2° ESTÁGIO - CÁLCULO III

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Universidade Federal de Campina Grande - UFCG
Ca´lculo Diferencial e Integral III
Professor: Luiz Antoˆnio da Silva Medeiros
Segunda Avaliac¸a˜o
1. Descreva o domı´nio e a imagem da func¸a˜o f, onde f(x, y) = 4 − x2 − y2. Desenhe pelo menos
treˆs curvas de n´ıvel no domı´nio da func¸a˜o e esboc¸e a superf´ıcie.
2. Considerando que a equac¸a˜o x2 + y2 + xy − 7 = 0 define y como uma func¸a˜o de x, encontre o
valor de ∂y
∂x
no ponto P (1, 1).
3. Encontre os limites, caso existam:
a2) lim
(x,y)→(0,0)
xsen(y)
x2 + 1
b2) lim
(x,y)→(0,0)
x2 − xy√
x−√y
4. Encontre uma equac¸a˜o para o plano que seja tangente a` supref´ıcie z = ex
2+y2 no ponto P (0, 0, 1).
5. A derivada de f(x, y, z) em um ponto P e´ maior na direc¸a˜o de v = i + j − k. Nessa direc¸a˜o, o
valor da derivada e´ 2
√
3.
a) Qual e´ o gradiente de f em P?
b) Qual e´ a derivada de f em P na direc¸a˜o de i+ j?
6. Resolva apenas uma das questo˜es abaixo:
7. Seja f : R2 → R uma func¸a˜o com derivadas parciais cont´ınuas e suponha que a equac¸a˜o
f( y
x
, z
x
) = 0 define z como uma func¸a˜o diferencia´vel de x e y, ou seja, z = g(x, y). Mostre que
x
∂g
∂x
+ y
∂g
∂y
= g
nos pontos nos quais D2f(
y
x
,
g(x,y)
x
) 6= 0, em que D2f indica a derivada parcial de f em relac¸a˜o
a` segunda varia´vel.
8. Prove pela definic¸a˜o que lim
(x,y)→(2,−1)
x3 + y = 7
9. Seja f(x, y) =
{
x2y + x2sen( 1
x
) se x 6= 0
0 se x = 0
e u = (a, b) um vetor unita´rio (a2 + b2 = 1).
a) Mostre que f e´ diferencia´vel em todos os pontos.
b) A derivada parcial ∂f
∂x
e´ cont´ınua nos pontos em que x = 0?
10. Encontre os valores mı´nimos e ma´ximos de x2 + y2 sujeitos a` restric¸a˜o x2 − 2x + y2 − 4y = 0.
Fac¸a um esboc¸o geome´trico para justificar a soluc¸a˜o do problema.
11. Encontre o ponto cr´ıtico de f(x, y) = xy + 2x − ln(x2y) no primeiro quadrante aberto (x >
0, y > 0) e mostre que f assume um valor mı´nimo la´.
12. Esboce a regia˜o de integrac¸a˜o, inverta a ordem da integral e calcule a integral.∫ π
0
∫ π
x
sen(y)
y
dydx
13. Expresse por uma integral dupla o volume do so´lido no primeiro octante limitado pelos planos
coordenados, pelo plano x = 3 e pelo cilindro parabo´lico z = 4− y2.
14. Encontre o centro´ide da regia˜o entre o eixo x e o arco y = sen(x), 0 ≤ x ≤ π.
15. Expresse atrave´s de integrais duplas o raio de rotac¸a˜o em relac¸a˜o a` reta y = 2 de uma placa
fina limitada pelo eixo x, pelas retas x = ±1 e pea para´bola y = x2 se a densidade de massa em
cada ponto da placa varia como o quadrado da distaˆncia do ponto a origem.
16. Se f(x, y) = 100(y+1) representar a densidade populacional da regia˜o plana na Terra limitada
pelas curvas x = y2 e x = 2y − y2, onde x e y sa˜o medidos em milhas, encontre o nu´mero de
pessoas que habitam nessa regia˜o.
17. Encontre os valores extremos de f(x, y) = xy sobre o disco x2 + y2 ≤ 1. Fac¸a um esboc¸o
geome´trico para justificar a soluc¸a˜o do problema.
18. Encontre e classifique os extremos relativos de f(x, y) = x3 + y3 + 3x2 − 3y2.
19. Esboce a regia˜o de integrac¸a˜o, inverta a ordem da integral e calcule a integral.
∫ 8
0
∫ 2
3
√
x
1
1 + y4
dydx
20. Encontre o volume do so´lido cortado da coluna quadrada |x| + |y| ≤ 1 pelos planos z = 0 e
3x+ z = 3. Fac¸a um esboc¸o do so´lido.
21. Complete os termos da integral
∫ 1
0
∫ √y
dxdy +
∫
1
∫
y−2
dxdy
de modo que esta fornec¸a a a´rea da regia˜o R limitada pela para´bola y = x2 e pela reta y−x = 2.
22. Expresse, usando integrais duplas, o raio de rotac¸a˜o em relac¸a˜o ao eixo y de uma placa fina
limitada pela reta y = x e pela para´bola y = x2 se a densidade de massa em cada ponto da
placa varia como a distaˆncia do ponto a` reta y = x.
Universidade Federal de Campina Grande - UFCG / CCT / UAME
Disciplina: Cálculo Diferencial e Integral III Turno: Manhã
Aluno(a):___________________________ Data: 04/09/2006
Período: 2006.1
Segunda Avaliação
1. A temperatura em um ponto (x, y, z) é dada por T (x, y, z) = 200e−x
2
−3y
2
−9z
2
, onde
T é medido em oC e x, y, z em metros.
(a) Determine a taxa de variação da temperatura no ponto P (2,−1, 2) em direção
ao ponto (3,−3, 3).
(b) Qual é a direção de maior crescimento da temperatura em P? Justifique.
(c) Encontre a taxa máxima de crescimento em P .
2. Você está encarregado de construir um radiotelescópio em Plutão (recentemente
redefinido como Dwarf Planet pela International Astronomical Union). Para mi-
nimizar a interferência, você deseja colocá-lo onde o campo magnético do astro é
mais fraco. Suporemos que plutão seja esférico e consideraremos seu raio igual a 6
unidades. Com base em um sistema de coordenadas cuja origem está no centro do
astro, a intensidade do campo magnético é dado por M(x, y, z) = 6x− y2 +xz+60.
Onde você deve colocar o radiotelescópio?
3. Determine, através de uma integral dupla, o volume de uma bola de raio a.
4. Uma placa circular plana tem o formato da região x2 + y2 ≤ 1. A placa, incluindo
a fronteira, é aquecida de tal modo que a temperatura no ponto (x, y) é T (x, y) =
x2 + y2− x. Encontre a temperatura nos pontos mais quentes e mais frios da placa.
5. Uma piscina possui superfície delimitada pelos gráficos das equações 8y = x3, y−x =
4 e 4x+ y = 9. Determine a capacidade desta piscina, sabendo que a profundidade
em um ponto (x, y) de sua superfície é dada por P (x, y) = xy + 1.
1
Universidade Federal de Campina Grande - UFCG / CCT / UAME
Disciplina: Cálculo Diferencial e Integral III Turno: Manhã
Prof.:___________________________ Data: 16/09/2006
Aluno(a):___________________________ Período: 2006.1
Reposição da Segunda Avaliação
Resolva apenas 06 questões
1. (a) Mostre que a equação do plano tangente ao hiperbolóide de uma folha
x2
a2
+
y2
b2
− z
2
c2
= 1
no ponto P (x0, y0, z0) é
x0x
a2
+
y0y
b2
− z0z
c2
= 1.
(b) Determine a equação do plano tangente à superfície 36x2 + 9y2− 16z2 = 144 em P (2, 4, 3).
2. (a) Justifique por que a função f(x, y) =
{
x2 + y2 se(x, y) 6= (0, 0)
1 se(x, y) = (0, 0)
não tem mínimo relativo
nem absoluto em (0,0).
(b) Justifique por que a função f(x, y) =
{
x2 + y2 se x2 + y2 < 1
1− x2 − y2 se x2 + y2 ≥ 1
não tem máximo nem
mínimo relativos em ponto algum da círcunferência x2 + y2 = 1.
3. Determine um vetor tangente às superfícies x2 + y2 + z2 = 6 e x2 + xy + y2 + z = 8 no ponto
P (1, 2, 1). Justifique sua resposta.
4. Determine o volume da maior caixa retangular no primeiro octante com três faces nos planos
coordenados e com um vértice no plano x + 2y + 3z = 6
5. (a) Se f(x, y) possui um ponto de mínimo local em P (a, b), podemos afirmar que f(a, b) ≤
f(x, y) para todo (x, y) ∈ D(f)? Por que?
(b) Se (a, b) é um ponto crítico de f , então se tem necessariamente fx(a, b) = fy(a, b) = 0?
Justifique seu ponto de vista.
6. Determine, caso existam, os máximos e mínimos locais (relativos) e os pontos de sela da função
f(x, y) = x2 + y2 + x2y + 4.
7. Calcule:
(a)
∫
∞
0
∫
∞
0
e−(4x
2+4y2) dx dy (b)
∫ pi
0
∫ pi
x
sen y
y
dy dx
(c)
∫∫
R
x2(x2 + y2)3 dA, onde R limitada pelo limitada por y =
√
1− x2 e y = 0.
 
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Universidade Federal de Campina Grande (UFCG) / Centro de Ciências e Tecnologia (CCT) / Unidade Acadêmica 
de Matemática e Estatística (UAME) 
 
Disciplina: Cálculo Diferencial e Integral III (2109105) – Turno: Manhã 
Professor(a): __Jaime Alves Barbosa Sobrinho________________ Período: 2010.1 
Aluno(a): _____________________________________________________ Nota: _______________________ 
 
Reposição da 2ª Prova (A) – 05 de Julho de 2010 
 
Questão 1: (2,0 pts) Se a soma de três números x, y e z é 18, quais devem ser esses números para o produtode 
x
3
 por y
2
 e por z (x
3
y
2
z) ser o maior possível? 
Questão 2: (2,0 pts) Encontre a abcissa do centróide da região no primeiro quadrante limitada pelo eixo x, pela 
parábola y
2
 = 2x e pela reta x + y = 4, considerando uma densidade planar de massa constante. 
 
Questão 3: (2,0 pts) Encontre a área da região comum aos interiores das cardióides: 
θcos1+=r e θcos1−=r ; πθ 20 ≤≤ . 
 
Questão 4: (2,0 pts) Encontre uma nova formulação (limites de integração iterada) para duas das seguintes 
integrais, transformando a sua formulação original para outra formulação diferente dentre coordenadas esféricas, 
cilíndricas ou cartesianas, conforme seja o caso (não é para resolver a integral!). 
a) ∫ ∫ ∫−
−
−−
−−
+
++
2
2
4
4
8
222
2
2
22
22
)(
x
x
yx
yx
dzdydxzyx b) ∫ ∫ ∫
− −−
−−−
2
0
2
0
4
4
2 22
22
xx yx
yx
dzdydx c) ( )∫ ∫ ∫
−2
0
3
1
4
1
23
2
cossen
π
θθθ
r
dzdrdzr 
Questão 5: (2,0 pts) Resolver dois dos seguintes itens: 
 
a) Volume da região limita abaixo pelo plano )0( =zxy , dos lados pela esfera 2=ρ e acima pelo cone 
3
πϕ = ; 
b) Volume da região limitada acima pela esfera 2222 =++ zyx e abaixo pelo parabolóide 22 yxz += ; 
c) Mude a ordem de integração, de maneira apropriada, para calcular a integral ∫ ∫ ∫
1
0
1
0
1
2
2
12
x
zy dydxdzxze . 
Questão 6 (2,0 pts) Considere 22 vux −= e uvy 2= para calcular as matrizes Jacobianas 
),(
),(
vu
yx
∂
∂
 e 
),(
),(
yx
vu
∂
∂
. 
Verifique que 
),(
),(
),(
),(
1
yx
vu
vu
yx
∂
∂
=





∂
∂
−
. Expresse e também calcule a integral ∫∫R xydxdy , através de uma integral 
iterada nas variáveis u e v, onde, R é a região de fronteira 0 e 0 ,12 ==−= yxxy . 
 
 
OBS: A nota será atribuída até o limite máximo de 10,0 pontos acertados! 
 
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Universidade Federal de Campina Grande (UFCG) / Centro de Ciências e Tecnologia (CCT) / Unidade Acadêmica 
de Matemática e Estatística (UAME) 
 
Disciplina: Cálculo Diferencial e Integral III (2109105) – Turno: Manhã 
Professor(a): __Jaime Alves Barbosa Sobrinho________________ Período: 2010.1 
Aluno(a): _____________________________________________________ Nota: _______________________ 
 
Reposição da 2ª Prova (B) – 05 de Julho de 2010 
 
Questão 1: (2,0 pts) Se a soma de três números x, y e z é 24, quais devem ser esses números para o produto de 
x
2
 por y
3
 e por z (x
2
y
3
z) ser o maior possível? 
Questão 2: (2,0 pts) Encontre a ordenada do centróide da região no primeiro quadrante limitada pelo eixo y, 
pela parábola x
2
 = 2y e pela reta x + y = 4, considerando uma densidade planar de massa constante. 
 
Questão 3: (2,0 pts) Encontre a área da região comum aos interiores das cardióides: 
θsen1+=r e θsen1−=r ; πθ 20 ≤≤ . 
 
Questão 4: (2,0 pts) Encontre uma nova formulação (limites de integração iterada) para duas das seguintes 
integrais, transformando a sua formulação original para outra formulação diferente dentre coordenadas esféricas, 
cilíndricas ou cartesianas, conforme seja o caso (não é para resolver a integral!). 
a) ∫ ∫ ∫
− −−2
0
4
0
4
0
2
2 22
dxdydzx
x yx
 b) ∫ ∫ ∫
−
−−
+
+−
1
0
1
1
)(
)(
2
2
2
22
22
21
x
x
yx
yx
dzdydxxy c) ∫ ∫ ∫
π π ϕ
θϕρϕρ
0 0
sen2
0
2 sen ddd 
Questão 5: (2,0 pts) Resolver dois dos seguintes itens: 
 
a) Volume da região limitada pelos parabolóides 228 yxz −−= e 22 yxz += 
b) Volume da região entre a esfera ϕρ cos= e o hemisfério 2=ρ , 0≥z ; 
c) Mude a ordem de integração, de maneira apropriada, para calcular a integral ∫ ∫ ∫
4
0
1
0
2
2
2
2
)cos(4
y
dxdydz
z
x
. 
Questão 6 (2,0 pts) Considere yxu += e yxv −= para calcular as matrizes Jacobianas 
),(
),(
vu
yx
∂
∂
 e 
),(
),(
yx
vu
∂
∂
. 
Verifique que 
),(
),(
),(
),(
1
yx
vu
vu
yx
∂
∂
=





∂
∂
−
. Expresse e também calcule a integral ∫∫ −−R
yx dxdyeyx
22
)( , através de uma 
integral iterada nas variáveis u e v, onde R é a região retangular envolvida pelas retas 0=+ yx , 1=+ yx , 
1=− yx e 4=− yx . 
 
 
OBS: A nota será atribuída até o limite máximo de 10,0 pontos acertados! 
 
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Universidade Federal de Campina Grande - UFCG 
Centro de Ciências e Tecnologia – CCT 
Unidade Acadêmica de Matemática e Estatística - UAME 
 
Disciplina: Cálculo Diferencial e Integral III (2109105) – Turno: Manhã 
Professor: _______Jaime Alves Barbosa Sobrinho_____________ Período: 2010.1 
Aluno(a): ______________________________________________________ Nota: ________________________ 
 
2ª Prova (A) – 13 de maio de 2010 
 
1) (2,0 pts) Encontre os valores extremos de )(),,( zyxzyxf += sobre a curva de interseção do cilindro circular 
reto 122 =+ yx e do cilindro hiperbólico 1=xz . 
 
2) (2,0 pts) Encontre o momento polar de inércia em relação a origem de uma placa fina que cobre a região que 
está dentro da cardióide θcos1−=r e fora da circunferência 1=r , considerando que a função densidade da 
placa é '21),( r
r =θδ . 
 
3) (2,0 pts) Identifique os limites das integrais iteradas, para determinar o volume da região limitada abaixo pela 
esfera ϕρ cos2= e acima pelo cone 22 yxz += (não é necessário calcular o volume). 
 
 a) Em coordenadas cartesianas; b) Em coordenadas cilíndricas ou esféricas (escolher uma apenas). 
 
4) (2,0 pts) Mude a ordem de integração para calcular duas das seguintes integrais: 
 a) ∫ ∫ ∫
2
0 0
1
2
5x
y
x
dydzdxe ; b) ∫ ∫ ∫
π ϕπ
θϕρϕϕρ
2
0 0
sec
0
44 sen cos ddd ; c) ∫ ∫ ∫
−
−−
2
0
2 43
4
 
2
2
π
π
θ
r
r
r
drddzzr . 
5) (2,0 pts) Considere a mudança de variável apresentada abaixo e use o teorema de mudança de variável, em inte-
grais duplas, para calcular a integral ∫∫ −+S
xxy dxdye
2
. 
 
 
– Boa Prova – 
 
OBS: Na correção serão considerados apenas os primeiros 10,0 pontos trabalhados! 
 
 
),(),(
 
),(),(
2
2
xyxvu
uvuyx
+=
−=
c 
Universidade Federal de Campina Grande - UFCG 
Centro de Ciências e Tecnologia – CCT 
Unidade Acadêmica de Matemática e Estatística - UAME 
 
Disciplina: Cálculo Diferencial e Integral III (2109051) – Turno: Manhã 
Professor: ________Jaime Alves Barbosa Sobrinho____________ Período: 2010.1 
Aluno(a): ______________________________________________________ Nota: ________________________ 
 
2ª Prova (B) – 13 de maio de 2010 
 
1) (2,0 pts) Encontre os valores extremos de )(),,( zxyzyxf += sobre a curva de interseção do cilindro circular 
reto 122 =+ yx e do cilindro hiperbólico 1=yz . 
 
2) (2,0 pts) Encontre o momento polar de inércia em relação a origem de uma placa fina que cobre a região que 
está dentro da cardióide θsen1−=r e fora da circunferência 1=r , considerando que a função densidade da 
placa é '21),( r
r =θδ . 
 
3) (2,0 pts) Identifique os limites das integrais iteradas, para determinar o volume da região limitada acima pela 
esfera ϕρ cos2= e abaixo pelo cone 22 yxz += (não é necessário calcular o volume). 
 
 a) Em coordenadas cartesianas; b) Em coordenadas cilíndricas ou esféricas (escolher uma apenas). 
 
4) (2,0 pts) Mude a ordem de integração para calcular duas das seguintesintegrais: 
 a) ∫ ∫ ∫
2
0
2 1
2
5
z
y
x
dydxdze ; b) ∫ ∫ ∫
4
0
2
0
sec
0
4 sen cos
π π ϕ
ϕθρϕϕρ ddd ; c) ∫ ∫ ∫
−
−−
π πθ θ
2
0 0
43
4
2
2
 dzdrdzr
r
r
. 
5) (2,0 pts) Considere a mudança de variável apresentada abaixo e use o teorema de mudança de variável, em inte-
grais duplas, para calcular a integral ∫∫ ++S
xxy dxdye
2
. 
 
 
– Boa Prova – 
 
OBS: Na correção serão considerados apenas os primeiros 10,0 pontos trabalhados! 
),(),(
 
),(),(
2
2
xyxvu
uvuyx
+=
−=
c 
Universidade Federal de Campina Grande (UFCG) / Centro de Ciências e Tecnologia (CCT) / Unidade Acadêmica 
de Matemática e Estatística (UAME) 
 
Disciplina: Cálculo Diferencial e Integral III (2109051) – Turno: Manhã 
Professor(a): __Jaime Alves Barbosa Sobrinho________________ Período: 2010.1 
Aluno(a): _____________________________________________________ Nota: ________________ 
 
Reposição da 2ª Prova – 07 de Junho de 2010 
 
Questão 1: (2,0 pts) Determine os pontos críticos da função 332545 −−−+= yxyxz e classifique-os por 
meio do teste da segunda derivada. 
 
Questão 2: (2,0 pts) Se a soma de três números x, y e z é 12, quais devem ser esses números para o produto de 
x por y
2
 e por z
3
 (xy
2
z
3
) ser o maior possível? 
Questão 3: (2,0 pts) Inverta a ordem de integração e calcule a integral ∫ ∫
2
0
4
2
2
cos
y
dxdyxy . 
Questão 4: (2,0 pts) Ache a primeira coordenada do centro de massa da lâmina que tem a forma da região de-
limitada pelos gráficos das equações dadas e a densidade de massa por área indicada. 
 
xy = , 9=x , 0=y e yxyx +=),(δ . 
 
Questão 5: (2,0 pts) Use coordenadas polares para calcular a integral dupla: 
 
∫∫ ++R yx dA221
1 
Onde R é o setor do primeiro quadrante limitado por xyy == ,0 e 422 =+ yx . 
 
Questão 6 (2,0 pts) Encontre a área da região cortada do primeiro quadrante pela curva θ2sen 22 −=r . 
 
 
OBS: Serão pontuados apenas os primeiros 10,0 pontos trabalhados! 
 
– ☺ Estudo, Paciência e Atenção ⇔ Boas Provas ♥ – 
(Boa Copa e Festas Juninas)