Prova 1 2018/2 - Álgebra Linear - Diego Marcon UFRGS

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UFRGS – Instituto de Matemática e Estatística
Departamento de Matemática Pura e Aplicada
mat01355 - Álgebra Linear I - A
Prof. Diego Marcon Farias
1 2 3 4 5 Total
Nome: Cartão: Turma: Z
Prova da Área I – 27 de Setembro de 2018
Observações
• As questões de múltipla escolha devem ser assinaladas a caneta;
• Toda questão de múltipla escolha possui apenas uma alternativa correta;
• Nas questões dissertativas, o desenvolvimento é mais importante que a resposta final;
• É proibido uso de celulares ou calculadoras;
• Se precisar de mais folhas para rascunho, basta solicitar.
Questão 1 (3,0 pontos). Considere as matrizes
A =
1 2 0 00 0 1 0
0 0 0 1
 , B =

1 2 0 0
0 2 1 0
0 0 1 1
0 0 0 0
 , C = [1 00 1
]
e D =
1 2 0 0 30 2 1 0 0
0 0 1 1 0
 .
Classifique as afirmações como verdadeiras (V) ou falsas (F):
(F ) Nenhuma matriz está em forma escalonada reduzida. As matrizesA e C estão em forma escalonada
reduzida.
(F ) A matriz A é invertível e está em forma escalonada reduzida. A não é invertível (nem é quadrada).
(V ) A matriz C é igual à matriz identidade. É a definição da matriz identidade.
(V ) Todas as matrizes estão em forma escalonada. Zeros abaixo das posições de pivô.
(F ) Todas as matrizes estão em forma escalonada reduzida. B e D não estão. Nas posições de pivô
nem sempre está o valor 1. Além disso, as colunas pivô deveriam ter somente o um na posição de
pivô e demais entradas nulas.
(V ) O sistema A~x = ~0 possui infinitas soluções. A segunda coluna não é pivô, o que indica que o
sistema homogêneo associado possui uma variável livre.
(F ) Para alguma escolha de ~b ∈ R3, o sistema D~x = ~b é impossível. Para que isto acontecesse, a
forma escalonada de D deveria possuir uma linha só de zeros. Mas D já está em forma escalona
e podemos ver que nenhuma linha é só de zeros.
(F ) As colunas de B são linearmente independentes. Para que fossem LI, todas as colunas deveriam
ser pivô, mas a última não é.
(F ) Dentre estas matrizes, D é a única matriz de ordem 5× 3. Nenhuma tem ordem 5× 3, nem mesmo
D.
(V ) O espaço coluna de B tem dimensão 3. São três colunas linearmente independentes.
Questão 2 (4,0 pontos). Considere a matriz
A =
10 −8 −2 −20 2 2 −2
1 −1 6 0
 .
(a) (2,0 pontos) Encontre todas as soluções ~x ∈ R4 do sistema linear homogêneo A~x = ~0.
Para encontrar a solução geral vamos encontrar a matriz escalonada reduzida que é equivalente por
linhas à nossa matriz A. Observe que não precisamos escrever a última coluna de zeros porque se
mantém uma coluna de zeros ao longo de todo o escalonamento.
A
trocar `1 e `3−−−−−−−−→
`3/2
1 −1 6 00 2 2 −2
5 −4 −1 −1
 −5`1+`3 em `3−−−−−−−−−→
`2/2
1 −1 6 00 1 1 −1
0 1 −31 −1
 −`2+`3 em `3−−−−−−−−−→
1 −1 6 00 1 1 −1
0 0 −32 0

`3/(−32)−−−−−−→
1 −1 6 00 1 1 −1
0 0 1 0
 −`3+`2 em `2−−−−−−−−−→
−6`3+`1 em `1
1 −1 0 00 1 0 −1
0 0 1 0
 `2+`1 em `1−−−−−−−−→
1 0 0 −10 1 0 −1
0 0 1 0
 .
Escrevendo a notação de sistema, temos
x1 − x4 = 0
x2 − x4 = 0
x3 = 0
x4 variável livre
!

x1 = x4
x2 = x4
x3 = 0
x4 variável livre
Em outras palavras, para qualquer x4 ∈ R, o vetor
~x =

x1
x2
x3
x4
 = x4

1
1
0
1

é uma solução do sistema linear homogêneo A~x = ~0.
(b) (1,0 ponto) Escreva uma base para NulA.
O espaço nulo é o conjunto dos vetores ~x ∈ R4 tais que A~x = ~0. De acordo com o item anterior,
NulA = Span


1
1
0
1

 .
Como um conjunto com um elemento só sempre é LI, este vetor forma uma base para NulA
(c) (1,0 ponto) Escreva uma base para ColA.
Pela resposta do item anterior, sabemos que as três primeiras colunas são colunas pivô (e que
a quarta não é). Sendo assim, estas três colunas, que geram o espaço coluna, são linearmente
independentes. Logo, o conjunto 
100
1
 ,
−82
−1
 ,
−22
6

forma uma base de ColA.
2
Questão 3 (0,5 ponto). Assinale a alternativa que contem a matriz canônica associada à transformação
linear
T (x1, x2, x3, x4) = (x1 + 2x2, 0, 2x2 + x4, x2 − x4).
(a)

1 2
0 0
2 1
1 −1
 (b) [1 0 2 12 0 1 −1
]
(c)

1 0 0 0
2 0 2 1
0 0 0 0
0 0 1 −1
 (d)

1 2 0 0
0 0 0 0
0 2 0 1
0 1 0 −1

Podemos escrever, usando a definição do produto de uma matriz por um vetor,
T (x1, x2, x3, x4) =

x1 + 2x2
0
2x2 + x4
x2 − x4
 =

1 2 0 0
0 0 0 0
0 2 0 1
0 1 0 −1


x1
x2
x3
x4
 ,
de modo que a alternativa correta é a (d).
Questão 4 (1,6 pontos). Assinale LI para um conjunto linearmente independente e LD para um con-
junto linearmente dependente.
(LI)

40
0
 ,
 22
−6
 ,
 94
−8
 (LD)

41
3
 ,
12
3
 ,
24
1
 ,
51
0

(LD)

13
4
 ,
−12
1
 ,
13
4
 (LI)
{[
2
1
]
,
[
1
2
]}
Resolução na página seguinte.
Questão 5 (1,0 ponto). Determine se as afirmações abaixo são V (verdadeiras) ou F (falsas) e assinale
a alternativa correta.
I. Quando duas transformadas lineares, ambas de Rn em Rn, são aplicadas uma depois da outra, o
efeito combinado nem sempre é uma transformação linear. A cada transformação linear de Rn em Rn
está associada uma matriz de ordem n× n. Aplicar uma depois da outra corresponde a multiplicar as
matrizes, o que dá outra matriz de ordem n× n. Este resultado é, então, também uma transformação
linear. Logo, Falsa.
II. Se A for uma matriz 4 × 3, então a transformação linear ~x 7−→ A~x não poderá ser injetora. A trans-
formação vai de R3 em R4, portanto pode ser injetiva. Falsa.
III. Se A for uma matriz 6× 4, então a transformação linear ~x 7−→ A~x será sobrejetora. A transformação
vai de R4 em R6, portanto não pode ser sobrejetiva, pois sua imagem será um subespaço vetorial de
dimensão no máximo igual a 4. Falsa.
IV. As colunas de uma matriz canônica de uma transformação linear T de Rn em Rn são imagens das
colunas da matriz identidade n× n por T . Verdadeira. As colunas da matriz canônica associada são os
vetores T (~e1), T (~e2), . . . , T (~en).
(a) V,V,V,F
(b) V,F,F,V
(c) F,F,F,V
(d) F,V,V,F
(e) F,V,F,V
3
Solução da Questão 4.
Formando uma matriz com os vetores do primeiro item nas colunas, obtemos4 2 90 2 4
0 −6 −8
 ∼
4 2 90 2 4
0 0 4
 .
Como todas as colunas possuem posição de pivô, os vetores que estão nas colunas são linearmente
independentes.
O item dois da primeira linha só pode ser linearmente dependente, pois são quatro vetores em R3.
Equivalentemente, só podem ser LD porque, na matriz associada, não é possível que todas as colunas
sejam pivô.
Formando uma matriz com os vetores da linha dois, item um, nas colunas, obtemos1 −1 13 2 3
4 1 4
 ∼
1 −1 10 5 0
0 5 0
 ∼
1 −1 10 5 0
0 0 0
 .
Como a terceira coluna não possui posição de pivô, os vetores que estão nas colunas são linearmente
dependentes.
Para o último item, temos dois vetores não múltiplos, portanto, linearmente independentes.
4