calculo integral aula 1

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CÁLCULO INTEGRAL 
Aula 01: Revisão de Funções: 
Trigonométricas, Exponenciais e Logarítmicas 
Prof. Felipe Mota Martins 
prof.felipem@hotmail.com 
MKT-MDL-05 
Versão 00 
 
Funções 
É possível relacionar dois conjuntos através de uma equação 
matemática chamada de função. 
 
 
 
 
 
 
Os dois conjuntos passam então a ser chamados de domínio 
(Conjunto de saída) (A) e contradomínio (Conjunto de chegada) (B). 
A função representada 
por 𝑦 = 𝑥2 relaciona os 
elementos do conjunto 
𝐴 (𝑥) com os elementos 
do conjunto 𝐵 (𝑦) 
Exemplo 
Funções 
• A função 𝑦 = 𝑥2 do exemplo anterior é chamada de função 
definida em A com valores em B, ou função de A em B, e 
pode ser representada de duas formas: 
𝑓: 𝐴 𝐵 
𝑦 = 𝑓(𝑥) 
O processo de volta, onde saímos do conjunto 
contradomínio e encontramos os valores que deram 
origem a eles no conjunto domínio, é chamado de função 
inversa e é representada por 𝒙 = 𝒇−𝟏(𝒚). 
A Tabela 1 fornece os dados de uma experiência na qual uma 
cultura começou com 100 bactérias em um meio limitado em 
nutrientes; o tamanho da população foi registrado em 
intervalos de uma hora. O número N de bactérias é uma 
função do tempo t: 𝑁 = 𝑓(𝑡). 
Suponha, todavia, que o biólogo mude seu ponto de vista e passe a se 
interessar pelo tempo necessário para a população alcançar vários níveis. 
Em outras palavras, ela está pensando em t como uma função de N. Essa 
função, chamada de função inversa de f, é denotada por 𝑓′. 
Funções 
(Exemplo) 
• Exemplo 2.1: Encontrar a inversa de 𝑦 = 3𝑥 + 4. 
 
Para encontrar a função inversa, basta trocar as 
variáveis x e y e então reorganizar a formula. 
Funções 
(Exemplo) 
• Exemplo 2.1: Encontrar a inversa de 𝑦 = 3𝑥 + 4. 
 Trocando x e y: 
𝑥 = 3𝑦 + 4 
 Reorganizando para isolar y: 
𝑥 − 4 = 3𝑦 
𝑦 =
𝑥 − 4
3
 
 Assim, a função 𝑦 =
𝑥−4
3
 é a inversa da função 𝑦 = 3𝑥 + 4. 
Para encontrar a função inversa, basta trocar as 
variáveis x e y e então reorganizar a formula. 
Cada elemento do conjunto 
domínio (x) se relaciona com 
somente um elemento do 
conjunto contradomínio (y). 
Funções 
Nem toda fórmula pode ser chamada de função, pois para ser 
classificada como uma função uma condição deve ser respeitada: 
Funções 
Quando o conjunto de elementos que correspondem a algum 
elemento do conjunto de saída não é igual ao contradomínio, 
mas é um subconjunto do mesmo, damos a ele o nome de 
Conjunto Imagem (Im). 
Funções 
• Funções em que a imagem é igual ao 
contradomínio são chamadas de 
sobrejetoras. 
• Funções em que para cada valor do 
domínio existir um e somente um valor 
correspondente no contradomínio são 
chamadas de injetoras. 
• Quando uma função é, ao mesmo tempo, 
sobrejetora e injetora, ela recebe o 
nome de função bijetora. 
01 é Injetora 01 e 03 São 
sobrejetoras 
Funções 
• Funções em que a imagem é igual ao 
contradomínio são chamadas de 
sobrejetoras. 
• Funções em que para cada valor do 
domínio existir um e somente um valor 
correspondente no contradomínio são 
chamadas de injetoras. 
• Quando uma função é, ao mesmo tempo, 
sobrejetora e injetora, ela recebe o 
nome de função bijetora. 
01 é Injetora 01 e 03 São 
sobrejetoras 
Uma função 𝑓 só apresenta função 
inversa 𝑓′ se for bijetora. 
Funções 
É possível representar visualmente uma função através de 
gráficos traçados em um plano bidimensional com eixos 
orientados, conhecido como plano cartesiano. 
O eixo horizontal (x) 
é chamado de eixo 
das abscissas, o eixo 
vertical (y) é 
chamado de eixo das 
ordenadas e juntos 
dividem o plano em 
quatro partes 
chamadas quadrantes 
Funções 
 
TIPOS DE FUNÇÃO 
Funções 
Principais tipos de funções 
Afim (do 1º Grau) 
Polinomial 
Potência 
Racional 
Trigonométrica 
Exponencial 
Logarítmica 
Funções 
Principais tipos de funções 
Afim (do 1º Grau) 
Polinomial 
Potência 
Racional 
Trigonométrica 
Exponencial 
Logarítmica 
• Quando dizemos que y é uma função 
linear de x, queremos dizer que o 
gráfico da função é uma reta; assim, 
podemos usar a forma inclinação-
intersecção da equação de uma reta 
para escrever uma fórmula para a 
função, como: 
𝑦 = 𝑓 𝑥 = 𝑚𝑥 + 𝑏 
Funções 
Principais tipos de funções 
Afim (do 1º Grau) 
Polinomial 
Potência 
Racional 
Trigonométrica 
Exponencial 
Logarítmica 
Uma função P é denominada polinômio se 
𝑃 𝑥 = 𝑎𝑛𝑥
𝑛 + 𝑎𝑛−1𝑥
𝑛−1 +⋯+ 𝑎0𝑥
0 
onde n é um inteiro não negativo e os 
números 𝑎𝑛, 𝑎𝑛−1,..., 𝑎0 são constantes 
chamadas coeficientes do polinômio. 
Um polinômio de grau 
1 é da forma , 
portanto, é uma 
função linear. Um 
polinômio de grau 2 é 
da forma e é chamado 
função quadrática. 
Funções 
Principais tipos de funções 
Afim (do 1º Grau) 
Polinomial 
Potência 
Racional 
Trigonométrica 
Exponencial 
Logarítmica 
Uma função da forma 𝑓 𝑥 = 𝑥𝑎, onde 𝑎 é 
uma constante, é chamada função 
potência. 
Funções 
Principais tipos de funções 
Afim (do 1º Grau) 
Polinomial 
Potência 
Racional 
Trigonométrica 
Exponencial 
Logarítmica 
Uma função racional f é a razão de dois 
polinômios: 
𝑓 𝑥 =
𝑃(𝑥)
𝑄(𝑥)
 
onde P e Q são polinômios. 
A função 
𝑓 𝑥 =
2𝑥4 − 𝑥2 + 1
𝑥2 − 4
 
é uma função racional com domínio 
*𝑥|𝑥 ≠ ±2+. 
Funções 
Principais tipos de funções 
Afim (do 1º Grau) 
Polinomial 
Potência 
Racional 
Trigonométrica 
Exponencial 
Logarítmica 
As funções trigonométricas, ou circulares, 
são as funções associadas ao ciclo 
trigonométrico. 
Revisaremos mais detalhadamente as funções Trigonométricas 
Funções 
Principais tipos de funções 
Afim (do 1º Grau) 
Polinomial 
Potência 
Racional 
Trigonométrica 
Exponencial 
Logarítmica 
As funções exponenciais são da forma 
𝑓 𝑥 = 𝑎𝑥, em que a base a é uma 
constante positiva. 
Revisaremos mais detalhadamente as funções Exponenciais 
OBS.: Não confundir com a função potência. 
Funções 
Principais tipos de funções 
Afim (do 1º Grau) 
Polinomial 
Potência 
Racional 
Trigonométrica 
Exponencial 
Logarítmica 
Revisaremos mais detalhadamente as funções Logarítmicas 
As funções logarítmicas 𝑓 𝑥 = log𝑎 𝑥, 
onde a base a é uma constante positiva, 
são inversas das funções exponenciais 
Funções 
 
FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS 
• Dá-se o nome de ciclo trigonométrico ao círculo de 
raio 1 cujo centro também é o centro de um eixo de 
coordenadas xy (uv, na figura); 
Ciclo trigonométrico 
MKT-MDL-05 
Versão 00 
 
ORIENTAÇÃO: No ciclo 
trigonométrico, o “zero” se 
localiza no ponto A e o sentido 
anti-horário é o sentido positivo 
no sistema de referências. Como 
o círculo tem raio 1, seu 
comprimento mede 2𝜋 
• Considerando um ponto x sobre o ciclo, a projeção P 
da sua posição nos eixos cartesianos é chamada 
“imagem do ponto”. Por exemplo: 
Ciclo trigonométrico 
MKT-MDL-05 
Versão 00 
 
Ciclo trigonométrico 
MKT-MDL-05 
Versão 00 
 
• Se P é a imagem do número 𝑥0, então P também é a imagem 
dos números: 
 
𝑥0 + 2𝜋; 𝑥0 + 4𝜋; 𝑥0 + 6𝜋; 𝑒𝑡𝑐. 
 
 Assim como dos números: 
 
𝑥0 − 2𝜋; 𝑥0 − 4𝜋; 𝑥0 − 6𝜋; 𝑒𝑡𝑐. 
 
• De uma forma geral, é possível escrever: 
 
𝑃 = 𝑥0 + 2𝑘𝜋 
 
Onde 𝑘 é um número inteiro (podendo ser positivou ou negativo) 
 
Para estudo das funções circulares, associam-se quatro eixos ao 
ciclo trigonométrico: 
 
 
Ciclo trigonométrico 
Funções circularesMKT-MDL-05 
Versão 00 
 
MKT-MDL-05 
Versão 00 
 
Os eixos u e v 
dividem o ciclo em 
quatro arcos de 
circunferência, 
denominados 
quadrantes. 
 
 
• A partir da definição de P (imagem) encontra-se a função: 
 
𝑓 𝑘 = 𝑃 = 𝑥0 + 2𝑘𝜋 
 
• Como o valor de P se repete para números diferentes de k, 
essa função é dita como uma função periódica. 
 
Ciclo trigonométrico 
Funções circulares 
MKT-MDL-05 
Versão 00 
 
Ciclo trigonométrico 
Funções circulares 
MKT-MDL-05 
Versão 00 
 
• Seno 
• Cosseno 
• Tangente 
 
 
 
• Cotangente 
• Secante 
• Cossecante 
 
 
 
As movimentações no ciclo 
trigonométrico podem ser medidas 
através de funções circulares 
relacionadas aos quatro eixos 
definidos no ciclo. 
 
A essas funções dá-se o nome de 
funções trigonométricas. 
 
• Dado um número real x, cuja imagem no ciclo é P, 
pode-se escrever P em função das coordenadas, ou 
seja, da posição da imagem de P nos eixos uv como 
(𝑃1, 𝑃2) 
 
 
Ciclo trigonométrico 
Função Seno 
MKT-MDL-05 
Versão 00 
 
• Ao seguimento de reta 𝑂𝑃1 , 
componente do vetor posição 
𝑂𝑃 no eixo v, dá-se o nome de 
seno de x; 
seno x = 𝑶𝑷𝟏 
• A variação de 𝑃1 é limitada pelo ciclo nos pontos 𝐵 e 𝐵′ 
(1 e -1) e pode ser expressa pela função seno: 
 
𝑓 𝑥 = 𝑠𝑒𝑛𝑜 𝑥 
 
 
Ciclo trigonométrico 
Função Seno 
MKT-MDL-05 
Versão 00 
 
Características da função seno: 
 
• Imagem limitada ao intervalo [-1,1] 
• f(x) > 0 (Para x no 1º ou 2º quad) 
• f(x) < 0 (Para x no 3º ou 4º quad.) 
• Período de 2𝜋 (a cada 2𝜋, a imagem 
P tem o mesmo valor) 
Ciclo trigonométrico 
Função Seno 
MKT-MDL-05 
Versão 00 
 
Função senóide • O quadrado 
destacado 
representa um 
período (2𝜋) 
Fazendo 0 < 𝑥 < 2𝜋, os valores da função seno x são dados na 
tabela: 
 
 
 
• Traçando um gráfico com esses valores encontra-se: 
 
 
Ciclo trigonométrico 
Função Seno 
MKT-MDL-05 
Versão 00 
 
• Dado um número real x, cuja imagem no ciclo é P, 
pode-se escrever P em função das coordenadas, ou 
seja, da posição da imagem de P nos eixos uv como 
(𝑃1, 𝑃2) 
 
 
Ciclo trigonométrico 
Função Cosseno 
MKT-MDL-05 
Versão 00 
 
• Ao seguimento de reta 𝑂𝑃2 , 
componente do vetor posição 
𝑂𝑃 no eixo u, dá-se o nome de 
cosseno de x; 
cosseno x = 𝑶𝑷𝟐 
• A variação de 𝑃2 é limitada pelo ciclo nos pontos 𝐴 e 𝐴′ 
(1 e -1) e pode ser expressa pela função cosseno: 
 
𝑓 𝑥 = 𝑐𝑜𝑠𝑠𝑒𝑛𝑜 𝑥 
 
 
Ciclo trigonométrico 
Função Cosseno 
MKT-MDL-05 
Versão 00 
 
Características da função cosseno: 
 
• Imagem limitada ao intervalo [-1,1] 
• f(x) > 0 (Para x no 1º ou 4º quad) 
• f(x) < 0 (Para x no 2º ou 3º quad.) 
• Período de 2𝜋 (a cada 2𝜋, a imagem 
P tem o mesmo valor) 
• Fazendo 0 < 𝑥 < 2𝜋, os valores da função cosseno x são dados 
na tabela: 
 
 
 
• Traçando um gráfico com esses valores encontra-se: 
 
 
Ciclo trigonométrico 
Função Cosseno 
MKT-MDL-05 
Versão 00 
 
Função cossenóide O quadrado 
destacado 
representa 
um período 
(2𝜋) 
Ciclo trigonométrico 
Função Cosseno 
MKT-MDL-05 
Versão 00 
 
• Dado um número real x, cuja imagem no ciclo é P, dá-se o 
nome de tangente de x à distância, no eixo das tangentes, 
do ponto A à intercessão entre a reta que passa pelo centro 
O e pelo ponto P, reta 𝑂𝑃; 
 
 
Ciclo trigonométrico 
Função Tangente 
MKT-MDL-05 
Versão 00 
 
• OBS.: para valores de 𝑥 = 
𝜋
2
+ 2𝑘𝜋 a 
projeção da reta 𝑂𝑃 é paralela ao 
eixo das tangentes, portanto, nesses 
pontos, a tangente é dita 
indefinida; 
Tangente x = 𝑨𝑻 
• A variação do seguimento de reta 𝐴𝑇 possui imagem 
variando entre −∞ e ∞ e pode ser expressa pela 
função tangente: 
𝑓 𝑥 = 𝑡𝑎𝑛𝑔𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑥 
 
 
Ciclo trigonométrico 
Função Tangente 
MKT-MDL-05 
Versão 00 
 
Características da função tangente: 
 
• Imagem no intervalo [−∞,∞] 
• f(x) > 0 (Para x no 1º ou 3º quad) 
• f(x) < 0 (Para x no 2º ou 4º quad.) 
• Período de 𝜋 (a cada 𝜋, a imagem P 
tem o mesmo valor) 
• Fazendo 0 < 𝑥 < 𝜋 , os 
valores da função tangente 
x são dados na tabela: 
 
Ciclo trigonométrico 
Função Cosseno 
MKT-MDL-05 
Versão 00 
 
Função tangente 
O quadrado destacado representa um 
período (𝜋) 
Ciclo trigonométrico 
Função Tangente 
MKT-MDL-05 
Versão 00 
 
• Dado um número real x, cuja imagem no ciclo é P, dá-se o 
nome de cotangente de x à distância, no eixo das 
cotangentes, do ponto B à intercessão entre a reta que 
passa pelo centro O e pelo ponto P, reta 𝑂𝑃; 
 
 
Ciclo trigonométrico 
Função Cotangente 
MKT-MDL-05 
Versão 00 
 
• OBS.: para valores de 𝑥 = 
𝜋
2
+ 𝑘𝜋 a 
projeção da reta 𝑂𝑃 é paralela ao 
eixo das cotangentes, portanto, 
nesses pontos, a cotangente é dita 
indefinida; 
Cotangente x = 𝑩𝑻 
• A variação do seguimento de reta 𝐵𝑇 possui imagem 
variando entre −∞ e ∞ e pode ser expressa pela 
função cotangente: 
𝑓 𝑥 = 𝑐𝑜𝑡𝑎𝑛𝑔𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑥 
 
 
Ciclo trigonométrico 
Função Cotangente 
MKT-MDL-05 
Versão 00 
 
Características da função cotangente: 
 
• Imagem no intervalo [−∞,∞] 
• f(x) > 0 (Para x no 1º ou 3º quad) 
• f(x) < 0 (Para x no 2º ou 4º quad.) 
• Período de 𝜋 (a cada 𝜋, a imagem P 
tem o mesmo valor) 
Ciclo trigonométrico 
Função Cotangente 
MKT-MDL-05 
Versão 00 
 
• Dado um número real x, cuja imagem no ciclo é P, dá-se o 
nome de secante de x à distância, no eixo dos cossenos 
(u), do centro O à intercessão (S) da reta que tangencia o 
ciclo em P com o eixo dos cossenos; 
 
 
Ciclo trigonométrico 
Função Secante 
MKT-MDL-05 
Versão 00 
 
• OBS.: para valores de 𝑥 = 
𝜋
2
+ 𝑘𝜋 a 
projeção da reta 𝑂𝑆 é paralela ao 
eixo das cossenos, portanto, nesses 
pontos, a secante é dita indefinida; 
Secante x = 𝑶𝑺 
Ciclo trigonométrico 
Função Secante 
MKT-MDL-05 
Versão 00 
 
Características da função secante: 
 
• Imagem no intervalo ]-1, 1[ 
• f(x) > 0 (Para x no 1º ou 4º quad) 
• f(x) < 0 (Para x no 2º ou 3º quad.) 
• Período de 2𝜋 (a cada 2𝜋, a 
imagem P tem o mesmo valor) 
• A variação do seguimento de reta 𝑂𝑆 possui imagem 
variando entre maior que 1 ou menor que -1, mas 
nunca dentro desse intervalo e pode ser expressa 
pela função secante: 
𝑓 𝑥 = 𝑠𝑒𝑐𝑎𝑛𝑡𝑒 𝑥 
 
 
Ciclo trigonométrico 
Função Secante 
MKT-MDL-05 
Versão 00 
 
• Dado um número real x, cuja imagem no ciclo é P, dá-se o 
nome de cossecante de x à distância, no eixo dos senos (v), 
do centro O à intercessão (C) da reta que tangencia o ciclo 
em P com o eixo dos senos; 
 
 
Ciclo trigonométrico 
Função Cossecante 
MKT-MDL-05 
Versão 00 
 
• OBS.: para valores de 𝑥 = 𝑘𝜋 a 
projeção da reta 𝑂𝑆 é paralela ao eixo 
das senos, portanto, nesses pontos, a 
secante é dita indefinida; 
Cossecante x = 𝑶𝑪 
• A variação do seguimento de reta 𝑂𝑆 possui imagem 
variando entre maior que 1 ou menor que -1, mas nunca 
dentro desse intervalo e pode ser expressa pela função 
secante: 
𝑓 𝑥 = 𝑐𝑜𝑠𝑠𝑒𝑐𝑎𝑛𝑡𝑒 𝑥 
 
 
Ciclo trigonométrico 
Função Cossecante 
MKT-MDL-05 
Versão 00 
 
Características da função cossecante: 
 
• Imagem no intervalo ]-1, 1[ 
• f(x) > 0 (Para x no 1º ou 2º quad) 
• f(x) < 0 (Para x no 3º ou 4º quad.) 
• Período de 2𝜋 (a cada 2𝜋, a imagem P 
tem o mesmo valor) 
Ciclo trigonométrico 
Função Cossecante 
MKT-MDL-05 
Versão 00 
 
Funções circularesÂngulos notáveis 
MKT-MDL-05 
Versão 00 
 
Os três ângulos mais 
utilizados (30°, 45° e 
60°) são conhecidos 
como ângulos notáveis; 
Seus correspondentes nos 
quadrantes 2, 3 e 4 
podem ser expressos em 
termos desses ângulos, 
através de uma redução 
ao 1° quadrante; 
 
 
 
 
 
Funções circulares 
Relações fundamentais 
• Devido às relações no ciclo 
trigonométrico, encontradas através 
das relações dos triângulos retângulos, 
são definidas as primeiras relações 
fundamentais: 
 
𝑡𝑎𝑛𝑔𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑥 =
𝑠𝑒𝑛𝑜 (𝑥)
𝑐𝑜𝑠𝑠𝑒𝑛𝑜 (𝑥)
 
 
𝑠𝑒𝑛𝑜2 𝑥 + 𝑐𝑜𝑠𝑠𝑒𝑛𝑜2 𝑥 = 1 
 
• Esta última pode ser escrita poiso ciclo 
trigonométrico possui raio 1. 
MKT-MDL-05 
Versão 00 
 
Funções circulares 
Relações fundamentais 
• As funções secante, cossecante e cotangente, podem 
ser entendidas como funções inversas das funções 
cosseno, seno e tangente, de forma que é possível 
escrever as seguintes relações: 
 
𝑠𝑒𝑐𝑎𝑛𝑡𝑒 𝑥 = 
1
𝑐𝑜𝑠𝑠𝑒𝑛𝑜 (𝑥)
 
 
𝑐𝑜𝑠𝑠𝑒𝑐𝑎𝑛𝑡𝑒 𝑥 =
1
𝑠𝑒𝑛𝑜(𝑥)
 
 
 𝑐𝑜𝑡𝑎𝑛𝑔𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑥 =
1
𝑡𝑎𝑛𝑔𝑒𝑛𝑡𝑒 (𝑥)
 𝑜𝑢 𝑐𝑜𝑡𝑎𝑔𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑥 =
𝑐𝑜𝑠𝑠𝑒𝑛𝑜(𝑥)
𝑠𝑒𝑛𝑜 (𝑥)
 
 
MKT-MDL-05 
Versão 00 
 
Funções circulares 
Relações fundamentais 
• Existem ainda mais duas relações, obtidas através das 
divisões de: 
 
• 𝑠𝑒𝑛𝑜2 𝑥 + 𝑐𝑜𝑠𝑠𝑒𝑛𝑜2 𝑥 = 1 por 𝑐𝑜𝑠𝑠𝑒𝑛𝑜2(𝑥) encontra-se: 
 
𝑡𝑎𝑛𝑔𝑒𝑛𝑡𝑒2 𝑥 = 𝑠𝑒𝑐𝑎𝑛𝑡𝑒2 𝑥 − 1 
 
• 𝑠𝑒𝑛𝑜2 𝑥 + 𝑐𝑜𝑠𝑠𝑒𝑛𝑜2 𝑥 = 1 por 𝑠𝑒𝑛𝑜2(𝑥) encontra-se: 
 
𝑐𝑜𝑡𝑎𝑛𝑔𝑒𝑛𝑡𝑒2 𝑥 = 𝑐𝑜𝑠𝑠𝑒𝑐𝑎𝑛𝑡𝑒2 𝑥 − 1 
 
 
 
 
 
MKT-MDL-05 
Versão 00 
 
Funções circulares 
Fórmulas de adição 
• Sendo P, Q e R as imagens dos 
números a, a + b e –b, 
respectivamente, esses pontos 
possuem coordenadas: 
 
 P (cosseno (a), seno (a)) 
 Q (cosseno (a + b), seno (a+b)) 
 R (cosseno (b), - seno (b)) 
 
• E os arcos AQ e RP possuem a 
mesma medida. 
 
 
 
 
 
 
 
MKT-MDL-05 
Versão 00 
 
Funções circulares 
Fórmulas de adição 
MKT-MDL-05 
Versão 00 
 
• Aplicando a fórmula da distância 
entre dois pontos da Geometria 
Analítica, tem-se, para AQ: 
𝑑𝐴𝑄
2 = (𝑋𝑄 − 𝑋𝐴)
2+(𝑌𝑄 − 𝑌𝐴)
2 
• E para RP: 
𝑑𝑅𝑃
2 = (𝑋𝑃 − 𝑋𝑅)
2+(𝑌𝑃 − 𝑌𝑅)
2 
• Da igualdade 𝑑𝐴𝑄
2 = 𝑑𝑅𝑃
2
 encontra-
se a fórmula da soma de dois 
cossenos: 
cos 𝑎 + 𝑏 = 𝑐𝑜𝑠 𝑎 ∙ cos 𝑏 − 𝑠𝑒𝑛 𝑎 ∙ 𝑠𝑒𝑛 𝑏 
• Fazendo 𝑏 = − 𝑏 na equação da soma, encontra-se a 
equação da diferença entre dois cossenos: 
 
cos 𝑎 − 𝑏 = 𝑐𝑜𝑠 𝑎 ∙ cos 𝑏 + 𝑠𝑒𝑛 𝑎 ∙ 𝑠𝑒𝑛 𝑏 
 
• Isolando o valor do cosseno na relação fundamental 
𝑠𝑒𝑛𝑜2 𝑥 + 𝑐𝑜𝑠𝑠𝑒𝑛𝑜2 𝑥 = 1 e substituindo este valor na 
equação de adição de cossenos, encontra-se a fórmula 
para adição de senos: 
 
𝑠𝑒𝑛 a + b = sen a ∙ cos 𝑏 + 𝑠𝑒𝑛 𝑏 ∙ cos 𝑎 
 
Funções circulares 
Fórmulas de adição 
MKT-MDL-05 
Versão 00 
 
• Fazendo 𝑏 = − 𝑏 na equação da soma dos senos, 
encontra-se a equação da diferença: 
 
𝑠𝑒𝑛 a − b = sen a ∙ cos 𝑏 − 𝑠𝑒𝑛 𝑏 ∙ cos 𝑎 
 
• Pela relação fundamental 𝑡𝑎𝑛𝑔𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑥 =
𝑠𝑒𝑛𝑜 (𝑥)
𝑐𝑜𝑠𝑠𝑒𝑛𝑜 (𝑥)
 
encontra-se a tangente da soma e da diferença: 
 
𝑡𝑔 𝑎 + 𝑏 =
𝑠𝑒𝑛 (𝑎 + 𝑏)
cos(𝑎 + 𝑏)
= 
𝑡𝑔 𝑎 + 𝑡𝑔 𝑏
1 − 𝑡𝑔 𝑎 ∙ 𝑡𝑔 𝑏
 
 
𝑡𝑔 𝑎 − 𝑏 =
𝑠𝑒𝑛 (𝑎 − 𝑏)
cos(𝑎 − 𝑏)
= 
𝑡𝑔 𝑎 − 𝑡𝑔 𝑏
1 + 𝑡𝑔 𝑎 ∙ 𝑡𝑔 𝑏
 
 
 
 
Funções circulares 
Fórmulas de adição 
MKT-MDL-05 
Versão 00 
 
• Como a cotangente é o inverso da tangente, é possível 
escrever co𝑡𝑎𝑛𝑔𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑥 =
𝑐𝑜𝑠𝑠𝑒𝑛𝑜 (𝑥)
𝑠𝑒𝑛𝑜 (𝑥)
; 
• Através dessa relação é possível calcular a cotangente 
da soma e da diferença: 
 
𝑐𝑜𝑡𝑔 𝑎 + 𝑏 =
𝑐𝑜𝑠𝑠𝑒𝑛𝑜(𝑎 + 𝑏)
𝑠𝑒𝑛𝑜 (𝑎 + 𝑏)
=
𝑐𝑜𝑡𝑔 𝑎 ∙ 𝑐𝑜𝑡𝑔 𝑏 − 1
𝑐𝑜𝑡𝑔 𝑎 + 𝑐𝑜𝑡𝑔 𝑏
 
 
𝑐𝑜𝑡𝑔 𝑎 − 𝑏 =
𝑐𝑜𝑠𝑠𝑒𝑛𝑜(𝑎 − 𝑏)
𝑠𝑒𝑛𝑜 (𝑎 − 𝑏)
=
𝑐𝑜𝑡𝑔 𝑎 ∙ 𝑐𝑜𝑡𝑔 𝑏 + 1
𝑐𝑜𝑡𝑔 𝑏 − 𝑐𝑜𝑡𝑔 𝑎
 
 
Funções circulares 
Fórmulas de adição 
MKT-MDL-05 
Versão 00 
 
Funções circulares 
Fórmulas de multiplicação 
MKT-MDL-05 
Versão 00 
 
• Fazendo 2a = a + a nas fórmulas de adição, é possível 
encontrar equações de multiplicação de um escalar 
igual a 2 por um ângulo: 
 
cos 2𝑎 = 𝑐𝑜𝑠2𝑎 − 𝑠𝑒𝑛2𝑎 
cos 2𝑎 = 2 ∙ 𝑐𝑜𝑠2𝑎 − 1 
cos 2𝑎 = 1 − 2 ∙ 𝑠𝑒𝑛2𝑎 
 
𝑠𝑒𝑛 2𝑎 = 2 ∙ 𝑠𝑒𝑛 𝑎 ∙ cos 𝑎 
 
𝑡𝑔 2𝑎 = 
2∙𝑡𝑔 𝑎
1−𝑡𝑔2𝑎
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Funções circulares 
Fórmulas de multiplicação 
MKT-MDL-05 
Versão 00 
 
• Fazendo 3a = 2a + a, é possível encontrar equações de 
multiplicação de um escalar igual a 3 por um ângulo: 
 
 
cos 3𝑎 = 4 ∙ 𝑐𝑜𝑠3𝑎 − 3 ∙ cos 𝑎 
 
𝑠𝑒𝑛 3𝑎 = 3 ∙ 𝑠𝑒𝑛 𝑎 − 4 ∙ 𝑠𝑒𝑛3𝑎 
 
𝑡𝑔 3𝑎 = 
3 ∙ 𝑡𝑔 𝑎 − 𝑡𝑔3𝑎
1 − 3 ∙ 𝑡𝑔2𝑎
 
 
 
 
 
 
 
 
Funções 
 
FUNÇÕES EXPONENCIAIS 
Ela não deve ser confundida com a função potência 𝑔 𝑥 = 𝑥2, na 
qual a variável é a base. 
• Em geral, uma função exponencial é uma função da forma: 
𝑓 𝑥 = 𝑎𝑥 
 . 
 
A função 𝑓 𝑥 = 2𝑥 é chamada função exponencial, pois a 
variável, 𝑥, é o expoente. 
onde a é uma constante positiva 
Gráfico da função exponencial. 
Três tipos básicos de função exponencial 
Propriedades das funções exponenciais 
Gráfico da função exponencial. 
A escolha de uma base a é influenciada pela maneira que o 
gráfico de 𝑦 = 𝑎𝑥 cruza o eixo 𝑦. 
Dentre todas as bases possíveis para uma função 
exponencial, há uma que é mais conveniente para os 
propósitos do cálculo. A base 𝒆. 
As fórmulas do Cálculo ficam 
muito simplificadas quando 
escolhemos como base a aquela 
para a qual resulta uma reta 
tangente a 𝑦 = 𝑎𝑥 em (0,1) com 
inclinação de exatamente 1. 
 
Isso acontece no número 
𝑒 ≈ 2,71828 
A escolha de uma base a é influenciada pela maneira que o 
gráfico de 𝑦 = 𝑎𝑥 cruza o eixo 𝑦. 
Dentre todas as bases possíveis para uma função 
exponencial, há uma que é mais conveniente para os 
propósitos do cálculo. A base 𝒆. 
As fórmulas do Cálculo ficam 
muito simplificadas quando 
escolhemos como base a aquela 
para a qual resulta uma reta 
tangente a 𝑦 = 𝑎𝑥 em (0,1) com 
inclinação de exatamente 1. 
 
Isso acontece no número 
𝑒 ≈ 2,71828 
Funções 
 
FUNÇÕES LOGARÍTMICAS 
Funções 
• A função logarítmica é a inversa da função exponencial A função exponencial apresenta inversa contanto que 𝑎 > 0 e 𝑎 ≠ 1 
chamada função logarítmica com base 𝑎 e denotada por log 𝑎. 
Aplicando a definição de inversa, 
encontramos a seguinte definição para 
o logaritmo 𝑦 de um número 𝑥 em uma 
base 𝑎. 
Funções 
• A função logarítmica é a inversa da função exponencial A função exponencial apresenta inversa contanto que 𝑎 > 0 e 𝑎 ≠ 1 
chamada função logarítmica com base a e denotada por log 𝑎. 
Aplicando a definição de inversa, 
encontramos a seguinte definição para 
o logaritmo 𝑦 de um número 𝑥 em uma 
base 𝑎. 
O logaritmo na base e é chamado de logaritmo natural (ou 
neperiano) e apresenta notação especial. 
Dentre todas as bases possíveis bases a para os logaritmos a 
escolha mais conveniente, é a base 𝒆. 
O logaritmo na base e é chamado de logaritmo natural (ou 
neperiano) e apresenta notação especial. 
Dentre todas as bases possíveis bases a para os logaritmos a 
escolha mais conveniente, é a base 𝒆. 
Se fizermos 𝑎 = 𝑒 e substituirmos log 𝑒 por “ln” obtemos as 
propriedades que definem a função logaritmo natural. 
Referências• IEZZI, Gelson; DOLCE, 
Osvaldo; DEGENSZAJN, David; 
PÉRIGO, Roberto; 
Matemática Volume Único. 
5ª Edição. Editora Atual, São 
Paulo, 2006. 
• STEWART, James. Cálculo 
Volume 1. 7ª Ed. 2013. 
Editora CENGAGE Learning.