Funções trigonometricas

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UNIVERSIDADE LÚRIO 
 
FACULDADE DE ENGENHARIA 
 
 
LICENCIATURA EM ENGENHARIA MECÂNICA 1º ANO 2021 
 
FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Pemba, Setembro de 2021 
 
 
2 
 
Licenciatura em Engenharia Mecânica 
 
Funções trigonométricas 
 
 
 
 Gilberto Joane Jamine 
 Mendes de Sorte M. Augusto 
 Kiven Michel Arlindo Timbane 
 
 
 
 
 
 
 
Docente: Dr. Sufia Selemane 
 
 
 
Pemba, Setembro de 2021 
 
3 
 
ÍNDICE 
 
INTRODUÇÃO .............................................................. Erro! Marcador não definido. 
Trigonometria no circulo ................................................................................................ 5 
As Funções Trigonométricas Seno e Cosseno ........................................................................... 7 
Função Secante ................................................................................................................ 9 
Função Cossecante .......................................................................................................... 10 
Resumo das Funções Secante e Cossecante ............................................................................ 11 
Função Tangente ............................................................................................................ 13 
Função Cotangente ......................................................................................................... 15 
Aplicacoes ................................................................................................................ 16 
Corrente alternada .................................................................................................. 17 
Velocidade e aceleracao no movimento harmonico simples ............................................... 18 
CONCLUSÃO ......................................................................................................................... 20 
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS ...................................................................................... 21 
 
 
 
4 
 
INTRODUÇÃO 
O presente trabalho enquadra-se na cadeira de calculo e tem como foco abordar conteúdos 
inerentes à funções trigonométricas, com o trabalho pretende-se buscar e explicar com mais 
detalhes sobre a função trigonométrica. 
 
5 
 
 
A melhor forma de introduzir as funções trigonométricas é fazer uso de um sistema 
cartesiano de coordenadas no plano. 
Um sistema cartesiano é baseado na escolha de um ponto, ao qual damos o nome de ponto 
origem do sistema de referência, e dois eixos ortogonais entre si passando por esse ponto. Em 
seguida, orientamos esses eixos. Tais eixos são designados, em geral, por x (o eixo horizontal ou 
eixo das abscissas) e y (o eixo vertical ou eixo das ordenadas). 
 
 
Trigonometria no circulo 
Devido a necessidade de definir seno, cosseno e tangente para anglos maiores que 90º, o conceito foi 
aplicado para a trigonometria na circunferência, ou seja, as definições do seno, cosseno e tangente de 
arco trigonométrico são extensões das definições de seno, cosseno e tangente de um angulo agudo no 
triângulo retângulo. 
O círculo trigonométrico, no plano cartesiano, ‘e uma circunferência centrada na origem dos eixos no 
ponto O = (0,0), com raio unitário, cujo comprimento total e igual a 2π. 
E preciso estabelecer um sentido de percurso na circunferência. Geralmente, utiliza-se o sentido ante 
horário. Para maior interesse sobre orientação do percurso na circunferência olhar (NETO, 2013). 
Seja A= (1,0). 
Temos correspondências que são fundamentais como, por exemplo, 2π radiano corresponde a 360º 
medidos no sentido ante horário a partir da A= (1,0) e -2π radianos correspondem a 360º medido no 
sentido horário a partir de A= (1,0). 
Seja θ uma angulo tal que θ ao [0,2π]. 
Para definir as funções trigonométricas do angulo, consideremos o ponto P, no círculo unitário, de tal 
modo que θ seja a medida do angulo determinado pelos segmentos . (vide a figura seguinte) 
 
Figura 1. Círculo trigonométrico 
Seja P= (x,y) as coordenadas do ponto P. 
Para que o ponto P= (x, y) pertença a circunferência unitária, e condição necessária que = 1 
(Relacao encontrada na aplicação do teorema de pitagoras no triangulo rectangulo). 
Define-se: 
Sen θ= y 
Cos θ= x 
 
6 
 
Segue da definição dada que, o facto do ponto P estar no círculo trigonométrico, que θ + 
 =1 todo θ 0,2π]. 
Pela imagem, percebe-se que seno de θ e a ordenada do ponto e cosseno de θ e a abcissa do ponto. 
Assim, na circunferência trigonométrica, podemos nos referir ao eixo das abcissas com o eixo dos 
cossenos e ao eixo das ordenadas com o eixo dos senos. 
Para visualizar, facilitando assim o entendimento, na figura seguinte: 
 
 
 
Figura 2: seno e cosseno de um arco 
 
As duas figuras representam a situação descrita anteriormente. Perceba que, verifica-se que, dado um 
ponto P qualquer sobre o círculo trigonométrico, o seno e o cosseno de θ (radiano) e dado por seno θ 
como ordenada do ponto P, e cosseno de θ como abcissa do ponto P. 
P=(cosθ,senθ) 
Já a função tangente é definida por, pois e definida por meio quociente. Sendo assim, dado um ponto 
P qualquer, na circunferência trigonométrica, e sendo θ um angulo tal que θ 0,2π], definimos: 
 
 
 
 se cosθ ≠ 0 
Observe que tgθ não e definida para 
 
 
 e para 
 
 
 , porque nesses valores cosθ= 0 
Para percebermos que as definições de seno e cosseno de um arco trigonométrico são extensões das 
definições de seno e cosseno de um angulo agudo no triângulo retângulo, observe a figura nela 
podemos destacar o triangulo retângulo OPB no qual e o cateto adjacente ao angulo θ; e o 
cateto oposto ao angulo θ, e e a hipotenusa. 
 
Figura 3. círculo trigonométrico 
7 
 
 
Do triangulo retângulo OBP, tem-se: 
 
 
Assim, verifica-se que x =cosθ e y=senθ 
A maior ordenada de um ponto na circunferência trigonométrica e 1 e a menor ordenada e -1. A 
maior abcissa e 1 e a menor abcissa e -1. 
Portanto, temos que -1 ≤ senθ ≤ 1 e -1 ≤ cosθ ≤ 1 para todo o θ [0,2π] 
 
As Funções Trigonométricas Seno e Cosseno 
Segundo (LAGES, 2017), as funções cos() : R → R e sen() : R → R, chamadas 
função cosseno e função seno respectivamente, são definidas pondo-se, para cada t ∈ R 
a re laçã o descrita na equa ção . 
 
Em outras palavras, x = cos() e y = sen() são respectivamente a abscissa e a 
ordenada do ponto E(t) da circunferência unitária. 
Segue-se imediatamente desta definição que vale, para todo t ∈ R, a relação 
fundamental descrita na Equação cos2 + sen2 = 1 
 
Definição 2.2.1. Uma função f : R → R chama-se periódica quando existe um número 
T ≠ 0 tal que f ( t + T ) = f (t) para todo t R. Se isto ocorre, então f ( t+ kT ) = f (t) para 
todo t R e todo k Z. O menor número T > 0 tal que f ( t+ T ) = f (t) para todo t 
R chama-se o período da função f . As funções seno e cosseno são periódicas, de período 2π 
(LAGES, 2017). 
Definição 2.2.2. Diz-se ainda que a função f : R → R é par quando se tem f (−t) = f(t) para 
todo t R. Se tem f (−t) = −f (t) para todo t R, a função f chama-se ímpar 
(LAGES, 2017). 
 
Conforme (LAGES, 2017), para todo t R, tem-se que: E(t) = (cos(t), sen(t)) e 
E(−t) = E(cos(−t), sen(−t)). Mas, quando E(t) = (x,y ) tem-se E(−t) = (x −y). Isto significa 
que cos(−t) = cos(t) e sen(−t) = −sen(t) para todo t R. 
Assim, cosseno é uma função par e seno é uma função ímpar. De modo análogo, 
as outras quatro relações estabelecidas mostram que, para todo t R, valem: 
8 
 
 
cos( t + π) = − cos(t), sen( t + π) = −sen(t), 
cos( t + π /2
 
) = −sen(t), sen( t + π /2
 
) = cos(t), 
 
cos(π /2−t ) = sen(t), sen(π/2 −t ) = cos(t), 
cos(π −t ) = − cos(t), sen(π −t ) = sen(t). 
A
Figura 7 mostra os gráficos das funções y= cos(x) e y= sen(x). 
Algumas propriedades importantes da função seno, segundo (IEZZI, 1977-78): 
 
i. A imagem da função seno é o intervalo [−1, 1], ou seja, para todo x real; 
 
 
 
Figura 4 – Gráficos de = cos() e = sen(). 
 
 
ii. A função é positiva no primeiro e segundo quadrantes e negativa no terceiro e quarto 
quadrantes; 
iii. A função seno é periódica e seu período é 2 π; e 
iv. É imediato que, se OP1 = sen(x) e k ∈ Z, então sen( x + k.2 π) = OP1, pois 
x e x + k.2 π tem a mesma imagem P no ciclo. Temos então para todo real: 
sen(x) = sen( x + k.2 π) e, portanto a função seno é periódica. 
Com a análise do gráfico pode-se construir a Tabela 1, conforme propõe (BON- 
JORNO, 1992). 
Tabela 1 – Quadro resumo do comportamento da função seno. 
 
 
Algumas propriedades importantes da função cosseno, segundo (IEZZI, 1977-78): 
 
i) A imagem da função cosseno é o intervalo [−1, 1], ou seja, −1 ≤ cos(x) ≤ 1 para 
9 
 
2 
2 
2 
todo x real; 
ii) A função é positiva no primeiro e quarto quadrantes e negativa no segundo e terceiro 
quadrantes; e 
 
iii) A função cosseno é periódica e seu período é 2�. 
 
Com a análise do gráfico pode-se construir a Tabela 2, conforme propõe (BON- 
JORNO, 1992). 
Tabela 2 – Quadro resumo do comportamento da função cosseno. 
 
 
Função Secante 
Definição Dado um número real , x, x ≠ π/2 + k. π com Z, seja P sua imagem 
no ciclo. Considere a reta tangente ao ciclo em P e seja S sua intersecção com o eixo 
dos cossenos. Denomina-se secante de (e indica-se sec(x) a abscissa OS do ponto 
S. Denomina-se função secante a função f : D → R que associa a cada real x, x ≠ π/2 + 
kπ, o OS = sec(x), isto é, f (x) = sec(x) (IEZZI, 1977-78). 
Nota-se, na Figura 8, que para x=π/2+kπ, está em P ou B’ e, então, a reta fica 
paralela ao eixo dos cossenos. Como neste caso não existe o ponto S, a sec(x) não é 
definida (IEZZI, 1977-78) 
 
Figura 5 – Secante no Círculo Unitário. 
 
10 
 
2 
Algumas propriedades importantes da função secante, segundo (IEZZI, 1977-78) 
 
v. O domínio da função secante é D = { x ∈ R| x≠
 
 
+ kπ, k ∈ Z}; 
vi. A imagem da função secante é R −] − 1, 1[, isto é, para todo real , com ≤ −1, 
ou ≥ 1, existe um real tal que sec(x) =y ; 
vii. A função é positiva no primeiro e quarto quadrantes e negativa no segundo e terceiro 
quadrantes; 
viii. A função secante é periódica e seu período é 2π. 
 
Observa-se na Figura 5 o gráfico da função secante, f (x) = sec(x), obtido no 
software Graphmatica. 
 
Figura 5 – Gráfico da função secante f (x) = sec(x). 
 
 
 
 
Função Cossecante 
Definição Dado um número real , x, x ≠ kπ com k Z, seja P sua imagem no ciclo. Considere a 
reta tangente ao ciclo em P e seja C sua intersecção com o eixo dos senos. Denomina-se cossecante de 
x (e indica-se cosec(x)) a ordenada OC do ponto C. 
Denomina-se função cossecante a função f : D → R que associa a cada real , x, x ≠ kπ , o 
real OC = cosec(x), isto é, (x) = cosec(x) (IEZZI, 1977-78). 
Nota-se, na Figura 10, que para x = kπ, está em ou e, então, a reta fica 
paralela ao eixo dos senos. Como neste caso não existe o ponto , a cosec(x) não é 
definida (IEZZI, 1977-78). 
 
 
11 
 
 
Figura 6– Cossecante no Círculo Unitário. 
 
 
 
Algumas propriedades importantes da função cossecante, segundo (IEZZI, 1977- 
78): 
 
ix. O domínio da função cossecante é = { x ∈ R| x =≠ kπ, ∈ Z}; 
x. A imagem da função cossecante é R−] − 1, 1[, isto é, para todo real , com y ≤ −1, 
ou ≥ 1, existe um x real tal que cosec(x) =y ; 
xi. A função é positiva no primeiro e segundo quadrantes e negativa no terceiro e quarto 
quadrantes; e 
xii. A função secante é periódica e seu período é 2π. 
 
Observa-se na Figura 7, o gráfico da função secante f(x) = cosec(x). 
 
Resumo das Funções Secante e Cossecante 
De acordo com (BONJORNO, 1992), traçando-se uma reta tangente à 
circunferência pelo ponto M , intercepta-se o eixo das abscissas no ponto S e o eixo das 
ordenadas no ponto D, como é possível observar de acordo com a Figura 7. 
 
 
12 
 
 
 
Figura 7 – Gráfico da função cossecante f(x) = 
cosec(x). 
 
 
 
Figura 8 – Secante e Cossecante no Círculo 
Unitário. 
 
 
A partir da Figura 8, definem-se sec(x) 
= cosec(x) = . Utilizando-se a semelhança de 
triângulos, obtêm-se as Equações (2.6) e (2.7). 
 
 
 
 
13 
 
2 
cos() 
2 2 
2 2 
2 2 
 
Pode-se então, estabelecer o comportamento da função secante e cossecante, con- 
forme ilustrado na Tabela 3 (BONJORNO, 1992). 
Tabela 3 – Quadro resumo do comportamento da função secante e cossecante. 
 
 
As Figuras 9 e 10 apresentam o uso do comando plot e mostram o comportamento 
das funções cossecante e seno e das funções secante e cosseno, respectivamente. 
 
Figura 9 – Gráfico das funções cossecante e seno. 
 
 
 
 
Função Tangente 
Definição A função tangente dada pela expressão tg(x) =
 
 
 tem como do- mínio o 
conjunto dos números reais que não são múltiplos ímpares de , pois cos(x) = 
se, e somente se, x = (2k+1) =k +π/2 onde k Z (LAGES, 2017). 
 
Assim, o domínio da função x → tg(x) é formado pela reunião dos intervalos abertos (kπ –π/2 
, k +π/2 ), para todo k Z. 
Tem-se ainda, segundo (LAGES, 2017), que em cada um desses intervalos (por 
exemplo, 
 
 
 
 
 
 , a função tangente é crescente e, na realidade, x → tg(x) é uma 
correspondência biunívoca entre um intervalo aberto de comprimento e a reta inteira 
R. 
Observa-se na Figura 21, o gráfico da função tangente y = tg(x). 
Em relação à Figura 21 fazem-se as seguintes observações em concordância com 
(LAGES, 2017): 
14 
 
2 2 
2 2 
2 2 
2 2 
 
xiii. A função tangente embora não esteja definida para todo número real R, pode ser 
considerada como uma função periódica, de período , pois é o menor número 
real positivo tal que tg(x+ ) = tg(x), se x e x + pertencem ao domínio da função. 
xiv. A restrição da função tangente ao intervalo ( - π / 2 ; π / 2 ) sendo uma correspondência 
biunívoca, tg(x) : (-π/2;π/2)→ R, possui uma função inversa, chama-se arco tangente, 
indicada com a notação arctg(x) : R → ( - π / 2 ; π / 2 ) , a qual é uma 
correspondência 
biunívoca de domínio R e imagem igual ao intervalo aberto( - π / 2 ; π / 2 ) . 
 
 
Figura 10– Gráfico da função y= tg(x)
15 
 
Constata-se, na Figura 22 o gráfico da função = arctg( ). 
 
Figura 11 – Gráfico da função = arctg( ). 
 
 
 Função Cotangente 
Definição Dado um número real , com Z, seja sua imagem no 
ciclo. Considerando-se a reta e seja sua intersecção com o eixo das 
cotangentes. Denomina-se cotangente de (e indica-se cotg( )) a medida algébrica 
do segmento 
da Figura 23. Denomina-se função cotangente a função que associa a cada 
real , , o real = cotg(x), isto é, = cotg(x) 
 
Nota-se, na Figura 23, que para , P está em A ou A´ e, então, a reta 
 fica paralela ao eixo das cotangentes. Como neste caso não existe o ponto D, a 
cotg( ) não é definida (IEZZI, 1977-78). 
 
16 
 
Figura 12 – Cotangente no Círculo Unitário. 
 
 
Algumas propriedades importantes, segundo (IEZZI, 1977-78). 
 
xv. O domínio da função cotangente é 
xvi. A imagem da função cotangente é R, isto é, para todo real existe um real tal 
que cotg( ) = ; 
xvii. Se é do primeiro ou terceiro quadrante, então cotg( ) é positiva; 
xviii. Se é do segundo ou quarto quadrante, então cotg( ) é negativa; 
xix. Se percorre qualquer um dos quatro quadrantes, então cotg( ) é decrescente; e 
xx. A função cotangente é periódica e seu período é π. 
 
Na Figura 24 observa-se, o gráfico da função cotangente ( ) = cotg( ). 
No próximo capítulo
são apresentadas propostas de atividades usando o Graph- 
matica. 
 
Figura 13 – Gráfico da Função = cotg( ). 
 
Aplicacoes 
São muitas as aplicações das funções trigonométricas nas várias áreas do conhecimento, espe- 
cialmente na física. A seguir, apresentaremos três delas: na descrição do movimento harmônico 
simples, no estudo das ondas harmônicas, nele destacando o entendimento dos sons produzidos 
pelos instrumentos musicais, e no entendimento de alguns circuitos de corrente alternada. 
No movimento oscilatório mais simples (o movimento harmônico simples), o móvel exe- 
17 
 
cutará um movimento que é inteiramente descrito (posição, velocidade e aceleração) por meio 
de funções trigonométricas. 
No caso do movimento ondulatório, consideramos o caso das ondas harmônicas, as quais se 
propagam de acordo com uma função trigonométrica. A natureza e as características dos sons dos 
instrumentos musicais podem ser entendidas a partir do conceito de ondas estacionárias (resultado 
que depende da soma de funções trigonométricas e da determinação das frequências emitidas pelas 
cordas dos instrumentos. Essas frequências têm a ver com os zeros de funções trigonométricas.) 
Finalmente, nos circuitos de corrente alternada, é essencial o uso dessas funções. Esse ponto 
será ilustrado com a análise do circuito mais simples entre todos: o circuito LC. 
 
Segundo (LUCANO TORMA, 2018) eis aqui alguns exemplos da aplicacao das funcoes 
trigonometricas na resoluca de problemas no dia-a-dia, nomeadamente: 
 
 Movimento harmonico simples; 
 Velocidade e aceleracao no movimento harmonico simples; 
 Movimento ondulatorio: ondas harmonicas unidimensionais; 
 Ondas estavionarias; 
 Corrente alternada. 
 
 
Daremos aqui dois exemplos aleatorios: 
 
 
Corrente alternada 
Uma corrente percorrendo um circuito é deno- minada corrente alternada, quando ela 
depende do tempo de acordo com uma função seno ou cosseno. Assim, a expressão geral para tal 
corrente é: 
I (t)  I0 sen t  


Corrente alternada em funcao do tempo 
 
Assim, os elétrons que se movimentam ao longo de um circuito mudam de sentido perio- 
dicamente. Cada elétron da corrente executa um movimento de vai e vem (um movimento 
periódico). O período do movimento é dado, de acordo com 9.62, pela expressão: 
 
T  2
18 
 

e a frequência da corrente alternada (a frequência do movimento periódico dos elétrons) é: 
f=
 
 
 
 
 
 
Velocidade e aceleracao no movimento harmonico simples 
 
Pode-se mostrar que, num movimento harmônico simples, a velocidade da partícula em 
função do tempo é dada por outra função trigonométrica, isto é, para x dado pela expressão 
9.26, a velocidade é dada por: 
 
v t    Asen(t  0 ) 
 
onde as constantes A, ω e θ0 são aquelas definidas anteriormente. 
A aceleração varia igualmente com o tempo. Sua variação é análoga à da posição: 
a t   2 Acos(t  0 ) 
 
onde, de novo, se aplicam as definições de A, ω e θ0 já dadas. Observe que, de 9.36 e 9.26, pode- 
mos estabelecer uma relação entre a aceleração e a posição de uma partícula, a qual é dada por: 
 
 
 
 
 
 
Essa relação decorre de uma propriedade geral do movimento harmônico simples, 
mais especificamente, da lei de Newton (9.25). 
Observando as expressões 9.35 e 9.36, notamos que os valores máximos para a velocidade 
e aceleração são, respectivamente, 
vm  A 
am  
2 A 
 
A seguir, apresentamos os gráficos de a × t, v × t e x × t do movimento harmônico simples. 
Como se vê, trata-se, essencialmente, de gráficos de funções trigonométricas. 
 
 
 
 
19 
 
 
 
 
 
 
 
Gráfico 9.5: Gráficos de a × t, v × t e x × t 
do movimento harmônico simples. 
 
Observe que, quando a coordenada da posição do móvel atinge os valores máximos 
(x = + A) e mínimos (x = −A), a velocidade do móvel é nula. Por outro lado, nos pontos de 
maior velocidade (em qualquer direção), o valor da coordenada (e o da aceleração) é igual a zero. 
 
 
20 
 
CONCLUSÃO 
De um modo geral as funções trigometricas trouxeram soluções, não só para a matemática como 
também para diversas disciplinas, sendo utilzadas (funções), nas engenharias entre outros sítios. 
Acreditamos também que está parte da matemática contribuiu bastante para um grande avanço na 
ciência, visto que o Homem a cada dia que passa depara-se com desafios, e está constantemente em 
busca de respostas e soluções, e de salientar que o sistema cartesiano ortogonal esta divido em quatro 
regiões denominadas quadrantes, possuindo dois eixos horizontal chamado eixo das abcissas e vertical 
chamado eixo das ordenadas. 
 
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REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS 
 AUBYN, Antônio St, et al.Funcoes trigonométricas. Lisboa, 2004; 
 SOUSA, Juliana Malta. Funções trigonométricas e suas aplicações no cálculo de distancias 
inacessíveis, São Carlos, 2017; 
 TORMA, Luciano da Silva. Funções trigonométricas no ensino médio: construindo uma 
paisagem utilizando o software graphmatica, Rio Grande, Brasil, 2018; 
 MARQUES, Gil da Costa, Fundamentos de Matemática I.