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abbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbc dddddd Universidade Federal de Vic¸osa - UFV EST 103 - Elementos de Estat´ıstica - 2a Prova 2º Semestre 2013 - 19/12/2013 eeeeee fggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggh Nome: Matr´ıcula: Assinatura: . Favor apresentar documento com foto. • ATENC¸A˜O: Sua nota sera´ divulgada no sistema SAPIENS, portanto informe a seguir a turma na qual esta´ matriculado. Turma Hora´rio Local Professor T1 4=08-10 6=10-12 PVB209 Ge´rson T2 4=14-16 6=16-18 PVB307 Ge´rson T3 3=18-20 5=20-22 PVA223 Paulo Instruc¸o˜es: Leia com atenc¸a˜o • Interpretar corretamente as questo˜es e´ parte da avaliac¸a˜o, portanto o estudante NA˜O PODE fazer perguntas ao professor ou ao monitor durante a realizac¸a˜o da prova; • Na˜o vale chutar!!! APRESENTE OS CA´LCULOS ORGANIZADAMENTE. QUESTO˜ES SEM OS CA´LCULOS NA˜O SERA˜O CONSIDERADAS!; • Na˜o e´ permitido desgrampear a prova; • Esta prova conte´m 5 questo˜es em pa´ginas enumeradas de 1 a 8, total de 30 pontos . Favor conferir antes de iniciar; • BOA PROVA. 1 Formula´rio X¯ = n∑ i=1 Xi n S2X = 1 n− 1 n∑ i=1 X2i − ( n∑ i=1 Xi )2 n SX = √ S2X ρ̂ = rX,Y = SPDXY√ SQDXSQDY SPDXY = n∑ i=1 XiYi − ( n∑ i=1 Xi )( n∑ i=1 Yi ) n SQDX = n∑ i=1 X2i − ( n∑ i=1 Xi )2 n Ŷi = β̂0 + β̂1Xi ε̂i = Yi − Ŷi SQtotal = SQDY r2 (%) = SQregressa˜o SQtotal 100% β̂1 = SPDXY SQDX β̂0 = Y¯ − β̂1X¯ SQregressa˜o = (SPDXY ) 2 SQDX SQregressa˜o = β̂21SQDX SQregressa˜o = β̂1SPDXY P (φ) = 0 P (S) = 1 0 ≤ P (A) ≤ 1 P (A) = n (A) n (S) P (A|B) = n (A ∩B) n (B) P (Ac) = 1− P (A) P (A|B) = P (A ∩B) P (B) P (A|Bc) = P (A ∩B c) P (Bc) P (A ∩Bc) = P (A)− P (A ∩B) P (A ∪B) = P (A) + P (B)− P (A ∩B) P (B) = n∑ i=1 P (B|Ai)P (Ai) P (A) = P (A|B)P (B) + P (A|Bc)P (Bc) A ∩ (B ∪ C) = (A ∩B) ∪ (A ∩ C) P (Aj|B) = P (B|Aj)P (Aj)n∑ i=1 P (B|Ai)P (Ai) X ∼ P (m); P (X = k) = m ke−m k! ; E (X) = m; V (X) = m X ∼ P (λ); P (X = k) = λ ke−λ k! ; E (X) = λ; V (X) = λ X ∼ B (n; p) ; P (X = k) = n k pk(1− p)n−k; E (X) = np; V (X) = npq Cn,k = n k = n! (n− k)!k! q = 1− p 2 1. (6 pontos) Com o objetivo de verificar, em uma certa regia˜o, a relac¸a˜o existente entre o n´ıvel de escolaridade me´dio dos pais e o n´ıvel de escolaridade dos filhos, observou-se uma amostra de 9 indiv´ıduos adultos, verificando o nu´mero de anos que estes frequentaram (e tiveram aprovac¸a˜o) em escolas regulares (Y ) e o nu´mero me´dio de anos que os seus pais frequentaram (e tiveram aprovac¸a˜o) em escolas regulares (X), sendo que a escolaridade dos pais variou de zero a nove anos de estudo. Neste estudo obteve-se: n = 9; n∑ i=1 Xi = 34; n∑ i=1 X2i = 200; n∑ i=1 Yi = 66; n∑ i=1 Y 2i = 672; n∑ i=1 XiYi = 360. SQDX = 71, 56; SQDY = 188; SPDXY = 110, 67. Utilize estas informac¸o˜es e responda aos itens abaixo: a) (1,2 pontos) Obter a equac¸a˜o da regressa˜o linear simples. β̂1 = SPDXY SQDX = 360− 34×66 9 200− (34)2 9 = 110, 67 71, 56 = 1, 5465 β̂0 = Y¯ − β̂1X¯ = 66 9 − 1, 5465× 34 9 = 7, 3333− 5, 8424 = 1, 4909 Ŷi = β̂0 + β̂1Xi = 1, 4909 + 1, 5465Xi b) (1,2 pontos) Qual a interpretac¸a˜o da estimativa obtida para o coeficiente da regressa˜o? Soluc¸a˜o: β̂1 = 1, 5465 e´ o aumento me´dio estimado, em anos, de escolaridade dos filhos quando aumenta-se em um ano a escolaridade dos pais. 3 c) (1,2 pontos) Para um filho que tem escolaridade de 10 anos de estudo, qual a escolaridade estimada de seus pais? Soluc¸a˜o: Ŷi = 10⇒ Xi =? De 1a) temos que Ŷi = 1, 4909 + 1, 5465Xi, assim: 10 = 1, 4909 + 1, 5465Xi 1, 5465Xi = 10− 1, 4909 Xi = 8, 5091 1, 5465 Xi = 5, 5022 d) (1,2 pontos) Se os pais estudaram por 6 anos, qual a estimativa do tempo de estudo do filho? Soluc¸a˜o: Xi = 6⇒ Ŷi =? Ŷi = 1, 4909 + 1, 5465× 6 = 10, 7699 e) (1,2 pontos) Qual o tempo de estudo estimado de um filho cujos pais estudaram por 10 anos? o que voceˆ pode dizer acerca desta estimativa? Soluc¸a˜o: Xi = 10⇒ Ŷi =? Ŷi = 1, 4909 + 1, 5465× 10 = 16, 9559 Esta estimativa obtida trata-se de uma extrapolac¸a˜o, haja vista que no estudo a escolaridade dos pais variou de zero a nove anos de estudo e, assim sendo, esta estimativa na˜o e´ confia´vel. 4 2. (6 pontos) Suponha que para uma prova de EST 103, os alunos se distribuem em treˆs grupos a saber, A, B e C, sendo que os alunos de cada grupo sa˜o tais que: • 30% dos alunos, sa˜o do grupo A (estudaram mais de 10 horas semanais); • 60% dos alunos, sa˜o do grupo B (estudaram de zero a 10 horas semanais); • 10% dos alunos, sa˜o do grupo C (na˜o estudaram para a prova). Ale´m disso, • 90% dos alunos, do grupo A devem obter nota superior a` me´dia; • 50% dos alunos, do grupo B devem obter nota superior a` me´dia; • 10% dos alunos, do grupo C devem obter nota superior a` me´dia; Suponha que um aluno foi selecionado aleatoriamente e verificou-se que ele obteve nota inferior a` me´dia. Determine a probabilidade condicional de que ele na˜o tenha estudado para a prova. Soluc¸a˜o: Sejam • A : “aluno estudou mais de 10 horas semanais”; • B : “aluno estudou de zero a 10 horas semanais”; • C : “aluno na˜o estudou para a prova”; • D : “aluno obteve nota superior a` me´dia”. Considerando os eventos acima descritos e o diagrama de a´rvores ao lado temos: P (C|Dc) = P (C ∩D c) P (Dc) = P (C)P (Dc|C) P (A)P (Dc|A) + P (B)P (Dc|B) + P (C)P (Dc|C) = 0, 1× 0, 9 0, 3× 0, 1 + 0, 6× 0, 5 + 0, 1× 0, 9 = 0, 09 0, 42 = 9 42 = 0, 2143 D A 0,9 0,1 Dc D • 0,3 0,6 0,1 B 0,5 0,5 Dc D C 0,1 0,9 Dc 5 3. (6 pontos) Dentre os alunos de uma universidade, • 33% sa˜o fumantes; • 42% consomem bebida alcoo´lica; • 10% consomem bebida alcoo´lica e sa˜o fumantes; Selecionado um aluno ao acaso determine a probabilidade de que: a) (3 pontos) O aluno apenas beba (e na˜o fume); Soluc¸a˜o: Sejam A : “O aluno fuma” e B : “O aluno bebe”. Assim P (Ac ∩B) = P (B)− P (A ∩B) = 0, 42− 0, 10 = 0, 32 A B 0, 23 0, 10 0, 32 0, 35 b) (3 pontos) O aluno apenas fume (e na˜o beba), ou na˜o consuma nem a´lcool nem cigarro. Soluc¸a˜o: P ((A ∩Bc) ∪ (Ac ∩Bc)) = P ((A ∪ Ac) ∩Bc) = P (S ∩Bc) = P (Bc) = 1− P (B) = 1− 0, 42 = 0, 58 0,23 0,32 0,35 A B 0,10 6 4. (6 pontos - Binomial) Um motorista comprou cinco pneus novos de uma certa marca para o seu carro. Sabe-se que 1 4 dos pneus desta marca costumam apresentar defeito e, torna-se importante estudar esta varia´vel, devido a periculosidade de que haja um acidente por causa de um pneu neste estado. Qual a probabilidade de que ele tenha comprado: (a) (3 pontos) Exatamente treˆs pneus defeituosos. Soluc¸a˜o: Seja X : “Nu´mero de pneus defeituosos em cinco comprados”. Temos que X ∼ B ( 5; 1 4 ) , assim P (X = 3) = C5,3 ( 1 4 )3( 1− 1 4 )5−3 = 10× 1 64 × 9 16 = 45 512 = 0, 0879 (b) (3 pontos) Todos os pneus em perfeito estado. Soluc¸a˜o: P (X = 0) = C5,0 ( 1 4 )0( 1− 1 4 )5−0 = 1× 1× 243 1024 = 0, 2373 7 5. (6 pontos - Poisson) Em uma rodovia ocorrem, em me´dia, dois acidentes por meˆs. Qual a probabilidade de, nos pro´ximos TREˆS MESES, ocorreram exatamente cinco acidentes? Soluc¸a˜o: Seja X : “Nu´mero de acidentes que ocorrem em treˆs meses”. Temos que X ∼ P (6), pois como ocorre, em me´dia dois acidentes por meˆs, em treˆs meses ocorrem, em me´dia seis acidentes. Assim P (X = 5) = 65e−6 5! = 7776e−6 120 = 324 5 × e−6 = 0, 1606 8