Calcule a derivada direcional da função 22 yx)y,x(f −= , no ponto P0 = (2, 3), na direção da reta tangente à curva 3y5x2 2 −=+ no ponto )1,1(P1 −=...

Para calcular a derivada direcional da função f(x,y) no ponto P0 = (2,3) na direção da reta tangente à curva 3y = 5x² + 2 no ponto P1 = (1,1), podemos seguir os seguintes passos: Passo 1: Encontrar o vetor diretor da reta tangente à curva no ponto P1. Para isso, precisamos encontrar a derivada da curva em relação a x e em relação a y, e avaliar essas derivadas no ponto P1. Temos: f(x,y) = 3y - 5x² - 2 ∂f/∂x = -10x ∂f/∂y = 3 ∂f/∂x(P1) = -10(1) = -10 ∂f/∂y(P1) = 3 Portanto, o vetor diretor da reta tangente à curva no ponto P1 é dado por v = (-10, 3). Passo 2: Normalizar o vetor diretor v para obter o vetor unitário u na direção da reta tangente. Temos: ||v|| = sqrt((-10)² + 3²) = sqrt(109) u = v/||v|| = (-10/sqrt(109), 3/sqrt(109)) Passo 3: Calcular a derivada direcional da função f(x,y) no ponto P0 na direção do vetor unitário u. Temos: ∇f = (∂f/∂x, ∂f/∂y) = (-10x, 3) ∇f(P0) = (-20, 3) Duf = ∇f(P0) . u = (-20/sqrt(109), 3/sqrt(109)) . (-10/sqrt(109), 3/sqrt(109)) = -207/109 Portanto, a derivada direcional da função f(x,y) no ponto P0 = (2,3) na direção da reta tangente à curva 3y = 5x² + 2 no ponto P1 = (1,1) é igual a -207/109.