CFVVOC Aula 04

Prévia do material em texto

Campus: Jundiaí Curso: Engenharia Básico 
Disciplina: CÁLCULO de FUNÇÕES de VÁRIAS VARIÁVEIS e OPERADOR de CAMPO 
Professores Responsáveis: Ranyere Deyler Trindade e Silvania Maria Netto 
2014 
 
05/05 – AULA 04 – James Stewart 5ª Ed – CAP 14 = REGRA DA CADEIA 
 
Use a Regra da Cadeia para determinar dz/dt ou dw/dt: (p. 936) 
Ex 1. z= x
2
y + xy
2
, x=2+t
4
, y=1-t
3
 
 
 
2232
2232
2xy)t3(x-)ty4(2xy 
dt
dy
y
z
dt
dx
x
z
dt
dz
)2xy)(-3t(x))(4ty(2xy 
dt
dy
y
z
dt
dx
x
z
dt
dz














 
 
 
Ex 2. 
22 yxz 
, x=e2t, y=e-2t 
 
 
22
-2t2t
22
-2t
22
2t
-2t1/2222t1/222
yx
ye2(xe
 
dt
dy
y
z
dt
dx
x
z
dt
dz
yx
2ye
yx
2xe
 
dt
dy
y
z
dt
dx
x
z
dt
dz
2e-.2y.)y(x
2
1
.2x.2e)y(x
2
1
 
dt
dy
y
z
dt
dx
x
z
dt
dz

























 
)
 
 
 
Ex 3. z= sen x cos y, x=t, y=t 
 
 
y sen x sen
t2
1
- y cos x cos π 
dt
dy
y
z
dt
dx
x
z
dt
dz
t
2
1
y). (-sen x sen π . y cos x cos 
dt
dy
y
z
dt
dx
x
z
dt
dz 1/2













 
 
 
 
Ex 4. z= x ln(x+2y), x=sent, y=cos t 
 
 
t sen
2yx
2x
 - t cos 2y)ln(x
2yx
x
 
dt
dy
y
z
dt
dx
x
z
dt
dz
t) (2).(-sen 
2yx
1
 . xt cos . 2y)1.ln(x
2yx
1
x. 
dt
dy
y
z
dt
dx
x
z
dt
dz






























 
 
 
Ex 5. w= xey/z, x=t2, y=1-t, z=1+2t 
 
 






































2
y/z
2
y/zy/zy/z
z
2xy
z
x
-2t e 
dt
dz
z
w
dt
dy
y
w
dt
dx
x
w
dt
dw
2 . 
z
y
 xe(-1) . 
z
1
 xe 2t . e 
dt
dz
z
w
dt
dy
y
w
dt
dx
x
w
dt
dw
 
 
 
Ex 6. w= xy+yz2, x=et, y=et sen t , z= et cos t 
 
 
     
     t sen - t cos 2yz t sent cos zxy e 
dt
dz
z
w
dt
dy
y
w
dt
dx
x
w
dt
dw
 t cos e t sen e- 2yz t sen e t cos e . zx e y 
dt
dz
z
w
dt
dy
y
w
dt
dx
x
w
dt
dw
2t
tttt2t




















 
 
 
Ex 35. A temperatura em um ponto (x,y) é T(x.y), medida em graus Celsius. Um inseto rasteja de modo que sua posição depois 
de t segundos seja dada por 
t
3
1
2 y ,t1x 
, onde x e y são medidas em centímetros. A função temperatura 
satisfaz Tx(2,3) = 4 e Ty(2,3) = 3. Quão rápido a temperatura aumenta no caminho do inseto depois de 3 segundos? 
 
 
2 
3
1
 . 3 
4
1
 . 4 
dt
dy
(2,3)T
dt
dx
(2,3)T
dt
dT
dt
dy
y
T
dt
dx
x
T
dt
dT
:Cadeia da Regra a vale t... de funções são y) T(x,e y , x Como
3
1
dt
dy
t
3
1
2 y
dt
dx
3st como ;
t12
1
 .1t)(1
2
1
dt
dx
t)(1 t1x
yx
1/2-
1/2



























4
1
42
1
312
1
 
 Logo, a temperatura aumenta a uma taxa de 2 oC/s. 
 
 
 
Ex 36. A produção de trigo em um determinado ano W depende da temperatura média T e da quantidade anual de chuva R. 
Cientistas estimam que a temperatura média anual esteja crescendo à taxa de 0,15 oC/ano, e a quantidade anual de 
chuva está crescendo à taxa de 0,1 cm/ano. Eles também estimam que, no corrente nível de produção W/T=-2 e 
W/R=8. 
a) Qual o significado do sinal dessas derivadas parciais? 
W/T negativo significa que um aumento na temperatura média (precipitação anual se mantém constante) 
provoca uma diminuição na produção de trigo nos níveis de produção atuais. W/R positivo significa que o 
aumento da precipitação anual (temperatura média se mantém constante) provoca um aumento na produção de 
trigo. 
 
b) Estime a taxa de variação corrente da produção de trigo dW/dt. 
 
1,1- 0,1)(8)( (-2)(0,15) 
dt
dR
R
W
dt
dT
T
W
dt
dW







 
Podemos estimar, então, que a produção de trigo irá diminuir a uma taxa de 1,1 unidade/ano. 
 
 
 
Ex 38. O raio de um cone circular reto aumenta a uma taxa de 1,8 cm/s, ao passo que sua altura está decrescendo à taxa de 
2,5 cm/s. A que taxa o volume do cone está mudando quando o raio vale 120 cm e a altura 140 cm? 
 
 8160 000 12 - 160 20 2,5)(
3
r 
(1,8)
3
h r 2
 
dt
dh
h
V
dt
dr
r
V
dt
dV
cone do volume
3
hr 
 V
2
2










 
O cone está crescendo a uma taxa de 8160  cm3/s 
 
Ex 39. O comprimento L, a largura w e a altura h de uma caixa variam com o tempo. Em certo instante as dimensões da caixa 
são L=1m e w = h = 2 m, e L e w estão aumentando a uma taxa de 2 m/s, ao passo que h está diminuindo à taxa de 3 
m/s. Nesse instante, determine as taxas nas quais as seguintes quantidades estão variando: 
a) O volume; 
b) A área da superfície; 
c) O comprimento da diagonal. 
 
a) V = L w h 
dt
dh
Lw 
dt
dw
Lh 
dt
dL
wh 
dt
dh
h
V
dt
dw
w
V
dt
dL
L
V
dt
dV










= 2.2.2 + 1.2.2 + 1.2.(-3) = 8 + 4 – 6 = 6 
O volume varia a uma taxa de 6 m3/s. 
 
b) S = 2(Lw+ Lh + wh) 
dt
dh
w)2(L 
dt
dw
h)2(L 
dt
dL
h)2(w 
dt
dh
h
S
dt
dw
w
S
dt
dL
L
S
dt
dS










= 2(2+2)(2)+2(1+2)(2)+2(1+2)(-3)=10 
A área da superfície varia a uma taxa de 10 m2/s. 
 
c) C2=L2+w2+h2 
 
dt
dh
2h
dt
dw
2w
dt
dL
2L
dt
dC
2C 
2(1)(2)+2(2)(2)+2(2)(-3) = 4 + 8 – 12 = 0 
O comprimento da diagonal não varia com o tempo, ou seja, sua taxa de variação é 0 m/s. 
 
 
Ex 40. A voltagem V em um circuito elétrico simples está decrescendo devagar à medida que a bateria se descarrega. A 
resistência R está aumentando devagar com o aumento do calor do resistor. Use a Lei de Ohm, V = IxR, para achar como 
a corrente I está variando no momento em que R= 400 , I = 0,08 A, dV/dT = - 0,01 V/s e dR/dt = 0,03 /s. 
 
0,000031- (0,03)
400
0,08
0,01)(
400
1
dt
dR
R
I
dt
dV
R
1
dt
dR
R
1
.
R
V
dt
dV
R
1
 
dt
dR
R
V
dt
dV
R
1
dt
dR
R
I
dt
dV
V
I
dt
dI
R
V
I
2







 
 
 
 
 A corrente elétrica decai a uma taxa de 31 A/s. 
 
 
Ex 41. A pressão de um mol de gás ideal é aumentada à taxa de 0,05 kPa/s, e a temperatura é elevada à taxa de 0,15 K/s. 
Sabendo-se que para um mol de gás ideal PV = 8,31 T, determine a taxa de variação do volume quando a pressão é 
de 20 kPa e a temperatura de 320K. 
0,27- 0,05
20
320
0,15
20
1
 8,31 
dt
dV
0,15 
dt
dT
 e 0,05
dt
dP
 , 320K TkPa, 20 P Como
dt
dT
P
T
dt
dT
P
1
 8,31 
dt
dP
P
T
8,31
dt
dT
P
8,31
dtdV
 TP8,31 V 
P
T
 8,31 V 8,31T PV
2
22
1-
















 
O volume irá reduzir a uma taxa de 0,27 L/s.