MATEMÁTICA-REVISÃO-2 ANO

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MATEMÁTICA: 
 
TEMAS: 
1. Matrizes, 
2. Sistemas, 
3. Arcos na circunferência, 
4. Ciclo trigonométrico, 
5. Funções trigonométricas, 
6. Probabilidade, 
7. Área e Volume de Sólidos - Geometria espacial, 
Princípio Fundamental da Contagem. 
Tema 1 → Matrizes 
O que é? 
Matriz é uma tabela organizada em linhas e colunas no formato m x n, onde m 
representa o número de linhas (horizontal) e n o número de colunas (vertical). 
 
Elementos? 
As matrizes organizam os elementos de maneira lógica para facilitar a consulta 
das informações. 
Uma matriz qualquer, representada por m x n, é composta por elementos a​ij​, 
em que i representa o número da linha e j o número da coluna que localizam o 
valor. 
 
Tipos de matriz? 
 
MATRIZ LINHA: 
 
Matriz de uma linha. 
Exemplo: Matriz linha 1 x 2. 
 
MATRIZ COLUNA: 
 
 
 
MATRIZ NULA: 
 
 
 
 
MATRIZ QUADRADA: 
 
 
MATRIZ IDENTIDADE: 
 
Os elementos da diagonal principal são iguais a 1 e os demais elementos são 
iguais a zero. 
Exemplo: Matriz identidade 3 x 3. 
Matriz de uma coluna. 
Exemplo: Matriz coluna 2 x 1. 
 
Matriz de elementos iguais a zero. 
Exemplo: Matriz nula 2 x 3. 
 
Matriz com igual número de linhas e colunas. 
Exemplo: Matriz quadrada 2 x 2. 
 
 
MATRIZ INVERSA: 
Uma matriz quadrada B é inversa da matriz quadrada A quando a multiplicação 
das duas matrizes resulta em uma matriz identidade I​n​, ou seja, 
. 
Exemplo: A matriz inversa de B é B​-1​. 
 
A multiplicação das duas matrizes resulta em uma matriz identidade, I​n​. 
 
 
MATRIZ TRANSPOSTA: 
É obtida com a troca ordenada das linhas e colunas de uma matriz conhecida. 
Exemplo: B​t​ é a matriz transposta de B. 
 
MATRIZ OPOSTA OU SIMÉTRICA: 
É obtida com a troca de sinal dos elementos de uma matriz conhecida. 
Exemplo: – A é a matriz oposta de A. 
 
A soma de uma matriz com a sua matriz oposta resulta em uma matriz nula. 
OPERAÇÕES ENTRE MATRIZES? 
ADIÇÃO: 
Uma matriz é obtida pela soma dos elementos de matrizes do mesmo tipo. 
Exemplo: A soma entre os elementos da matriz A e B produz uma matriz C. 
 
Propriedades 
● Comutativa: 
● Associativa: 
● Elemento oposto: 
● Elemento neutro: , se 0 for uma matriz nula de mesma 
ordem que A. 
SUBTRAÇÃO: 
Uma matriz é obtida pela subtração dos elementos de matrizes de mesmo tipo. 
Exemplo: A subtração entre elementos da matriz A e B produz uma matriz C. 
 
Neste caso, realizamos a soma da matriz A com a matriz oposta de B, pois 
. 
MULTIPLICAÇÃO: 
 
A multiplicação de duas matrizes, A e B, só é possível se o número de colunas de A 
for igual ao número de linhas de B, ou seja, . 
Exemplo: Multiplicação entre a matriz 3 x 2 e a matriz 2 x 3. 
 
Propriedades 
● Associativa: 
● Distributiva à direita: 
● Distributiva à esquerda: 
● Elemento neutro: , onde I​n​ é a matriz identidade 
 
MULTIPLICAÇÃO POR UM NÚMERO REAL: 
 
Obtém-se uma matriz onde cada elemento da matriz conhecida foi multiplicado pelo 
número real. 
Exemplo: 
 
Propriedades 
Utilizando números reais, ​m​ e ​n​, para multiplicar matrizes do mesmo tipo, A e B, 
temos as seguintes propriedades: 
● 
● 
● 
● 
 
DETERMINANTE? 
DE ORDEM 1: 
Uma matriz quadrada de ordem 1 possui apenas uma linha e uma coluna. Sendo 
assim, o determinante corresponde ao próprio elemento da matriz. 
Exemplo: O determinante da matriz é 5. 
 
 
DE ORDEM 2: 
Uma matriz quadrada de ordem 2 possui duas linhas e duas colunas. Uma matriz 
genérica é representada por: 
 
A diagonal principal corresponde aos elementos a​11​ e a​22​. Já a diagonal secundária 
tem os elementos a​12​ e a​21​. 
O determinante da matriz A pode ser calculado da seguinte forma: 
 
Exemplo: O determinante da matriz M é 7. 
 
DE ORDEM 3: 
Uma matriz quadrada de ordem 3 possui três linhas e três colunas. Uma matriz 
genérica é representada por: 
 
O determinante da matriz 3 x 3 pode ser calculado utilizando a ​Regra de Sarrus​. 
 
Exercício resolvido​: Calcule o determinante da matriz C. 
 
https://www.todamateria.com.br/regra-de-sarrus/
1º passo: Escrever os elementos das duas primeiras colunas ao lado da matriz. 
 
2º passo: Multiplicar os elementos das diagonais principais e somá-los. 
 
O resultado será: 
 
3º passo: Multiplicar os elementos das diagonais secundárias e trocar o sinal. 
 
O resultado será: 
 
4º passo: Juntar os termos e resolver as operações de adição e subtração. O 
resultado é o determinante. 
 
Quando a ordem de uma matriz quadrada é superior a 3, geralmente, utiliza-se o 
Teorema de Laplace​ para calcular o determinante. 
Vídeo aula de matrizes 
Vídeo aula de determinante 
 
Tema 2 → Sistemas Lineares 
O QUE É? 
Sistemas lineares​ é um conjunto de equações 
lineares, com ​m​ equações e ​n​ incógnitas. A solução 
de um sistema linear é a solução de todas as 
equações lineares. 
Equação linear ​é qualquer equação da forma: ​a​1​x​1​ + 
a​2​x​2 ​+ a​3​x​3​ + … + a​n​x​n​ = b​ onde ​a​1,​ a​2, ​ a​3,​ …, a​n​ são 
números reais e ​b​ é um termo independente. Caso ​b 
= 0​, a equação é chamada de linear homogênea. 
Exemplo​: ​2x​1​ + 5x​2​ – x​3​ + 3x​4​ = -2 
Forma? 
Um sistema linear é formado por um ​conjunto de 
equações lineares​ e tem a seguinte forma: 
https://www.todamateria.com.br/teorema-de-laplace/
https://youtu.be/ktr4wfXi9xg
https://youtu.be/iXUGadXsBd0
https://matematicabasica.net/sistema-de-equacoes/
https://matematicabasica.net/sistema-de-equacoes/
 
Cuja solução pertence aos números reais e o 
conjunto solução do sistema é solução de todas as 
equações lineares do sistema. 
Exemplo​: 
 
 
SOLUÇÃO? 
O conjunto ordenado dos números (​a​1​, a​2​, a​3​, …, a​n​) 
é solução do sistema linear nas incógnitas ​x​1​, x​2​, x​3​, 
…, x​n​, para ​x​1​ = a​1​, x​2​ = a​2​, …, x​n​ = a​n​, então as 
equações do sistema são verdadeiras. 
 
MATRIZ E UM SISTEMA LINEAR? 
Podemos associar a um sistema linear algumas 
matrizes, onde os seus coeficientes ocuparão linhas 
e colunas da matriz. 
Seja o sistema: 
 
Matriz incompleta:​ formada apenas pelos coeficientes do sistema. 
Exemplo​: 
 
Matriz completa:​ formada pelos coeficientes do sistema mais os temos 
independentes. 
Exemplo​: 
 
 
EQUAÇÃO MATRICIAL? 
A equação matricial de um sistema linear é formada 
pelos coeficientes das equações, pelas variáveis e 
pelos termos independentes após a igualdade. 
 
A solução para o sistema que forma essa equação 
linear é encontrar valores para as variáveis ​x​ e ​y​. 
 
CLASSIFICAÇÕES? 
Os sistemas lineares são classificados de acordo 
com o número de soluções apresentados por ele. 
Assim, os sistemas lineares podem ser 
classificados como: 
● SPD – Sistema Possível e Determinado – possui uma única 
solução. 
● SPI – Sistema Possível e Indeterminado – possui infinitas 
soluções. 
● SI – Sistema Impossível – não possui solução. 
O fluxograma a seguir mostra como as soluções 
dos sistemas são divididas: 
 
COMO SABER SE O SISTEMA TEM SOLUÇÃO? 
Para sabermos se um sistema possui solução, basta 
calcularmos o ​determinante​ da matriz associada ao 
sistema, assim: 
● SPD (Sistema Possível e Determinado): se o determinante for 
diferente de zero; 
● SPI (Sistema Possível e Indeterminado) se o determinante for 
igual a zero; 
● SI (Sistema Impossível) se o determinante principal for igual a zero 
e o determinante secundário for diferente de zero. 
COMO RESOLVER OS SISTEMAS LINEARES? 
Existem diferentes formas para a resolução de 
sistemas, no entanto vamos mostrar apenas duas: 
Regra de Cramer​ e ​Escalonamento​. 
 
REGRA DE CRAMER: 
A Regra de Cramer é utilizada na resolução de 
sistemas SPD (sistemas possíveis e determinados). 
Tem os seguintes passos: 
Para calcular o determinante principal, formamos 
uma matriz com os coeficientes das variáveis; 
https://matematicabasica.net/matrizes-e-determinantes/
 
Para calcular os determinantes secundários, 
substituímos as colunas das variáveis pela coluna do 
termo independente; 
 
Obtemosas soluções para o sistema pela fórmula: 
 
Exemplo​: 
Considere o sistema: 
 
Então, o determinante principal é: 
 
[3 . 3 . (-2)] + [2 . 1 . 2] + [(-1) . 1 . 2] – [2 . 1 . (-2)] – 
[3 . 1 . 2] – [(-1) . 3 . 2] = -18 + 4 – 2 + 4 – 6 + 6 = -12 
Os determinantes secundários são: 
 
[0 . 3 . (-2)] + [2 . 1 . 2] + [(-1) . 1 . 2] – [2 . 1 . (-2)] – 
[0 . 1 . 2] – [(-1) . 3 . 2] = 0 + 4 – 2 + 4 – 0 + 6 = 12 
 
[3 . 1 . (-2)] + [0 . 1 . 2] + [(-1) . 1 . 2] – [0 . 1 . (-2)] – 
[3 . 1 . 2] – [(-1) . 1 . 2] = – 6 + 0 – 2 – 0 – 6 + 2 = -12 
 
[3 . 3 . 2] + [2 . 1 . 2] + [0 . 1 . 2] – [2 . 1 . 2] – [3 . 1 . 
2] – [0 . 3 . 2] = 18 + 4 + 0 – 4 – 6 – 0 = 12 
Para calcular o determinante utilizamos a ​Regra de 
Sarrus​ para matrizes quadradas de ordem 3. 
Logo, 
 
A solução do sistema é (​-1, 1, -1​). 
 
ESCALONAMENTO: 
Escalonar um sistema é uma forma de resolvê-lo 
transformando o sistema em outro equivalente que 
possua uma resolução mais fácil. Os passos para 
escalonar um sistema são: 
1.Somar ou subtrair uma equação pela outra; 
2.Multiplicar uma das equações inteira por um 
número real diferente de zero; 
3.Trocar duas equações de posições entre si; 
https://matematicabasica.net/matrizes-e-determinantes/#determinantes-de-matriz-de-ordem-3
https://matematicabasica.net/matrizes-e-determinantes/#determinantes-de-matriz-de-ordem-3
4.Multiplicar um das equações por um número real 
e somá-la ou subtraí-la a outra; 
5.Dividir uma equação inteira por um número real 
diferente de zero. 
Seguindo esses passos podemos escalonar um 
sistema e encontrar os valores para as variáveis que 
resolvem o sistema. Este tipo de escalonamento é 
chamado de ​forma escalonada​ ou de ​redução à 
forma escada​, pois quando vamos escalonando um 
sistema, uma “escada” vai se formando. 
Observação​: os passos indicados acima não 
precisam ser executados necessariamente nessa 
ordem, nem executar todos os passos. É apenas um 
norte a ser seguido. 
Exemplo​: 
Considere o sistema abaixo: 
 
Para fazermos o escalonamento devemos 
transformar o sistema acima em uma matriz. Assim, 
pegamos os valores dos coeficientes e do termo 
independente após a igualdade. 
 
Com a matriz montada, o primeiro passo é fazer uma 
operação (adição, subtração, multiplicação ou 
divisão) que anula pelo menos um elemento da 
matriz. 
Ao analisar a matriz, percebe-se que se subtrairmos 
a linha 2 com a linha 1, anulamos um elemento. O 
resultado dessa subtração é colocado na linha 2, 
como mostra ​L’​2​ do lado direito da matriz abaixo: 
 
Próximo passo, anulamos mais um elemento 
subtraindo a linha 3 pelo dobro da linha 1, colocando 
o resultado na linha 3. Veja: 
 
Agora, se somarmos a linha 2 com a linha 3, 
anulamos mais um elemento. 
 
A diagonal principal não pode ser nula, então temos 
que transformar o número 2 em 1, para isso basta 
dividirmos a linha 3 por 2. Veja: 
 
Neste passo já temos a forma escalonada, aqui já é 
possível encontrar os valores das variáveis ​x​, ​y​ e ​z​. 
Fazendo a substituição nas equações do sistema, 
pois já sabemos que a variável z é igual a 1. 
 
Vamos prosseguir para ver o processo até o final. O 
intuito agora é anularmos os elementos acima da 
diagonal principal. 
 
Perceba que se subtrairmos a linha 2 com a linha 3, 
anulamos um elemento. Veja: 
 
Continuando, vamos anular mais um elemento que 
não está na diagonal principal, para isso devemos 
subtrair a linha 1 com a linha 3. 
 
Por fim, vamos anular o último elemento que não 
está na diagonal principal. Então subtraímos a linha 1 
pela linha 2. 
 
Portanto, essa é a matriz escalonada. Os valores 
encontrados no termo independente são os valores 
que atribuídos as variáveis ​x​, ​y​ e ​z​ formam o 
conjunto solução do sistema. A matriz abaixo é a 
escalonação ​reduzida à forma escada​. 
 
Montando o sistema novamente, temos um sistema 
equivalente fácil de resolver: 
 
Assim, ​x = 3​, ​y = 2​ e ​z = 1​. 
 
Vídeo aula de regra de Cramer 
Vídeo aula de sistemas lineares 
Vídeo aula de escalonamento 
Tema 3 → arcos na cir​cunferência 
 Introdução? 
Na determinação dos arcos de uma circunferência podemos ter dois tipos de 
medições: a linear e a angular. A medida linear de um arco qualquer é a 
distância entre dois pontos A e B, postulados na extremidade da 
circunferência. Observe: 
 
https://youtu.be/-tdj_vMekdg
https://youtu.be/7csw_j35F5A
https://youtu.be/40LjiTXFuyY
Com base na ilustração notamos que a medida do arco AB é igual à medida 
da reta EF (arco esticado), e a medida angular do arco AB corresponde à 
medida do ângulo central do arco, ou seja, a medida angular do arco AB é a 
mesma medida do ângulo central: ​m(AB) = m(AÔB)​. Para representar a 
medida angular de arcos de circunferência utilizamos as seguintes unidades: 
grau e radiano​. 
 
unidades? 
Graus 
 
A medida em graus de uma circunferência consiste em dividi-lá em 360 partes 
congruentes entre si, dessa forma, cada parte equivalerá a um arco de 
medida igual a 1º (um grau). Se dividirmos esse arco de 1º em 60 partes 
teremos cada parte medindo 1’(um minuto) e esse arco de 1’ minuto dividido 
em 60 partes iguais formam arcos correspondentes a 1” (um segundo). Assim, 
concluímos que: 1º = 60’ e 1’= 60”. 
 
Radianos 
 
Outra unidade de medida de arcos muito usual é o radiano, que consiste no 
arco cujo comprimento é igual à medida do raio da circunferência que o 
contém. Por exemplo, um arco de 3 rad corresponde ao arco de comprimento 
igual a 3 raios da circunferência, veja: 
 
Comprimento AB = 3r ​→​ m(AB) = m(AÔB) = 3 rad 
Ao dividirmos o comprimento do arco (l) de uma circunferência pelo seu raio 
(r), determinamos a medida do ângulo central em radianos. 
 
 
relação? 
Existe uma relação entre as medidas em grau e radiano, podemos destacar a 
seguinte relação: 
 
360º → 2π radianos (aproximadamente 6,28) 
180º → π radiano (aproximadamente 3,14) 
90º → π/2 radiano (aproximadamente 1,57) 
45º → π/4 radiano (aproximadamente 0,785) 
 
As medidas de arcos de circunferências em graus e em radianos são 
diretamente proporcionais, dessa forma podemos realizar as conversões 
utilizando uma regra de três simples: 
 
 
Exemplo: 
Faça as seguintes transformações: 
a) 100º em radianos 
b) 7π/15 rad em graus 
Medida 
em graus 
Medida em 
radianos 
x α 
180 π 
 
arcos? 
Arco de uma circunferência é, de uma maneira mais formal, uma parte do 
comprimento de uma circunferência que é delimitado por dois pontos 
quaisquer que pertence à circunferência. Veja como é feita essa 
representação: 
 
Considere uma circunferência de centro P e com A e B pontos pertencentes a 
essa circunferência: 
 
 
 
As partes delimitadas da circunferência pelos pontos A e B são chamadas de 
arcos da circunferência. Esses arcos possuem medidas de comprimentos. 
Dois pontos quaisquer pertencentes a uma circunferência formam dois arcos. 
 
 
 
O arco de medida x é representado por e . 
 
O arco de medida y é representado por . 
 
Sabemos que um arco de circunferência é delimitado por dois pontos que 
pertencem à circunferência, se esses pontos forem iguais, ou seja, estiverem 
localizados no mesmo lugar na circunferência, o arco será nulo ou de uma 
volta completa. 
 
 
Ângulo central? 
 
Todo ângulo é formado pela abertura de dois segmentos de reta. O ângulo 
central é formado por duas retas que partem do centro e vão de encontro com 
os dois pontos da circunferência. A abertura dessas duas retas determina a 
medida do ângulo. 
 
 
 
 
 
 
 
O arco subtende o ângulo central , formado pelos segmentos de reta 
AP e PB, 
ou seja: 
 
med ( ) = med ( ). 
 
Vídeo aula de arcos na circunferência 
Vídeo aula de comprimento de um arco 
 
https://youtu.be/24Vklpl4EgU
https://youtu.be/KnZY0jrk6pQ
Tema 4 → ciclo trigonométrico 
 
o que é? 
 
O ​Círculo Trigonométrico​, também chamado de Ciclo ou Circunferência 
Trigonométrica, é uma representação gráfica que auxilia no cálculo das razões 
trigonométricas.​Deacordo com a simetria do círculo trigonométrico temos que o eixo 
vertical corresponde ao ​seno ​e o eixo horizontal ao ​cosseno​. Cada ponto dele está 
associado aos valores dos ângulos.] 
Ângulos notáveis? 
hamamos de ​ângulos notáveis​ aqueles mais conhecidos (30°, 45° e 60°). As 
razões trigonométricas mais importantes são seno, cosseno e tangente: 
Relações Trigonométricas 30° 45° 60° 
Seno 1/2 √2/2 √3/2 
Cosseno √3/2 √2/2 1/2 
Tangente √3/3 1 √3 
RADIANOS? 
A medida de um arco no círculo trigonométrico pode ser dada em grau (°) ou radiano 
(rad). 
● 1°​ corresponde a 1/360 da circunferência. A circunferência é dividida em 360 
partes iguais ligadas ao centro, sendo que cada uma delas apresenta um 
ângulo que corresponde a 1°. 
● 1 radiano​ corresponde à medida de um arco da circunferência, cujo 
comprimento é igual ao raio da circunferência do arco que será medido. 
 
Figura do Círculo Trigonométrico dos ângulos expressos em graus e radianos 
Para auxiliar nas medidas, confira abaixo algumas relações entre graus e radianos: 
● π rad = 180° 
● 2π rad = 360° 
● π/2 rad = 90° 
● π/3 rad = 60° 
● π/4 rad = 45° 
Obs​: Se quiser converter essas unidades de medidas (grau e radiano) utiliza-se a 
regra de três​. 
Exemplo​: Qual a medida de um ângulo de 30° em radianos? 
π rad -180° 
x – 30° 
x = 30° . π rad/180° 
x = π/6 rad 
quadrantes? 
Quando dividimos o círculo trigonométrico em quatro partes iguais, temos os ​quatro 
quadrantes​ que o constituem. Para compreender melhor, observe a figura abaixo: 
https://www.todamateria.com.br/regra-de-tres-simples-e-composta/
 
● 1.° Quadrante​: 0º 
● 2.° Quadrante​: 90º 
● 3.° Quadrante​: 180º 
● 4.° Quadrante​: 270º 
sinais? 
De acordo com o quadrante em que está inserido, os valores do seno, cosseno e 
tangente variam. 
Ou seja, os ângulos podem apresentar um valor positivo ou negativo. 
Para compreender melhor, veja a figura abaixo: 
 
 
 
 
 
com fazer? 
Para fazer um círculo trigonométrico, devemos construí-lo sobre o eixo de 
coordenadas cartesianas com centro em O. Ele apresenta um raio unitário e os 
quatro quadrantes. 
 
 
razões trigonométricas? 
As ​razões trigonométricas​ estão associadas às medidas dos ângulos de um 
triângulo retângulo. 
 
Representação do triângulo retângulo com seus catetos e a hipotenusa 
Elas são definidas pelas razões de dois lados de um triângulo retângulo e do ângulo 
que forma, sendo classificadas em ​seis maneiras​: 
Seno (sen) 
 
Lê-se cateto oposto sobre a hipotenusa. 
Cosseno (cos) 
 
Lê-se cateto adjacente sobre a hipotenusa. 
https://www.todamateria.com.br/razoes-trigonometricas/
Tangente (tan) 
 
Lê-se cateto oposto sobre cateto adjacente. 
Cotangente (cot) 
 
Lê-se cosseno sobre seno. 
Cossecante (csc) 
 
Lê-se um sobre seno. 
Secante (sec) 
 
Lê-se um sobre cosseno 
Vídeo aula de ciclo trigonométrico 
 
 
 
https://youtu.be/OPsqOAgxR4g
Tema 5 → funções trigonométricas 
O que é? 
As funções trigonométricas, também chamadas de ​funções circulares​, estão 
relacionadas com as demais voltas no ciclo trigonométrico. 
As​ principais funções trigonométricas​ são: 
● Função Seno 
● Função Cosseno 
● Função Tangente 
No ​círculo trigonométrico​ temos que cada número real está associado a um ponto 
da circunferência. 
 
funções periódicas? 
As funções periódicas são funções que possuem um ​comportamento periódico​. 
Ou seja, que ocorrem em determinados intervalos de tempo. 
O ​período ​corresponde ao menor intervalo de tempo em que acontece a repetição 
de determinado fenômeno. 
Uma função f: A → B é periódica se existir um número real positivo ​p​ tal que 
f(x) = f (x+p), ∀ x ∈ A 
O menor valor positivo de ​p​ é chamado de período de ​f​. 
Note que as funções trigonométricas são exemplos de funções periódicas visto que 
apresentam certos fenômenos periódicos. 
Função seno? 
A função seno é uma função periódica e seu período é ​2π​. Ela é expressa por: 
função f(x) = sen x 
No círculo trigonométrico, o ​sinal da função seno​ é positivo quando ​x ​pertence ao 
primeiro e segundo quadrantes. Já no terceiro e quarto quadrantes, o sinal é 
negativo. 
 
Além disso, no primeiro e quarto quadrantes a função ​f​ é ​crescente​. Já no segundo 
e terceiro quadrantes a função ​f​ é ​decrescente​. 
O ​domínio ​e o​ contradomínio​ da função seno são iguais a R. Ou seja, ela está 
definida para todos os valores reais: Dom(sen)=R. 
Já o conjunto da ​imagem​ ​da função​ seno corresponde ao intervalo real [-1, 1]: -1 ​< 
sen x ​<​ 1. 
Em relação à simetria, a função seno é uma​ função ímpar​: sen(-x) = -sen(x). 
O gráfico da função seno f(x) = sen x é uma curva chamada de ​senoide​: 
 
 
 
Função cosseno? 
A função cosseno é uma função periódica e seu período é ​2π​. Ela é expressa por: 
função f(x) = cos x 
No círculo trigonométrico, o ​sinal da função cosseno ​é positivo quando ​x ​pertence 
ao primeiro e quarto quadrantes. Já no segundo e terceiro quadrantes, o sinal é 
negativo. 
 
Além disso, no primeiro e segundo quadrantes a função ​f​ é ​decrescente​. Já no 
terceiro e quarto quadrantes a função ​f​ é ​crescente​. 
O ​domínio ​e o​ contradomínio​ da função cosseno são iguais a R. Ou seja, ela está 
definida para todos os valores reais: Dom(cos)=R. 
Já o conjunto da ​imagem​ ​da função​ cosseno corresponde ao intervalo real [-1, 1]: 
-1 ​<​ cos x ​<​ 1. 
Em relação à simetria, a função cosseno é uma ​função par​: cos(-x) = cos(x). 
O gráfico da função cosseno f(x) = cos x é uma curva chamada de ​cossenoide​: 
 
 
Função tangente? 
 
 
A função tangente é uma função periódica e seu período é ​π​. Ela é expressa por: 
função f(x) = tg x 
No círculo trigonométrico, o ​sinal da função tangente ​é positivo quando ​x ​pertence 
ao primeiro e terceiro quadrantes. Já no segundo e quarto quadrantes, o sinal é 
negativo. 
 
Além disso, a função ​f​ definida por f(x) = tg x é sempre ​crescente ​em todos os 
quadrantes do círculo trigonométrico. 
O ​domínio ​da função tangente é: Dom(tan)={x ∈ R│x ≠ de π/2 + kπ; K ∈ Z}. Assim, 
não definimos tg x, se x = π/2 + kπ. 
Já o conjunto da ​imagem da função​ tangente corresponde a R, ou seja, o conjunto 
dos números reais. 
Em relação à simetria, a função tangente é uma ​função ímpar​: tg(-x) = -tg(-x). 
O gráfico da função tangente f(x) = tg x é uma curva chamada de ​tangentoide​: 
 
Vídeo aula sobre funções trigonométricas 
Tema 6 → probabilidade 
Experimento aleatório 
É qualquer ​experiência cujo resultado não seja conhecido. Por 
exemplo: ao jogar uma moeda e observar a face superior, é 
impossível saber qual das faces da moeda ficará voltada para cima, 
exceto no caso em que a moeda seja viciada (modificada para ter 
um resultado mais frequentemente). 
Suponha que uma sacola de supermercado contenha maçãs 
verdes e vermelhas. Retirar uma maçã de dentro da sacola sem 
olhar também é um ​experimento​ ​aleatório​. 
Ponto amostral 
Um ​ponto ​amostral é qualquer resultado possível em um 
experimento ​aleatório​. Por exemplo: no lançamento de um dado, 
o resultado (o número que aparece na face superior) pode ser 1, 2, 
3, 4, 5 ou 6. Então, cada um desses números é um ponto amostral 
desse experimento. 
Espaço amostral 
O ​espaço amostral é o ​conjunto formado por todos os ​pontos 
amostrais de um ​experimento aleatório​, ou seja, por todos os 
seus resultados possíveis. Dessa maneira, o resultado de um 
experimento aleatório, mesmo que não seja previsível, sempre 
pode ser encontrado dentro do espaço amostral referente a ele. 
https://youtu.be/Jf579Sgn1BE
https://brasilescola.uol.com.br/matematica/conjunto.htm
Como os ​espaços ​amostrais são conjuntos de resultados 
possíveis, utilizamos as representações de conjuntos para esses 
espaços. Por exemplo: O espaço amostral referenteao 
experimento​ “lançamento de um dado” é o conjunto Ω, tal que: 
Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6} 
Esse ​conjunto também pode ser representado pelo ​diagrama de 
Venn​ ou, dependendo do experimento, por alguma lei de formação. 
O ​número ​de ​elementos dos espaços amostrais é representado 
por n(Ω). No caso do exemplo anterior, n(Ω) = 6. Lembre-se de que 
os elementos de um espaço amostral são ​pontos ​amostrais​, ou 
seja, resultados possíveis de um experimento aleatório. 
Evento 
Os eventos são subconjuntos de um ​espaço ​amostral​. Um ​evento 
pode conter desde zero a todos os resultados possíveis de um 
experimento aleatório, ou seja, o evento pode ser um conjunto 
vazio ou o próprio espaço amostral. No primeiro caso, ele é 
chamado de ​evento impossível​. No segundo, é chamado de ​evento 
certo​. 
Ainda no ​experimento ​aleatório do lançamento de um dado, 
observe os seguintes ​eventos​: 
A = Obter um número par: 
A = {2, 4, 6} e n(A) = 3 
B = Sair um número primo: 
B = {2, 3, 5} e n(B) = 3 
C = Sair um número maior ou igual a 5: 
C = {5, 6} e n(C)= 2 
D = Sair um número natural: 
https://brasilescola.uol.com.br/matematica/diagrama-de-venn.htm
https://brasilescola.uol.com.br/matematica/diagrama-de-venn.htm
D = {1, 2, 3, 4, 5, 6} e n(D) = 6 
Espaços equiprováveis 
Um espaço amostral é chamado ​equiprovável quando todos os 
pontos ​amostrais dentro dele têm a mesma chance de ocorrer. É 
o caso de lançamentos de dados ou de moedas não viciados, 
escolha de bolas numeradas de tamanho e peso idênticos etc. 
Um exemplo de ​espaço ​amostral que pode ser considerado ​não 
equiprovável é o formado pelo seguinte ​experimento​: escolher 
entre tomar sorvete ou fazer caminhada. 
Cálculo de probabilidades 
As ​probabilidades são calculadas dividindo-se o número de 
resultados favoráveis pelo número de resultados possíveis, ou seja: 
P = ​n(E) 
 n(Ω) 
Nesse caso, E é um evento que se quer conhecer a ​probabilidade, 
e Ω é o ​espaço​ ​amostral​ que o contém. 
Por exemplo, no lançamento de um dado, qual a probabilidade de 
sair o número um? 
Nesse exemplo, sair o número um é o evento E. Assim, n(E) = 1. O 
espaço amostral desse experimento contém seis elementos: 1, 2, 3, 
4, 5 e 6. Logo, n(Ω) = 6. Desse modo: 
P = ​n(E) 
 n(Ω) 
P = ​1 
 6 
P = 0,1666… 
P = 16,6% 
Outro exemplo: qual a ​probabilidade de obtermos um número par 
no lançamento de um dado? 
Os números pares possíveis em um dado são 2, 4 e 6. Logo, n(E) = 
3. 
P = ​n(E) 
 n(Ω) 
P = ​3 
 6 
P = 0,5 
P = 50% 
Observe que as ​probabilidades sempre resultarão em um número 
dentro do intervalo 0 ≤ x ≤ 1. Isso acontece porque E é um 
subconjunto de Ω. Dessa maneira, E pode conter desde zero até, 
no máximo, o mesmo número de elementos que Ω. 
 
Vídeo aula de probabilidade 
Tema 7 → ​Área e Volume de Sólidos - Geometria espacial, 
Princípio Fundamental da Contagem. 
● Poliedros 
https://youtu.be/blEUTcx16N8
Sólidos fechados que possuem faces poligonais​, compostos por vértices, 
arestas e faces, são eles: os prismas, as pirâmides e os sólidos de Platão 
(tetraedro, cubo, dodecaedro, icosaedro, cubo, dodecaedro). 
Aresta: ​é​ ​o segmento de reta que liga dois vértices de um poliedro.​Vértice: ​é 
o encontro de uma ou mais arestas, denotado pelos pontos A, B, C, D, E, F, G 
e H neste caso.As faces de um poliedro são os polígonos que compõem o 
sólido.​Relação de Euler 
Sobre os poliedros, o matemático Euler percebeu uma relação entre o número 
de vértices (V), faces (F) e arestas (A), conhecida como relação de Euler, 
dada pela expressão: 
V – A + F = 2 
Logo, é possível descobrir, com base na equação, a quantidade de arestas 
que um sólido possui pelo número de faces e de vértices. 
Para entender de forma mais detalhada essa expressão 
Conhecidos também como sólidos de revolução, são sólidos que ​possuem 
como base um círculo​ (no caso do cone e cilindro) ou que são construídos 
sobre a ​rotação de um círculo​. 
 
Fórmulas dos principais sólidos geométricos 
As principais fórmulas da geometria espacial são para os cálculos da área 
total (At) e do volume (V) de cada um dos sólidos. Cada fórmula depende do 
sólido. 
● Cubo 
Cubo de aresta a. 
V = a​3 
At = 6 . a​2 
● Paralelepípedo 
Paralelepípedo de dimensões a, b, c. 
V = a . b . c 
At = 2ab + 2ac + 2bc 
O volume e a área total do prisma e da pirâmide dependem do polígono que 
está na base de cada um dos sólidos, por isso usamos ​A​b​: área da base e A​l​: 
área lateral. 
● Prisma 
Prismas de 
base triangular e hexagonal 
Note que a base do prisma pode ser diferente de um caso para o outro, logo, 
o volume depende diretamente da área da base. 
V = A​b ​. h 
At = 2A​b ​+ A​l 
● Pirâmide 
Pirâmides de 
base quadrada e pentagonal. 
Assim como os prismas, a base da pirâmide pode ser diferente, logo, o 
volume depende diretamente da base. 
A​t ​= A​b ​+ A​l 
● Cilindro 
Cilindro de raio r e altura h. 
V = πr​2 ​. h 
A​t ​= 2πr (r+h) 
● Cone 
Cone de raio r e altura h​. 
A​t ​= πr (g + r) 
● Esfera 
Esfera de raio r. 
A​t ​= 4 πr​2 
 
 
Princípio fundamental da contagem? 
O princípio fundamental da contagem é o ​principal conceito 
ensinado na análise combinatória​. É a partir dele que se 
desenvolveram os demais conceitos dessa área e as fórmulas de 
fatorial, combinação, arranjo, ​permutação​. Entender esse princípio 
é essencial para compreender situações que envolvem contagem. 
Esse princípio afirma que, se eu preciso tomar mais de uma 
decisão e cada uma delas pode ser tomada de x, y, z maneiras, 
para sabermos a quantidade de formas que essas decisões podem 
ser tomadas simultaneamente, basta ​calcular o produto dessas 
possibilidades​. 
O princípio fundamental da contagem é uma ​técnica para 
calcularmos de quantas maneiras decisões podem 
combinar-se​. Se uma decisão pode ser tomada de ​n ​maneiras e 
outra decisão pode ser tomada de ​m maneiras, o número de 
maneiras que essas decisões podem ser tomadas simultaneamente 
é calculado pelo produto de ​n · m​. 
Analisar todas as combinações possíveis sem utilizar o princípio 
fundamental da contagem pode ser bastante trabalhoso, o que faz 
com que a fórmula seja muito eficiente. 
Exemplo 
Em um restaurante, é oferecido o famoso prato feito. Todos os 
pratos possuem arroz, e o cliente pode escolher uma combinação 
entre 3 possibilidades de carne (bovina, de frango e vegetariana), 2 
tipos de feijão (caldo ou tropeiro) e 2 tipos de bebida (suco ou 
refrigerante). De quantas maneiras distintas um cliente pode fazer o 
pedido? 
https://brasilescola.uol.com.br/o-que-e/matematica/o-que-e-permutacao.htm
 
Note que há 12 possibilidades de escolha, mas era possível chegar 
a esse número realizando a simples ​multiplicação das 
possibilidades por meio do princípio fundamental da contagem, logo 
o número de combinações de pratos possíveis poderia ser 
calculado por: 
2 · 3 · 2 = 12. 
Perceba que, quando meu interesse é saber somente o total de 
possibilidades, realizar a multiplicação é muito mais rápido do que 
construir qualquer esquema para analisar, o que pode ser bastante 
trabalhoso, caso haja mais e mais possibilidades. 
Existem várias aplicações do princípio fundamental da contagem. 
Ele pode ser aplicado, por exemplo, em várias decisões da 
informática​. Um exemplo são as ​senhas que exigem o uso de 
pelo menos um símbolo,o que faz com que o número de 
https://brasilescola.uol.com.br/o-que-e/matematica/o-que-e-multiplicacao.htm
combinações possíveis seja muito maior, deixando o sistema mais 
seguro. 
Outra aplicação é no estudo das ​probabilidades​. ​Para calculá-las, 
precisamos saber a quantidade de casos possíveis e a quantidade 
de casos favoráveis. A contagem dessa quantidade de casos 
possíveis e favoráveis pode ser feita por meio do princípio 
fundamental da contagem. Esse princípio gera também as fórmulas 
de permutação, ​combinação e arranjo. 
 
Vídeo aula area e volume de sólidos formulas 
Vídeo aula area e volume de sólidos 
Vídeo aula de principio fundamental da contagem 
 
https://brasilescola.uol.com.br/matematica/probabilidade.htm
https://brasilescola.uol.com.br/matematica/arranjo-ou-combinacao.htm
https://youtu.be/Yzic-W9Q3N0
https://youtu.be/9O_lwAkJ2Z0
https://youtu.be/a0GcRAWcoUY