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Aula 14 Integração Definida
Objetivos da Aula
Apresentar o conceito de integral definida, por meio de somatório 
de termos finitos e limites tendendo a infinito, fazendo sua 
interpretação geométrica e em seguida enunciar o teorema 
fundamental do cálculo.
A Notação Sigma
Para facilitar somas de um grande número de parcelas iremos 
introduzir a notação sigma. Esta notação envolve o uso do símbolo
 o sigma maiúsculo do alfabeto grego, que corresponde ao nosso S. 
Agora daremos alguns exemplos da notação sigma.
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Temos agora a seguinte definição formal para sigma.
Definição da Notação Sigma
onde m e n são inteiros e m n.
O lado direito da fórmula acima consiste da soma de (n - m + 1) 
termos, o primeiro dos quais é obtido substituindo-se i por m em F(i), 
o segundo substituindo-se i por (m + 1) em F(i), e assim por diante, 
até que o último termo seja obtido substituindo-se i por n em F(i).
O número m é chamado de limite inferior da soma, e n é chamado 
limite superior. O símbolo i é chamado o índice do somatório. É um 
símbolo “mudo”, pois qualquer outra letra poderia ser usada para esse 
propósito. Por exemplo,
Os teoremas seguintes que envolvem a notação sigma poderão ser 
úteis para nossos cálculos.
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Exemplo:
Use as Fórmulas de 1 a 4 para calcular os seguintes somatórios.
Solução:
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Área 
Suponha que o fabricante de uma moderna calculadora eletrônica 
determine que durante os 3 primeiros anos de produção, se x anos 
decorreram desde que a calculadora foi introduzida pela primeira vez, 
f (x) unidades devem ser produzidas anualmente, onde
Como deveria ser interpretada esta equação? Uma vez que
alguém poderia concluir que 348 calculadoras são produzidas 1 
ano após o lançamento do produto no mercado. Contudo, esta 
interpretação é válida somente se a taxa de produção for constante, 
na base anual. Isto é, 348 unidades deveriam ser produzidas durante o 
segundo ano somente se a taxa anual de produção durante o segundo 
ano fosse uma constante, 348 unidades, que seria o nível no fim do 
primeiro ano. Esta situação não ocorre. Por exemplo, 
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Visto que, quando x = 1, a produção é 348 unidades, e quando x = 2 
a produção é 1212 unidades, segue que o número de calculadoras 
produzidas durante o segundo ano está entre 348 e 1212. Uma melhor 
aproximação vendo o argumento que durante a primeira metade do 
segundo ano o número de unidades produzidas deveria ser pelo 
menos 1/2.(348) = 174 e durante a segunda metade ela deveria ser 
pelo menos 1/2.(708) = 354; assim, durante o segundo ano o número 
de calculadoras produzidas deveria ser pelo menos 174 + 354 = 528. 
Uma interpretação deste raciocínio está mostrada na figura ao lado. 
A figura mostra um esboço do gráfico de 
e dois retângulos sombreados. A área do primeiro retângulo é 1/2.(348) 
= 174, que seria a quantidade de calculadoras produzidas durante a 
primeira metade do segundo ano, se a produção durante este tempo 
mantiver uma taxa anual constante de f (1) = 348. A área do segundo 
retângulo é 1/2.(708) = 354, que é a quantidade de calculadoras que 
deveriam ser produzidas durante a segunda metade do ano se a 
produção durante esse tempo mantiver uma taxa anual constante de
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Área Sob o Gráfico de Uma Função
Seja f uma função contínua não negativa em [a , b]. Então, a área da 
região sob o gráfico de f é
onde x1, x2, ..., xn são pontos arbitrários pertencentes aos n 
subintervalos de [a , b] de igual comprimento x = (b - a)/n.
A Integral Definida
Como vimos, a área sob o gráfico de uma função contínua não-
negativa f num intervalo [ a , b] é definida pelo limite da soma 
de Riemann
Voltaremos agora nossa atenção ao estudo de limites de somas de 
Riemann, envolvendo funções que não são necessariamente não-
negativas. Tais limites surgem em muitas aplicações do cálculo.
Por exemplo, o cálculo da distância percorrida por um corpo que se 
move ao longo de uma reta envolve a determinação de um limite 
dessa forma. O cálculo da receita total realizada por uma companhia 
num certo período, o cálculo da energia elétrica total consumida 
numa típica residência ao longo de 24 horas, a concentração média 
de uma droga num corpo ao longo de um certo intervalo de tempo, e 
o volume de um sólido - todos envolvem limites deste tipo.
Começamos com a seguinte definição.
A Integral Definida
Seja f definida em [a , b]. Se
existe para todas as escolhas de pontos representativos x1,x2, ..., xn 
nos n subintervalos de [a , b] de igual comprimento x = (b - a)/n, 
então este limite é chamado de integral definida de f de a a b e é 
denotado por
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Assim, 
 
O número a é o extremo inferior da integração, e o número b é o 
extremo superior da integração
Interpretação Geométrica da Integral Definida
Se f é não-negativa e integrável em [a , b], então temos a seguinte 
interpretação geométrica da integral definida
Interpretação Geométrica de para em [ a , b]
Se f é não-negativa e contínua em [a , b], então
é igual à área da região sob o gráfico de f em [a , b] (Figura abaixo)
de f em [a , b].
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O Teorema Fundamental do Cálculo
Seja f contínua em [ a , b ]. Então
onde F é uma antiderivada qualquer de f, isto é, F’(x) = f (x).
Ao aplicarmos o teorema fundamental do cálculo, é conveniente 
usarmos a notação
Por exemplo, usando esta notação, escrevemos [ 1 ] da seguinte forma
Exemplo 1:
Seja R a região sob o gráfico de f (x) = x no intervalo [1 , 3]. Use o 
teorema fundamental do cálculo para determinar a área A de R e 
verifique seu resultado por meios elementares.
Solução:
A região R é mostrada na figura (a) abaixo. Como f não é negativa no 
intervalo [1,3], a área da região R é dada pela integral definida de f de 
1 a 3, ou seja,
A área de R pode ser calculada de duas maneiras diferentes.
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Para calcular a integral definida, observe que uma antiderivada de 
f (x) = x é onde C é uma constante arbitrária. Portanto, 
pelo teorema fundamental do cálculo, temos
Para verificar este resultado por meios elementares, observe que a 
área A é a soma da área do retângulo R 1 (largura x altura) com a 
área do triângulo R 2 (1/2 base x altura) como mostra a figura acima 
(b); ou seja,
que coincide com o resultado obtido anteriormente.
Observe que no cálculo da integral definida do Exemplo 1, a 
constante de integração “desapareceu”. Isto sempre acontece, pois 
se F (x) + C denota a antiderivada de uma função f, então
Tendo em mente este fato, em todos os cálculos futuros envolvendo 
uma integral definida, podemos ignorar a constante de integração.
Calculando Integrais Definidas
Exemplo 2:
Solução:
Aplicação
Um estudo de eficiência conduzido para a Companhia Elektra 
Electronics, mostrou que a taxa à qual os intercomunicadores do 
tipo Space Commander são montados por um trabalhador médio, t 
horas após iniciar o trabalho às 8:00 da manhã, é dada por 
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Determine quantos intercomunicadores podem ser montados por 
um trabalhador médio na primeira hora do turno da manhã.
Solução:
Denotemos por N(t) o número de intercomunicadores montados 
por um trabalhador médio t horas após iniciar o seu trabalhono 
turno da manhã. Então, temos 
Portanto, o número de unidades montadas por um trabalhador 
médio na primeira hora do turno da manhã é
ou seja, 20 unidades.
Propriedades da Integral Definida
Seja f e g integrais definidas, então,
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A propriedade 5 afirma que c é um número entre a e b de forma que 
divida o intervalo [a , b] nos intervalos [a , c] e [c , b], então a integral 
de f no intervalo [a, b] pode ser expressa como a soma da integral de 
f no intervalo [a , c] com a integral de f no intervalo [c , b].
A propriedade 5 tem a seguinte interpretação geométrica quando f 
não negativa. Por definição é a área da região sob o gráfico 
de y = f (x) de x = a a x = b (como mostra a figura 1). Analogamente, 
interpretamos as integrais definidas
como as áreas das regiões sob o gráfico de y = f (x) de x = a a x = 
c e de x = c a x = b, respectivamente. Como as duas regiões não se 
sobrepõem, vemos que
Método de Substituição para Integrais Definidas
Este exemplo mostra duas formas distintas de se calcular uma integral 
definida usando o método de substituição.
Exemplo:
Solução:
(Método 1) Primeiramente, determinamos a integral 
indefinida correspondente.
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Fazemos a substituição , de modo que
Então,
Usando este resultado, calculamos agora a integral definida:
(Método 2) Mudando os limites de integração. Como antes, fazemos 
a substituição
Em seguida, observamos que a integral definida é calculada em 
relação a x com o domínio de integração dado pelo intervalo [0 , 4]. 
Se efetuarmos a integração em relação a u por meio da substituição [ 
1 ],então devemos ajustar o domínio de integração para refletir o fato 
de que a integração está sendo executada em relação à nova variável 
u. Para determinar o domínio apropriado de integração, note que, x = 
0, a equação [ 1 ] implica que
que fornece o limite inferior de integração com relação a u. 
Analogamente, quando x = 4, u = 9 + 16 = 25
é o limite superior de integração com relação a u. Assim, o domínio 
de integração quando a integração é efetuada com relação a u é dado 
pelo intervalo [9 , 25]. Portanto, temos
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que coincide com o resultado obtido usando o método 1.
Valor Médio de uma Função
Suponha que f integrável em [ a , b ]. Então, o valor médio de f em 
[a , b] é
Exemplo:
Determine o valor médio da função no intervalo [0 , 4].
Solução:
O valor médio solicitado é dado por
Aplicação
As taxas de juros cobradas pela Madison Finance sobre empréstimos 
para compra de carros usados durante um certo período de 6 meses 
no ano 2000 são aproximadas pela função
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onde t é medido em meses e r(t) é a porcentagem anual. Qual é a 
taxa média sobre tais empréstimos concedidos pela Madison durante 
o período de 6 meses em questão?
Solução:
A taxa média durante o período de 6 meses em questão é dada por
ou seja, 9% ao ano.
Daremos agora uma interpretação geométrica do valor médio de 
uma função f num intervalo [a , b]. Suponha que f (x) é não negativa, 
de modo que a integral definida é a área sob o gráfico de f 
de x = a a x = b (como mostra a figura ao lado). 
Observe que, em geral, a “altura” f (x) varia de ponto a ponto. Podemos 
substituir f (x) por uma função constante g (x) = k (que tem altura 
constante), tal que as áreas sob cada uma das duas funções f e g sejam 
as mesmas? Se isto ocorre, como a área sob o gráfico de g de x = a a 
x = b é k (b - a), temos
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de modo que k é o valor médio de f em [a , b]. Assim, o valor médio 
da função f num intervalo [a , b] é a altura de um retângulo com base 
de comprimento (b - a) que tem a mesma área da região sob o gráfico 
de f de x = a a x = b.
Área Entre Duas Curvas
Suponha que f e g funções contínuas tais que
no intervalo [a , b]. Então, a área da região limitada superiormente 
por y = f (x) e inferiormente por y = g (x) em [a , b] é dada por 
Embora tenhamos assumido que tanto f quanto g fossem não 
negativas ao enunciarmos a equação acima, podemos mostrar que 
esta equação permanece válida para f e g quaisquer. Observa também 
que se g (x) é zero para todo x, isto é, quando a fronteira inferior da 
região R é o eixo x, então a equação acima fornece a área da região 
sob a curva y = f (x) de x = a a x = b, como seria de esperar.
Exemplo:
Determine a área da região limitada pelo eixo x, o gráfico de 
 e as retas x = -1 e x = 4.
Solução:
A região R em consideração é mostrada na figura abaixo. Podemos 
ver R como a região limitada superiormente pelo gráfico de f (x) = 0 
(o eixo x) e inferiormente pelo gráfico de 
Portanto, a área de R é dada por
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Aplicação
Num estudo realizado em 1994 para o Ministério do Desenvolvimento 
Econômico de um certo país emergente, economistas do governo e 
especialistas em energia concluíram que se o Projeto de Lei sobre 
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Conservação de Energia fosse implementado em 1995, o consumo de 
petróleo daquele país pelos 5 anos subseqüentes cresceria de acordo 
com o modelo R(t)= 20e 0,05t
onde t é medido em anos (t = 0 correspondendo ao ano de 1995) e 
R(t) em milhões de barris por ano. Sem estas mediadas impostas pelo 
governo, entretanto, a taxa de crescimento esperada de consumo de 
petróleo seria dada por
R1(t) = 20e 0,08t
milhões de barris por ano. Usando estes modelos, determine quanto 
petróleo teria sido economizado de 1995 até 2000 se o projeto de lei 
tivesse sido implementado.
Solução:
Sob a vigência do Projeto de Lei sobre Conservação de Energia, a 
quantidade total de petróleo que teria sido consumida entre 1995 e 
2000 é dada por
Na ausência do projeto de lei, a quantidade total de petróleo que teria 
sido consumida entre 1995 e 2000 é dada por
A equação [ 1 ] pode ser interpretada como a área da região sob a 
curva y = R(t) de t = 0 a t = 5. Analogamente, interpretamos [ 2 ] 
como a área da região sob a curva y = R 1(t) de t = 0 a t = 5. Note 
também que o gráfico de y = R 1(t) = 20e 0,08t se situa sempre acima 
do gráfico de y = R(t) = 20e 0,05t (t 0). Assim, a área da região 
sombreada S na figura abaixo mostra a quantidade de petróleo que 
teria sido economizada de 1995 a 2000 se o Projeto de Lei sobre 
Conservação de Energia tivesse sido implementado. Mas a área da 
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região S é dada por
ou seja, aproximadamente 9,3 unidades quadradas. Portanto, a 
quantidade de petróleo que teria sido economizada é de 9,3 milhões 
de barris.
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Referências Bibliográficas
TAN, S.T. Matemática Aplicada à Administração e Economia. São Paulo: 
Thomson, 2001.
MEDEIROS DA SILVA, Sebastião e outros. Matemática para os cursos de 
Economia, Administração, Ciências Contábeis. vol. 1. 5 Ed. São Paulo: 
Atlas, 1999 .
LEITHOLD, L. O Matemática Aplicada à Economia e Administração. São 
Paulo: Harbra, 1988.
STEWART JAMES, Cálculo Vol. I. 4ª Ed. São Paulo: Pioneira Thomson 
Learning, 2003.