Anotacoes de Aula 1 - Introducao a Probabilidade

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ESTATÍSTICA E PROBABILIDADE 
“Anotações de Aulas” 
 
 
 
Profa. Tânia F Bogutchi 
 
 
 
Revisão 2012 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Nota importante: 
• Essas aulas foram produzidas por meio de coletânea dos textos 
indicados na bibliografia. Não são citadas diretamente para não 
poluir o visual dos mesmos. 
• Os textos estão organizados e traduzidos para minha linguagem 
didática pessoal. 
• Um estudo mais aprofundado deverá ser baseado nas referências 
bibliográficas indicadas. 
 
 
 
 
 
 
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© Tânia F Bogutchi – PUC Minas – Revisão em 2012 
Estatística e Probabilidade 
 
Unidade 1: Introdução à Probabilidade 
Introdução 
 
Primeiramente quero dar as boas vindas a todos vocês que estão se propondo a estudar a disciplina 
Probabilidade e Estatística I, ofertada principalmente para os alunos do curso de Engenharia Elétrica do 
IPUC com extensão às demais ênfases da Engenharia. 
Gosto de iniciar com a citação da frase de Herbert George Wells (1866-1946), escritor inglês de A 
Máquina do Tempo, A Ilha do Dr. Moreau, O Homem Invisível, dentre outros: 
 
 “Raciocinar estatisticamente será um dia tão necessário quanto a habilidade de ler e escrever” 
 
O momento de entrar em contato com esse tipo de raciocínio começa agora com a seguinte 
pergunta: porque um engenheiro precisa estudar Estatística? Em primeiro lugar, porque um engenheiro é 
um profissional que resolve problemas de interesse da sociedade por meio de aplicações de técnicas 
científicas, que por sua vez, são baseadas em evidências. As evidências são obtidas por meio de dados, 
quer sejam em pesquisas acadêmicas quer sejam em situações observadas no cotidiano de muitas 
modalidades, ou tipos, de trabalhos na Engenharia. Por outro lado, os dados podem gerar modelos que 
suportam resoluções de problemas similares. 
A pergunta então é porque a Estatística e não a Matemática? A Matemática está presente em todas 
as situações em que se podem aplicar os modelos determinísticos – aqueles que são regidos por leis físicas 
ou gerais: lei de Ohm; lei de gás ideal; leis gravitacionais, dentre outras… Mas, e as situações que 
envolvem variabilidade? A variabilidade exige técnicas especiais de tratamento, e essas técnicas são 
produtos da Estatística, que por sua vez estão fundamentadas na Matemática. Os modelos estatísticos, 
portanto, são modelos probabilísticos – ou não-determinísticos. Daí a importância de iniciarmos esse curso 
com o estudo de Probabilidade. 
Outro lado importante da Estatística é que ela propicia o tratamento de um pequeno conjunto de 
dados, uma amostra, provenientes de uma população de interesse. O estudo de uma população, na grande 
maioria das vezes, é oneroso – tempo e dinheiro, mas a Estatística contempla com suas técnicas o estudo 
de uma pequena parte da população e os valores ali estimados são inferidos (ou concluídos) para a 
população em geral. Essa é chamada de Estatística Inferencial. 
Por sua vez, todas as observações que são transformadas em dados precisam de tratamento 
especial e pretende-se aqui dar uma noção dessas possibilidades de apresentação e descrição dos 
mesmos. Dessa maneira, vocês terão maiores possibilidades na composição com os outros vários saberes 
da Engenharia, no processo que será finalizado como profissionais bem sucedidos. 
 
 
 
 
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© Tânia F Bogutchi – PUC Minas – Revisão em 2012 
Estatística e Probabilidade 
 
Unidade 1: Introdução à Probabilidade 
Algumas informações e dicas 
 
Nesse curso vocês receberão alguns textos com anotações de aula que servirão como leitura 
complementar ao livro texto que iremos utilizar: Estatística Aplicada e Probabilidade para 
Engenheiros, 4ª. edição. Douglas C. Montgomery e George C. Runger, 2009. Editora 
LTC. 
A sugestão é que vocês sempre leiam o texto do livro e tentem resolver seus exercícios ou 
exemplos. 
 Algumas dicas para obter sucesso nesse curso: 
 
a) Reserve tempo semanal para o estudo. A proposta de Atividades Semanais tem como um de 
seus objetivos, facilitar esse desafio; 
b) Tente fazer as Atividades dentro do período de tempo proposto – se você iniciar o estudo logo 
no principio de sua proposição terá tempo de gerar dúvidas e buscar ajuda por meio do correio 
acadêmico. 
c) Faça uso das facilidades que o ambiente da disciplina da PUC Virtual oferece: tais como o 
Centro de Recursos – local em que o professor publica material adicional, por exemplo, 
exercícios resolvidos, resolução e/ou comentário das Atividades propostas; e o correio 
acadêmico – principal canal de comunicação diária com o professor. 
d) Participem dos Encontros on line – e quando existirem, dos plantões presenciais. 
 
Em síntese: Não deixem de criar o hábito de estudar diariamente, não só essa disciplina, como as 
demais presenciais que certamente estarão fazendo. Não incorram no erro da fala: “estou fazendo a 
disciplina virtual porque trabalho… não tenho tempo…” Essa frase é FALSA!!. Você está fazendo uma 
disciplina virtual porque ela facilita a LIBERAÇÃO em sua carga horária semanal…. Mas, por outro lado ela 
cobra um preço: você precisará ser rigoroso na reserva de tempo para estudá-la. 
Enfim… 
Espero que vocês aproveitem ao máximo o curso de Probabilidade e Estatística I. 
Eu estarei sempre pronta a atendê-los e ajudá-los nesse processo de construção que ora vocês 
iniciam. 
Sejam bem vindos e tenham muito sucesso! 
 
 
 
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Estatística e Probabilidade 
 
Unidade 1: Introdução à Probabilidade 
 
 O conteúdo dessa Unidade pode ser encontrado nos capítulos 1 e 2 do livro 
texto base: MONTGOMERY, Douglas C, RUNGER, George C. Estatística 
aplicada e Probabilidade para Engenheiros. 4ª edição. Rio de Janeiro: LTC, 
2009. 
 As cópias desses capítulos podem ser requisitadas por meio da Pasta do 
Professor (www.pastadoprofessor.com.br), fazendo login nessa página e 
enviando-as para serem impressas na copiadora de sua Unidade. 
Não deixem de ler! 
 
Algumas notas de aulas: 
 
1) Modelos matemáticos 
a) Determinístico 
 Condições que DETERMINAM o resultado do experimento: 
i) Leis de Kepler – comportamento dos planetas; 
ii) Leis gravitacionais; 
iii) Velocidade como função do tempo e do espaço; 
iv) etc. 
 
Nos modelos matemáticos a previsão do resultado é obtida por Considerações Físicas! 
 
b) Probabilístico ou não-determínistico 
Exemplos: 
i) Material radiotivo que emita partículas alfa e um dispositivo de contagem que registre o n
o
 de 
partículas emitidas num determinado período de tempo. 
(1) Não é possível precisar exatamente o n
o
 de partículas emitidas mesmo conhecendo sua 
composição química e a massa do objeto. 
ii) Número de bactérias num certo volume d’água do Rio Arrudas... 
iii) Precipitação de chuva. Os instrumentos meteorológicos podem nos fornecer informações tais 
como: 
(1) pressão barométrica, 
(2) variações de velocidade do vento, 
(3) origem e direção da tempestade, etc. 
Informações preciosas, mas que não torna possível dizer a QUANTIDADE de chuva que cairá!!! 
 
Esses modelos precisam de considerações para especificar uma distribuição de probabilidades! 
 
2) Probabilidade 
Conceitos básicos: 
a) Experimento (E) “não-determinístico” ou “aleatório”: é a observação de um fenômeno de interesse 
(processo de coleta de dados). 
 Exemplo: 
(1) lançamento de uma moeda ou de um dado; 
(2) germinação de sementes de alguns tipos de plantas; etc. 
b) Espaço amostral (S): é o conjunto de todos os resultados possíveis de um experimento E. 
 Exemplo: 
(1) E: lançamentode uma moeda  S = {cara, coroa} 
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Estatística e Probabilidade 
 
Unidade 1: Introdução à Probabilidade 
(2) E: lançamento de um dado com 6 faces  S = { 1, 2, 3, 4, 5, 6} 
(3) E: sementes de 4 tipos de plantas  S = {Tipo 1, Tipo 2, Tipo 3, Tipo 4} 
c) Evento: é o conjunto de resultados de interesse do pesquisador, ou seja, é um subconjunto de S. 
Notação: letras maiúsculas (A, B, C,…) 
No exemplo (2) do item anterior, podemos definir o evento A: obter face 1 ou face 4  A = {1, 4} 
Um evento é simples quando for composto por apenas um resultado. No exemplo (2) do item 
anterior, os eventos: A={1}, B={5}, C={3}, são simples. 
 
OBS.: O espaço amostral S pode ser considerado como o conjunto de todos os eventos simples de 
um experimento. 
 
3) Relações entre dois eventos A e B 
 
a) Evento União ou Reunião é composto pelos resultados da ocorrência de pelo menos um dos 
eventos A ou B. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exemplo: Sejam 
 E: lançamento de um dado com 6 faces; 
 S={1, 2, 3, 4, 5, 6}, é o espaço amostral associado a E; 
 Os eventos, A: a face é par = {2, 4, 6} e B: a face é 4 ou 5 = {4, 5} 
 
 O evento União, 
BA 
= {2, 4, 5, 6} 
 
b) Evento Interseção é composto pela ocorrência simultânea dos eventos A e B. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
No exemplo anterior, 
 O evento Interseção, 
BA 
= {4} 
 
c) Evento Negação ou Complementar do evento A é composto por todos os elementos que não 
ocorreram em A. 
 
 
 
 
 
 
 No exemplo anterior, a negação ou o complementar do evento A é: 
 
Notação: 
BA 
 
 
O símbolo “

” significa “ou” 
 
Notação: 
BA 
 
 
O símbolo “

” significa “e” 
S
A
A
S
A
A
A B SA B S
A B SA B S
 
Notação: 
c Aou A
 
 
6 
 
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Estatística e Probabilidade 
 
Unidade 1: Introdução à Probabilidade 
 
 A
= {1, 3, 5}  as faces ímpares! 
 
 
d) Os eventos A e B são disjuntos ou mutuamente exclusivos (excludentes) se não ocorrerem 
simultaneamente, ou seja, se 
BA
 ( indica conjunto vazio: sem nenhum resultado). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 No exemplo anterior, os eventos A e B são mutuamente exclusivos? 
 Não! Pois a interseção entre eles não é vazia... Por outro lado, A e 
 A
 são mutuamente exclusivos, pois 
nos eventos mutuamente exclusivos a ocorrência é de pelo menos um dos eventos, mas não os dois 
simultaneamente (em lógica matemática esse é o OU exclusivo). 
 
 
4) Propriedades dos eventos 
 
Dentro de um contexto matemático observa-se que os eventos são similares aos conjuntos diferindo 
apenas no significado da representação dos símbolos. Devido a essa similaridade, as propriedades dos 
eventos são idênticas às dos conjuntos. 
Reprisando: 
 scomutativa 
 A B B A 2.
 A B B A .1






 
 asassociativ 
C) (B A CB) (A 4.
C)(B A C)B) (A .3






 
 vasdistributi 
C) (BC) A( CB) (A 6.
C)(BC) A( CB) (A .5






 
evento. próprio o é evento do negação da negação a A A 9.
 A8.
 A A 7.




 
 Morgan de Leis 
B A B A 11.
B A B A .10







 
 
Exemplo 1: (Meyer) Um dispositivo eletrônico é ensaiado e o tempo total de serviço t é registrado. 
Admitiremos que o espaço amostral seja { t | t  0}. Sejam A, B e C três eventos definidos da seguinte 
maneira: 
A = {t | t < 100 }; B = {t | 50  t  200}; C = { t | t > 150}. 
Nesse exemplo, o espaço amostral é dito contínuo. 
Temos consequentemente que: 
BA 
 = {t | t  200} ou numa forma mais rigorosa: { t | 0  t  200}; 
BA 
 = {t | 50  t < 100}; 
CB 
 = {t | t  50}; 
A B SA B S
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Estatística e Probabilidade 
 
Unidade 1: Introdução à Probabilidade 
A
 = {t | t  100}; 
BA 
 = {t | t < 50 ou t  100}; 
BA 
 = {t | t > 200}. 
 
 
5) Definições de probabilidade 
 
a) Definição clássica 
 
Pressupostos: 
i) Todos os eventos simples precisam necessariamente ter a mesma possibilidade de ocorrência 
(equiprováveis); 
ii) É imprescindível conhecer todos os resultados possíveis do espaço amostral. 
 
 Exemplo 2: Seja o experimento, 
 E: observar o lançamento de um dado “honesto” (equilibrado) e com 6 faces (numeradas de 1 a 6). 
 Obs.: o dado precisa ser “honesto” para que a possibilidade de cada face ocorrer seja a mesma 
(equiprovável). 
 O espaço amostral associado ao experimento E é S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}. 
 Defina o evento A: observar a ocorrência das faces 3 ou 5, então A = {3, 5} 
 O número real P(A), definido por: 
 
 
 
 
é chamado de a probabilidade de ocorrência do evento A 
 
 Exemplo 3: 
E: observar o lançamento de dois dados equilibrados e com 6 faces cada. 
O espaço amostral será composto por pares de resultados, (x1, x2), em que x1 é a face do primeiro 
dado e x2 é a face do segundo dado. 





















(6,6) (6,5) (6,4) (6,3) (6,2) (6,1)
(5,6) (5,5) (5,4) (5,3) (5,2) (5,1)
(4,6) (4,5) (4,4) (4,3) (4,2) (4,1)
(3,6) (3,5) (3,4) (3,3) (3,2) (3,1)
(2,6) (2,5) (2,4) (2,3) (2,2) (2,1)
(1,6) (1,5) (1,4) (1,3) (1,2) (1,1)
S
 
 
O espaço amostral possui 36 elementos (#36)
1
. 
 Sejam considerados os eventos: 
A = {(x1,x2) | x1 + x2=10}, então A = {(5,5), (4,6), (6,4)} 
B = {(x1,x2) | x1 > x2}, então B = {(2,1), (3,1), (3,2), (4,1), (4,2), (4,3), (5,1), (5,2), (5,3), (5,4), (6,1), 
(6,2), (6,3), (6,4), (6,)} 
O evento A possui 3 elementos (#A=3) e o evento B possui 15 (#B=15). 
Temos, portanto, que P(A)=
12
1
36
3

 e P(B) = 
36
15
≈ 0,417 
A definição clássica é limitada às situações em que os resultados são igualmente prováveis além de 
requerer o desenho prévio do espaço amostral o qual pode ser muito trabalhoso ou até mesmo 
 
1 O símbolo: # significa, nesse texto, “número de elementos”. 
6
2
oexperiment do adespossibilid de total número
 Aa favoráveis situações de número
)A(P 
8 
 
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Estatística e Probabilidade 
 
Unidade 1: Introdução à Probabilidade 
impossível. Se no exemplo anterior fossem lançados 3 dados equilibrados, o espaço amostral 
associado seria composto por 6
3
 = 216 elementos! 
 
b) Definição frequentista 
 
A freqüência relativa de um evento A (fA) em n repetições de um experimento é definida pela relação 
entre o número de vezes que o evento A ocorreu (nA) e o número total de repetições do experimento 
(n), ou seja, 
n
n
f AA 
. 
Exemplo 4: Sejam: 
E: lançar 1.000 vezes uma moeda 
Evento A: observar o resultado “cara” 
Utilizando a notação para representação dos resultados: C = cara e 
C
 = coroa, podemos obter a 
possível seqüência de resultados: 
 
 C, 
C
, 
C
, C, C, 
C
, C, ..... 
 
A seqüência de freqüências relativas associadas a essa possível seqüência é: 
,.....
7
4
,
6
3
,
5
3
,
4
2
,
3
1
,
2
1
,
1
1
 
 
A Figura 1 apresenta as frequências relativas do evento A, ou seja, as proporções de ocorrência de 
cara quando o experimento é repetido por 10, 20, 30, ...., até 500 vezes. 
 
 Figura 1: Observação do evento cara em n lançamentos de uma moeda. 
 
Observe, no gráfico, que no princípio(n < 50) a freqüência relativa tem uma grande variação, mas é 
intuitivamente evidente, que após um grande número de repetições ela irá se estabilizar próximo do valor 
2
1
 
, ou seja, a freqüência converge para 0,5. Essa propriedade de estabilidade, ou de regularidade estatística, 
pode ser demonstrada matematicamente de maneira mais precisa, num curso mais avançado de Estatística. 
E: lançamento de uma moeda n vezes
 A: observar cara
0,0
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
0,6
0,7
0,8
0,9
1,0
10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 200 300 400 500
no. de lançamentos
Pr
op
or
çã
o 
de
 c
ar
a
9 
 
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Estatística e Probabilidade 
 
Unidade 1: Introdução à Probabilidade 
 
No exemplo 4, verificamos que a freqüência relativa de A, fA “converge” em um certo sentido de 
probabilidade, para o valor 0,5 (FIG.1). Esse valor é assumido então, como a probabilidade de ocorrência do 
evento A, denotado por P(A), e sua definição frequentista é: 
 
 
 
 
 
 
 
 Exemplo 5: Seja a distribuição de 2.377 estudantes de certa faculdade pesquisados sobre 
preferência por refrigerante dada pela tabela 1: 
 
Tabela 1: Distribuição dos estudantes por preferência por refrigerante 
Refrigerante 
Preferência 
Freqüência Freq. relativa 
Coca Cola 82 0,034 
Coca Cola Light 231 0,097 
Pepsi Cola 254 0,107 
Fanta 690 0,290 
Sprite 1.120 0,471 
Total 2.377 1,000 
 Fonte: Adaptado de Anderson et al. 2007, pág 23 
 
Considerando que temos um grande número de estudantes, podemos associar as freqüências 
relativas da preferência por cada refrigerante como a sua probabilidade de ser escolhido por um estudante 
pesquisado aleatoriamente. Isto é, por exemplo, equivalente à pergunta: qual a probabilidade de um aluno 
dessa faculdade preferir Pepsi Cola? Na tabela de distribuição, temos que P(Pepsi Cola) = 0,107 






377.2
254
. 
6) Propriedades da probabilidade 
A probabilidade de um evento satisfaz as seguintes propriedades: 
i) 0  P (A)  1 
ii) P(S) = 1 
iii) Se A e B forem dois eventos mutuamente exclusivos (disjuntos) então 
P(A  B) = P(A) + P(B) 
Como conseqüência dessas propriedades tem-se as seguintes regras: 
iv) P() = 0  o evento A não ocorre em nenhuma das repetições do experimento (A é um evento 
impossível). 
v) P(
A
) = 1 – P(A) 
Verificação: Observando o diagrama de Venn no subitem (c) do item (3), verifica-se claramente 
que os eventos A e 
A
 são mutuamente exclusivos e o espaço amostral pode ser representado 
da seguinte maneira: 
S = A  
A
 
Pela propriedade (iii) tem-se: P(S) = P(A) + P(
A
) e pela propriedade (ii), obtém-se: 
P(A) + P(
A
) = 1 o que conclui a conseqüência expressa em (v). 
 
vi) Se A e B forem dois eventos quaisquer então 
 
P(A  B) = P(A) + P(B) - P(A  B) 
 
oexperiment do repetições de total número
 Ade socorrência de número
)A(P 
10 
 
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Estatística e Probabilidade 
 
Unidade 1: Introdução à Probabilidade 
A verificação dessa regra é facilmente entendível utilizando o diagrama de Venn, em que pode ser 
verificado que a porção A  B é computada duas vezes! 
Essa regra é conhecida como a da ADIÇÃO de probabilidades. 
 
 A probabilidade é uma proporção, ou seja, assume qualquer valore entre 0 e 1. Se essa proporção 
for multiplicada por 100, a probabilidade fica expressa em termos de percentuais. A tabela de distribuição do 
exemplo 5 ficaria assim: 
 
Tabela 2: Distribuição percentual dos estudantes por preferência por refrigerante 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Donde, P(Pepsi Cola)= 10,7%. 
 
Exemplo 6: Uma universidade tem 10 mil alunos dos quais 4 mil são considerados esportistas. Temos 
ainda, que 500 alunos são do curso de Matemática diurno, 700 de Matemática noturno, 100 são esportistas 
e de Matemática diurno e 200 são esportistas e de Matemática noturno. Um aluno é escolhido ao acaso. 
Pergunta-se qual a probabilidade de ele: 
a) Ser esportista 
b) Ser esportista e aluno de Matemática diurno 
c) Não ser do curso de Matemática 
d) Ser esportista ou aluno de Matemática noturno 
e) Não ser esportista nem aluno de Matemática 
 
Esse exemplo apresenta duas características dos alunos dessa universidade: curso e prática de 
esportes. Podemos sistematizar essas informações por meio de uma tabela de dupla classificação, ou seja, 
as linhas informarão o curso matriculado e as colunas se o aluno pratica ou não esportes. 
 
Para facilitar, vamos denominar os seguintes eventos: M = Matemática; Mn = Matemática noturno; Md = 
Matemática diurno; 
M
 = outros cursos (não Matemática); E = esportista e 
E
 = não esportista. Temos 
então, 
Tabela 3: Distribuição dos estudantes por prática de esporte e turno do curso de Matemática 
Curso E 
E
 Total 
Md 100 400 500 
Mn 200 500 700 
M
 3.700 5.100 8.800 
Total 4.000 6.000 10.000 
 
O cálculo das probabilidades ficou bastante facilitado pela leitura dos valores diretamente da tabela: 
a) 
%0,4040,0
000.10
000.4
)E(P 
 
 
b) 
Refrigerante 
Preferência 
Freqüência Freq. relativa Percentual 
Coca Cola 82 0,034 3,4% 
Coca Cola 
Light 
231 0,097 9,7% 
Pepsi Cola 254 0,107 10,7% 
Fanta 690 0,290 29,0% 
Sprite 1.120 0,471 47,1% 
Total 2.377 1,0 100,0% 
%0,1010,0
000.10
100
)MdE(P 
11 
 
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Estatística e Probabilidade 
 
Unidade 1: Introdução à Probabilidade 
 
 
c) 
 
 
d) 
 
e) 
 
 
Considere as seguintes situações: 
 (1) Sabe-se que o aluno sorteado é do curso de Matemática diurno, qual a probabilidade de ele ser 
esportista? 
 Solução: como já é fato conhecido que o aluno é do curso de Matemática diurno, podemos 
considerar apenas os 500 alunos que são do curso de Matemática diurno, ou seja, a informação dessa linha 
da tabela anterior, donde se observa que 100 são esportistas. Obtém-se então a probabilidade de 
500
100
 
 (2) Sabendo-se que o aluno sorteado é esportista, qual a probabilidade de ele ser do curso de 
Matemática noturno? 
Solução: a informação que dispomos agora é obtida pela coluna do ser esportista da tabela 
anterior, ou seja, dos 4.000 alunos que são esportistas, observa-se que 200 são do curso de Matemática 
noturno. Dessa maneira tem-se: 
000.4
200
 
 Nessas duas situações observa-se uma redução do espaço amostral e o condicionamento da 
ocorrência de um segundo evento considerando os resultados de um primeiro que já foi realizado. A 
probabilidade desses eventos é denominada de Probabilidade Condicional: 
 
7) Probabilidade condicional 
 
Seja o evento B, não-vazio, tal que P(B > 0), a probabilidade condicional do evento A, sabendo-se 
que o evento B já ocorreu, é definida por: 
 
 
 
Em que o símbolo “| “é lido por: “ A dado B” ou “A sabendo-se que B ocorreu” 
 
Na situação (1) do item 6 acima: qual a probabilidade de o aluno ser esportista, sabendo-se que ele é do 
curso de Matemática diurno, temos: 
 
 
 
 
 
 
E na situação (2): 
 
 
 Reescrevendo a fórmula de cálculo da probabilidade condicional, temos: 
 
 
 
 
 
que é conhecida como a Regra da MULTIPLICAÇÃO. 
%0,8888,0
000.10
800.8
)M(P 
%0,4545,0
000.10
500.4
000.10
200
000.10
700
000.10
000.4
)MnE(P)Mn(P)E(P)MnE(P 
%0,51510,0
000.10
100.5
)ME(P 
)B(P
)BA(P
)B|A(P


500
100
000.10
500
000.10
100
)Md(P
)MdE(P
)Md|E(P 


000.4
200
000.10
000.4
000.10
200
)E(P
)EMn(P
)E|Mn(P 


)B|A(P)B(P)BA(P 
)B(P
)BA(P
)B|A(P 


12 
 
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Estatística e Probabilidade 
 
Unidade 1: Introdução à Probabilidade 
 
Resumo Lembrete: 
 
Símbolo Significado Operação 
 Ou Adição (+) 
 E Multiplicação (.) 
 
 
8) Eventos independentes 
 
Dois eventos A e B são independentes quando a ocorrência de um deles não interferir na ocorrência do 
outro. 
Exemplo 7: (Soares) Seja o lançamento de dois dados equilibrados (“honestos”) e com 6 faces cada e 
sejam definidos os eventos 
A: {a face do 1º. dado é par} 
B: {a face do 2º. dado é 3 ou 6}. 
Intuitivamente pode-se perceber que o fato do evento A ter ocorrido não nos é fornecida nenhuma 
informação sobre a ocorrência, ou não, do evento B. Isso significa que os eventos A e B não estão 
relacionados. 
Matematicamente podemos efetuar os seguintes cálculos: 
2
1
36
18
)( AP
 , 
3
1
36
12
)( BP
 , 
6
1
36
6
)( BAP
 e 
(i) 
)(
2
1
1
3
.
6
1
3
1
6
1
)(
)(
)|( APBP
BAPBAP 
 
Esse resultado nos informa que o conhecimento do resultado ocorrido em B não interferiu no resultado 
de A, pois ao se condicionar o resultado do evento A na já conhecida ocorrência do evento B, a 
probabilidade do evento A é a mesma de ele ter ocorrido sem esse conhecimento prévio. Essa é a 
informação dada por: P(A|B) = P(A) 
(ii) 
)(
3
1
1
2
.
6
1
2
1
6
1
)(
)(
)|( BPAP
BAPABP 
 
Similarmente, temos a mesma situação quando condicionamos o evento B à ocorrência do evento A: 
P(B|A)=P(B). 
Pode-se verificar também que: 
)()(
3
1
.
2
1
6
1
)( BPAPBAP 
 
 
 
Dessa maneira, desde que P(A) > 0 e P(B) > 0, os eventos A e B são definidos INDEPENDENTES se 
 





)()()|()()(
)()()|()()(
APBPBAPBPBAP
BPAPABPAPBAP , 
 
ou seja, se P(A|B)=P(A) e P(B|A)=P(B). 
 
 
Exemplo 8: Reescrevendo a tabela do exemplo 6 somente com os dados dos alunos do curso de 
Matemática e os Outros cursos temos: 
 
 
 
 
13 
 
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Estatística e Probabilidade 
 
Unidade 1: Introdução à Probabilidade 
 Tabela 4: Distribuição dos estudantes por prática de esporte e curso 
Curso E 
E
 Total 
M 300 900 1.200 
M
 3.700 5.100 8.800 
Total 4.000 6.000 10.000 
 
 
A tabela com as probabilidades em cada casela ou célula: 
 
 Tabela 5: Distribuição das probabilidades de ocorrência de cada evento da Tabela 4 
Curso E 
E
 Total 
M 0,03 0,09 0,12 
M
 0,37 0,51 0,88 
Total 0,40 0,60 1,00 
 Nota: dados obtidos da Tabela 4 
 
Temos então que a probabilidade de um aluno dessa universidade, sorteado aleatoriamente ser do 
curso de Matemática e esportista simultaneamente é: 
03,0
10000
300
)( EMP
 
Em resumo, as probabilidades da tabela acima expressam as probabilidades dos eventos: 
 
 Tabela 6: Identificação dos eventos da tabela 4 
Curso E 
E
 Total 
M 
)EM(P 
 
)EM(P 
 P(M) 
M
 
)EM(P 
 
)EM(P 
 
)M(P
 
Total P(E) 
)E(P
 P(S) 
 
 
Das tabelas 5 e 6 obtemos as informações sobre o sorteio de um aluno dessa população: 
Probabilidade de ele ser esportista: P(E) = 0,40 
Probabilidade de ele ser do curso de Matemática: P(M) = 0,12 
Probabilidade de ele ser do curso de Matemática e esportista: 
)EM(P 
=0,03 
Por definição, sabemos que a probabilidade de um aluno ser esportista sabendo-se que ele é do curso 
de Matemática é: 
40,0)E(P25,0
12,0
03,0
)M(P
)EM(P
)M|E(P 


. Ou seja, os eventos “ser do curso de 
Matemática” e “ser esportista” NÃO são eventos independentes, mas sim, eventos que estão 
relacionados entre si. 
Podemos verificar também que: 
048,0)40,0)(12,0()E(P)M(P03,0)EM(P 
!!!! 
 
9) Associação entre eventos 
 
Como conseqüência da definição da independência entre dois eventos, dizemos que se dois eventos 
estão relacionados então deve existir alguma associação entre eles. Uma maneira prática para se verificar a 
existência de independência entre dois eventos é por meio da tabela das probabilidades (Tab. 5). 
Uma tabela de dupla classificação entre duas situações de interesse é chamada de tabela de 
contingência. Quando existem apenas duas categorias para cada uma das situações, dizemos que a tabela 
é 2 x 2 (dois por dois), ou seja, ela possui duas linhas e duas colunas. 
14 
 
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Estatística e Probabilidade 
 
Unidade 1: Introdução à Probabilidade 
Vamos supor que queiramos saber se existe alguma associação entre as situações: lesão na cabeça 
em acidentes motociclísticos e hábito de usar capacete. Como em cada uma dessas situações temos 
apenas duas possibilidades para cada uma delas, temos então uma tabela 2 x 2, considerando as pessoas 
que participaram de uma pesquisa desse tipo. 
Dizer que essas duas situações não estão relacionadas é equivalente a dizer que elas são 
INDEPENDENTES. 
 
Exemplo 9: Seja a classificação de 793 estudantes de certo município em relação à lesão na cabeça 
em acidentes motociclísticos e ao hábito de usar capacete: 
 
 
 Tabela 7: Distribuição conjunta dos estudantes por uso do capacete e lesão na cabeça 
Uso do capacete 
Lesão na cabeça 
Total 
Sim Não 
Sim 17 130 147 
Não 218 428 646 
Total 235 558 793 
 
 
Cálculo das probabilidades: 
 
 Tabela 8: Distribuição das probabilidades observadas na Tabela 7 
Uso do capacete 
Lesão na cabeça 
Total 
Sim (L) Não (
L
) 
Sim (C) 0,021 0,164 0,185 
Não (
C
) 0,275 0,540 0,815 
Total 0,296 0,704 1,000 
 
 
Se os eventos fossem independentes deveríamos ter: 
P(C  L) = 0,021 = P(C) P(L), 
 
Mas, temos que P(C)P(L)= (0,185)(0,296)=0,055  P(C  L)= 0,021 ! 
 
Como essas probabilidades não preservam a igualdade podemos concluir que os eventos NÃO são 
INDEPENDENTES, ou seja, existe uma relação entre eles ou equivalentemente, eles estão associados. 
 
A tabela de probabilidades observadas acima é chamada de distribuição de probabilidade conjunta e ela 
apresenta a distribuição de probabilidades das variáveis: Capacete e Lesão. As probabilidades da linha e da 
coluna “Total” são chamadas de probabilidades marginais. Se as variáveis: Capacete e Lesão fossem 
independentes, então as probabilidades das caselas (das interseções) seriam o produto de suas respectivas 
probabilidades marginais (total da linha e total da coluna). 
Considerando independência a tabela de probabilidades seria: 
 
 
 
 
 
 
15 
 
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Estatística e Probabilidade 
 
Unidade 1: Introdução à Probabilidade 
 Tabela 9: Distribuição das probabilidades considerando independência entre os eventos 
Uso do capacete 
Lesão na cabeça 
Total 
Sim (L) Não (
L
) 
Sim (C) 
0,055 0,130 0,185 
Não (
C
) 0,241 
 0,573 
0,815 
Total 0,296 0,704 1,000 
 
 
 
 
 
Comparando as tabelas 8 e 9, observa-se que as probabilidades de todas as caselas são 
diferentes!! – conclui-se então que os eventos estão associados. 
 Resta saber se essa associação é estatisticamente significativa, a qual pode ser medida por meio 
do teste qui-quadrado de Pearson (não apresentado nesse curso). 
 
 
10) Regra ou Teorema de Bayes 
 
 
Seja um espaço amostral, S, particionado por eventos mutuamente exclusivos, Bi´s, tal que 
 
 ou seja, 
 
 
Seja considerado o evento A desse espaço amostral o qual poderá ser escrito por: 
 
 
 
Mesmo que algumas das interseções 
iBA
 sejam vazias, esse fato não irá interferir no cálculo de sua 
probabilidade. 
 Pode-se representar o espaço amostral, as partições Bi´s e o evento A pela figura:A probabilidade do evento A é obtida por: 
 
 
 
Observe que: 
1) se 
0)(  iBAPiBA 
, não afeta o resultado da P(A);. 
0,055=(0,296)(0,185) 0,573=(0,704)(0,815) 
A
B1
B2
B3
B4
B5
Bn
..
..
..
..
B6 A
B1
B2
B3
B4
B5
Bn
..
..
..
..
B6
ji ; 0  jBiB 
n
i
iBS
1

 nBABABAA  ....)2()1(
 nBAPBAPBAPAP  ....)2()1()(
16 
 
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Estatística e Probabilidade 
 
Unidade 1: Introdução à Probabilidade 
 
 
 - é chamada de PROBABILIDADE TOTAL. 
 
 
O teorema de Bayes é uma generalização da probabilidade condicional definida no item 7. Essa 
regra calcula a probabilidade de uma partição Bi condicionada à ocorrência do evento A, ou seja, 
 
 
 
 
 
 Exemplo 10: (Morettin) Num mercado, três corretoras A, B e C são responsáveis por 20%, 50% e 
30% do volume total de contratos negociados, respectivamente. Do volume de cada corretora, 20%, 5% e 
2% respectivamente, são contratos futuros em dólares. Um contrato é escolhido ao acaso e este é futuro em 
dólares. Qual a probabilidade de ele ter sido negociado pela corretora A? 
Solução: 
Considere os eventos: 
 A, B e C: Corretoras 
 F: contrato futuro em dólares 
 
Deseja-se saber: P(A | F). 
 
Por definição: , precisamos então calcular a P(F). 
 
O evento F pode ser escrito como: 
Dessa maneira, 
 
O problema nos fornece as informações: 
 P(A)=0,2; P(F|A)=0,2 
 P(B)=0,5; P(F|B) = 0,05 
 P(C)=0,3; P(F|C) = 0,02 
 
Para facilitar, podemos utilizar um esquema em árvore: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Logo, 
 
A probabilidade de o contrato ter sido negociado pela corretora A é de 56,3% 
 
O teorema de Bayes pode ser ilustrado para esse problema em especial pela figura: 












n
i
iBP
1
)|()(...)2|()2()1|()1(
)|()(
)(
)(
)|(
nBAPnBPBAPBPBAPBP
iBAPiBP
AP
iBAPAiBP




)(
)(
)|(
FP
FAP
FAP


 FCFBFAF  )()(
 FCPFBPFAPFP  )()()(
F
F
F
F
F
F
A
B
C
040 ,
0250 ,
0060 ,
20 ,
50 ,
30 ,
20 ,
050 ,
020 ,
)FA(P 
)FB(P 
)FC(P 

0710 ,)F(P 
)A|F(P
F
F
F
F
F
F
A
B
C
040 ,
0250 ,
0060 ,
20 ,
50 ,
30 ,
20 ,
050 ,
020 ,
)FA(P 
)FB(P 
)FC(P 

0710 ,)F(P 
)A|F(P )A|F(P
563,0
071,0
04,0
)(
)(
)|( 


FP
FAP
FAP
17 
 
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Estatística e Probabilidade 
 
Unidade 1: Introdução à Probabilidade 
3B 
2A 
 
I 
4B 
2A 
 
II 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Logo, 
 
 
 
 
 
 
11) RESOLUÇÃO DE ALGUNS EXERCÍCIOS DE PROBABILIDADE 
 
Exercício 1 – (Morettin) Uma urna contém três bolas brancas e duas amarelas. Uma segunda urna contém 
quatro bolas brancas e duas amarelas. Escolhe-se, ao acaso, uma urna e dela retira-se, também ao acaso, 
uma bola. Qual a probabilidade de que seja branca? 
Solução: 
Sejam os eventos: A: bola amarela 
 B: Bola branca 
 I: primeira urna 
 II: segunda urna 
 
O evento B: sair bola branca pode ser escrito por: 
   BIIBIB 
 
Os eventos I e II são mutuamente exclusivos, logo (I 

 B) e (II 

 B) também o serão. Então, 
     
       
633,0333,030,0
6
4
2
1
5
3
2
1




xx
IIBPIIPIBPIP
BIIPBIPBP
 
  %3,63BP
 
 
Exercício 2 – Ricardo tem dois automóveis velhos. Nas manhãs frias, há 20% de probabilidade de um deles 
não “pegar” e 30% de o outro não “pegar”. Qual a probabilidade de: 
a) Nenhum “pegar”? 
b) Apenas um “pegar”. 
Solução: 
Sejam os eventos: 
C1: carro 1 “pega” 
C2: carro 2 “ pega” 
E sua negação: 
1
C
: carro 1 não “pega” 
B
A
C
FB
A
C
F
CBAS 
 FCFBFAF  )()(
)|()()|()()|()(
)|()(
)(
)(
)|(
CFPCPBFPBPAFPAP
AFPAP
FP
FAP
FAP




18 
 
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Estatística e Probabilidade 
 
Unidade 1: Introdução à Probabilidade 
2C
: carro 2 não “pega” 
Dados do problema: 
1) C1 e C2 são independentes 
2) 
  20,01 CP
 e 
  30,02 CP
 
3) De (2) e pela propriedade de negação de evento: 
    80,0111  CPCP
 e 
  70,02 CP
. 
Então, 
a) O evento: nenhum “pegar” = 
21 CC 
  
         06,030,020,02121  CPCPCCP
 
Logo, P(nenhum “pegar”) = 6,0% 
 
b) Apenas um “pegar”  
   2121 CCCC 
 
Como os eventos C1 e C2 são independentes e 
 21 CC 
 e 






 21
CC
 são mutuamente exclusivos, tem-se 
que: 
P(apenas um “pegar”) é: 
 
         38,0)70,0)(20,0()30,0)(80,0(2()12)1(2121  CPCPCPCPCCCCP
 
 
Logo, P(apenas um “pegar”) = 38,0% 
 
 
Exercício 3 – (Montgomery) O circuito a seguir opera se, e somente se, houver um caminho de 
equipamentos funcionais, da esquerda para a direita. Considere que equipamentos falhem 
independentemente, sendo a probabilidade de falha de cada equipamento mostrada na figura. Qual a 
probabilidade de que o circuito opere? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Solução: 
A figura abaixo apresenta os equipamentos A, B, C, D e E e os circuitos I e II: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
0,01 0,01
0,1 0,1
0,10,01 0,01
0,1 0,1
0,1
0,01 0,01
0,1 0,1
0,1
A B
C
D
E
I II
0,01 0,01
0,1 0,1
0,1
A B
C
D
E
0,01 0,01
0,1 0,1
0,1
A B
C
D
E
I II
19 
 
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Estatística e Probabilidade 
 
Unidade 1: Introdução à Probabilidade 
Solução 1 – cálculo com as probabilidades de operação dos equipamentos: 
 
Da esquerda para a direita e considerando a independência dos equipamentos: 
a) 1º circuito opera se A e B operam ou C opera: 
  CBAI 
 
Logo, a probabilidade de I operar é: 
        CBAPCPBAPIP 
 
Tem-se que as probabilidades de cada equipamento operar é: P(A)= 1 - 0,01 = 0,99; P(B) = P(A) e 
 P(C) = 1 - 0,1 = 0,90 e P(D) = P(E) = P(C). Logo, 
 
 
           998,090,099,099,090,099,099,0 IP
 
 
b) 2º circuito opera se D ou E operam: 
 EDII 
 
           99,090,090,090,090,0)()(  EDPEPDPIIP
 
 
O circuito em paralelo irá operar se I e II operarem simultaneamente: 
III 
 
Dos resultados obtidos em (a) e (b) e considerando que I e II são independentes (pela independência dos 
equipamentos), a probabilidade de o circuito operar será: 
988,0)99,0)(998,0()()()(  IIPIPIIIP 
Conclusão: A probabilidade de o circuito acima operar é de 98,8%. 
 
Solução 2 – cálculo com as probabilidades de falha dos equipamentos: 
 
a) 1º circuito opera se A e B ou C não falham: 
  CBAI 
 
Logo, a probabilidade de I operar é: 
       ])[(11])[1 CBAPCBAPCBAPIP  
(utilizando duas vezes a propriedade das Leis de Morgan; do item 4) 
Logo, 
 
P(I) = 1 – {[(0,01 + 0,01 – (0,01)(0,01)][0,1]} = 1 – (0,0199)(0,1)=0,99801 
 
b) 2º circuito opera se D ou E não falham: 
 EDII 
 
    99,0)01,0(1)1,0(1,01)(1)(1 2  EDPEDPIIP 
 
O circuito em paralelo irá operar se I e II operarem simultaneamente: 
III 
 
Dos resultados obtidos em (a) e (b) e considerando que I e II são independentes (pela independência dos 
equipamentos), a probabilidade de o circuito operar será: 
988,0)99,0)(99801,0()()()( IIPIPIIIP 
Conclusão: A probabilidade de o circuito acima operar é de 98,8%. 
 
Exercício 4 – (Morettin) A probabilidade de que um homem esteja vivo daqui a 30 anos é 40%; a de sua 
mulher é 65%. Determinar a probabilidade de que daqui a 30 anos: 
a) Ambos estejam vivos; 
b) Somente o homem esteja vivo; 
c) Somente a mulher esteja viva; 
d) Nenhum esteja vivo; 
e) Pelo menos um esteja vivo. 
Solução: 
 Sejam os eventos: H – homem está vivo daqui a 30 anos; 
 M – mulher está viva daqui a 30 anos 
a) Ambos estejam vivos? 
 
 
b) Somente o homem esteja vivo 
 
 
26,0)65,0)(40,0()()()(  MPHPMHP
14,0)35,0)(40,0()65,01)(40,0()( MHP
20 
 
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Estatística e Probabilidade 
 
Unidade 1: Introdução à Probabilidade 
 
c) Somente a mulher esteja viva 
 
 
 
d) Nenhum esteja vivo 
 
 
 
e) Pelo menos um esteja vivo: 
 
 
 
 
Exercício 5 - As preferências de homens e mulheres por cada gênero de filme alugado em uma locadora de 
vídeos estão apresentadas na próxima tabela: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Sorteando-se, ao acaso, uma dessas locações de vídeo, pergunta-se a probabilidade de: 
a) O filme alugado ser uma comédia? 
b) Uma mulher ter alugado um filme policial? 
c) Um homem ter alugado ou o filme ser um romance? 
d) O filme ser policial dado que foi alugado por um homem? 
e) Os eventos: filme romance e sexo mulher são independentes? 
 Solução: 
Primeiramente precisamos calcular os valores observados totais marginais e o geral: 
 
Sexo 
Filme 
Total 
Comédia (C) Romance (R) Policial (P) 
Homens (H) 136 92 248 476 
Mulheres (M) 102 195 62 359 
Total 238 287 310 835 
 
a) O filme alugado ser uma comédia: 
 
 
b) Uma mulher ter alugado um filme policial: 
 
c) Um homem ter alugado ou o filme ser um romance: 
 
 
 
 
d) O filme ser policial dado que foi alugado por um homem: 
 
39,0)65,0)(60,0()65,0)(40,01()( MHP
21,0)35,0)(60,0()65,01)(40,01()( MHP
79,026,065,040,0)( MHP
62195102Mulheres (M)
24892136Homens (H)
Policial (P)Romance (R) Comédia (C)
Filme
Sexo
62195102Mulheres (M)
24892136Homens (H)
Policial (P)Romance (R) Comédia (C)
Filme
Sexo
0743,0
835
62
)( PMP
2850,0
835
238
)( CP
8036,0
835
92
835
287
835
476
)()()()(  RHPRPHPRHP
5210,0
476
248
)|( HPP
21 
 
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Estatística e Probabilidade 
 
Unidade 1: Introdução à Probabilidade 
 
e) Os eventos: filme romance e sexo mulher são independentes? 
 
Os eventos: filme romance e sexo mulher NÃO são independentes, pois 
 
 
 
 
 
 
Ou, 
 
 
 
 
Exercício 6 - Uma companhia que fabrica caixas de papelão percebe que: 
• A probabilidade de se produzir uma caixa com um furo é de 0,05; 
• A probabilidade de uma caixa ter um canto esmagado é de 0,08; 
• A probabilidade de uma caixa ter um furo e um canto esmagado é de 0,004. 
a) Os eventos “selecionar uma caixa com furo” e “selecionar uma caixa com o canto esmagado” são 
mutuamente exclusivos? Explique. 
b) Se um inspetor de qualidade escolher ao acaso uma caixa determine a probabilidade de a caixa 
ter um furo ou um canto esmagado. 
Solução: 
a) Os eventos “selecionar uma caixa com furo” e “selecionar uma caixa com o canto esmagado” NÃO são 
mutuamente exclusivos, pois o evento interseção entre eles é não vazio (probabilidade maior que zero) 
 
b) Sejam os eventos: 
A : a caixa tem um furo 
B: a caixa tem um canto esmagado. 
Do enunciado tem-se: P(A) = 0,05; P(B) = 0,08 e 
Queremos: 
 
Pela regra geral: 
 
Logo, 
 
Exercício 7 - Em um banco, a experiência indica que há uma probabilidade de 85% de um funcionário 
novo, que tenha feito um curso prévio de treinamento, cumprir sua quota de tarefas; e que essa 
probabilidade, para um novato que não tenha feito o curso prévio, é de 40%. Se 80% de todos os operários 
novos freqüentaram o curso prévio de treinamento, qual a probabilidade de um funcionário novo cumprir sua 
quota de tarefas? 
Solução: 
Sejam os eventos: 
Q: o funcionário novo cumpre sua quota de tarefas 
C : o funcionário novo fez o curso prévio de treinamento 
São dados pelo problema: P(C) = 0,80; P(Q|C) = 0,85 
 
O evento Q pode ser escrito como: 
 
 
 
 
 
Ou, pelo diagrama em árvore: 
)(5432,0
359
195
)|(
3437,0
835
287
)(
RPMRP
RP


1959,0)5701,0)(3437,0()()(2335,0
835
195
)(  HPRPMRP
)()()()( BAPBPAPBAP 
(12,6%) 126,0004,008,005,0)( BAP
))()( QCQCQ 
004,0)( BAP
)( BAP 
(76,0%) 76,008,068,0)40,0)(20,0()85,0)(80,0()(
)|()()|()()(

QP CQPCPCQPCPQP
22 
 
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Estatística e Probabilidade 
 
Unidade 1: Introdução à Probabilidade 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exercício 8 - Um time de futebol ganha com probabilidade 0,7 se chove e com 0,8 se não chove. Em 
setembro a probabilidade de chuva é de 0,3. O time de futebol ganhou uma partida em setembro, qual a 
probabilidade de ter chovido nesse dia? . 
Solução: 
Sejam os eventos: 
G: time de futebol ganha 
A : chuva em setembro 
Queremos: P(A|G) 
Temos: 
 
 
 
 
 
Por definição de probabilidade condicional temos que: 
 
Precisamos então calcular P(G). 
Utilizando o diagrama em árvore, para um dia de setembro: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Utilizando a definição, temos: 
 
 
 
Conclusão: Se o time de futebol ganhou a partida, a probabilidade de ter chovido nesse dia é de 27,3%. 
 
 
Exercício 9 – (Morettin) A porcentagem de carros com defeito entregue no mercado por certa montadora é 
historicamente estimada em 6%. A produção da montadora vem de três fabricas distintas, da matriz A e das 
filiais B e C, nas seguintes proporções: 60%, 30% e 10%, respectivamente. Sabe-se que a proporção de 
defeitos da matriz A é o dobro da filial B e, da filial B é o quádruplo da filial C. Determinar a porcentagem de 
defeito de cada fábrica. 
Solução: 
Seja o evento, D: carros com defeitos; 
P(D) = 6% = 0,06 
P(A) = 60% = 0,60 e P(D|A) = 2 P(D|B) 
Q
Q
Q
Q
C
68,0
08,0
80,0
20,0
85,0
40,0
)QC(P 
)QC(P 

76,0)Q(P 
C
novo .Func
)C|Q(P
Q
Q
Q
Q
C
68,0
08,0
80,0
20,0
85,0
40,0
)QC(P 
)QC(P 

76,0)Q(P 
C
novo .Func
)C|Q(P )C|Q(P
3,0)(
8,0)|(
7,0)|(



AP
AGP
AGP
)(
)(
)|(
GP
GAP
GAP


A
A
G
G
G
G
GA
GA 
21,0)7,0)(3,0( 
56,0)8,0)(7,0( 
8,0
7,0
7,0
3,0
Um dia em 
setembro
+
77,0)G(P 
A
A
G
G
G
G
GA
GA 
21,0)7,0)(3,0( 
56,0)8,0)(7,0( 
8,0
7,0
7,0
3,0
Um dia em 
setembro
+
77,0)G(P 
(27,3%) 273,0
77,0
21,0
)(
)(
)|( 


GP
GAP
GAP
23 
 
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Estatística e Probabilidade 
 
Unidade 1: Introdução à Probabilidade 
P(B) = 30%= 0,30 e P(D|B) = 4 P(D|C) 
P(C) = 10% = 0,10 e P(D|C) 
 
Podemos escrever o evento D como: 
D = (A e D) ou (B e D) ou (C e D) 
Então, 
P(D) = P(A)P(D|A) + P(B)P(D|B) + P(C)P(D|C) 
P(D) = 8 P(A)P(D|C) + 4 P(B)P(D|C) + P(C)P(D|C) 
0,06 = (8)(0,60)P(D|C) + (4)(0,30)P(D|C)+0,10P(D|C) 
0,06 = 6,1 P(D|C) => P(D|C)= 0,00984 (0,98%) 
 P(D|B)=0,0393 (3,93%) 
 e P(D|A)= 0,0787 (7,87%) 
 
 
12) MISCELÂNEA DE EXERCÍCIOS RESOLVIDOS EM ATIVIDADES E PROVAS 
 
 
Questão 1: Se A e B forem dois eventos tal que, P(A)=0,2, P(B)=p e 
)BA(P 
=0,6. Os valores de p para 
as seguintes situações: (1) A e B são mutuamente exclusivos; (2) A e B são independentes, sãorespectivamente,: 
a) 0,3; 0,4 
b) 0,4 ; 0,5 
c) 0,5 ; 0,4 
d) 0,4 ; 0,3 
 
Resposta: B 
(1) Se A e B são mutuamente exclusivos, então 
)()()( BPAPBAP 
, logo 0,6=0,2+p, donde 
p=0,4 
(2) Se A e B são independentes, então 
)()()( BPAPBAP 
= 0,2p 
Por outro lado, temos que 
)()()()( BAPBPAPBAP 
, logo, 0,6 = 0,2 + p - 0,2p, donde 
p=0,5 
 
Questão 2: As probabilidades de 3 jogadores A, B e C, marcarem um gol quando cobram um pênalti são 
3
2
, 
5
4
 e 
10
7
, respectivamente. Num determinado jogo for designado que cada um irá cobrar uma única vez, a 
probabilidade de que pelo menos um marque um gol é aproximadamente: 
a) 0,42 
b) 0,20 
c) 0,87 
d) 0,98 
 
Resposta: D 
Temos duas maneiras de resolver. Sejam considerados os eventos (para as duas maneiras): 
A : jogador A faz o gol; 
A
: jogador A não faz o gol 
B : jogador B faz o gol; 
B
: jogador B não faz o gol 
C : jogador C faz o gol; 
C
: jogador C não faz o gol 
 
(1) Pelo menos um jogador fazer o gol, significa todas as possibilidades de gols a serem feitos (100%) 
exceto a probabilidade de nenhum deles o fazerem simultaneamente, isto é: 
24 
 
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Estatística e Probabilidade 
 
Unidade 1: Introdução à Probabilidade 
98,0
50
49
10
3
5
1
3
1
1)()()(1)(1)(1)(  CPBPAPCBAPCBAPCBAP
 
(usando propriedade de Morgan e a independência da cobrança pelos jogadores) 
 
(2) Escrever todas as possibilidades para pelo menos um fazer o gol: 
2.1) Fazer um gol: 150
25
 
150
7
10
7
5
1
3
1
)CBA(P
150
12
10
3
5
4
3
1
)CBA(P
150
6
10
3
5
1
3
2
)CBA(P













 
2.2) Fazer dois gols: 150
66
 
150
28
10
7
5
4
3
1
)(
150
14
10
7
5
1
3
2
)(
150
24
10
3
5
4
3
2
)(













CBAP
CBAP
CBAP
 
2.3) Fazer três gols: 
150
56
10
7
5
4
3
2
)(  CBAP
 
 
Logo, a probabilidade de fazer pelo menos um gol é a soma de 2.1, 2.2 e 2.3 = 
98,0
150
147

 
 
 
Questão 3: A probabilidade de que um conector elétrico que seja mantido seco falhe durante o período de 
garantia de um computador portátil é de 1%. Se o conector for molhado, a probabilidade de falha durante o 
período de garantia será de 5%. Se 90% dos conectores forem mantidos secos e 10% forem mantidos 
molhados, o percentual de conectores que falhará durante o período de garantia será de aproximadamente: 
a) 2,4% 
b) 4,5% 
c) 1,4% 
d) 10% 
 
Resposta: C 
Resolvendo pelo diagrama em árvore: 
 
 
conector
Seco
Molhado
Falha
Falha
0,90
0,10
0,01
0,05
Seco e 
Falha
Molhado e 
Falha
(0,90)(0,01)=0,009
(0,10)(0,05)=0,005
P(Falha)=0,014+
25 
 
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Estatística e Probabilidade 
 
Unidade 1: Introdução à Probabilidade 
 
 
Questão 4: Um circuito opera somente se houver um caminho de dispositivos funcionais da esquerda para 
a direita. A probabilidade de cada dispositivo funcionar é mostrada no gráfico a seguir. 
 
 
 
Supondo que os dispositivos falhem independentemente a probabilidade de o circuito operar é: 
a) 0,816 
b) 0,595 
c) 0,955 
d) 0,985 
 
Resposta: B 
 Sejam, 
 
Probabilidade de o circuito operar em série: A e B não falharem 
 
595,0)85,0)(70,0()()()(  BPAPBAP
 
 
 
Questão 5: Um circuito opera somente se houver um caminho de dispositivos funcionais da esquerda para 
a direita. A probabilidade de cada dispositivo falhar é mostrada no gráfico a seguir. 
 
Supondo que os dispositivos falhem independentemente a probabilidade de o circuito operar é: 
a) 0,989 
b) 0,898 
c) 0,955 
d) 0,993 
 
Resposta: D 
 Sejam, 
 
Probabilidade de o circuito operar em paralelo: A ou B não falhar 
P(A) não falhar é 0,85 e P(B) não falhar é 0,95, logo 
 
9925,0)95,0)(85,0(95,085,0)()()()(  BAPBPAPBAP
 
 
0,70 0,85
0,70 0,85
A B
0,05
0,15
0,05
0,15
A
B
26 
 
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Estatística e Probabilidade 
 
Unidade 1: Introdução à Probabilidade 
Questão 6: Sabe-se que duas copias defeituosas de um programa computacional comercial foram 
enviadas erroneamente para um lote de remessa que tem agora um total de 75 copias do programa. Se 
uma amostra de três copias do programa forem inspecionadas, a probabilidade de exatamente uma das 
copias defeituosas ser encontrada é aproximadamente: 
a) 0,162 
b) 0,078 
c) 0,040 
d) 0,138 
 
Resposta: B 
 Em 75 copias enviadas, tem-se 





73D
2D
 , em D é defeituosa. 
Se 3 cópias forem retiradas tem-se o evento: 
DDD
ou 
DDD
 ou 
DDD
, em que uma cópia está com 
defeito e as outras 2 não. A probabilidade de cada parte desse evento é a mesma, pois somente a ordem 
do fator “com defeito” é alterada. Logo, 
078,0
405150
10512
3
73
72
74
73
75
2
3defeito) com ( 





umaP
 
 
Questão 7: Uma mensagem de e-mail pode viajar através de uma a duas rotas de servidores. A 
probabilidade de erro na transmissão e cada um dos servidores e a proporção de mensagens que viajam 
em cada rota estão apresentadas na tabela a seguir. 
 
Probabilidade de erro do servidor 
 
Porcentagens 
de mensagens 
1 2 3 4 
rota 1 30% 0,01 0,015 
 
rota 2 70% 
 
0,02 0,003 
 
Considere que os servidores são independentes. Se uma mensagem chegar com erro, a probabilidade de 
que ela tenha sido mandada através da rota 1 é aproximadamente: 
a) 31,8% 
b) 39,2% 
c) 52,3% 
d) 14,0% 
 
Resposta: A 
Resolve-se facilmente pelo diagrama em árvore ou aplicando diretamente Bayes. 
Sejam as siglas: R1= rota 1; R2 = rota 2; mse= mensagem com erro 
1) Aplicando Bayes – direto: 
Queremos: P(R1|mse)= 
)(
)1(
mseP
mseRP 
 
Temos que P(mse)=P(R1 e mse)+P(R2 e mse) = P(R1)P(mse|R1)+P(R2)P(mse|R2) 
mas, P(R1 e mse)=(0,30)(0,01)+(0,30)(0,015)=0,0075 e 
P(R2 e mse)=(0,70)(0,02)+(0,70)(0,003)=0,0161 
Logo, P(mse)=0,0075+0,0161=0,0236 
 
Como queremos: : P(R1|mse)= 
3178,0
0236,0
0075,0
)(
)1(


mseP
mseRP
 
27 
 
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Estatística e Probabilidade 
 
Unidade 1: Introdução à Probabilidade 
2) Esquema do Diagrama em árvore: 
 
Questão 8: Uma ferramenta de inserção robótica contém 10 componentes principais. A probabilidade de 
qualquer componente falhar durante o período de garantia é 0,01. Considere que os componentes falhem 
independentemente e que a ferramenta falhe se qualquer componente falhar. A probabilidade de que a 
ferramenta falhe durante o período de garantia é aproximadamente: 
a) 0,01% 
b) 1,0% 
c) 8,32% 
d) 9,56% 
 
Resposta: D 
 A probabilidade de a ferramenta não falhar é: (0,99)
10
 = 0,90438. 
Logo, a probabilidade de a ferramenta falhar é 1 – 0,90438 = 0,0956 
 
 
Questão 9: O circuito a seguir opera se, e somente se, houver um caminho de dispositivos funcionais da 
esquerda para a direita. Considere que os dispositivos falhem independentemente e que a probabilidade de 
funcionar de cada equipamento esteja mostrada no esquema abaixo. 
 
 A probabilidade de o circuito não operar é aproximadamente: 
a) 97,0% 
b) 3,52% 
c) 2,98% 
d) 98,9% 
 
Resposta: C 
 Sejam definidos os dispositivos do circuito: 
Mensagem
Rota 1
Rota 2
Erro do
Servidor 1
Erro do
Servidor 2
Erro do
Servidor 3
Erro do
Servidor 4
0,30
0,70
0,010,015
0,02
0,003
0,95
0,90
0,90
0,80
0,95
0,90
28 
 
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Estatística e Probabilidade 
 
Unidade 1: Introdução à Probabilidade 
 
 
O circuito opera se I e II e III operarem 
P(I) = P(II) = 0,90+0,95-(0,90)(0,95)=0,995 
P(III)=0,80+0,90-(0,80)(0,90)=0,98 
 
P(circuito operar)=(0,995)
2
(0,98)=0,9702245 
 
Logo, P(circuito não operar) = 1 – 0,9702245 = 0,02977 
 
 
Questão 10: Suponha que P(A|B) = 20%, P(A|
B
) = 30% e P(B) = 80%. Calcule P(A). 
Solução: 
Pelo teorema da Probabilidade Total, pode-se escrever: 
)()( BABAA 
 
Logo, 
)()()( BAPBAPAP 
 
Pelos dados fornecidos, pode-se calcular: 
(1) 
)|()()( BAPBPBAP 
=(0,80)((0,20) = 0,16 
(2) 
)|()()( BAPBPBAP 
= (1 - 0,80)(0,30) = (0,20)(0,30) = 0,06 
 
 
De (1) e (2) obtém-se: 
)()()( BAPBAPAP 
=0,16 + 0,06 = 0,22 (22,0%). 
 
Questão 11: Uma urna contém 7 bolas brancas, 5 vermelhas e 4 azuis. Extraem-se simultaneamente 3 
bolas. Calcule a probabilidade de que todas as bolas sejam da mesma cor. 
Solução: 
Sejam os eventos: 
B: a bola é branca; V: a bola é vermelha e A: a bola é azul 
 
Retirar 3 bolas simultaneamente é similar a retirar 3 bolas sem reposição. 
O evento todas as bolas da mesma cor poderá ser definido: BBB ou VVV ou AAA, ou seja, 
)AAA()VVV()BBB( 
. Então, 
P(todas da mesma cor)= P[
)AAA()VVV()BBB( 
] = P(BBB)+P(VVV)+P(AAA) 
 
As probabilidades são condicionais, dado que a retirada é simultânea, ou seja, P(BBB) = (primeira bola é 
branca: 7/16; a segunda é branca dado que a primeira é branca: 6/15 e a terceira é branca dado que a 
primeira e a segunda o são: 5/14). Com raciocínio análogo temos então que, 
P(todas da mesma cor)=


















14
5
15
6
16
7
+ 


















14
3
15
4
16
5
 +


















14
2
15
3
16
4
=
08750
3360
2460210
,

 
Outras maneiras: 
1) podemos calcular a soma de cada uma delas no formato de proporção: 0,0625+0,01786+0,00714= 
0,0875 
2) ou no formato de contagens dos eventos – utilizando a definição clássica de probabilidade: 
0,95
0,90
0,90
0,80
0,95
0,90
I IIIII
29 
 
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Estatística e Probabilidade 
 
Unidade 1: Introdução à Probabilidade 
Espaço amostral: 






3
16
 
Evento 3 bolas brancas: 






3
7
; Evento 3 bolas vermelhas: 






3
5
; Evento 3 bolas azuis: 






3
4
 
Logo, P(todas da mesma cor): 
























3
16
3
4
3
5
3
7
 
Questão 12: Falhas em teclados de computadores ocorrem devido a conexões elétricas imperfeitas (12%) 
ou a defeitos mecânicos (88%). Defeitos mecânicos estão relacionados a teclas soltas (27%) ou a 
montagens impróprias (73%). Defeitos de conexão elétrica são causados por fios defeituosos (35%), por 
conexões impróprias (13%) ou por fios mal soldados (52%). Calcule a probabilidade de uma falha ocorrer 
devido a: 
a) teclas soltas; 
b) fios conectados impropriamente ou mal soldados. 
 
Solução: 
Esquematizando as probabilidades de cada tipo de falha, podemos escrever: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
a) P(teclas soltas) = (0,88)(0,27) = 0,2376 
b) P(conexão imprópria ou fios mal soldados) = (0,12)[0,13+0,52] = (0,12)(0,65) = 0,078 
 
Falha
Mecânica
Elétrica
Teclas 
soltas
Montagem 
imprópria
Defeito
fio
Conexão
imprópria
Fios mal
soltados
0,88
0,12
0,27
0,73
0,35
0,13
0,52
Falha
Mecânica
Elétrica
Teclas 
soltas
Montagem 
imprópria
Defeito
fio
Conexão
imprópria
Fios mal
soltados
0,88
0,12
0,27
0,73
0,35
0,13
0,52
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© Tânia F Bogutchi – PUC Minas – Revisão em 2012 
Estatística e Probabilidade 
 
Unidade 1: Introdução à Probabilidade 
Referências bibliográficas: 
 
1. MONTGOMERY, D.C, RUNGER, G.C. Estatística Aplicada e Probabilidade para Engenheiros. 4ª ed. 
Rio de Janeiro: LTC, 2009. 
2. MORETTIN, P.A. Estatística básica – Probabilidade. 7ª. ed. São Paulo: Makron Books, 2000, vol. 1. 
3. BUSSAB, W. O., MORETTIN, P. A. Estatística básica. 5. ed. rev. São Paulo: Saraiva, 2003. 
4. MEYER, Paul L. Introdução à probabilidade – aplicações à Estatística. RJ: LTC, 2ª. ed, 1995. 
5. SOARES, José Francisco, FARIAS, Alfredo A., CESAR, Cibele Comini. Introdução à Estatística. RJ: 
LTC, 2003. 
6. TRIOLA, M. F. Introdução à estatística. 10ª ed. Rio de Janeiro: LTC, 2007.