Cálculo III criterios-series

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Universidade Federal do Rio Grande – FURG 
Instituto de matemática, Estatística e Física - IMEF 
CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL II 
 
CRITÉRIOS DE CONVERGÊNCIA PARA SÉRIE DE TERMOS POSITIVOS 
 
SÉRIE GEOMÉTRICA: ∑





→<<
→≠
→=
⇒
econvergent 1 r 1 -
divergente 1 r
divergente 1 r
 r a n 
SÉRIE em “p”: 



→>
→≤
⇒∑
econvergent 1 p
divergente 1 p
 
a
 p 
n
 
1o) CRITÉRIO DA COMPARAÇÃO: 
a) Se nb ≤na e ∑ nb converge, logo ∑ na converge. 
 
b) Se nb ≥na e ∑ nb diverge, então ∑ na diverge. 
 
2o) TESTE DA COMPARAÇÂO NO LIMITE 
 





∞
=
∑∑
∑ ∑
∞+→
diverge. também a logo diverge, b se , 
 a então converge, b se ,0 
divergem ou convergem ambas então , 
b
a
 
nn
 nn
n
n
 
convergetambém
L
lim
n
 
 
3o) TESTE DA RAZÃO 





=
>
<
=
+
∞+→
afirmar. podemosada , 1 
divergesérie , 1 L
converge série a 1, 
se , 
a
 
n
1n
 
nL
a
L
L
a
lim
n
 
 
5o) TESTE DA RAIZ: 





=
>
<
=
∞+→
afirmar. podemosada , 1 
divergesérie , 1 L
converge série a 1, 
se , a n n
 
nL
a
L
Llim
n
 
6o) TESTE DA INTEGRAL: ∫∫
∞+
∞+→
=
R
1
n
 
 Rn
dn a lim dn a 
1
 
 
Para 1+> nn aa , se a integral imprópria converge, isto é, o ∫
+∞→
b
b
)x(flim
1
 
existe, então a série converge. Caso o limite seja infinito, então a série é 
divergente.