Operadores Lineares e Suas Propriedades

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Operadores Lineares
Operadores Inversíveis
Operadores Ortogonais
Operadores Simétricos
Operador Inversível
Um operador f:VV associa a cada vetor vV um vetor f(v) V. Se,
por meio de outro operador g, for possível inverter essa
correspondência, de tal modo que a cada vetor transformado f(v) se
associe o vetor de partida v, diz-se que g é o operador inverso de f e se
indica por f-1. Neste caso, f-1(f(v)) = v.
Operador Inversível
Quando o operador linear f admite o inverso f-1, diz-se que
f é inversível, ou regular ou não-singular.
Propriedades dos operadores inversíveis
1 1 1
1
1
I) Se é inversível e é seu inverso, tem-se que .
II) Se é linear inversível, também é linear.
III) A matriz de numa certa base é a inversa da matriz de na mesma base;
f f f f f f id
f f
B f T f
  


 
1isto é, . B T 
Propriedades dos operadores inversíveis
Como consequência da propriedade III, temos que f é
inversível se, somente se, det T ≠ 0.
Exercício 1:
Mostrar que o operador linear
é inversível. Determine uma regra que defina f -1.
   2 2: ; , 4 3 , 2 2f f x y x y x y    
Operador Ortogonal
Um operador linear f:VV é ortogonal se preserva o módulo de cada
vetor; isto é para qualquer vV:
|f(v)| = |v|.
Operador Ortogonal
Nos estudos sobre operadores ortogonais, serão consideradas
somente bases ortonormais em V e, particularmente, a base canônica.
Se  é uma base ortonormal de V, o produto interno de dois vetores
quaisquer de V, nesta base, é sempre o usual. De fato,...
Exemplo 1:
Mostrar que o operador linear
é ortogonal.
 2 2
4 3 3 4
: ; , ,
5 5 5 5
f f x y x y x y
 
    
 
Exemplo 2:
Mostrar que a rotação do plano de um ângulo  definida
por
é ortogonal.
   2 2: ; , cos , cosf f x y x ysen xsen y      
Propriedades dos operadores ortogonais
I) Se f:VV é um operador ortogonal e A é a matriz de f numa base
ortonormal qualquer, isto é f(v) = Av, então A é uma matriz ortogonal,
ou seja, At = A-1.
Exemplo 3:
Mostrar que a matriz
é ortogonal.
4 3
5 5
3 4
5 5
A
 
 
  
 
  
Propriedades dos operadores ortogonais
II) As colunas (ou linhas) de uma matriz ortogonal são vetores
ortonormais. De fato, ...
Exemplo 4:
Mostrar que a matriz
é ortogonal.
1 1
0
2 2
0 0 1
1 1
0
2 2
A
 
 
 
  
 
 
  
Propriedades dos operadores ortogonais
III) O produto de duas matrizes ortogonais é uma matriz ortogonal.
IV) Num espaço vetorial euclidiano, a matriz mudança de base de uma
base ortonormal para outra base ortonormal é uma matriz ortogonal.
V) A matriz, numa base ortonormal, de um operador ortogonal é
sempre ortogonal, independente da base ortonormal do espaço
vetorial.
Propriedades dos operadores ortogonais
VI) Todo operador ortogonal f:VV preserva o produto interno dos
vetores. De fato,...
Propriedades dos operadores ortogonais
Logo, todo operador 
ortogonal é inversível!
VII) Se A é uma matriz ortogonal, então det A =  1
Operador Simétrico
Um operador linear f:VV é simétrico se a matriz A que o representa
numa base ortonormal é simétrica, isto é, se A = At.
Exemplo 5:
Mostrar que o operador linear
é simétrico.
   2 2: ; , 2 4 ,4f f x y x y x y   
Exemplo 6:
Mostrar que o operador linear
é simétrico.
   3 3: ; , , , 3 2 , 2f f x y z x y x y z y      
Propriedade dos operadores simétricos
Se f:VV é um operador linear simétrico, então para quaisquer
vetores u, v V, tem-se:
f(u) . v = u . f(v)
Exemplo 7:
Verifique a propriedade anterior para o operador linear
simétrico
onde u = (2, 3) e v = (4, 2).
   2 2: ; , 3 ,3 4f f x y x y x y   
Exercício 2:
Dado o operador linear definido pela matriz
a) determinar a lei que define o operador f -1;
b) obter o vetor v=(x, y, z) tal que f(v) = (2, -3, 0).
1 0 1
2 1 1
0 0 1
A
 
  
 
  
Exercício 3
Quais dos seguintes operadores lineares são ortogonais?
 
   
   
2 2
2 2
2 2
1 1 1 1
) : ; , ,
2 2 2 2
) : ; , ,
) : ; , ,
a f f x y x y x y
b f f x y y x
c f f x y x y x y
 
    
 
   
   