Lista de exercicios - calculo 3 - Reta Normal, plano tangente, derivada direcional

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Cálculo III
Lista 03 Data:
Aluno: Nota:
1. Calcule a derivada direcional da função z = f (x, y) no
ponto Po, na direção indicada:
(a) z = x3 + 5x2y, Po(2, 1) na direção da reta y = x. R.:
26
√
2
(b) z = yexy, Po(0, 0) na direção da reta ~v = 4iˆ + 3 jˆ. R.:
3
√
5
(c) z = x2 − y2, Po(2, 3) na direção tangente à curva
2x − 5y2 = 15 no ponto (0, √3). R.: 20 + 2
√
3√
26
2. Calcule o valormáximo da derivada direcional da fun-
ção w = f (x, y, z) no ponto Po:
(a) w =
1
x2 + y2 + z2
; Po(1, 2,−3). R.:
√
14/98
(b) w = excos(yz); Po(1, 0, pi). R.: e
3. Encontre o plano tangente e a reta normal à superfície
dada no ponto indicada:
(a) z = x2 − y2; Po(1, 1, 0). R.: plano tangente:
2x + 2y − z = 4, reta normal x − 1
2
=
y − 1
2
= −z
(b) x2 + 2y2 + 3z2 = 6; Po(1, 1, 1). R.: plano tangente:
x+ 2y+ 3z = 6, reta normal
x − 1
2
=
y − 4
4
=
z − 1
6
(c) z = x
√
x2 + y2; Po(3,−4, 15). R.: plano tangente:
43x − 24y − 5z = 15, reta normal 5(x − 3)
43
=
5(y + 4)
24
= −z + 15
(d) z =
√
9 − x2 − y2; Po(−1, 2, 2). R.: plano tangente:
x − 2y − 2z + 9 = 0, reta normal x + 1−2 =
y − 2
1
=
z − 2
4
4. Seja λ a curva em R3 descrita por x = sen(t), y =
sen(t), z = cos(2t), 0 ≤ t ≤ 2pi. Mostre que a curva
λ está contida no paraboloide x2 + y2 + z = 1 e deter-
mine a reta tangente e o plano normal à curva no ponto
correspondente a t = pi/4.
5. Seja f (x, y, z) = 3x + 5y + 2z e denote ~v o campo de
vetores normais exteriores à esfera x2 + y2 + z2 = R2.
Calcule a derivada direcional D~v f (x, y, z).
6. Calcule a derivada direcional no ponto Po(1, 2, 3) da
função w = 2x2 − y2 + z2, na direção da reta que passa
nos pontos A(1, 2, 1) e B(3, 5, 0). R.:A direção unitária é
uˆ =
1√
14
(2, 3,−1) e, assim, Duˆw = ∇.uˆ = −10√
14
7. Determine o plano tangente à superfície z = 2x2 + y2 −
3xy, paralelo ao plano de equação 10x−7y−2z+5 = 0.
R.: 10x − 7y − 2z − 6 = 0
8. Determine umplano que passa pelos pontos P(5, 0, 1) e
Q(1, 0, 3) e que seja tangente à superfície x2+2y2+ z2 =
7. R.: 2x + 4y + 4z = 14
9. A temperatura T no ponto (x,y) de uma placa me-
tálica circular com centro na origem vem dada por
T(x, y) =
100
2 + x2 + y2
oC. Qual a direção que se deve
tomar a partir do ponto A(1, 1) de modo que a tem-
peratura aumente o mais rápido possível e com que
velocidade T(x, y) aumenta ao passar pelo ponto A
nessa direção? R.:
−√2
2
iˆ −
√
2
2
jˆ; 50
√
2 oC/cm
10. A superfície de um lago é representada por uma região
D do plano xy de modo que a profundidade (medida
emmetros) sob o ponto (x,y) é p(x, y) = 300−x2− y2Em
que direção um bote no ponto A(4,9) deve navegar
para que a profundidade da agua decresça mais rapi-
damente? Em que direção a profundidade permanece
a mesma?
11. A temperatura no ponto (x,y,z) do cilindro x2 + y2 = 1
vemdada por t(x, y, z) = xy+z. Qual a taxa instantânea
de variação de temperatura, em relação a t, ao longo
da hélice x = cos(t), y = sen(t), z = t? Qual a taxa no
ponto (1,0,0) da hélice?
12. A temperatura no ponto (x,y) de uma placa retangular
é T(x, y) = x.sen(2y). Um ponto P se move no sen-
tido horário, ao longo do círculo unitário centrado na
origem, a uma velocidade constante de 2 unidades de
comprimento de arco por segundo. Qual a velocidade
de variação de temperatura no instante emque o ponto
P se situar em (1/2,
√
3/2)? R.: −cos√3 + √3sen√3