CÁLCULO NUMÉRICO COMPUTACIONAL ATIVIDADE 3 (A3)

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ROTEIRO DE PRÁTICA 
Tema Implementação dos Métodos Numéricos para Resolução de Equações Unidade 01 
Disciplina (s) Cálculo Numérico Computacional 
Data da 
última 
atualização 
03/02/2020 
I. Instruções e observações 
 
LEIA COM ATENÇÃO AS SEGUINTES INSTRUÇÕES E OBSERVAÇÕES 
1. É importante o conhecimento prévio de métodos numéricos para obtenção de raízes de equações 
(Métodos Gráfico, Bisseção, Newton, Iteração Linear). 
2. É imprescindível ter o roteiro da prática em mãos. 
3. Consulte o material de apoio (e-book unidade 1). 
II. Equipamentos, materiais, reagentes ou produtos 
Descrição Quantidade 
Roteiro da prática 1 
Calculadora científica 1 
Computador ou Notebook 1 
III. Introdução 
Existem alguns métodos numéricos para a obtenção de raízes de equações. As técnicas numéricas nos fornecem 
soluções próximas da solução exata. De modo geral, esses métodos geram uma sequência de números reais, que se 
aproximam de uma raiz exata da equação. Para a aplicação dos métodos, podemos utilizar recursos computacionais 
acessíveis e de fácil manuseio, como Excel e o software GeoGebra. 
 
IV. Objetivos de Aprendizagem 
 
 Aplicar o método da iteração linear para determinar uma aproximação refinada para uma raiz de uma função. (
Capstone) 
 Realizar o refinamento da raiz através dos métodos da bisseção, de Newton e da iteração linear. 
 Avaliar as vantagens e desvantagens dos métodos da bisseção, de Newton e da iteração linear. 
 
 
 V. Experimento 
ETAPA 1: Método Gráfico 
 
1. Utilizando o Método Gráfico, determine a quantidade e os sinais das raízes da função: 
𝑓(𝑥) = 𝑥 − 2𝑥 − 20𝑥 + 30. 
 
 
 
 
 
 
O resultado apresentado no experimento denota 3 raizes apresentadas na planilha a saber: 
[-5,-4] , [1,2] e [4,5] sendo a primeira negativa e a segunda e terceira positivas, ou seja o eixo x estaria sendo 
tocado nesses 3 pontos do grafico. 
 
 
2. Compare as respostas obtidas no item anterior a partir da utilização do Software GeoGebra 
(https://www.geogebra.org/). Use as mesmas funções escolhidas para 𝑔(𝑥) e ℎ(𝑥). 
𝑓(𝑥) = 𝑔(𝑥) − ℎ(𝑥) 𝑔(𝑥) ℎ(𝑥) 
f(x) = x3 - 2x2 - 20x + 30 
Azul 
g(x) = x3 - 2x2 
Vermelho 
h(x) = 20x – 30 
Verde 
 
 
 
x g(x) h(x)
-10 -1200 -230
-9 -891 -210
-8 -640 -190
-7 -441 -170
-6 -288 -150
-5 -175 -130
-4 -96 -110
-3 -45 -90
-2 -16 -70
-1 -3 -50
0 0 -30
1 -1 -10
2 0 10
3 9 30
4 32 50
5 75 70
6 144 90
7 245 110
8 384 130
9 567 150
10 800 170
 
 
 
 
 
ETAPA 2: Método da Bisseção 
 
3. No Excel, sem utilizar a função “SE”, aplique o Método da Bisseção para calcular a quinta (𝑥 ) aproximação 
da raiz positiva da função 𝑓(𝑥) = 𝑥 − 10. Para tanto, isole a raiz num intervalo [𝑎, 𝑏] (𝑎 e 𝑏 naturais) de 
comprimento 1, isto é, 𝑏 − 𝑎 = 1. 
 
𝑥 𝑓(𝑥 ) |𝑥 − 𝑥 | 
3,15625 -0,0380859375 0,198242 
 
4. Agora, fazendo uso da função “SE”, calcule a trigésima (𝑥 ) aproximação da raiz. 
 
𝑥 𝑓(𝑥 ) |𝑥 − 𝑥 | 
3,16227766033262 1,03875E-09 5,8902E-09 
 
5. Calcule √10 com uma calculadora científica e compare o valor encontrado com 𝑥 . 
 
O cálculo apresenta 
𝐶𝑎𝑙𝑐𝑢𝑙𝑎𝑑𝑜𝑟𝑎: √10 = 3,1622776602 
 
𝐸 = 3,1622776602 −3,16227766033262 = -0,00000000013262 (-0,0000000042%) 
 
A correspondência é quase exata 
 
ETAPA 3: Método de Newton 
 
6. No Excel, isolando a raiz de 𝑓(𝑥) = 2𝑥 − 𝑠𝑒𝑛(𝑥) + 4 num intervalo [𝑎, 𝑏] (𝑎 e 𝑏 inteiros) de comprimento 
1, isto é, 𝑏 − 𝑎 = 1 e utilizando o Método de Newton, complete o quadro abaixo: 
 
𝜀 (Tolerância) 
Nº mínimo de 
iterações 𝑥 𝑓(𝑥 ) 
10 5 (x4) -2,34375 0,02835 
10 12 (x11) -2,354248046875 -0,000014309650 
10 29 (x28) -2,35424275882542 -0,00000000163058 
 
7. Use o GeoGebra para esboçar o gráfico da função 𝑓(𝑥) e determinar sua raiz. Em seguida, compare suas 
respostas para a raiz encontrada no caso em que a tolerância é 𝜖 ≤ 10 . 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
E = -2,35424275882542 - (-2,3542427582235 )= -0,00000000060192 (0,000000025568%) 
 
 
 
 
 
 
ETAPA 4: Método da Iteração Linear 
 
 
8. Em relação ao Método da Iteração Linear, considere a função 𝑓(𝑥) = 𝑥 − cos (𝑥) e 𝑥 = 0,5. Justificando 
sua resposta, quais as possibilidades para a função de iteração 𝐹(𝑥)? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
9. Sejam 𝑓(𝑥) = 𝑥 − cos (𝑥), 𝑥 = 0,5 e uma função de iteração 𝐹(𝑥) convenientemente escolhida. No 
Excel, levando em consideração a sequência de raízes 𝑥 , complete a tabela abaixo: 
 
𝑥 Raiz aproximada 𝑓(𝑥 ) Erro (|𝑥 − 𝑥 |) 
𝑥 0,866753875087241 0,00385523966289814 0,005068762 
𝑥 0,865474058648975 0,0000000768602201883795 0,00000010094556590623 
𝑥 0,865474032107809 -0,0000000029899004383438 0,00000000133053834616703 
𝑥 0,865474033101614 0,00000000000000000000000 0,000000000000000999200722162641 
 
10. Use o GeoGebra para esboçar o gráfico da função 𝑓(𝑥) determinar sua raiz. Por fim, compare suas 
respostas para a raiz encontrada (𝑥 ). 
 
 
 
 
 
E = 0,865474033101614- 0,8654740331058 = -0,000000000004186 (-0,000000000483638%) 
 
𝑥 = ∛cos (𝑥) 
𝐹(𝑥) = ∛cos (𝑥) 
 
𝑓(𝑥) = 𝑥 − cos(𝑥) 𝑥 - cos(x)=0 
𝑥 = cos(x) 
 
Convergente 
𝑥 = 𝑎𝑟𝑐𝑜𝑠(𝑥 ) 
𝐹(𝑥) = 𝑎𝑟𝑐𝑜𝑠(𝑥 ) 
𝑥 : 𝑎𝑟𝑐𝑜𝑠(0,5 ) = 𝑎𝑟𝑐𝑜𝑠(0,125) = 1,44 
𝑥 : 𝑎𝑟𝑐𝑜𝑠(1,44 ) = 𝑎𝑟𝑐𝑜𝑠(2,98)
= 𝑖𝑚𝑝𝑜𝑠𝑠í𝑣𝑒𝑙 
𝑓(𝑥) = 𝑥 − cos(𝑥) 𝑥 - cos(x)=0 
𝑥 = cos(x) 
Divergente 
Pois a equação não é contínua no intervalo. 
Cosseno varia entre -1 e 1, portanto não 
existe arcos(2,98). 
 
 
 
 
 
 
VI. Avaliação do experimento 
 
Encontrar a solução de uma equação pode ser um processo complicado, principalmente quando tentamos resolver 
de forma analítica. Este é um dos motivos que incentivaram os matemáticos a criarem métodos diferenciados para 
a resolução de forma numérica. Existem vários métodos numéricos para a resolução de equações, os quais 
procuraram encontrar uma solução aproximada para o problema. O experimento demonstra que os métodos 
possuem eficácia na analise, porém também possuem erros e devem ser verificados atentamente na definição do 
processo. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
VII. Referências 
BARROSO, L. C; BARROSO, M. M. A.; FILHO, F. F. C.; CARVALHO, M. L. B.; MAIA, M. L. Cálculo Numérico com 
aplicações; 2ª Edição. São Paulo; Harbra, 1987