Prova de cálculo 3 - coordenadas polares

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Solução da Prova de Cálculo III
Darleison Rodrigues Barros Filho ∗ Docente: Prof. Dr. Carlos Cáceres
2015
1a Questão
Achar as Equações Polares
a) x2 + y2 = a2
x2 + y2 = r2
r2 = a2
r =
√
a2
r = a
b) y2 = 4(x+ 1)
y = r · sin θ
x = r · cos θ
(r · sin θ)2 = 4(r · cos θ + 1)
r2(sin2 θ) = 4r · sin θ + 4
r2(1− cos2 θ) = 4r · sin θ + 4
r2 = cos2 θ + 4r · cos θ + 4
r2 = (r · cos θ + 2)2
r = r · cos θ + 2
r(1− cos θ) = 2
r = 21− cos θ
∗Universidade da Integração Internacional da Lusofonia Afro-Brasileira
1
c) x2 = 6y − y2
x2 + y2 = 6y
r2 = 6r · sin θ
r = 6r · sin θ
r
r = 6 · sin θ
d) (x2 + y2)2 = 4(x2 − y2)
(r2)2 = 4r2 · (cos2 θ − sin2 θ)
r4 = 4r2 · (cos2 θ − sin2 θ)
r2 = 4 · (cos2 θ − sin2 θ)
r2 = 4 cos 2θ
e) x3 + y3 − 3axy = 0
r3 cos3 θ + r3 sin3 θ = 3 · a · r2 · cos θ · sin θ
r · r2 · (cos3 θ + sin3 θ) = 3 · a · r2 · cos θ · sin θ
r = 3 · a · r
2 · cos θ · sin θ
r2 · (cos3 θ + sin3 θ)
r = 3 · a · cos θ · sin θ(cos3 θ + sin3 θ)
2
2a Questão
Achar a área limitada pelo gráfico de:
a) r = 3
√
8 + 3
√
8 · cos θ
A = lim
‖∆‖→0
n∑
i=1
1
2(
3√8 + 3√8 · cos θ)2∆iθ
A = 2 · 12
pi∫
0
(2 + cos θ)2 · dθ
A = 4
pi∫
0
(1 + 2 cos θ + cos θ2)2 · dθ
A = 4
[
θ + 2 sin θ + 12θ +
1
4 sin 2θ
]pi
0
4
[
pi + 0 + 12pi + 0
]
= 6pi Unidades de área
b) r = 2 + 2 sin θ
A = 12
pi∫
0
(2 + 2 sin θ) · dθ
A = 12
pi∫
0
(
4− 8 sin θ + 4 sin2 θ
)
· dθ
A = 2
pi∫
0
dθ − 4
pi∫
0
sin θ · dθ + 2
pi∫
0
sin2 θ · dθ
A = 2θ + 4 cos θ + 2
1
2
pi∫
0
dθ −
pi∫
0
(cos 2θ · dθ)

A = 2
[
2 · θ + 4 cos θ + θ − 14 sin 2θ
]pi
0
A =
[
6 · θ + 8 cos θ − 12 sin θ
]pi
0
A = 6pi Unidades de área.
3
3a Questão
Achar a região interior à circunferência r = 3 sin θ e exterior ao limaçon r = 2− sin θ
Como,
r = 3 sin θ = 2− sin θ = r
3 sin θ = 2− sin θ = sin θ = 12
θ1 =
pi
6 e θ2 =
5pi
6
A = 2 lim
‖∆‖→0
n∑
i=1
(
[f(ξi)]2 − [g(ξi)]2
)
∆iθ
A = 2 · 12
θ2∫
θ1
[
f(θ)2 − g(θ)2
]
dθ
Sendo,
f(θ) = 3 sin θ
g(θ) = 2− sin θ
Então,
A = 2 · 12
5pi
6∫
pi
6
[
(3 sin θ)2 − (2− sin θ)2
]
dθ
A =
5pi
6∫
pi
6
[
9 sin2 θ − (2− sin θ)2
]
dθ
A = 8
5pi
6∫
pi
6
sin2 θ · dθ + 4
5pi
6∫
pi
6
sin θ · dθ + 4
5pi
6∫
pi
6
dθ
A = 4
5pi
6∫
pi
6
(1− cos 2θ) dθ + [−4 cos θ − 4θ]
5pi
2
pi
6
A = 4θ − 2 sin 2θ − 4 cos θ − 4θ|
5pi
2
pi
6
A = [−2 sin 2θ − 4 cos θ]
5pi
2
pi
6
A = 3
√
3
Unidades de área.
4
4a Questão
Determine se a sequência é convergente ou divergente.
a)
{
n
2n+1
}
lim
n→∞
n
2n+ 1
lim
n→∞
n
n
2n
n +
1
n
lim
n→∞
n
2n+ 1 =
1
2
Converge
b)
{
4n2
2n2+1
}
lim
n→∞
4n2
2n2 + 1
lim
n→∞
4n2
n2
2n2
n2 +
1
n2
= 42
= 2
Converge
5a Questão
Determine se as sequências são crescentes ou decrescentes
a)
{
n
2n+1
}
n
2n+ 1 ≤
n+ 1
2(n+ 1) + 1
n
2n+ 1 ≤
n+ 1
2n+ 3
(2n+ 1)(n+ 1) ≤ n(2n+ 3)
2n2 + 2n+ n+ 1 ≤ 2n2 + 3n
(2n2 + 3n) + 1 ≤ (2n2 + 3n)
Pelo teorema an ≤ an+1
Conclui-se que a sequência é decrescente.
5
b)
{
1
n
}
1
n
≤ 1
n+ 1
n+ 1 ≤ n
Pelo teorema an ≤ an+1
Conclui-se que a sequência é decrescente.
c)
{
−1n+1
n
}
−1n+1
n
≤ −1
(n+1)+1
n+ 1
−1n+1
n
≤ −1
n+2
n+ 1
(−1n+1)(n+ 1) ≤ (n)(−1n+2)
(−1n · 11)(n+ 1) ≤ (−1n · 12)(n)
(−1n)(n+ 1) ≤ (−1n)(n)(· − 1)
1nn− 1n ≥ 1nn
1nn ≥ 1nn+ 1n
1nn ≥ 1n(n+ 1)
Pelo teorema an ≤ an+1
Conclui-se que a sequência é decrescente e não-monótona.
6