Teorema de Green para Integrais Duplas

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Cálculo II (Cursão)
Aula 18 – Teorema de Green.
Marcos Eduardo Valle
Depart. Matemática Aplicada
IMECC – Unicamp
Marcos Eduardo Valle MA211 – Cálculo II (Cursão) 1 / 22
Introdução
O segundo teorema fundamental do cálculo para integrais de linha
estabelece que
∫
C ∇f · dα = f(b) − f(a), em que a e b são os extremos
de C e ∇f é um campo vetorial contínuo.
Na aula de hoje apresentaremos uma
formulação do segundo teorema funda-
mental do cálculo envolvendo integrais
duplas sobre uma região D do plano de-
limitada por uma curva fechada de com-
primento finito que não se cruza em ne-
nhum ponto. (Figura extraída do livro de James
Stewart, Calculus, 5 edição.)
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Curvas Fechadas Simples
Considere uma curva α : [a, b]→ Rn contínua.
• Dizemos que α é uma curva fechada se α(a) = α(b).
• Dizemos que α é uma curva fechada simples se, além da condição
anterior, tem-se α(t1) , α(t2) se t1 , t2 com t1, t2 ∈ (a, b].
Em palavras, parâmetros distintos resultam pontos distintos do
caminho exceto nos extremos.
Curvas fechadas simples em R2 são chamadas curvas de Jordan.
Um círculo é um exemplo de uma curva de Jordan.
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Teorema de Green
Teorema 1 (Teorema de Green)
Sejam P e Q campos escalares continuamente diferenciáveis em um
conjunto aberto S ⊆ R2. Seja C uma curva de Jordan suave por partes
e seja D o interior da região delimitada pela curva C, incluindo a própria
curva. Se D ⊆ S, então"
D
(
∂Q
∂x
− ∂P
∂y
)
dA =
�
C
Pdx + Qdy,
em que a integral de linha é obtida percorrendo C de modo que a região
R fique sempre a esquerda, referida como orientação positiva.
A notação
�
C
Pd + Qdy é usada para enfatizar que a integral é
calculada sobre uma curva fechada C usando a orientação positiva.
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Ideia da demonstração
Mostraremos que ∫
C
Pdx = −
"
D
∂P
∂y
dA .
Para tanto, vamos supor que a região D pode ser escrita como
D =
{
(x, y) ∈ R2 : a ≤ x ≤ b , g1(x) ≤ y ≤ g2(x)
}
,
onde g1 e g2 são funções contínuas.
Por um lado, pelo teorema fundamental do cálculo, temos"
D
∂P
∂y
dA =
∫ b
a
∫ g2(x)
g1(x)
∂P
∂y
dydx =
∫ b
a
[
P
(
x, g2(x)
)
− P
(
x, g1(x)
)]
dx.
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Por outro lado, podemos escrever a fronteira C de D como a união dos
caminhos C1, C2, C3 e C4 mostrados abaixo:
(Figura extraída do livro de James Stewart, Calculus, 5 edição.)
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O caminho C1 pode ser descrito por
α1(x) = xi+ g1(x)j, a ≤ x ≤ b .
Logo, ∫
C1
Pdx =
∫ b
a
P
(
x, g1(x)
)
dx.
De um modo similar, −C3 pode ser descrita por
α3(x) = xi+ g2(x)j, a ≤ x ≤ b .
Assim, ∫
C3
Pdx = −
∫
C3
Pdx = −
∫ b
a
P
(
x, g2(x)
)
dx.
Finalmente, sobre C2 e C4, x é constante e, portanto, dx = 0.
Consequentemente, ∫
C2
Pdx = 0 =
∫
C4
Pdx.
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Concluindo, a integral de P sobre a curva C com respeito a x é∫
C
Pdx =
∫
C1
Pdx +
∫
C2
Pdx +
∫
C3
Pdx +
∫
C4
Pdx
=
∫ b
a
P
(
x, g1(x)
)
dx −
∫ b
a
P
(
x, g2(x)
)
dx
=
∫ b
a
[
P
(
x, g1(x)
)
− P
(
x, g2(x)
)]
dx
= −
∫ b
a
[
P
(
x, g2(x)
)
− P
(
x, g1(x)
)]
dx
=
∫ b
a
∫ g2(x)
g1(x)
∂P
∂y
dydx =
"
D
∂P
∂y
dA .
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De um modo similar, podemos mostrar que∫
C
Qdy =
"
D
∂Q
∂x
dA ,
descrevendo D da seguinte forma:
D =
{
(x, y) ∈ R2 : c ≤ y ≤ d, h1(y) ≤ x ≤ h2(y)
}
,
onde h1 e h2 são funções contínuas.
Finalmente, combinando as equações∫
C
Pdx = −
"
D
∂P
∂y
dA e
∫
C
Qdy =
"
D
∂Q
∂x
dA ,
concluímos que ∫
C
Pdx + Qdy =
"
D
(
∂Q
∂x
− ∂P
∂y
)
dA .
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Região Simples
Na demonstração do teorema de Green, assumimos que a região D
pode ser escrita tando como
D =
{
(x, y) ∈ R2 : a ≤ x ≤ b , g1(x) ≤ y ≤ g2(x)
}
,
como
D =
{
(x, y) ∈ R2 : c ≤ y ≤ d, h1(y) ≤ x ≤ h2(y)
}
,
em que g1, g2, h1 e h2 são todas funções contínuas. Chamamos tais
regiões de regiões simples.
O teorema de Green pode ser estendido para o caso em que D é uma
região mais geral dita simplesmente conexa.
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Região Simplesmente Conexa
Definição 2 (Região Simplesmente Conexa)
Um conjunto aberto S ⊆ R2 é dito simplesmente conexo se, para toda
curva de Jordan C em S, a região D delimitada por ela está
inteiramente contida em S.
Intuitivamente, uma região simplesmente conexa não possui buracos.
Alternativamente, S é simplesmente conexa se seu complementar é
uma região conexa.
No que segue, interpretamos uma região S simplesmente conexa como
a união finita de regiões simples.
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A figura abaixo ilustra uma região simplesmente conexa:
(Figura extraída do livro de James Stewart, Calculus, 5 edição.)
A ideia é que as integrais de linha sobre C3 e −C3 se cancelam.
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O teorema de Green também pode ser aplicado para regiões com furo,
ou seja, regiões que não são simplesmente conexas. Um exemplo é
mostrado na figura abaixo:
(Figura extraída do livro de James Stewart, Calculus, 5 edição.)
Novamente, a ideia é que as integrais de linha em curvas percorridas
em ambos sentidos se cancelam.
Observe que a região fica sempre a esquerda quando percorremos a
fronteira.
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Formalmente, tem-se o seguinte teorema num caso geral:
Teorema 3
Sejam C1,C2, . . . ,Cn curvas de Jordan suaves por partes tais que:
(a) Duas curvas distintas não se intersectam.
(b) As curvas C2, . . . ,Cn estão no interior da região delimitada por C1.
(c) Uma curva Ci está no exterior da curva Cj para i , j, i > 1 e j > 1.
Denote por D a região formata por C1 e seu interior subtraídos da união
do interior de C2, . . . ,Cn. Se P e Q são campos vetoriais
continuamente diferenciáveis em um aberto S contendo D, então"
D
(
∂Q
∂x
− ∂P
∂y
)
dA =
�
C1
Pdx + Qdy −
n∑
i=2
�
Ci
Pdx + Qdy.
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Invariância por Deformação
Teorema 4 (Invariância por Deformação)
Sejam P e Q continuamente diferenciáveis em um conjunto aberto
S ⊆ R2 tais que
∂Q
∂x
=
∂P
∂y
.
Sejam C1 e C2 duas curvas de Jordan suaves por partes em S que
satisfazem:
(a) C2 está no interior de C1.
(b) A intersecção do interior de C1 com o exterior de C2 está em S.
Nesse caso tem-se:∮
C1
Pdx + Qdy =
∮
C2
Pdx + Qdy,
se ambas as integrais forem percorridas no mesmo sentido.
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Condição Necessária e Suficiente para f = ∇f .
Usando o teorema de Green, tem-se o seguinte teorema:
Teorema 5 (Condição Necessária e Suficiente para f = ∇f .)
Um campo vetorial
f(x, y) = P(x, y)i+ Q(x, y)j,
continuamente diferenciável em uma região S ⊆ R2 simplesmente
conexa é o gradiente de um campo escalar f se, e somente se,
∂P
∂y
(x, y) =
∂Q
∂x
(x, y), ∀(x, y) ∈ S.
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Exemplo 6
O campo vetorial
f(x, y) =
−y
x2 + y2
i+
x
x2 + y2
j,
satisfaz a condição
∂P
∂y
(x, y) =
∂Q
∂x
(x, y), ∀(x, y) ∈ R2 \ (0, 0).
Todavia, f não é o gradiente de um campo escalar em S. Com efeito,
f = ∇f se S for uma região simplesmente conexa,ou seja, uma região
que não contém furos.
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Exemplo 7
Use o teorema de Green para determinar o trabalho feito por um campo
de força
f(x, y) = (y + 3x)i+ (2y − x)j,
ao mover uma partícula ao longo da elipse
4x2 + y2 = 4,
no sentido anti-horário.
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Exemplo 7
Use o teorema de Green para determinar o trabalho feito por um campo
de força
f(x, y) = (y + 3x)i+ (2y − x)j,
ao mover uma partícula ao longo da elipse
4x2 + y2 = 4,
no sentido anti-horário.
Resposta: Tem-se�
C
Pdx + Qdy =
"
D
(
∂Q
∂x
− ∂P
∂y
)
dA = −4pi.
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Exemplo 8
Calcule a integral
I =
�
C
(5 − xy − y2)dx − (2xy − x2)dy,
em que C é o quadrado com vértices (0, 0), (1, 0), (1, 1) e (0, 1)
percorrido no sentido anti-horário.
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Exemplo 8
Calcule a integral
I =
�
C
(5 − xy − y2)dx − (2xy − x2)dy,
em que C é o quadrado com vértices (0, 0), (1, 0), (1, 1) e (0, 1)
percorrido no sentido anti-horário.
Resposta: Pelo teorema de Green, tem-se
I =
�
C
(5 − xy − y2)dx − (2xy − x2)dy =
∫ 1
0
∫ 1
0
(−3x)dxdy = −3
2
.
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Exemplo 9
Se
f(x, y) =
−yi+ xj
x2 + y2
,
mostre que
∫
C f · dα = 2pi para todo caminho fechado simples que
circunde a origem.
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Exemplo 9
Se
f(x, y) =
−yi+ xj
x2 + y2
,
mostre que
∫
C f · dα = 2pi para todo caminho fechado simples que
circunde a origem.
Resposta: Considere uma curva C e seja C ′ o círculo de raio a
centrado na origem. Pelo teorema de Green, temos∫
C
Pdx + Qdy −
∫
C′
Pdx + Qdy =
"
D
(
∂Q
∂x
− ∂P
∂y
)
dA = 0.
Logo, calculando a integral sobre o círculo C ′, encontramos∫
C
Pdx + Qdy =
∫
C′
Pdx + Qdy = 2pi.
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Área de uma Região
Se P e Q são tais que
∂Q
∂x
− ∂P
∂y
= 1, (1)
então, pelo teorema de Green, a área de uma região D é dada por
A =
"
D
1dA =
∫
C
Pdx + Qdy.
Exemplos de funções P e Q e que que satisfazem (1), incluem:
P(x, y) = 0 e Q(x, y) = x,
P(x, y) = −y e Q(x, y) = 0,
P(x, y) = −y/2 e Q(x, y) = x/2.
Assim, a área de D pode ser obtida por uma das equações:
A =
∫
C
xdy = −
∫
C
ydx =
1
2
∫
C
xdy − ydx.
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Considerações Finais
O teorema de Green estabelece uma relação de uma integral dupla de
uma região D com a integral de linha ao longo de sua fronteira.
Iniciamos apresentando o teorema de Green para regiões simples e,
posteriormente, estendemos ele para regiões simplesmente conexas e,
no caso mais geral, para regiões que possuem um número finito de
buracos.
Além disso, vimos que o teorema de Green fornece condições
necessárias e suficientes para f = ∇f .
Muito grato pela atenção!
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