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Matemática Superior - UVB
Faculdade On-line UVB1
Aula 15
Aplicações da Integração Definida
Objetivos da Aula
Apresentar aplicações de integral definida na área da administração 
e economia.
Excedentes de Consumo e Produção
O excedente de consumo é dado por
onde D é a função demanda, é o preço unitário de mercado e é 
a quantidade vendida.
O excedente de consumo é dado pela área da região limitada 
superiormente pela curva de demanda p = D(x) e inferiormente pela 
reta como mostra a figura abaixo. Também 
podemos ver isto reescrevendo a equação [ 1 ] sob a forma
e interpretando o resultado geometricamente.
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Analogamente, podemos deduzir uma fórmula para calcular o 
excedente de produção. Suponha que p = S(x) é a equação de oferta 
que relaciona o preço unitário p de um certo bem à quantidade x que 
o fornecedor tornará disponível no mercado àquele preço.
Novamente, suponha que um preço fixo de mercado foi estabelecido 
para o bem e que, correspondendo a este preço unitário, uma 
quantidade de unidades será colocada no mercado (como mostra a 
figura a). Então, os fornecedores que estiverem dispostos a colocar o 
bem no mercado a um preço mais baixo terão uma chance de lucrar 
com este fato. A diferença entre o que os fornecedores realmente 
recebem e o que eles estariam dispostos a receber é chamada de 
excedente de produção. Procedendo de modo análogo à dedução da 
equação para calcular o excedente de consumo, deduzimos que o 
excedente de produção PS pode ser definido da seguinte maneira:
O excedente de produção é dado por
onde S(x) é a função oferta, é o preço unitário de mercado, e é 
a quantidade em oferta.
Geometricamente o excedente de produção é dado pela área da 
região limitada superiormente pela reta e inferiormente pela 
curva de oferta p = S(x) de (como mostra a figura b).
Podemos também mostrar que esta última afirmação é verdadeira 
convertendo a equação [ 2 ] para a forma
e interpretando a integral definida geometricamente.
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Exemplo:
A função demanda para uma certa marca de bicicleta de 10 velocidades 
é dada por 
onde p é o preço unitário em dólares e x é a quantidade demandada 
em unidades de milhar. 
A função oferta para essas bicicletas é dada por
onde p denota preço unitário em dólares e x denota o número de 
bicicletas que o fornecedor colocará no mercado, em unidades 
de milhar. Determine o excedente de consumo e o excedente de 
produção se o preço de mercado de uma bicicleta é igual ao preço 
de equilíbrio.
Solução:
Lembre-se de que o preço de equilíbrio é o preço unitário do bem 
quando a equilíbrio de mercado. Podemos determinar o preço de 
equilíbrio encontrando o ponto de intersecção entre a curva de 
demanda e a curva de oferta como mostra a figura abaixo. Para 
resolver o sistema de equações 
simplesmente substituímos a primeira equação na segunda, 
obtendo
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Excedente de consumo e excedente de produção quando preço de 
mercado = preço de equilíbrio
Fatorando esta última equação, obtemos (2x + 625) . (x - 300) = 0. 
Assim, x = -625/2 ou x = 300. O primeiro número está fora do intervalo 
de interesse, o que nos deixa apenas com a solução x = 300, com um 
valor correspondente de 
Logo, o ponto de equilíbrio é (300 , 160); ou seja, a quantidade 
de equilíbrio é de 300.000, e o preço de equilíbrio é de $ 160. 
Estabelecendo o preço de mercado a $ 160 por unidade e usando a 
fórmula [ 1 ] com , deduzimos que o excedente de 
consumo é dado por
ou seja, $ 18.000.000.
(Lembre-se de que x é medido em unidades de milhar) Em seguida, 
usando a fórmula [ 2 ], deduzimos que o excedente de produção é 
dado por
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ou seja, $ 11.700.000.
Valores Futuro e Presente de um Fluxo de Renda
Para introduzir a noção de valor futuro e valor presente de um fluxo de 
renda, supunha que uma firma gera um fluxo de renda por um certo 
período de tempo, por exemplo, a receita gerada por uma grande 
cadeia de lojas durante um período de 5 anos. À medida que a renda 
é realizada, ela é reinvestida e rende juros a uma taxa fixa. O fluxo de 
renda futura acumulado durante o período de 5 anos é quantia de 
dinheiro que a firma possui ao final desse período.
A integral definida pode ser usada para determinar este fluxo de renda 
futura acumulado ou total, durante um certo período de tempo. O 
valor futuro total de um fluxo de renda fornece-nos uma maneira 
de medir o valor de tal fluxo. Para determinar o valor futuro total de 
um fluxo de renda, suponha que
R(t) = taxa de geração de renda no instante t (dólares por ano)
r = taxa de juros compostos continuamente
T = a prazo (em anos)
Dividamos o intervalo de tempo [0 , T] em n subintervalos de mesmo 
comprimento = T/n e denotemos os extremos direitos destes 
intervalos por t 1, t 2, ..., t n = T como mostrado na figura abaixo.
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Se R é uma função contínua em [0 , T], então R(t) não diferirá muito de 
R(t 1) no subintervalo [0 , T 1], desde que tal intervalo seja pequeno 
(o que é verdadeiro se n é grande).
O intervalo de tempo [0 , T] é dividido em n subintervalos.
Por tanto, a renda gerada durante o inter valo de tempo 
[ 0 , T 1] é aproximadamente
dólares. O valor futuro desta quantia daqui a T anos, calculado como 
se fosse ganho no instante t 1, é igual a 
dólares. Analogamente, a renda gerada durante o intervalo de tempo 
[t 1, t 2] é aproximadamente P(t 2) dólares e tem um valor futuro 
daqui a T anos de aproximadamente.
dólares. Portanto, a soma dos valores futuros do fluxo de renda gerado 
ao longo do intervalo de tempo [0 , T] é aproximadamente
dólares. Mas esta soma é precisamente a soma de Riemann da função e 
rT R(t)e -rt no intervalo de tempo [0 , T] com pontos representativos 
t 1, t2, ..., t n. 
Fazendo n tender a infinito, obtemos o resultado a seguir.
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Valor Futuro Acumulado ou Total de Um Fluxo 
de Renda
O valor futuro acumulado, ou total, após T anos de um fluxo de 
renda de R(t) dólares por ano, rendendo juros à taxa de r por ano 
compostos continuamente, é dado por
Exemplo:
O lava rápido Crystal comprou recentemente uma máquina 
automática de lavagem de carros que, estima-se, gerará uma renda 
de $ 40.000 por ano, daqui a t anos, pelos próximos 5 anos. Se a 
renda é reinvestida no negócio pagando juros à taxa de 12 % ao ano 
compostos continuamente, determine o valor total acumulado deste 
fluxo de renda ao final de 5 anos.
Solução:
Devemos determinar o valor futuro total do fluxo de renda dado após 
5 anos. Usando a equação [ 1 ] com R(t) = 40.000, r = 0,12 r T = 5, 
vemos que o valor solicitado é dado por
(Integre usando a substituição u = -0,12t.)
ou seja, aproximadamente $ 274.040.
Uma outra maneira de medir o valor de um fluxo de renda é considerar 
seu valor presente. O valor presente de um fluxo de renda de R(t) 
dólares por ano por um prazo de T anos, rendendo juros à taxa de 
r por ano compostos continuamente, é o principal P que resultará 
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num valor acumulado igual ao do próprio fluxo de renda quando P é 
investido hoje por um período de T anos à mesma taxa de juros. Em 
outras palavras,
Dividindo ambos os lados desta equação por e rT obtemos o resultado 
a seguir.
Valor Presente de um Fluxo de Renda
O valor presentede um fluxo de renda de R(t) dólares por ano, 
rendendo juros à taxa de r ao ano compostos continuamente, é 
dado por
Exemplo:
O dono de um cinema está considerando 2 planos alternativos para 
reformas do cinema. O plano A exige um desembolso de $ 250.000, 
enquanto o plano B requer um desembolso de $ 180.000. Foi estimado 
que, adotando o plano A resultaria um fluxo de renda líquida gerado à 
taxa de f (t) = 630.000 dólares por ano, enquanto o plano B resultaria 
num fluxo de renda líquida gerado à taxa de g(t) = 580.000 dólares 
por ano pelos próximos 3 anos. 
Se a taxa de juros pelos próximos 5 anos for de 10% ao ano, qual dos 
dois planos gerará maior renda líquida ao final de 3 anos?
Solução:
Como o desembolso inicial é de $ 250.000, deduzimos, usando a 
equação [ 1 ] com R(t) = 630.000, R = 0,1 e T = 3, que o valor presente 
da renda líquida sob o plano A é dado por
 (Integre usando a substituição u = -0,1t.)
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ou seja, aproximadamente $ 1.382.845.
Para determinar o valor presente da renda líquida sob o plano B, 
utilizamos [ 1 ] com R(t) = 580.000, r = 0,1 e T = 3, obtendo
dólares. procedendo como no cálculo anterior, vemos que o valor 
solicitado é de $ 1.323.254.
Comparando os valores presentes de ambos os planos, concluímos 
que o plano A geraria uma renda líquida maior ao final de 3 anos.
Observação:
A função R no exemplo acima é uma função constante. Se R não for 
constante, então podemos precisar de técnicas mais sofisticadas para 
calcular a integral em [ 1 ].
Montante e o Valor Presente de uma Anuidade
Uma anuidade é uma seqüência de pagamentos feitos em intervalos 
regulares de tempo. O período de tempo durante o qual tais 
pagamentos são efetuados é chamado de prazo da anuidade. Embora 
os pagamentos não precisem ser iguais em valor, eles são iguais em 
muitas aplicações importantes, e assumiremos que eles são iguais 
em nossa discussão. Exemplos de anuidades são depósitos regulares 
em uma poupança, pagamentos mensais de hipoteca e pagamentos 
mensais de seguro.
O montante de uma anuidade é a soma dos pagamentos mais os juros 
obtidos. Uma fórmula para calcular o montante de uma anuidade A 
pode ser deduzida com a ajuda da fórmula 
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Sejam 
P = valor de cada pagamento da anuidade.
r = taxa de juros compostos continuamente.
T = prazo da anuidade (em anos)
m = número de pagamentos por ano.
Os pagamentos dentro da anuidade constituem um fluxo de renda 
constante de R(t) = mP dólares ao ano. 
Com este valor 
Isto nos leva à seguinte fórmula.
Montante de uma Anuidade
O montante de uma anuidade é dado por
onde P, r, T e m são como definidos anteriormente.
Exemplo:
Em 1º de janeiro de 1990, Marcus Chapman depositou $ 2000 
numa conta de aposentadoria que paga juros à taxa de 10% ao ano 
compostos continuamente. Assumindo que ele deposite $ 2000 
anualmente nesta conta, quanto ele terá no início do ano 2006?
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Solução:
Utilizamos [ 1 ] com P = 2000, r = 0,1, T = 16 e m = 1, obtendo
Logo, Marcus terá aproximadamente $ 79.061 em sua conta no início 
do ano 2006.
Valor Presente de uma Anuidade
O valor presente de uma anuidade é dado por
onde P, r, T e m são como definidos anteriormente.
Exemplo:
O proprietário de uma loja de ferramentas deseja estabelecer um fundo 
do qual ele possa sacar $ 1000 por mês pelos próximos 10 anos. Se 
o fundo rende juros à taxa de 9% ao ano compostos continuamente, 
quanto dinheiro ele necessita para estabelecer o fundo?
Solução:
Desejamos determinar o valor presente de uma anuidade com 
P = 1000, r = 0,09, T = 10 e m = 12. 
Usando a equação [ 1 ], obtemos
Portanto, ele necessita de aproximadamente $ 79.124 para estabelecer 
o fundo.
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Referências Bibliográficas
TAN, S.T. Matemática Aplicada à Administração e Economia. São Paulo: 
Thomson, 2001.
MEDEIROS DA SILVA, Sebastião e outros. Matemática para os cursos de 
Economia, Administração, Ciências Contábeis. vol. 1. 5 Ed. São Paulo: 
Atlas, 1999 .
LEITHOLD, L. O Matemática Aplicada à Economia e Administração. São 
Paulo: Harbra, 1988.
STEWART JAMES, Cálculo Vol. I. 4ª Ed. São Paulo: Pioneira Thomson 
Learning, 2003.