ECT1303-2015.2-Aula4-Erros de truncamento e Séries de Taylor

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UFRN 
Universidade Federal do Rio Grande do Norte 
Escola de Ciências e Tecnologia 
Erros de Truncamento e 
Séries de Taylor 
ECT1303 – Computação Numérica 
• Manter o telefone celular sempre 
desligado/silencioso quando estiver em 
sala de aula; 
• Nunca atender o celular na sala de aula. 
Erros de Truncamento 
Sua calculadora ou computador 
usa um polinômio de Taylor com 
muitos termos, suficientes para 
a precisão desejada! 
Calculadoras e computadores só sabem 
realizar operações aritméticas básicas. 
Você já parou para pensar em como sua 
calculadora calcula e0,03 ou sin (1,23) ??? 
Erros de Truncamento 
Erros de truncamento surgem quando 
aproximações são usadas no lugar de um 
procedimento matemático exato. 
Todos os métodos numéricos são 
baseados em aproximações de funções 
por polinômios. 
Série de Taylor 
Para analisar os erros de 
truncamento, utiliza-se uma 
formulação matemática que é 
amplamente usada nos métodos 
numéricos para expressar uma 
função de forma aproximada – 
a Série de Taylor. 
Inglaterra 
1685 – 1731 
Série de Taylor 
A Série de Taylor prevê o valor da função em 
um ponto em termos do valor da função e suas 
derivadas em outro ponto. 
Observação: Válido para qualquer função lisa! 
Construindo a série de Taylor 
• Seja x um ponto qualquer próximo de x0 
• O polinômio de grau 0 (zero) que fornece a melhor 
aproximação de f(x) em torno de x0 é: 
 
 
 
• Essa relação é chamada de aproximação de ordem zero. 
• Quais as conseqüências dessa aproximação? 

f (x)  f (x0)
primeiro termo na série 
Construindo a série de Taylor 
• Usando uma aproximação de primeira ordem (polinômio 
de grau 1), temos: 
 
 
 
• Aproximação por uma reta com inclinação f ’(x0). 

f (x)  f (x0) f (x0)(x  x0)
segundo termo na série 
Construindo a série de Taylor 
• Um termo de segunda ordem é adicionado para capturar 
alguma curvatura que a função possa apresentar. 
 
 
 
 

f (x)  f (x0) f (x0)(x  x0)
f (x0)
2!
(x  x0)
2
terceiro termo na série 
Construindo a série de Taylor 
• E assim sucessivamente até se obter a expansão 
completa em série de Taylor: 
 
 
 
• O resto (erro) representa todos os termos de n+1 até 
infinito: 
 
 
 onde ξ é um ponto entre x0 e x. 
 
 
n
n
n
Rxx
n
xf
xx
xf
xx
xf
xxxfxfxf





)(
!
)(
)(
!3
)(
)(
!2
)(
))(()()(
0
0
)(
3
0
0
2
0
0
000


Rn 
f (n1)()
(n 1)!
(x  x0)
n1
Construindo a série de Taylor 
• A série de Taylor pode ser simplificada definindo um 
tamanho de passo h = x – x0: 
 
 
 
 e 
 
 
n
n
n
Rh
n
xf
h
xf
h
xf
hxfxfxf





!
)(
!3
)(
!2
)(
)()()(
0
)(
30
20
00


Rn 
f (n1)()
(n 1)!
hn1
Exemplo 
 Use expansões em séries de Taylor de ordem zero até 
ordem quatro para aproximar a função 
 
 
 em x = 1 a partir de x0 = 0. 
Solução 
• Temos f(0) = 1,2 e queremos encontrar f(1) = 0,2. 
 
• A aproximação em série de Taylor com n = 0 é 
 
 
• Com erro de truncamento de 
-0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2
-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4

f (x) 1,2

Et  0,21,2 1,0
Solução 
• Para n = 1, a primeira derivada é calculada em x = 0: 
 
 
• A aproximação de primeira ordem é 
 
 
• Com erro de truncamento de 
-0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2
-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4

f (0) 0,4(0,0)3 0,45(0,0)2 1,0(0,0)0,25 0,25

f (x) 1,20,25h

Et  0,20,950,75
Solução 
• Para n = 2, a segunda derivada é calculada em x = 0: 
 
 
• A aproximação de segunda ordem é 
 
 
• Com erro de truncamento -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2
-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4

f (0) 1,2(0,0)2 0,9(0,0)1,0 1,0

f (x) 1,20,25h 
1,0
2
h2

Et  0,20,45 0,25
Solução 
• A inclusão da terceira e quarta derivadas resulta exatamente 
na mesma equação do começo: 
 
 
• Onde o resto é 

f (x) 0,1h4 0,15h3 0,5h2 0,25h 1,2

R4 
f (5)()
5!
h5  0
-0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2
-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
Considerações 
• Em geral, a expansão em série de Taylor de ordem n 
será exata para um polinômio de grau n. 
• E para outras funções diferenciáveis como 
exponenciais, senóides? 
• Quantos termos são necessários para chegar 
“suficientemente próximo” do valor exato? 
• A equação do erro de truncamento é extremamente 
útil para comparar o erro de métodos numéricos 
baseados em expansão em séries de Taylor. 
Interpretação Gráfica 
• Representação de vários polinomios de Taylor para a 
função sen(x). Fonte: wikipedia 
Resto 
• A forma geral do resto segue a seguinte equação: 
 
 
 
• Essa expressão apresenta 1 problema: 
– ξ não é conhecido exatamente, simplesmente está em algum 
lugar entre xi e xi+1. 
• A equação do resto (ou erro de truncamento) ainda é útil 
para se ganhar intuição sobre o erro de truncamento, 
pois o termo h é controlável. 
 
1
)1(
)!1(
)( 


 n
n
n h
n
f
R

Resto 
• Pode-se expressar a equação do resto como: 
 
𝑅𝑛 = 𝑂 ℎ
𝑛+1 
 
onde O(hn+1) significa que o erro de truncamento é 
proporcional ao tamanho do passo h elevado a (n+1)-ésima 
potência. 
Neste caso, diz-se que o erro é da ordem de hn+1. 
Resto 
• Essa expressão 𝑅𝑛 = 𝑂 ℎ
𝑛+1 é extremamente útil para 
julgar o erro de métodos baseados em séries de Taylor. 
 
• Por exemplo. Se o erro for O(h), diminuir o tamanho do 
passo por dois fará com que o erro seja dividido por dois. 
 
• Se o erro for da ordem de O(h2), dividir o tamanho do 
passo por dois fará com que o erro seja dividido por 
quatro. 
Conclusões 
• Em geral, pode-se supor que o erro de truncamento 
diminui com a adição de termos na série de Taylor; 
 
• Em muitos casos, se h for suficientemente pequeno, o 
primeiro e alguns outros termos da série dão conta de 
uma percentagem desproporcionalmente alta dos erros; 
 
• Assim, conclui-se que apenas poucos termos são 
necessários para se obter uma estimativa adequada. 
Exemplo 
• Use expansões em séries de Taylor com n = 0 até 6 para: 
– a) aproximar f(x) = cos(x) em x = π/3 com base no 
valor de f(x) e suas derivadas em x0 = π/4. 
 
– b) Compare a variação que ocorre no erro de 
truncamento. 
 
Atividade 
1) Calcule a expansão em série de Taylor em torno de 
𝑥0 = 0 para as seguintes funções 
a) sen(x) 
b) cos⁡(𝑥) 
c) 𝑒𝑖𝑥 
2) Utilize o resultado da questão anterior para provar 
que 𝑒𝑖𝑥 = cos 𝑥 + 𝑖𝑠𝑒𝑛(𝑥), e com isto provar a 
famosa identidade de Euler 
 
𝑒𝑖𝜋 + 1 = 0