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ROTEIRO DE PRÁTICA Tema Implementação dos Métodos Numéricos para Resolução de Equações Unidade 01 Disciplina (s) Cálculo Numérico Computacional Data da última atualização 03/02/2020 I. Instruções e observações LEIA COM ATENÇÃO AS SEGUINTES INSTRUÇÕES E OBSERVAÇÕES 1. É importante o conhecimento prévio de métodos numéricos para obtenção de raízes de equações (Métodos Gráfico, Bisseção, Newton, Iteração Linear). 2. É imprescindível ter o roteiro da prática em mãos. 3. Consulte o material de apoio (e-book unidade 1). II. Equipamentos, materiais, reagentes ou produtos Descrição Quantidade Roteiro da prática 1 Calculadora científica 1 Computador ou Notebook 1 III. Introdução Existem alguns métodos numéricos para a obtenção de raízes de equações. As técnicas numéricas nos fornecem soluções próximas da solução exata. De modo geral, esses métodos geram uma sequência de números reais, que se aproximam de uma raiz exata da equação. Para a aplicação dos métodos, podemos utilizar recursos computacionais acessíveis e de fácil manuseio, como Excel e o software GeoGebra. IV. Objetivos de Aprendizagem ▪ Aplicar o método da iteração linear para determinar uma aproximação refinada para uma raiz de uma função. ( Capstone) ▪ Realizar o refinamento da raiz através dos métodos da bisseção, de Newton e da iteração linear. ▪ Avaliar as vantagens e desvantagens dos métodos da bisseção, de Newton e da iteração linear. V. Experimento ETAPA 1: Método Gráfico 1. Utilizando o Método Gráfico, determine a quantidade e os sinais das raízes da função: 𝑓(𝑥) = 𝑥3 − 2𝑥2 − 20𝑥 + 30. Para obtenção desse resultado foi utilizado o software recomendado na atividade (geogebra). - A interpretação da questão foi feita através do método gráfico. - Para sabermos as raízes dessa função temos f(x) = g(x) – h(x), como resultado teremos: 2. Compare as respostas obtidas no item anterior a partir da utilização do Software GeoGebra (https://www.geogebra.org/). Use as mesmas funções escolhidas para 𝑔(𝑥) e ℎ(𝑥). 𝑓(𝑥) = 𝑔(𝑥) − ℎ(𝑥) 𝑔(𝑥) ℎ(𝑥) f(2)= 8 – 18 = - 8 X³ 2x² + 20x - 30 ETAPA 2: Método da Bisseção 3. No Excel, sem utilizar a função “SE”, aplique o Método da Bisseção para calcular a quinta (𝑥4) aproximação da raiz positiva da função 𝑓(𝑥) = 𝑥2 − 10. Para tanto, isole a raiz num intervalo [𝑎, 𝑏] (𝑎 e 𝑏 naturais) de comprimento 1, isto é, 𝑏 − 𝑎 = 1. 𝑥4 𝑓(𝑥4) |𝑥4 − 𝑥3| 3,15625 0,038086z 0,031250 4. Agora, fazendo uso da função “SE”, calcule a trigésima (𝑥29) aproximação da raiz. 𝑥29 𝑓(𝑥29) |𝑥29 − 𝑥28| 3,1622777 0 0 5. Calcule √10 com uma calculadora científica e compare o valor encontrado com 𝑥29. √10 = 3.16227766 Demonstrando uma ótima aproximação, se diferenciando apenas pelo número de casas decimais. ETAPA 3: Método de Newton 6. No Excel, isolando a raiz de 𝑓(𝑥) = 2𝑥 − 𝑠𝑒𝑛(𝑥) + 4 num intervalo [𝑎, 𝑏] (𝑎 e 𝑏 inteiros) de comprimento 1, isto é, 𝑏 − 𝑎 = 1 e utilizando o Método de Newton, complete o quadro abaixo: https://www.geogebra.org/ 𝜀 (Tolerância) Nº mínimo de iterações 𝑥𝑛 𝑓(𝑥𝑛) 10−1 2 -2,354305393352z -0,000169474846 10−4 3 -2,354242178736z -0,000000001390 10−9 4 -2,354242758223z -0,000000000514 7. Use o GeoGebra para esboçar o gráfico da função 𝑓(𝑥) e determinar sua raiz. Em seguida, compare suas respostas para a raiz encontrada no caso em que a tolerância é 𝜖 ≤ 10−9. ETAPA 4: Método da Iteração Linear 8. Em relação ao Método da Iteração Linear, considere a função 𝑓(𝑥) = 𝑥3 − cos(𝑥) e 𝑥0 = 0,5. Justificando sua resposta, quais as possibilidades para a função de iteração 𝐹(𝑥)? Método Gráfico para isolar as Raízes g(x) = x³ h(x) = cos (x) Pelo gráfico é possível observar que elas se cruzam onde as duas são positivas e entre o intervalo (0,1). A função g(x) passa pelos pontos (0,0) e (1,1). A função h(x) está sempre entre 1 e -1 no eixo y. Usando método de iteração linear: Será sempre menor do que 1 no intervalo considerado, garantido a convergência. 9. Sejam 𝑓(𝑥) = 𝑥3 − cos(𝑥), 𝑥0 = 0,5 e uma função de iteração 𝐹(𝑥) convenientemente escolhida. No Excel, levando em consideração a sequência de raízes 𝑥𝑛, complete a tabela abaixo: 𝑥𝑛 Raiz aproximada 𝑓(𝑥𝑛) Erro (|𝑥𝑛 − 𝑥𝑛−1|) 𝑥5 0,868753875 0,8650399272z 0,005068762479 𝑥15 0,8654740586z 0,8654740244z 0,0000001009455659 𝑥18 0,8654740321z 0,8654740334z 0,000000003926832415 𝑥32 0,8654740331z 0,8654740331z 0 10. Use o GeoGebra para esboçar o gráfico da função 𝑓(𝑥) determinar sua raiz. Por fim, compare suas respostas para a raiz encontrada (𝑥32). Os resultados do Excel apontam erro igual a zero dando garantia a um valor da raiz. VI. Avaliação do experimento VII. Referências BARROSO, L. C; BARROSO, M. M. A.; FILHO, F. F. C.; CARVALHO, M. L. B.; MAIA, M. L. Cálculo Numérico com aplicações; 2ª Edição. São Paulo; Harbra, 1987
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