Álgebra Boleana

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Faculdade Pitágoras – Campus Linhares 
Colegiado de Engenharia 
Lógica Matemática e Computacional 
Professor: Alexandro José Correia Scopel 
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Introdução à Álgebra de Boole 
 
Uma álgebra Booleana pode ser definida com um conjunto de operadores e um 
conjunto de axiomas, que são assumidos verdadeiros sem necessidade de prova. 
 
Em 1854, o matemático inglês George Boole (1815-1864), através da obra intitulada An 
Investigation of the Laws of Thought, introduziu o formalismo que até hoje se usa para 
o tratamento sistemático da lógica, que é a chamada Álgebra Booleana. 
 
No início da “era eletrônica”, todos os problemas eram resolvidos por sistemas 
analógicos, também conhecidos como sistemas lineares. 
 
Em 1938, o engenheiro americano Claude Elwood Shannon aplicou esta álgebra para 
mostrar que as propriedades de circuitos elétricos de chaveamento podem ser 
representadas por uma álgebra Booleana com dois valores, para isto, publicou o 
trabalho Symbolic Analysis Relay and Switching, praticamente introduzindo na área 
tecnológica o campo da eletrônica digital. 
 
Esse ramo da eletrônica emprega em seus sistemas um pequeno grupo de circuitos 
básicos padronizados conhecidos como portas lógicas. 
 
Através da utilização conveniente destas portas, podemos “implementar” todas as 
expressões geradas pela álgebra de Boole, que constituem a base dos projetos dos 
sistemas já referidos. 
 
Diferentemente da álgebra ordinária dos reais, onde as variáveis podem assumir 
valores no intervalo 
;
, as variáveis Booleanas só podem assumir um número 
finito de valores. Em particular, na álgebra Booleana de dois valores, cada variável 
pode assumir um dentre dois valores possíveis, os quais podem ser denotados por V 
ou V (falso ou verdadeiro), ou 0 (zero) ou 1 (um). Nesta disciplina, adotaremos a 
notação [0,1], a qual também é utilizada em eletrônica digital. Como o número de 
valores que cada variável podem assumir é finito (e pequeno), o número de estados 
que uma função Booleana pode assumir também será finito, o que significa que 
podemos descrever completamente as funções Booleanas utilizando tabelas. Devido a 
este fato, uma tabela que descreva uma função Booleana recebe o nome de tabela 
verdade, e nela são listadas todas as combinações de valores que as variáveis de 
entrada podem assumir e os correspondentes valores da função (saídas). 
 
Álgebra Booleana 
Dizemos que o sistema algébrico (B,+, . ) é uma Álgebra de Boole quando e somente 
quando 
Bcba ,,
, valem os axiomas: 
 
Axiomas da Álgebra de Boole 
A1) 
Bba
 
A2) 
Bba.
 
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A3) 
abba
 
A4) 
abba ..
 
A5) 
)).(().( cabacba
 
A6) 
cabacba ..).(
 
A7) 
B0
 tal que para cada 
Ba
, 
aaa 00
 
A8) 
B1
 tal que para cada 
Ba
, 
aaa .11.
 
A9) Para cada 
Ba
, 
Ba
 tal que 
1aa
, 
0.aa
 
 
Teoremas da Álgebra de Boole 
 
T1) Princípio da dualidade: Todo resultado dedutível dos axiomas de uma Álgebra de 
Boole permanece válido se trocarmos + por x e 0 por 1, e vice versa. 
Ex1.: Dualizar a expressão x.y’+x’.y.z+y.z’ 
Ex2.: Dar o dual da expressão x’+y=0 
 
T2) 
aaa
, 
aaa. , Ba 
 
T3) 
11a
, 
00.a , Ba 
 
T4) (Lei da Absorção) 
abaa .
, 
abaa ).( 
 
T5) 
babaa ).( 
 
T6) 
cbacba )()(
, 
cbacba )..()..( 
 
T7) 
aa 
 
T8) 
ababa .. 
 
T9) 
10
, 
01 
 
T10) (De Morgan) 
baba ).(
, 
baba .)( 
 
T11) 
cabacbcaba ..... 
 
T12) 
bacacbcaba ..))().(( 
 
T13) 
bacacaba ..)).((
 
 
Ex3.: Simplificar as expressões seguintes utilizando os teoremas e axiomas da Álgebra 
de Boole. 
a) (a+b).(a+b’+c’) 
b) (p+q.r).(p’.q’+r’)+p’.q’.r’ 
c) p.q’+p.q.r+p’.r 
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Ex4.: Determine o complemento de p.q’+p’.q 
 
Exercícios 
1) Simplificar as expressões a seguir, justificando cada passagem: 
a) (a.b)+(a.b’) 
b) (p.q)+(p.(q’.r)) 
c) (b.(a.c))+(a.(b.c’)) 
d) p+((p’.(p+q))+(q.r)) 
e) (x+(y.z)).(x+(y’.z)) 
 
2) Simplificar: 
a) ab+ac+abc+ab’c’ 
b) (p+q+r).(p+q+s) 
c) x’+xy’+xyz+xy’z’ 
d) (a+b’)(b+c’)(c+d’)(d+a’) 
e) (a+b)(b+c)(c+a)