𝑧2 Onde a temperatura está medida em oC e x,y e z em metros. a. (2 Pontos) Qual a taxa de variação da temperatura no ponto (2,-1,2) na direção do ponto (3,-3,3)? b. (1 Ponto)Em que direção a temperatura aumenta mais rapidamente? c. (1 Ponto) Qual a máxima taxa de variação da temperatura em oC/m? d. (1 Ponto) Na direção da origem, ponto (0,0,0), a temperatura aumenta ou diminui? 6- Uma montanha tem seu formato representado pelo paraboloide: 𝑓(𝑥, 𝑦) = √16 − 𝑥2 − 2𝑦2 e. (2 Pontos) Qual a taxa de variação da altura no ponto (2,2) na direção do ponto (0,0)? f. (1 Ponto) Qual o ângulo de inclinação da montanha nas condições do item a? g. (1 Ponto)Em que direção a altura varia mais rapidamente? h. (1 Ponto) Qual a máxima taxa de variação da altura? 7- O potencial elétrico em uma região do espaço é dado por 𝑉(𝑥, 𝑦, 𝑥) = 5𝑥2 − 3𝑥𝑦 + 𝑥𝑦𝑧 a. Qual a taxa de variação do potencial no ponto P(1,2,5) na direção do vetor v = 2i + j – K. b. Em que direção o potencial muda mais rapidamente no ponto P? c. Qual a máxima taxa de variação em P? 8- Encontre os máximos e mínimos locais e pontos de sela. d. 𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑥4 + 𝑦4 − 4𝑥𝑦 + 2 e. 𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑒4𝑦−𝑥 2−𝑦2 9-Encontre dw/dt sendo: 𝑤 = 𝑥𝑦 + 𝑦𝑧2, 𝑥 = 𝑒𝑡, 𝑦 = 𝑒𝑡 sin 𝑡 , 𝑧 = 𝑒𝑡 cos 𝑡 A prova do formigueiro... Esta prova se passa em um formigueiro no Egito antigo, em uma época onde haviam os simples mortais e os sacerdotes, considerados uma raça superior. O que os simples mortais não sabiam é que a raça superior era na verdade constituída por engenheiros, matemáticos, físicos e afins... 10- As formigas viviam em um formigueiro com a forma de um parabolóide, com equação dada por 𝑓(𝑥, 𝑦) = √16 − 𝑥2 − 2𝑦2 onde as medidas estavam em cm. Certo dia uma formiga mortal encontra uma sacerdote e pergunta: “Se eu caminhar na superfície do formigueiro, seguindo um caminho em que minha altura não varie, qual será a forma de minha trajetória?” A sacerdote pensa “basta eu descobrir como são as curvas de nível”. Faça um esboço das curvas de nível para esta superfície para ao menos dois valores de k. 11- A mortal reside num ponto de coordenadas (2,2) do formigueiro, e o sacerdote para demonstrar seu poder, afirmava ser capar de determinar rapidamente a altura das moradas das vizinhas da mortal. O que a mortal não sabia, é que a sacerdote estava usando uma aproximação linear para acelerar os cálculos.), faça a linearização da função e use esta aproximação para calcular f(2,05;1,95). 12- Certo dia, a sacerdote profetiza para a mortal: “se um dia um gigante (humano) pisar no formigueiro, e seu pé obedecer a uma certa equação, ele destruirá primeiro a sua casa, pois será o primeiro ponto a ser atingido, por isso é importante que você continue pagando seus impostos para que tenhamos verba para monitorar e calcular as trajetórias de todos os gigantes, para que possamos defender seu lar (?!?!)”. Sabendo que para as formigas o pé humano pode ser aproximado por um plano, encontre a equação do plano tangente que tocará a superfície nos ponto (2,2) e (0,0). 13- Estando sobre a superfície do formigueiro no ponto (2,2) e pensando se seria mais vantagem dar a volta, ou escalar e descer para chegar do outro lado do formigueiro, a mortal pergunta qual a taxa de variação da altura do formigueiro se ela se dirigir ao ponto (0,0) (já estava ficando espertinha...). Além desta resposta a sacerdote informou que a taxa de variação máxima teria certo valor e certa direção. Quais foram as três respostas do sacerdote? 14-(2 pontos) Encontre uma equação para o plano tangente a 𝑓(𝑥, 𝑦) = 3𝑥2 + 2𝑥𝑦 − 𝑦2 no ponto (1,4). 15-(2 pontos) Encontre 𝜕𝑢 𝜕𝑟 sendo 𝑢 = 𝑥2𝑦𝑧, 𝑥 = 𝑟 𝑠 , 𝑦 = 𝑟𝑒𝑠 , 𝑧 = 𝑟𝑒−𝑠. 16-(2 pontos) Encontre o gradiente de 𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧) = cos(𝑥𝑦) + sin (𝑦𝑧). 17-(2 pontos) Qual a taxa de variação da função da questão anterior, em (2,0,-3) em direção a 〈−1,2,2〉. 18-(2 pontos) Encontre os máximos, mínimos e pontos de sela de 𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑥2 − 4𝑥𝑦 + 4𝑦 + 𝑦3. 19-(2 pontos) Encontre uma equação para o plano tangente a 𝑓(𝑥, 𝑦) = 2𝑥2 + 5𝑥𝑦 + 4𝑦2 no ponto (2,-1). 20-(2 pontos) Encontre 𝜕𝑢 𝜕𝑟 sendo 𝑢 = 𝑥𝑦 + 𝑥𝑧 + 𝑦𝑧, 𝑥 = 𝑟𝑠, 𝑦 = 𝑟2 − 𝑠2, 𝑧 = (𝑟 − 𝑠)2. 21-(2 pontos) Encontre o gradiente de 𝑓(𝑥, 𝑦) = 1 𝑥2+𝑦2 . 22-(2 pontos) Qual a taxa de variação da função da questão anterior, em (1,1) em direção a 〈3, −4〉. 23-(2 pontos) Encontre os máximos, mínimos e pontos de sela de 𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑥3 + 𝑦2 − 6𝑥2 + 𝑦 − 1. 24- (2 pontos) Encontre uma equação para o plano tangente a 𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑥3 + 3𝑥𝑦 + 5𝑦3 no ponto (1,1). 25-(2 pontos) Encontre 𝜕𝑢 𝜕𝑟 sendo 𝑢 = 𝑒𝑦/𝑥, 𝑥 = 2𝑟 cos 𝑡 , 𝑦 = 4𝑟 sin 𝑡. 26-(2 pontos) Encontre o gradiente de 𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧) = ln (𝑥2 + 𝑦2 + 𝑧2). 27-(2 pontos) Qual a taxa de variação da função da questão anterior, em (1,3,2) em direção a 〈1, −1, −1〉. 28-(2 pontos) Encontre os máximos, mínimos e pontos de sela de 𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑥3 + 𝑦3 − 18𝑥𝑦. 29-Considere a função de duas variáveis: 𝑓(𝑥, 𝑦) = ln (x + y − 1) a) (0,5 ponto) Calcule 𝑓(𝑒, 1) b) (0,5 ponto) Esboce o domínio de 𝑓(𝑥, 𝑦) 30-(1 ponto)Associe o gráfico da função com o da sua curva de nível: 31- a) (1 ponto) Encontre a equação do plano tangente a superfície (aproximação linear) no ponto dado 𝑧 = 𝑦 cos(𝑥 − 𝑦) , (2,2) b)(0,5 ponto) Utilize a aproximação linear para calcular o valor da função no ponto (1,99; 2,01) c)(0,5 ponto) qual o erro%? 32-(1 ponto) Utilize a regra da cadeia para calcular 𝜕𝑅 𝜕𝑥 𝑒 𝜕𝑅 𝜕𝑦 quando 𝑥 = 𝑦 = 1 sendo: 𝑅 = ln(𝑢2 + 𝑣2 + 𝑤2) 𝑢 = 𝑥 + 2𝑦 𝑣 = 2𝑥 − 𝑦 𝑤 = 2𝑥𝑦 33-Considere a função: 𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧) = 𝑥 𝑦+𝑧 a) (1 ponto) Encontre o gradiente da função no ponto (4,1,1) b) (1 ponto) Encontre a taxa de variação da função no ponto (4,1,1) na direção do vetor 〈1,2,3〉 c) (1 ponto) Encontre a máxima taxa de variação da função no ponto(4,1,1) 34-Considere a função: 𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑥2 + 𝑦2 + 1 𝑥2𝑦2 a) (1 ponto) Encontre seus pontos críticos b) (1 ponto) Encontre os máximos, mínimos e pontos de sela 35-Considere a função de duas variáveis: 𝑓(𝑥, 𝑦) = x2𝑒3𝑥𝑦 c) (0,5 ponto) Calcule 𝑓(2,0) d) (0,5 ponto) Encontre o domínio de 𝑓(𝑥, 𝑦) 36-(1 ponto)Associe o gráfico da função com o da sua curvade nível: 37- b) (1 ponto) Encontre a equação do plano tangente a superfície (aproximação linear) no ponto dado 𝑧 = 9𝑥2 + 𝑦2 + 6𝑥 − 3𝑦 + 5, (1,2) b)(0,5 ponto) Utilize a aproximação linear para calcular o valor da função no ponto (1,01; 2,01) c)(0,5 ponto) qual o erro%? 38-(1 ponto) Utilize a regra da cadeia para calcular 𝜕𝑈 𝜕𝑝 , 𝜕𝑈 𝜕𝑟 𝑒 𝜕𝑈 𝜕𝜃 quando 𝑝 = 2, 𝑟 = 3 𝑒 𝜃 = 0 sendo: 𝑈 = 𝑥2 + 𝑦𝑧 𝑥 = 𝑝𝑟 cos 𝜃 𝑦 = 𝑝𝑟 sin 𝜃 𝑧 = 𝑝 + 𝑟 39-Considere a função: 𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧) = (𝑥 + 2𝑦 + 3𝑥)3/2 d) (1 ponto) Encontre o gradiente da função no ponto (1,1,2) e) (1 ponto) Encontre a taxa de variação da função no ponto (1,1,2) na direção do vetor 〈2, −1,0〉 f) (1 ponto) Encontre a máxima taxa de variação da função no ponto(1,1,2) 40-Considere a função: 𝑓(𝑥, 𝑦) = (2𝑥 − 𝑥2)(2𝑦 − 𝑦2) c) (1 ponto) Encontre seus pontos críticos d) (1 ponto) Encontre os máximos, mínimos e pontos de sela
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