Propriedades Somatorios

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Expresso˜es indexadas: somato´rios e produto´rios
Jose´ Carlos Fogo
Marc¸o 2014
1 Somato´rio
E´ uma forma abreviada para representac¸a˜o de somas, sendo definido pela letra grega
sigma maiu´scula ΣΣΣ. Por exemplo, a soma 1 + 2 + 3 + . . . + n, pode ser escrita por
n∑
i=1
i
que se leˆ: soma de i, para i = 1 ate´ n (i e´ o limite inferior da soma e n o limite superior).
A letra i e´ o ı´ndexador, podendo ser representado por qualquer outra letra (normalmente
minu´scula), desde que na˜o interfira na soma. Usualmente os indexadores sa˜o representados
pelas letras i, j, k, l.
Exemplos
a)
n∑
i=1
xi = x1 + x2 + x3 + . . . + xn;
b)
n∑
i=0
xi = 1 + x + x2 + x3 + . . . + xn;
c)
n∑
i=1
aixi = a1x1 + a2x2 + a3x3 + . . . + anxn;
Caso especial a1 = a2 = a3 = . . . = an = a:
ax1 + ax2 + ax3 + . . . + axn =
n∑
i=1
axi = a
n∑
i=1
xi;
Algumas propriedades
i) Seja uma constante C ∈ R, enta˜o:
n∑
i=m
C = (n−m + 1)C,
Probabilidade 1 Expresso˜es indexadas: somato´rios e produto´rios
Caso especial: m = 1, enta˜o,
n∑
i=1
C = nC;
ii)
n∑
i=1
(aixi + biyi) =
n∑
i=1
aixi +
n∑
i=1
biyi.
iii)
n∑
k=0
k =
n∑
k=1
k =
n(n + 1)
2
;
iv)
n∑
i=k
(xi − xi+1) = xk − xn+1.
Ale´m disso, alguns cuidados devem tomados com respeito a`s prioridades das opreac¸o˜es:
v)
n∑
i=1
ai(xi + k) 6=
n∑
i=1
(aixi + k);
vi)
n∑
i=1
(aixi + k) 6=
n∑
i=1
aixi + k;
vii)
n∑
i=1
a21 + a
2
2 + a
2
3 + . . . + a
2
n 6=
(
n∑
i=1
ai
)2
;
viii) Soma infinita: e´ a soma de infinitos termos, a qual, espera-se que convirja para um de-
terminado valor. E´ muito aplicada na teoria da probabilidade na definic¸a˜o de modelos
em espac¸os infinitos discretos.
∞∑
i=1
xi = x1 + x2 + x3 + . . ..
Exemplo: Qual e´ a frac¸a˜o geradora da d´ızima 2.77777...?
2.77777... = 2 + 0.7 + 0.07 + 0.007 + . . .
= 2 +
7
10
+
7
100
+
7
1000
+ . . .
= 2 +
∞∑
k=1
7
10k
A u´ltima linha da expressa˜o representa a soma dos infinitos termos de uma P.G. de
raza˜o 1
10
, logo
2.77777... = 2 +
7/10
1− 1/10 =
25
9
3
Probabilidade 1 Expresso˜es indexadas: somato´rios e produto´rios
Exerc´ıcios:
1-) Represente as somas utilizando somato´rios:
a) x1y1 + x2y2 + . . . + x10y10;
b) 1 + 22 + 33 + 44 + . . . + 2525;
c)
1
y1
+
2
y2
+ . . . +
k
yk
;
d) (a2 − b1) + (a3 − b2) + . . . + (a50 − b49);
e) b0 + b1x + b2x
2 + b3x
3 + b4x
4.
2-) Calcule o valor de:
a)
5∑
j=1
(−1)j+1
j
;
b)
n∑
`=2
(2` − 2`−1).
3-) Indique verdadeiro (V) ou falso (F) para cada uma das expresso˜es:
a) ( )
200∑
k=0
k3 =
200∑
k=1
k3;
b) ( )
1000∑
p=0
(3 + p) = 3 +
1000∑
p=0
p;
c) ( )
n∑
`=1
(3`) = 3
n∑
`=1
`;
d) ( )
12∑
k=0
kp =
(
12∑
k=0
k
)p
;
e) ( )
32∑
t=8
(3 + t) = 75 +
32∑
t=8
t.
4-) Determina o valor de k para que as expresso˜es sejam verdadeiras:
a)
50∑
i=1
(5 + i) = 10k +
50∑
i=1
i;
b)
10∑
j=1
(1 + j)2 = k +
10∑
j=1
j2;
4
Probabilidade 1 Expresso˜es indexadas: somato´rios e produto´rios
c)
500∑
i=0
5i3 = 10k
500∑
i=1
i3;
d)
51∑
j=0
(1 + j) =
51∑
j=1
j + 104.
5-) Calcule recorrendo a`s propriedades de somato´rios:
a)
10∑
k=0
(5 + 4k);
b)
n∑
k=1
[
(2k + 1)2 − 2k2] e determine o valor para n = 20;
c)
n∑
k=1
[
(5k + 1)2 − (5k − 1)2];
d)
n∑
k=1
(
1
5k
− 1
5k+1
)
.
e)
n∑
k=1
(
k + 1
2k − 1 −
k + 2
2k + 1
)
.
6-) Encontre as frac¸o˜es formadora das d´ızimas usando somas infinitas:
a) 10.44444...;
b) 6.252525...;
c) 0.0434343....
2 Produto´rio:
E´ utilizado para representar produtos, sendo definido pela letra grega pi maiu´scula ΠΠΠ.
Utiliza os mesmos indexadores que o somato´rio: i, j, k, l.
Exemplos
a)
n∏
i=1
i = 1 · 2 · 3 · . . . · n ;
5
Probabilidade 1 Expresso˜es indexadas: somato´rios e produto´rios
b)
n∏
i=1
xi = x1 · x2 · x3 · . . . · xn ;
c)
n∏
i=1
aixi = a1x1 · a2x2 · a3x3 · . . . · anxn ;
d)
n∏
i=1
(xi + yi) = (x1 + y1) · (x2 + y2) · (x3 + y3) · . . . · (xn + yn) ;
Algumas propriedades
i) ax1 · ax2 · ax3 · . . . · axn =
n∏
i=1
axi = a
n
n∏
i=1
xi.
ii)
n∏
i=1
Axi = Ax1 · Ax2 · Ax3 · . . . · Axn = A
∑n
i=1 xi ;
iii)
q∏
i=p
xi
xi+1
=
xp
xq+1
.
Exerc´ıcios:
1-) Represente os produtos utilizando produto´rios:
a)
1
x1
· 2
x2
· 3
x3
· 4
x4
· 5
x5
;
b) 10! ;
c)
n∏
a=5
a− 1
a
, e calcule o valor para n = 20 ;
d)
(n− k)!
n!
;
e) Ckn =
(
n
k
)
(combinac¸a˜o) .
2-) Calcule o valor de:
a)
10∏
j=1
1
10
;
6
Probabilidade 1 Expresso˜es indexadas: somato´rios e produto´rios
b)
8∏
`=1
2` ;
c)
n∏
i=1
xi
xi+1
;
d)
2n∏
k=1
A(−1)
k
;
e)
2n+1∏
k=1
A(−1)
k
;
f)
7∏
k=1
√
3k+1 .
3 Outros operadores:
a) Unia˜o:
n⋃
i=1
;
b) Intersecc¸a˜o:
n⋂
i=1
.
7