Sequências Numéricas - Cálculo III

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UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO GRANDE – FURG 
INSTITUTO DE MATEMÁTICA, ESTATÍSTICA E FÍSICA – IMEF 
CÁLCULO III 
 
SEQUÊNCIAS NUMÉRICAS 
 
1. Conceitos Preliminares 
 
Representamos por { }K,4,3,2,1=IN o conjunto dos números naturais. O 
subconjunto de IN constituído dos números pares será representado por 
{ }INnnINP ∈= ;2 e o subconjunto dos números ímpares será representado por 
{ }INnnIN I ∈−= ;12 
 
Definição 1: Uma sequência ou sucessão de números reais é uma função 
IRINf →: , que associa a cada número natural n um número real ( )nf . 
 
O n-ésimo termo ou termo geral da sequência f é representado genericamente por 
nnn xba ,, , etc. Para simplificar, denotaremos o termo geral na como a seqüência f tal 
que ( ) nanf = 
 
Ex.:(1) 





K,
16
1
,
9
1
,
4
1
,1 representa a sequência cujo termo geral é 
2
1
n
an = . 
 
 (2) ( )K,1,1,1,1 −− representa a sequência cujo termo geral é ( )nna 1−= . 
 
 Definição 2: Dada uma sequência IRINf →: , as restrições de f a subconjuntos 
infinitos de IN serão denominadas subsequências de f . 
 
 Representamos a sequência f pelo seu termo geral ( )na , INn∈ , podemos afirmar 
que as subsequências de f , ou de ( )na , são as sequências ( )ka , com NIk ′∈ , sendo NI ′ 
um subconjunto não limitado (isto é, infinito) do conjunto IN dos números naturais. 
 
 Ex.: As sequências 





K,
7
1
,
5
1
,
3
1
,1 , 





K,
8
1
,
6
1
,
4
1
,
2
1
e 





K
7
1
,
5
1
,
3
1
,
2
1
 são 
subsequências da sequência 





n
1
, onde consideramos para domínio o subconjunto NI ′ 
dado, respectivamente, por { }INnnINNI I ∈−==′ ;12 , { }INnnINNI P ∈==′ ;2 e 
{ }primoénINnNI ;∈=′ . 
 
 Definição 3: Uma sequência ( )na é dita limitada superiormente quando existir um 
número real M, chamado cota superior da sequência, tal que INnMan ∈∀≤ , . 
 
Jéssica
Highlight
Jéssica
Highlight
Jéssica
Highlight
 Definição 4: Uma sequência ( )na é dita limitada inferiormente quando existir um 
número real m, chamado cota inferior da sequência, tal que INnam n ∈∀≤ , . 
 
 Definição 5: Uma sequência ( )na é dita limitada quando é limitada superiormente e 
inferiormente, isto é, quando existir uma constante positiva C tal que INnCan ∈∀≤ , . 
 
 Definição 6: Uma sequência ( )na é denominada monótona crescente ou não 
decrescente quando INnaa nn ∈∀≤ + ,1 . 
 
 Definição 7: Uma sequência ( )na é denominada monótona decrescente ou não 
crescente quando INnaa nn ∈∀≥ + ,1 . 
 
2. Sequências Convergentes 
 
 Definição 8: Dizemos que um número real l é limite de uma sequência ( )na , ou que 
a sequência ( )na converge para l, quando a seguinte condição for satisfeita: 
INn ∈∃>∀ 0,0ε tal que 0, nnlan ≥∀<− ε 
 
* Obs.: 1. O número natural 0n da definição de limite em geral depende do número ε 
dado. 
 2. A desigualdade ε<− lan , 0nn ≥∀ estabelece que fora do intervalo aberto 
( )εε +− ll , existe no máximo um número finito de termos da seqüência ou, em outras 
palavras, que todos os termos da sequência, a partir do termo de ordem 0n , estão dentro 
do intervalo aberto ( )εε +− ll , . 
 3. A convergência e o valor do limite da sequência não são alterados quando se 
retira ou acrescenta um número finito de termos nesta sequência. 
 4. Uma sequência convergente tem um único limite. 
 
Ex: 1. Considere a sequência cujo termo geral é 
1+
=
n
n
an . Neste caso 1lim =
+∞→
n
n
a . De 
fato, seja 0>ε dado, e observe que: 
1
1
1
1
1
1
−>⇔<
+
⇔<−
+ ε
εε n
nn
n
 
A última desigualdade nos sugere escolher 0n como o primeiro natural maior do que 
1
1
−
ε
. É claro que outro número natural maior do que este 0n estabelecido também 
atende a definição de convergência. 
 
 Teorema: Toda sequência convergente é limitada. 
 Demonstração: 
 Seja ( )na uma sequência convergente com limite l. De acordo com a definição de 
limite, seja 1=ε , existe um índice INn ∈0 a partir do qual se tem 1<− lan . Usando a 
desigualdade triangular, podemos assegurar que: 
0,1 nnlllallaa nnn ≥∀+<+−≤+−= .(I) 
Jéssica
Highlight
Jéssica
Highlight
Jéssica
Highlight
Jéssica
Highlight
Os únicos termos da seqüência ( )na , que possivelmente, não atendem à condição (I) 
são: 121 0,,, −naaa K . Considerando o número real C como o maior entre os números 
l+1 , 121 0,,, −naaa K , tem-se: INnCan ∈∀≤ , . 
 
*OBS: 1) Podemos verificar que uma dada seqüência não converge, mostrando que ela 
não é limitada. 
 2) A recíproca do Teorema não é verdadeira, isto é, existem seqüências que são 
limitadas e divergentes. Ex.: A sequência cujo termo geral é ( )nna 1−= é limitada, pois 
INnan ∈∀= ,1 , mas é divergente, pois não existe n
n
a
+∞→
lim .