LISTA DE QUESTÕES DE PROVA DE ÁLGEBRA LINEAR (1)

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LISTA DE EXERCI´CIOS - A´LGEBRA LINEAR
Tecnologia em Sistemas de Computac¸a˜o- CEDERJ
Mauro Rincon & Ma´rcia Fampa
SEC¸A˜O 1: VETORES
1. Sejam P (1/2, 1/3) e Q(−4, 6) pontos no plano. Determine as coordenadas do
ponto R do segmento PQ tal que:
(a) |PR|/|PQ| = 1/2
(b) |PR|/|PQ| = 4/5
2. Seja S = [u1, u2, u3] ⊂ IR5 subespac¸o vetorial, onde u1 = (0, 1, 3, 0, 4), u2 =
(1,−2, 0, 1, 6) e u3 = (0, 0, 0, 1, 1).
(a) Verifique se existem vetores de S, dois a dois, que sa˜o ortogonais ou para-
lelos.
(b) Calcule o aˆngulo formado pelos vetores {u2, u3}
3. a) Determine a projec¸a˜o ortogonal de u sobre v (Projvu).
b) Calcule a distaˆncia entre os vetores u e v.
SEC¸A˜O 2: ESPAC¸OS VETORIAIS
4. Seja S = {x, y, z} um conjunto de vetores do IR3. Em cada caso abaixo,
prove que S e´ um subespac¸o vetorial do IR3 ou deˆ um contra exemplo em caso
contra´rio.
(a) x = y = z, (b) z = 2x, y = 0, (c) x− y+ z = 1, (d) |x− y| = |y− z|
5. Seja S = {(x, y, z, w) ∈ IR4/x + w = 0 e y − 2z = 0}. Verifique se S e´ uma
subespac¸o vetorial do IR4, e em caso afirmativo determine uma base.
6. Quais dos seguintes conjuntos de vetores pertencentes ao P2 sa˜o LD?
(a) {2 + x− x2,−4− x+ 4x2, x+ 2x2}
(b) {1− x+ 2x2, x− x2, x2}
(c){1 + 3x+ x2, 2− x− x2, 1 + 2x− 3x2,−2 + x+ 3x2}
7. Considere o conjunto B = {v1, v2, v3}, onde v1 = (1,−1, 0), v2 = (2, 1, 1) e
v3 = (2, 0, 1).
a) Verifique se o conjunto B e´ uma base do IR3.
b) Usando o processo de Gram-Schmidt, determine a partir da base B, uma
base ortogonal do IR3.
c) Determine a partir de B uma base ortonormal do IR3.
d) Seja Bˆ o conjunto formado pelos vetores v1 e v2 de B substituindo-se o vetor
v3 pelo vetor vˆ3 = (3, 3, 2). Verifique se o conjunto Bˆ e´ LI ou LD.
e) Verifique se vˆ3 = (−5,−1,−2) e´ uma combinac¸a˜o linear dos vetores v1 e v2
de B.
f) Determine o espac¸o gerado pelos vetores v1 e v2 de B.
8. a) Determine o subespac¸o vetorial do S ⊂ IR4 gerado por u e v.
b) Verifique se o vetor w = (−1, 0,−4, 2) ∈ S.
c) Determine uma base ortogonal para S.
9. Dados v1 = (2, 1, 3) e v2 = (2, 6, 4).
a) Os vetores v1 e v2 geram o IR
3? Justifique.
b) Encontre um vetor v3 que complete junto com v1 e v2 uma base do R
3.
c) Use o processo de Gram-Schmidt para determinar uma base ortogonal para
R3, a partir da base {v1, v2, v3}.
d) Determine a projec¸a˜o ortogonal do vetor v1 sobre v2 (Projv2v1)
10. Encontre uma base ortonormal para o plano x+ y + z = 0.
SEC¸A˜O 3: SISTEMAS LINEARES E ME´TODO DE GAUSS
11. Uma indu´stria produz treˆs produtos, X, Y e Z, utilizando dois tipos de insumo,
A e B. Para a manufatura de cada kg de X sa˜o utilizados 2 gramas do insumo
A e 1 grama do insumo B; para cada kg de Y, 1 grama de insumo A e 3
gramas de insumo B e, para cada kg de Z, 3 gramas de A e 5 gramas de B.
O prec¸o de venda do kg de cada um dos produtos X, Y e Z e´ R$ 3, 00, R$
2, 00 e R$ 4, 00, respectivamente. Com a venda de toda a produc¸a˜o de X, Y
e Z manufaturada com 1, 9 kg de A e 2, 4 kg de B, essa indu´stria arrecadou
R$ 2.900, 00. Determine quantos kg de cada um dos produtos X, Y e Z foram
vendidos.
12. Determine, usando o me´todo de Eliminac¸a˜o de Gauss, o valor de α de modo
que o sistema linear; 
x + 4y + αz = 6
2x − y + 2αz = 3
αx + 3y + z = 5
a) Tenha soluc¸a˜o u´nica.
b) Tenha infinitas soluc¸o˜es.
c) Na˜o tenha soluc¸a˜o.
13. Considere o sistema linear:
2x1 + x2 + 3x3 = 1
−x1 + 2x2 + x3 = −2
2x1 + 5x2 + 3x3 = 1
Resolva o sistema linear pelo me´todo de eliminac¸a˜o de Gauss com pivotea-
mento.
SEC¸A˜O 4: MATRIZES
14. Determine a matriz C = AT − 2B, onde AT e´ matriz transposta de A.
a)Determine, se poss´ıvel, a matriz produto: C = A.B
b)Determine, se poss´ıvel, a matriz produto: C = B.A
15. Seja
A =

3 1 0
−2 2 −1
1 2 0
 e B =

1 0
2 4
3 2

calcule A−1 e use-a para:
(a) encontrar uma matriz X3×2 tal que AX = 5B.
(b) encontrar uma matriz Y2×3 tal que Y A = 5BT .
onde BT e´ matriz transposta de B.
16. Calcule, se poss´ıvel, a matriz indicada:
A =
 2 0
6 7
 , B =
 0 4
2 −8
 , C =
 −6 9 −7
7 −3 −2

D =

−6 4 0
1 1 4
−6 0 −6
 , E =

6 9 −9
−1 0 −4
−6 0 −1
 .
Se for poss´ıvel calcule:
(i) AB −BA, (ii) 2C −D, (iii) (2Dt − 3Et)t, (iv) D2 −DE.
SEC¸A˜O 5: RESOLUC¸A˜O DE SISTEMAS: GAUSS JORDAN
17. Uma empresa fabrica treˆs diferentes tipos de camisas: A, B e C. Faz-se uma
estimativa do custo de produc¸a˜o de cada camisa. A camisa A custa R$ 10,00, a
camisa B e a camisa C custam R$ 5,00 cada. Faz-se tambe´m, uma estimativa
do nu´mero de horas de ma˜o-de-obra necessa´rias para produzir uma camisa de
cada tipo, sendo necessa´rias 1 hora para a camisa A, 3 horas para a camisa
B e 2 horas para a camisa C. A empresa tem dispon´ıvel para gastar em sua
produc¸a˜o um total de R$ 25,00 e 10 horas de ma˜o-de-obra. Sabendo-se que a
empresa devera´ produzir um total de 4 camisas dentre os treˆs tipos, construa
um sistema para determinar quanto de cada tipo de camisa a empresa devera´
produzir e em seguida resolva o sistema linear pelo me´todo de Gauss-Jordan.
18. Considere o seguinte sistema linear:
x1 − x2 − x3 + 2x4 = 1
2x1 − 2x2 − x3 + 3x4 = 3
−x1 + x2 − x3 = k
Determine, se poss´ıvel, o valor de k de forma que o sistema linear tenha
soluc¸a˜o(c¸o˜es), usando o me´todo de Gauss-Jordan. Mostre a(s) soluc¸a˜o(c¸o˜es).
19. Considere o seguinte sistema linear:
2x1 + 4x2 + x3 = 1
3x1 − 2x2 − x3 = 2
x1 + 2x2 + 2x3 = 5
a) Resolva-o, se poss´ıvel, me´todo de Gauss-Jordan.
b) O que podemos afirmar se substituirmos somente a terceira componente do
vetor dos termos independentes b = (1, 2, 5) pelo vetor b̂ = (1, 2, 1/2).
SEC¸A˜O 6: MATRIZES INVERSAS E DETERMINANTES
20. Considere o sistema linear Ax = b;
x1 − x2 + x3 = 1
−2x1 + 3x2 − 2x3 = −3
+ x2 + x4 = −1
−x1 + 2x2 + 3x3 + 2x4 = 2
(a) Resolva o sistema linear pelo me´todo de eliminac¸a˜o de Gauss.
(b) Calcule o determinante da matriz dos coeficientes, usando a expansa˜o de
Cofatores (Fo´rmula de Laplace).
(c) Determine, se existir, a matriz inversa A−1 da matriz A, utilizando o
conceito de matriz adjunta.
21. Existe alguma matriz invert´ıvel, de tamanho 2 × 2, que satisfac¸a a condic¸a˜o
A−1 = −A ?. Se a resposta for positiva; deˆ um exemplo e em caso contrario,
prove que tal matriz pode na˜o existir.
22. Seja k ∈ IR e a matriz A dada por:
A =

0 k + 1 1
k −k 3
k −8 k − 1
 ;
(a) Calcule o determinante da matriz dos coeficientes, usando a expansa˜o de
Cofatores(Fo´rmula de Laplace).
(b) Determine os valores de k para os quais a matriz A e´ invert´ıvel.
(c) Considere o vetor dos termos independentes b = (1, 0,−1) e k = 1. Deter-
mine a soluc¸a˜o do sistema linear Ax = b, usando o me´todo de eliminac¸a˜o
de Gauss com pivoteamento.
23. Seja A =

0 0 1 1
0 0 1 0
0 −1 1 0
1 1 0 1

(a) Calcule o determinante da matriz A
(b) Calcule, se existir, a inversa de A, usando a matriz Adjunta.
(c) Determine a soluc¸a˜o do sistema Ax = b = (0, 0, 0, 1)t
SEC¸A˜O 7: TRANSFORMAC¸O˜ES LINEARES, NU´CLEO E
IMAGEM
24. Seja T : IR3 → IR3 uma transformac¸a˜o linear, definida por
T (x, y, z) = (0, z, y − z).
(a) Determine uma base e a dimensa˜o da Im(T ).
(b) Determine uma base e a dimensa˜o da N(T ) = Ker(T ).
25. Considere a transformac¸a˜o linear T : IR2 → IR3, tal que T (−2, 3) = (−1, 0, 1)
e T (1,−2) = (0,−1, 0)
(a) Determinar T (x, y).
(b) Determinar N(T ) = Ker(T ) e Im(T )
(c) Verifique se T e´ injetora e sobrejetora.
SEC¸A˜O 8: AUTOVALORES E AUTOVETORES
26. Considere matriz A =

3 0 −4
0 35
0 0 −1

(a) Determine os autovalores e autovetores da matriz.
(b) Mostre que os autovetores formam uma base do IR3
27. Determine os autovalores e autovetores da matriz inversa de A.
A =

3 0 −4
0 3 5
0 0 −1
