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* PRÓ-REITORIA DE GRADUAÇÃO - BACHARELADO EM CIÊNCIA E TECNOLOGIA INFORMÁTICA * MÉTODOS NUMÉRICOS DE DETERMINAÇÃO DE RAÍZES: BISSEÇÃO, SECANTE E NEWTON-RAPHSON Professor.: Aquiles Burlamaqui * CONTEÚDO Metodologia Contexto Bibliografia Motivação Idéia Central dos Métodos Fase I Fase II Método da Bisseção Método de Newton-Raphson Método da Secante Comparação dos métodos Prática Pesquisa * METODOLOGIA Aulas Teórico-Práticas: Em todas as aulas haverão uma discussão inicial, onde serão construídos os conceitos assim como as atividades práticas que servirão como parâmetros para avaliação. Avaliação: A avaliação será feita em cima das prática vistas em sala de aula assim como provas escritas e participação, de maneira a avaliar o aluno continuamente. “Eu escutei e esqueci. Eu vi e lembrei. Eu fiz e Entendi.” Confucius * CONTEÚDO Metodologia Contexto Bibliografia Motivação Idéia Central dos Métodos Fase I Fase II Método da Bisseção Método de Newton-Raphson Método da Secante Comparação dos métodos Prática Pesquisa * CONTEXTO DA AULA NA DISCIPLINA Esta aula de está inserida no contexto da disciplina de Cálculo Numérico cujos objetivos são: Apresentar o cálculo do ponto de vista computacional. Desenvolver as técnicas destinadas a compensar as restrições das representações numéricas. Pré-requisitos: Cálculo I Introdução à Programação * * CONTEÚDO Metodologia Contexto Bibliografia Motivação Idéia Central dos Métodos Fase I Fase II Método da Bisseção Método de Newton-Raphson Método da Secante Comparação dos métodos Prática Pesquisa * BIBLIOGRAFIA Rugiero, Márcia A. G. & Lopes, Vera L.R. Cálculo Numérico: Aspectos Teóricos e Computacionais. 2 ed. Makron Books, 1996. Sperandio, Décio et al. Cálculo Numérico: Características Matemáticas e Computacionais. Prentice-Hall, 2003. Franco, Neide M.B.. Cálculo Numérico. Prentice-Hall, 2006. * * CONTEÚDO Metodologia Contexto Bibliografia Motivação Idéia Central dos Métodos Fase I Fase II Método da Bisseção Método de Newton-Raphson Método da Secante Comparação dos métodos Prática Pesquisa * MOTIVAÇÃO A busca por zeros de funções: - em diversas áreas da ciência, surgem modelos matemáticos definidos por uma equação do tipo f(x) = 0 Algumas funções podem ter suas raízes calculadas analiticamente, porém outras são de difícil solução ou de solução desconhecida (polinômios de ordem maior que 3, por exemplo), sendo necessário a solução por métodos numéricos Desejamos portanto encontrar um valor x para x tal que f(x) = 0 Iremos discutir métodos numéricos de implementação computacionalmente viável para encontrar um valor para x dentro de um intervalo com uma precisão razoável * * CONTEÚDO Metodologia Contexto Bibliografia Motivação Idéia Central dos Métodos Fase I Fase II Método da Bisseção Método de Newton-Raphson Método da Secante Comparação dos métodos Prática Pesquisa * IDÉIA CENTRAL DOS MÉTODOS Fase I Localizar ou isolar uma região que contenha a raiz e definir um valor aproximado inicial Fase II Refinamento ou seja melhorar sucessivamente a aproximação inicial obtida na fase I até se obter uma aproximação para a raiz real dentro de uma precisão e prefixada * * CONTEÚDO Metodologia Contexto Bibliografia Motivação Idéia Central dos Métodos Fase I Fase II Método da Bisseção Método de Newton-Raphson Método da Secante Comparação dos métodos Prática Pesquisa * FASE I Nesta fase fazemos uma análise teórica e gráfica da função f(x) O sucesso da fase II depende da precisão desta análise Usamos o Teorema de Cauchy: seja f(x) uma função contínua no intervalo [a, b] se f(a)f(b) < 0 então existe pelo menos um ponto x = x entre a e b que é zero de f(x) a prova deste teorema pode ser encontrada em [Guidorizzi, 2001] * * FASE I : ANÁLISE GRÁFICA Figuras extraídas de [Ruggiero, 1996] * * FASE I : ANÁLISE GRÁFICA * Figuras extraídas de [Ruggiero, 1996] se f(a)f(b) > 0 então podemos ter várias situações no intervalo [a, b]. Estas situações e a análise gráfica são discutidas com mais detalhes em [Guidorizzi, 2001] e [Leithold, 1994] * FASE I : ANÁLISE GRÁFICA Vimos portanto, que a análise gráfica do função f(x) é fundamental para se obter boas aproximações para a raiz É suficiente o uso de um dos processos a seguir: i ) Esboçar o gráfico de f(x) e localizar a região onde a curva intercepta o eixo das abcissas; ii ) A partir da equação f(x) = 0 obter a equação equivalente g(x) = h(x) e esboçar seus gráficos. Os pontos de cruzamento das curvas são os zeros procurados, pois f(x)=0 Û g(x) = h(x) iii ) Usar softwares para traçar gráficos * * FASE I : EXEMPLO COM PROCESSO I * Figuras extraídas de [Ruggiero, 1996] * FASE I : EXEMPLO COM PROCESSO II * Figuras extraídas de [Ruggiero, 1996] * FASE I : TABELA DE VARIAÇÃO DO SINAL * Figuras extraídas de [Ruggiero, 1996] * CONTEÚDO Metodologia Contexto Bibliografia Motivação Idéia Central dos Métodos Fase I Fase II Método da Bisseção Método de Newton-Raphson Método da Secante Comparação dos métodos Prática Pesquisa * FASE II: REFINAMENTO Há vários métodos para refinamento da raiz Todos pertencem a classe dos métodos iterativos onde um conjunto de instruções é repetido formando cada passo ou ciclo Eles fornecem uma aproximação da raiz É importante: Definir o critério de parada Estudar a convergência e sua eficiência * * CRITÉRIOS DE PARADA Existem vários tipo de critérios de parada Analise do valor da funcao: Erro absoluto: Erro relativo: Limites do intervalo: * FASE II: PSEUDO-CÓDIGO Ler dados iniciais Realizar cálculos e aproximação iniciais k = 1 Enquanto !criterioSatisfeito E k < limMax criterioSatisfeito = calcularNovaAproximacao() k = k + 1 Fim enquanto ExibirResultados() * FASE 1 FASE 2 * CONTEÚDO Metodologia Contexto Bibliografia Motivação Idéia Central dos Métodos Fase I Fase II Método da Bisseção Método de Newton-Raphson Método da Secante Comparação dos métodos Prática Pesquisa * FASE II: MÉTODO DA BISSEÇÃO Usando-se o teorema já apresentado se f(a)f(b) < 0 então existe pelo menos um ponto x = x entre a e b que é zero de f(x) Divide-se ao meio o intervalo [a, b] sucessivamente até que (b-a) < e Cada novo xk = (ak + bk)/2 será o novo ak+1 ou bk+1 de modo a manter válido o teorema acima * * FASE II: MÉTODO DA BISSEÇÃO * * Ex: Achar a raiz da equação no intervalo [2,3] com o erro absoluto * FASE II: MÉTODO DA BISSEÇÃO Vantagens: Simples Converge sempre Desvantagens: convergencia lenta * * CONTEÚDO Metodologia Contexto Bibliografia Motivação Idéia Central dos Métodos Fase I Fase II Método da Bisseção Método de Newton-Raphson Método da Secante Comparação dos métodos Prática Pesquisa * FASE II: MÉTODO DE NEWTON-RAPHSON Supondo uma aproximação x0 para a raiz de f(x), no ponto (x0, f(x0)) passa apenas uma única reta tangente, que é a derivada de f(x) em x0. Esta reta tangente corta o eixo x na coordenada x1,definindo por sua vez, o ponto (x1, f(x1)) Por este novo ponto também passa uma única reta tangente que corta o eixo x em x2. Esta nova coordenada define outro ponto (x2, f(x2)) que repete todo o processo x0,x1,... são aproximações cada vez melhores para a raiz da função, o Xk+1 pode ser obtido a partir do Xk através da função: * * FASE II: MÉTODO DE NEWTON-RAPHSON * * FASE II: MÉTODO DE NEWTON-RAPHSON (FORMULAÇÃO E ANÁLISE GRÁFICA) * Figuras extraídas de [Ruggiero, 1996] * Convergência Caso se escolha x0 de forma que x1 saia do intervalo [a,b] o método poderá não convergir. Ex: Ache a raiz da equação para o erro relativo, ou seja: FASE II: MÉTODO DE NEWTON-RAPHSON * Se Então x0=0,5 * FASE II: MÉTODO DE NEWTON-RAPHSON Vantagens: Simples Rápida convergência Desvantagens: Nem sempre converge Necessidade de se conhecer a derivada da função Muito sensível à estimativa inicial Se a derivada for nula o método falha * * CONTEÚDO Metodologia Contexto Bibliografia Motivação Idéia Central dos Métodos Fase I Fase II Método da Bisseção Método de Newton-Raphson Método da Secante Comparação dos métodos Prática Pesquisa * FASE II: MÉTODO DA SECANTE Uma grande desvantagem do método de Newton é a necessidade de se obter f’(x) e calcular seu valor numérico a cada iteração Uma forma de se contornar este problema é substituir a derivada f’(x) pelo quociente das diferenças f’(xk) » ( f(xk) - f(xk-1) ) / ( xk - xk-1) * * FASE II: MÉTODO DA SECANTE * * * Figuras extraídas de [Ruggiero, 1996] FASE II: MÉTODO DA SECANTE * FASE II: MÉTODO DA SECANTE Vantagens: Simples Rápida convergência como o método deNewton e não necessita do conhecimento da derivada da função Desvantagens: Nem sempre converge Muito sensível à estimativa inicial Se a derivada for nula o método falha * * CONTEÚDO Metodologia Contexto Bibliografia Motivação Idéia Central dos Métodos Fase I Fase II Método da Bisseção Método de Newton-Raphson Método da Secante Comparação dos métodos Prática Pesquisa * FASE II: COMPARAÇÃO ENTRE OS MÉTODOS APRESENTADOS O método da Bisseção sempre converge para uma solução O esforço computacional do método da bisseção cresce demasiadamente quando se aumenta a exatidão da raiz desejada Deve ser usado apenas para diminuir o intervalo que contém a raiz para posterior aplicação de outro método, como o método de Newton, por exemplo O método da Secante é uma aproximação para o método de Newton Ao contrário do método da Bisseção o método da Secante e de Newton podem não convergir * * FASE II: COMPARAÇÃO ENTRE OS MÉTODOS APRESENTADOS O método da bisseção é bastante simples por não exigir o conhecimento da derivada da equação em questão, porém possui uma convergência lenta O método de Newton é o que apresenta a convergência mais rápida, porém exige o conhecimento da derivada analítica da função em questão O método da Secante é mais lento que o de Newton, porém não exige o conhecimento da derivada analítica da função em questão * * CONTEÚDO Metodologia Contexto Bibliografia Motivação Idéia Central dos Métodos Fase I Fase II Método da Bisseção Método de Newton-Raphson Método da Secante Comparação dos métodos Prática Pesquisa * DEMONSTRAÇÃO PRÁTICA DOS MÉTODOS EM AÇÃO * * EXERCÍCIOS PARA OS ALUNOS Implementar os métodos apresentados, de preferência com visualização gráfica Para uma coleção de funções dadas na lista de exercícios * * CONTEÚDO Metodologia Contexto Bibliografia Motivação Idéia Central dos Métodos Fase I Fase II Método da Bisseção Método de Newton-Raphson Método da Secante Comparação dos métodos Prática Pesquisa * PESQUISA Em cima de suas implementações: Encontrar situações de não convergência e explicar o que está acontecendo Definir diferentes critérios de parada, comparar os resultados obtidos e o número de iterações necessários para cada método * * MÉTODOS NUMÉRICOS DE DETERMINAÇÃO DE RAÍZES: BISSEÇÃO, SECANTE E NEWTON-RAPHSON Professor.: Aquiles Burlamaqui aquilesburlamaqui@gmail.com http://aquilesburlamaqui.wikidot.com OBRIGADO! FIM. * Convergência: Chegar a uma solução aproximada válida. * * * * *
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