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Exercícios provas anteriores P2 - Cálculo II

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Cálculo II – 2014.2 – Prof. Fausto Lima Custódio 
Exercícios retirados de provas anteriores 
1- Encontre a equação da reta tangente a superficie abaixo no ponto (3,0). 
𝑧 = 𝑓(𝑥, 𝑦) = √𝑥 + 𝑒4𝑦 
2- Encontre a equação da reta tangente a superficie abaixo no ponto (-1,1). 
𝑧 = 𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑒𝑥
2−𝑦2 
3- Suponha que em certa região do espaço o potencial elétrico seja dado por: 
𝑉(𝑥, 𝑦, 𝑧) = 𝑥2 − 𝑥𝑦 + 2𝑥𝑦𝑧 
a) (2 pontos) Encontre a taxa de variação do potencial no ponto P(1,1,1) na direção do 
vetor v = i + j + k. 
b) (1 ponto) Em que direção o potencial varia mais rapidamente no ponto P? 
c) (1 ponto) Qual a máxima taxa de variação do potencial em P? 
 
4-Você está escalando uma montanha cuja forma é dada por: 
𝑧 = 500 − 𝑥2 − 2𝑦2 
Sabendo que o eixo x aponta na direção leste e o eixo y na direção norte, e que você 
está no ponto (10, 10, 200) calcule: 
d) (1 ponto) A taxa de variação da altura (z) na direção norte. 
e) (1 ponto) A taxa de variação da altura (z) na direção sudeste. 
f) (1 ponto) A direção em que a taxa de variação é máxima. 
g) (1 ponto) A máxima taxa de variação. 
5- A temperatura em um ponto é dada por: 
𝑇(𝑥, 𝑦, 𝑧) = 200𝑒−𝑥
2−3𝑦2−9𝑧2 
Onde a temperatura está medida em oC e x,y e z em metros. 
a. (2 Pontos) Qual a taxa de variação da temperatura no ponto (2,-1,2) na direção 
do ponto (3,-3,3)? 
b. (1 Ponto)Em que direção a temperatura aumenta mais rapidamente? 
c. (1 Ponto) Qual a máxima taxa de variação da temperatura em oC/m? 
d. (1 Ponto) Na direção da origem, ponto (0,0,0), a temperatura aumenta ou 
diminui? 
6- Uma montanha tem seu formato representado pelo paraboloide: 
𝑓(𝑥, 𝑦) = √16 − 𝑥2 − 2𝑦2 
e. (2 Pontos) Qual a taxa de variação da altura no ponto (2,2) na direção do ponto 
(0,0)? 
f. (1 Ponto) Qual o ângulo de inclinação da montanha nas condições do item a? 
g. (1 Ponto)Em que direção a altura varia mais rapidamente? 
h. (1 Ponto) Qual a máxima taxa de variação da altura? 
7- O potencial elétrico em uma região do espaço é dado por 
 
𝑉(𝑥, 𝑦, 𝑥) = 5𝑥2 − 3𝑥𝑦 + 𝑥𝑦𝑧 
 
a. Qual a taxa de variação do potencial no ponto P(1,2,5) na direção do vetor v = 2i + 
j – K. 
b. Em que direção o potencial muda mais rapidamente no ponto P? 
c. Qual a máxima taxa de variação em P? 
8- Encontre os máximos e mínimos locais e pontos de sela. 
d. 𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑥4 + 𝑦4 − 4𝑥𝑦 + 2 
e. 𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑒4𝑦−𝑥
2−𝑦2 
9-Encontre dw/dt sendo: 
𝑤 = 𝑥𝑦 + 𝑦𝑧2, 𝑥 = 𝑒𝑡, 𝑦 = 𝑒𝑡 sin 𝑡 , 𝑧 = 𝑒𝑡 cos 𝑡 
A prova do formigueiro... 
Esta prova se passa em um formigueiro no Egito antigo, em uma época onde haviam os 
simples mortais e os sacerdotes, considerados uma raça superior. O que os simples mortais 
não sabiam é que a raça superior era na verdade constituída por engenheiros, matemáticos, 
físicos e afins... 
10- As formigas viviam em um formigueiro com a forma de um parabolóide, com equação 
dada por 𝑓(𝑥, 𝑦) = √16 − 𝑥2 − 2𝑦2 onde as medidas estavam em cm. Certo dia uma formiga 
mortal encontra uma sacerdote e pergunta: “Se eu caminhar na superfície do formigueiro, 
seguindo um caminho em que minha altura não varie, qual será a forma de minha trajetória?” 
A sacerdote pensa “basta eu descobrir como são as curvas de nível”. Faça um esboço das 
curvas de nível para esta superfície para ao menos dois valores de k. 
11- A mortal reside num ponto de coordenadas (2,2) do formigueiro, e o sacerdote para 
demonstrar seu poder, afirmava ser capar de determinar rapidamente a altura das moradas 
das vizinhas da mortal. O que a mortal não sabia, é que a sacerdote estava usando uma 
aproximação linear para acelerar os cálculos.), faça a linearização da função e use esta 
aproximação para calcular f(2,05;1,95). 
12- Certo dia, a sacerdote profetiza para a mortal: “se um dia um gigante (humano) pisar no 
formigueiro, e seu pé obedecer a uma certa equação, ele destruirá primeiro a sua casa, pois 
será o primeiro ponto a ser atingido, por isso é importante que você continue pagando seus 
impostos para que tenhamos verba para monitorar e calcular as trajetórias de todos os 
gigantes, para que possamos defender seu lar (?!?!)”. Sabendo que para as formigas o pé 
humano pode ser aproximado por um plano, encontre a equação do plano tangente que 
tocará a superfície nos ponto (2,2) e (0,0). 
13- Estando sobre a superfície do formigueiro no ponto (2,2) e pensando se seria mais 
vantagem dar a volta, ou escalar e descer para chegar do outro lado do formigueiro, a mortal 
pergunta qual a taxa de variação da altura do formigueiro se ela se dirigir ao ponto (0,0) (já 
estava ficando espertinha...). Além desta resposta a sacerdote informou que a taxa de 
variação máxima teria certo valor e certa direção. Quais foram as três respostas do sacerdote? 
14-(2 pontos) Encontre uma equação para o plano tangente a 𝑓(𝑥, 𝑦) = 3𝑥2 + 2𝑥𝑦 − 𝑦2 no 
ponto (1,4). 
15-(2 pontos) Encontre 
𝜕𝑢
𝜕𝑟
 sendo 𝑢 = 𝑥2𝑦𝑧, 𝑥 =
𝑟
𝑠
, 𝑦 = 𝑟𝑒𝑠 , 𝑧 = 𝑟𝑒−𝑠. 
16-(2 pontos) Encontre o gradiente de 𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧) = cos(𝑥𝑦) + sin (𝑦𝑧). 
17-(2 pontos) Qual a taxa de variação da função da questão anterior, em (2,0,-3) em direção a 
〈−1,2,2〉. 
18-(2 pontos) Encontre os máximos, mínimos e pontos de sela de 𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑥2 − 4𝑥𝑦 + 4𝑦 +
𝑦3. 
19-(2 pontos) Encontre uma equação para o plano tangente a 𝑓(𝑥, 𝑦) = 2𝑥2 + 5𝑥𝑦 + 4𝑦2 no 
ponto (2,-1). 
20-(2 pontos) Encontre 
𝜕𝑢
𝜕𝑟
 sendo 𝑢 = 𝑥𝑦 + 𝑥𝑧 + 𝑦𝑧, 𝑥 = 𝑟𝑠, 𝑦 = 𝑟2 − 𝑠2, 𝑧 = (𝑟 − 𝑠)2. 
21-(2 pontos) Encontre o gradiente de 𝑓(𝑥, 𝑦) =
1
𝑥2+𝑦2
. 
22-(2 pontos) Qual a taxa de variação da função da questão anterior, em (1,1) em direção a 
〈3, −4〉. 
23-(2 pontos) Encontre os máximos, mínimos e pontos de sela de 𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑥3 + 𝑦2 − 6𝑥2 +
𝑦 − 1. 
24- (2 pontos) Encontre uma equação para o plano tangente a 𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑥3 + 3𝑥𝑦 + 5𝑦3 no 
ponto (1,1). 
25-(2 pontos) Encontre 
𝜕𝑢
𝜕𝑟
 sendo 𝑢 = 𝑒𝑦/𝑥, 𝑥 = 2𝑟 cos 𝑡 , 𝑦 = 4𝑟 sin 𝑡. 
26-(2 pontos) Encontre o gradiente de 𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧) = ln (𝑥2 + 𝑦2 + 𝑧2). 
27-(2 pontos) Qual a taxa de variação da função da questão anterior, em (1,3,2) em direção a 
〈1, −1, −1〉. 
28-(2 pontos) Encontre os máximos, mínimos e pontos de sela de 𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑥3 + 𝑦3 − 18𝑥𝑦. 
29-Considere a função de duas variáveis: 𝑓(𝑥, 𝑦) = ln (x + y − 1) 
a) (0,5 ponto) Calcule 𝑓(𝑒, 1) 
b) (0,5 ponto) Esboce o domínio de 𝑓(𝑥, 𝑦) 
30-(1 ponto)Associe o gráfico da função com o da sua curva de nível: 
 
 
31- 
a) (1 ponto) Encontre a equação do plano tangente a superfície (aproximação linear) no 
ponto dado 
𝑧 = 𝑦 cos(𝑥 − 𝑦) , (2,2) 
b)(0,5 ponto) Utilize a aproximação linear para calcular o valor da função no ponto 
(1,99; 2,01) 
c)(0,5 ponto) qual o erro%? 
32-(1 ponto) Utilize a regra da cadeia para calcular 
𝜕𝑅
𝜕𝑥
 𝑒 
𝜕𝑅
𝜕𝑦
 quando 𝑥 = 𝑦 = 1 sendo: 
𝑅 = ln(𝑢2 + 𝑣2 + 𝑤2) 𝑢 = 𝑥 + 2𝑦 𝑣 = 2𝑥 − 𝑦 𝑤 = 2𝑥𝑦 
33-Considere a função: 𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧) =
𝑥
𝑦+𝑧
 
a) (1 ponto) Encontre o gradiente da função no ponto (4,1,1) 
b) (1 ponto) Encontre a taxa de variação da função no ponto (4,1,1) na direção do vetor 
〈1,2,3〉 
c) (1 ponto) Encontre a máxima taxa de variação da função no ponto(4,1,1) 
 
34-Considere a função: 
𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑥2 + 𝑦2 +
1
𝑥2𝑦2
 
a) (1 ponto) Encontre seus pontos críticos 
b) (1 ponto) Encontre os máximos, mínimos e pontos de sela 
 
35-Considere a função de duas variáveis: 𝑓(𝑥, 𝑦) = x2𝑒3𝑥𝑦 
c) (0,5 ponto) Calcule 𝑓(2,0) 
d) (0,5 ponto) Encontre o domínio de 𝑓(𝑥, 𝑦) 
36-(1 ponto)Associe o gráfico da função com o da sua curvade nível: 
 
 
37- 
b) (1 ponto) Encontre a equação do plano tangente a superfície (aproximação linear) no 
ponto dado 
𝑧 = 9𝑥2 + 𝑦2 + 6𝑥 − 3𝑦 + 5, (1,2) 
b)(0,5 ponto) Utilize a aproximação linear para calcular o valor da função no ponto 
(1,01; 2,01) 
c)(0,5 ponto) qual o erro%? 
38-(1 ponto) Utilize a regra da cadeia para calcular 
𝜕𝑈
𝜕𝑝
 ,
𝜕𝑈
𝜕𝑟
 𝑒 
𝜕𝑈
𝜕𝜃
 quando 𝑝 = 2, 𝑟 =
3 𝑒 𝜃 = 0 sendo: 
𝑈 = 𝑥2 + 𝑦𝑧 𝑥 = 𝑝𝑟 cos 𝜃 𝑦 = 𝑝𝑟 sin 𝜃 𝑧 = 𝑝 + 𝑟 
39-Considere a função: 𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧) = (𝑥 + 2𝑦 + 3𝑥)3/2 
d) (1 ponto) Encontre o gradiente da função no ponto (1,1,2) 
e) (1 ponto) Encontre a taxa de variação da função no ponto (1,1,2) na direção do vetor 
〈2, −1,0〉 
f) (1 ponto) Encontre a máxima taxa de variação da função no ponto(1,1,2) 
 
40-Considere a função: 
𝑓(𝑥, 𝑦) = (2𝑥 − 𝑥2)(2𝑦 − 𝑦2) 
c) (1 ponto) Encontre seus pontos críticos 
d) (1 ponto) Encontre os máximos, mínimos e pontos de sela

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