Livro II - unip

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ÁLGEBRA
Unidade II
3 OPERAÇÕES: LEIS DE COMPOSIÇÃO INTERNA
Veremos agora algumas operações “usuais” e “não usuais”. Queremos ressaltar que todas serão 
definidas por meio de aplicações, aliás, não seria exagero dizer que grande parte da Matemática 
contemporânea pode ser definida por meio de aplicações. Um aspecto importante que deve ser observado 
pelo estudante está relacionado às propriedades das operações e aos conjuntos que estarão em questão, 
pois essas serão fundamentais ao estudo das estruturas de grupos, anéis e corpos.
Definição
Considerando A um conjunto não vazio, toda aplicação f: A X A → A recebe o nome de operação 
sobre A ou lei de composição interna em A.
Uma operação f sobre A associa a cada par (x, y) de A X A um elemento x ∗ y (leia-se: x operação 
y) de A, isto é, x ∗ y é uma outra forma de indicar f(x, y). Podemos dizer também que A é um conjunto 
munido da operação ∗.
O elemento x ∗ y chama-se composto de x e y pela operação f, os elementos x e y do 
composto x ∗ y são chamados termos do composto x ∗ y; os termos x e y do composto x ∗ y são 
chamados, respectivamente, primeiro e segundo termos ou, então, termo da esquerda e termo 
da direita. Poderemos ainda utilizar outras notações para indicar uma operação sobre A, tais 
como: °, •, ⊗, ⊕, ∆, ⊥, entre outras:
a) notação aditiva: neste caso, o símbolo da operação é +, a operação é chamada adição, o composto 
x + y é chamado soma e os termos x e y são as parcelas;
b) notação multiplicativa: neste caso, o símbolo da operação é . , a operação é chamada multiplicação, 
o composto x . y é chamado produto, os termos x e y são os fatores;
c) notação de composição: neste caso, o símbolo da operação é ° , e a operação é denominada 
composição.
Vejamos alguns exemplos a seguir de operações, com vistas principalmente aos conjuntos envolvidos 
em cada uma.
Exemplo 1
A aplicação f: N X N → N tal que f(x, y) = x y é a operação de potenciação sobre N.
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Exemplo 2
A aplicação f: Q*x Q* → Q* tal que f(x, y) = x/y é a operação de divisão sobre Q.
Exemplo 3
A aplicação f: Z X Z → Z tal que f(x, y) = x – y é a operação de subtração sobre Z.
Exemplo 4
A aplicação f: A X A → A, onde A = M m x n (R) = conjunto das matrizes m x n com elementos reais, 
tal que f(x, y) = x + y é a operação de adição sobre M m x n (R).
Exemplo 5
A aplicação f: B X B → B, onde B = M n (R), tal que f(x, y) = x . y é a operação de multiplicação sobre 
M n (R).
 Saiba mais
Para saber mais sobre aplicações da álgebra, leia:
DIEGUEZ, F. Aplicações de álgebra na arte de inventar o mundo. Revista 
Super Interessante, jul. 1993. Disponível em: <http://super.abril.com.
br/cotidiano/aplicacoes-algebra-arte-inventar-mundo-440822.shtml>. 
Acesso em: 22. abr. 2013.
3.1 Propriedades das operações
Estudaremos agora algumas propriedades das operações que são essenciais para determinar 
as estruturas algébricas que serão formadas por conjuntos munidos de determinadas operações, 
satisfazendo a algumas propriedades que serão vistas aqui. É importante ressaltar que as propriedades 
apresentadas devem ser estudadas independentemente, isto é, uma não é consequência da outra.
Consideremos ∗ uma lei de composição interna em A. Vejamos algumas propriedades notáveis 
que ∗ pode apresentar.
3.1.1 Propriedade associativa
Seja ∗ uma lei de composição interna em A. Dizemos que ∗ satisfaz à propriedade associativa 
quando a ∗ (b ∗ c) = (a ∗ b) ∗ c quaisquer que sejam a, b, c ∈ A. Vejamos a seguir alguns exemplos e um 
contraexemplo.
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ÁLGEBRA
Exemplo 1
As adições em N, Z, Q, ℜ e C (conjunto dos números naturais, inteiros, racionais, reais e 
complexos, respectivamente) são operações associativas, ou seja, operações que gozam da 
propriedade associativa.
Exemplo 2
As multiplicações em N, Z, Q, ℜ e C (conjunto dos números naturais, inteiros, racionais, reais e 
complexos, respectivamente) são operações associativas.
Exemplo 3
A adição em Mmxn (R) = conjunto das matrizes m x n com elementos reais é operação associativa.
Contraexemplo
A potenciação em N (conjunto dos números naturais) não é associativa. Observe que 2 22
3 2 3( ) ≠ ( ) , 
ou seja, 26 ≠ 28.
3.1.2 Propriedade comutativa
Seja ∗ uma lei de composição interna em A. Dizemos que ∗ goza da propriedade comutativa quando 
a ∗ b = b ∗ a quaisquer que sejam a, b ∈ A.
Exemplo 1
As adições em N, Z, Q, ℜ e C (conjunto dos números naturais, inteiros, racionais, reais e complexos, 
respectivamente) são operações comutativas.
Exemplo 2
As multiplicações em N, Z, Q, ℜ e C (conjunto dos números naturais, inteiros, racionais, reais e 
complexos, respectivamente) são operações comutativas.
Exemplo 3:
A adição em Mmxn (R) = conjunto das matrizes m x n com elementos reais é operação comutativa.
Contraexemplo
A subtração em Z, conjunto dos números inteiros, não é comutativa. Observe que 10–5 ≠ 5–10.
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3.1.3 Elemento neutro
Seja ∗ uma lei de composição interna em A. Se existe e ∈ A, tal que e ∗ a = a para todo a ∈ A, 
dizemos que e é um elemento neutro à esquerda para ∗. Se existe e ∈ A, tal que a ∗ e = a para todo 
a ∈ A, dizemos que e é um elemento neutro à direita para ∗.
Se e é elemento neutro à direita e à esquerda para a operação ∗, dizemos simplesmente que e é 
elemento neutro para essa operação. Se a operação ∗ sobre A tem um elemento neutro e, então ele é 
único. Vejamos a seguir alguns exemplos.
Exemplo 1
O elemento neutro das adições em N, Z, Q, ℜ ou C é o número 0, pois 0 + a = a = a + 0 para qualquer 
número a.
Exemplo 2
O elemento neutro das multiplicações em N, Z, Q, ℜ ou C é o número 1, pois 1. a = a = a.1 para 
qualquer número a.
Exemplo 3
O elemento neutro da adição em Mmxn (R) é 0mxn (matriz nula do tipo mxn), pois 
0mxn + Amxn = Amxn = Amxn + 0mxn, qualquer que seja Amxn (R).
Contraexemplo
A subtração em Z admite 0 como elemento neutro à direita, pois a – 0 = a para todo a ∈ Z, mas não 
admite neutro à esquerda, pois não existe e (fixo) tal que e – a = a para todo a ∈ Z.
3.1.4 Elementos simetrizáveis
Seja ∗ uma lei de composição interna em A que tem elemento neutro e. Dizemos que a ∈ A é um 
elemento simetrizável para essa operação se existir a´∈ A tal que a´ ∗ a = e = a ∗ a´. O elemento a´ é 
chamado simétrico de a para a operação ∗.
 Observação
Observe que a definição de elemento simetrizável parte do pressuposto 
de que A tenha elemento neutro. Caso contrário, não faz sentido falar em 
elemento simetrizável.
Quando a operação é a adição usual, o simétrico de a também é 
chamado de oposto de a e indicado por –a. Quando a operação é uma 
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multiplicação usual, o simétrico de a também é chamado de inverso de a 
e indicado por a-1.
Vejamos alguns exemplos a seguir.
Exemplo 1
O número 5 é um elemento simetrizávelpara a adição em Z, e seu simétrico é o 
–5, pois: (-5) + 5 = 5 + (-5).
Exemplo 2
O número 7 é um elemento simetrizável para a multiplicação em Q, e seu simétrico é 
1
7
, pois: 
1
7
7 1 7
1
7
. .= = . O número 0 não é simetrizável para a mesma operação, pois não há elemento em Q 
 
satisfazendo: a´ . 0 = 1 = 0 . a´.
Exemplo 3
A matriz 
1 3
2 4



 é simetrizável para a adição em M2 (R), e seu simétrico é 
− −
− −




1 3
2 4
, já que: 
 
 − −
− −



 +



 =



 =



 +
− −
− −


1 3
2 4
1 3
2 4
0 0
0 0
1 3
2 4
1 3
2 4


.
Seja ∗ uma operação sobre A que é associativa e tem elemento neutro, então valem:
I. se um elemento a ∈ A é simetrizável, então o simétrico de a é único;
II. se a ∈ A é simetrizável, então seu simétrico a´ também é, e (a´)´ = a;
III. se a, b ∈ A são simetrizáveis, então a ∗ b é simetrizável e (a ∗ a)´ = a´ ∗ b´.
3.1.5 Elementos regulares
Seja ∗ uma lei de composição interna em A. Dizemos que um elemento a ∈ A é regular (ou que cumpre 
a lei do cancelamento) à esquerda em relação à operação ∗ se, para quaisquer c, d ∈ A tais que a ∗ c = a ∗ d, 
vale c = d. Dizemos que um elemento a ∈ A é regular (ou que cumpre a lei do cancelamento) à direita 
em relação à operação ∗ se, para quaisquer c, d ∈ A tais que c ∗ a = d ∗ a, vale c = d.
Se a ∈ A é um elemento regular à esquerda e à direita para a operação ∗, dizemos simplesmente que 
a é regular para essa operação.
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 Observação
Se a operação ∗ sobre A é associativa, tem elemento neutro e e um 
elemento a ∈ A é simetrizável, então a é regular.
Vejamos a seguir alguns exemplos.
Exemplo 1
O número 10 é regular para a adição em N, pois: 10 + c = 10 + d → c = d, para quaisquer c, d ∈ N.
Exemplo 2
O número 7 é regular para a multiplicação em Z, pois: 7.a = 7.b → c = d, para quaisquer c, d ∈ Z.
Contraexemplo
O número 0 não é regular para a multiplicação em Z, pois: 0.2 = 0.3 e 2≠3.
 Saiba mais
Para saber mais sobre aplicações da álgebra, leia:
AZEVEDO, O. C. S. Operações matemáticas com o soroban (ábaco japonês). 
Disponível em: <http://www.colegioglauciacosta.com.br/moodle/file.php/1/
Operacoes_matematica_com_soroban.pdf>. Acesso em: 22. abr. 2013.
3.1.6 Propriedade distributiva
Sejam ∗ e ⊗ duas operações sobre A. Dizemos que ⊗ é distributiva à esquerda relativamente a ∗ se: 
a ⊗ (b ∗ c) = (a ⊗ b) ∗ (a ⊗ c), quaisquer que sejam a, b, c ∈ E. Dizemos que ⊗ é distributiva à direita 
relativamente a ∗ se: (b ∗ c) ⊗ a = (b ⊗ a) ∗ (c ⊗ a), quaisquer que sejam a, b, c ∈ A. Quando ⊗ é 
distributiva à esquerda e à direita de ∗, dizemos simplesmente que ⊗ é distributiva relativamente a ∗. 
Vejamos a seguir alguns exemplos.
Exemplo 1
A multiplicação em Z é distributiva em relação à adição em Z, pois temos: a.(b + c) = a.b + a.c, para 
quaisquer a, b, c ∈ Z.
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Exemplo 2
A multiplicação em Mn (R) é distributiva em relação à adição em Mn (R), pois temos: A.(B + C) = A.B + A.C, 
para quaisquer A, B, C ∈ Mn (R).
Exemplo 3
Em N*, a potenciação é distributiva à direita em relação à multiplicação, pois temos: (a . b)c = ac . bc, 
para quaisquer a, b, c ∈ N*. Entretanto, a potenciação em N* não é distributiva à esquerda em relação à 
multiplicação, já que, por exemplo: 23.4 ≠ 23.24.
3.1.7 Tábua de uma operação
Tábua de uma operação é uma tabela de dupla entrada composta pelo símbolo da operação no canto 
superior esquerdo; uma linha fundamental na parte de cima com os elementos de um conjunto E; uma coluna 
fundamental à esquerda também com os elementos do conjunto E. Colocamos no interior dessa tábua o 
resultado da operação indicada no canto superior esquerdo, tomando como base para a operação o conjunto E:
Tabela 1
a1 a2 ... ai ... aj ... an
a1
a2
. . .
ai
. . .
aj
. . .
an
Veja o exemplo a seguir.
Exemplo
Tábua de operação de multiplicação sobre E={-1,0,1}
Tabela 2
. –1 0 1
—1 1 0 —1
0 0 0 0
1 —1 0 1
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O exemplo anterior foi retirado de DOMINGUES, H. H.; IEZZI, G. Álgebra moderna. São Paulo: Atual, 
1979. p. 65.
Exemplos de aplicação
1. Sobre o conjunto dos naturais, é correto afirmar:
a) A adição de dois números naturais nem sempre é natural.
b) O produto de um natural por um real é sempre natural.
c) A soma de dois números naturais é sempre natural.
d) O produto de um número natural com um racional é sempre natural.
e) Todo natural tem simétrico em relação à adição.
Resolução:
Vamos refletir e justificar cada item que não seja verdadeiro.
No conjunto dos naturais, temos:
•	 a alternativa “a)” é falsa, pois a adição em IN é uma lei de composição interna, logo o resultado 
será sempre natural;
•	 a alternativa “b)” é falsa, pois o produto de um natural por um real nem sempre é natural, por 
exemplo: 2 ∈ IN, - 3 ∈ IR e 2(- 3) = - 6 ∉ IN;
•	 a alternativa “d)” é falsa, pois o produto de um número natural por um racional nem sempre é 
natural, por exemplo: 3 ∈ IN, ¼ ∈ Q e 3(1/4) = ¾ ∉ IN;
•	 a alternativa “e)” é falsa, pois somente o natural zero “0” tem simétrico;
•	 logo, a alternativa correta é a “c)”.
2. Com relação à propriedade associativa e ao elemento simétrico, é correto afirmar que:
a) Valem em (IN, +).
b) Não valem (Z, +).
c) Valem no conjunto dos inteiros com a adição.
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d) Não valem no conjunto das matrizes 3x3, com a adição.
e) Valem em (IN, •).
Resolução:
Vamos avaliar cada alternativa:
•	 no conjunto dos naturais, com a adição, não existe o elemento simétrico, portanto a alternativa 
“a)” é falsa;
•	 no conjunto dos inteiros, com a adição, valem as duas propriedades, portanto “b)” é falsa;
•	 a alternativa “c)” é verdadeira;
•	 no conjunto das matrizes, com a adição, valem as duas propriedades, ou seja, tanto a propriedade 
associativa quanto a do elemento simétrico, portanto “d)” é falsa;
•	 por fim, no conjunto dos naturais, com a operação de multiplicação, não vale o elemento simétrico 
(inverso), desta forma “e)” é falsa.
3. A propriedade representada na expressão: (3 + 0) + 2 = 3 + 2 é:
a) Comutativa.
b) Associativa.
c) Elemento neutro.
d) Distributiva.
e) Elemento simétrico.
Resolução:
Observando a expressão, notamos que a propriedade utilizada é o elemento neutro. Logo, a alternativa 
correta é a alternativa “c)”.
4. A propriedade representada na expressão: 3 . ( a + b) = 3 . a + 3 . b é:
a) Comutativa.
b) Associativa.
c) Elemento neutro.
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d) Distributiva.
e) Elemento simétrico.
Resolução:
Observando a expressão, notamos que a propriedade utilizada é distributiva. Logo, a alternativa 
correta é a “d)”.
5. Em quais dos conjuntos, com a multiplicação,todos os elementos têm inversos?
I. Naturais.
II. Inteiros.
III. Racionais.
IV. Reais.
a) Em todos.
b) Em nenhum.
c) No III e no IV apenas.
d) No I e no IV apenas.
e) No II e IV apenas.
Resolução:
Sabemos que com a operação de multiplicação, os conjuntos IN e Z não têm inverso e que os 
conjuntos Q e IR têm inverso. Logo, a alternativa correta é a “c)”. Q e IR têm inverso.
6. Para a adição em M
2(IR), a matriz 
3
1
2
2 0
−





 é simetrizável, e seu simétrico é:
a) 
−
−






3
1
2
2 0
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b)
− −
−






3
1
2
2 0
c) − −






3
1
2
2 0
d)
3
1
2
2 0
−
−






e)
3
1
2
2 0−






Resolução:
O simétrico da matriz corresponde ao seu oposto, pois é em relação à operação de adição usual. 
Logo, o simétrico será 
−
−






3
1
2
2 0
. Portanto, a alternativa correta é a “a)”.
7. Avalie qual das alternativas a seguir está correta e argumente por que as demais não estão:
a) O inteiro 10 é simetrizável em relação à multiplicação.
b) O número 0 (zero) é simetrizável em relação à multiplicação no conjunto dos racionais.
c) O número 3 é simetrizável em relação à adição no conjunto dos naturais.
d) O número 0 (zero) é regular (satisfaz à lei do cancelamento) para a multiplicação no conjunto dos 
inteiros.
e) O número -2 é simetrizável em relação à adição no conjunto dos inteiros.
Resolução:
Analisando as alternativas:
•	 a alternativa “a)” está incorreta, pois não existe a ∈ IN tal que 10 . a = 1 = a . 10;
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•	 a alternativa “b” está incorreta, pois não existe a ∈ Q tal que a . 0 = 1 = 0 . a, 0 não tem inverso!
•	 a alternativa “c” está incorreta, pois não existe a ∈ IN tal que a + 3 = 0 = 3 + a;
•	 a alternativa “d)” está incorreta, pois podemos ter 0 . 2 = 0. 3, mas 2 ≠ 3, isto é, 0 não é regular;
•	 a alternativa “e) está correta, pois -2 + 2 = 0 = 2 + (-2).
8. Considerando as afirmativas a seguir sobre a operação * em A:
I. Se existe simétrico, então ele é único.
II. Para existir o inverso em A, é necessário que exista elemento neutro em A.
III. O conjunto A com a operação * pode ter mais de um elemento neutro.
A alternativa correta é:
a) Apenas a afirmativa I é verdadeira.
b) Apenas a afirmativa II é verdadeira.
c) Apenas a afirmativa III é verdadeira.
d) Apenas as afirmativas I e III são verdadeiras.
e) Apenas as afirmativas I e II são verdadeiras.
Resolução:
A alternativa correta é a “e)”. As afirmativas I e II são verdadeiras, e a afirmação III é falsa, pois o 
elemento neutro é único.
9. Sobre as operações: 1) 3
23
e 2) 3
32
 podemos afirmar que:
a) 3 3
23 32
=
b) 3 3
23 6
=
c) 3 3
23 8
=
d) 3 3
32 6
=
e) 3 3
32 5
=
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Resolução:
O exercício apresenta potência de potência. Resolvendo os dois casos, temos:
•	 em I: 3 3
23 8
= ;
•	 em II: 3 3
32 9
= ;
•	 logo, a alternativa correta é a letra “c)”, ou seja, 3 3
23 8
= .
10. A afirmação ∀ a ∈ A, ∃ a’ ∈ A tal que a * a’ = e = a’ * a indica:
a) A propriedade comutativa.
b) A propriedade elemento neutro.
c) Que a é elemento regular.
d) Que a é simetrizável.
e) A propriedade associativa.
Resolução:
A afirmação indica que a é simetrizável. Logo, a alternativa correta é a “d)”.
 Saiba mais
Saiba mais sobre aplicações em álgebra lendo artigo:
ORTEGA, J. R. O princípio do elemento extremo. Eureka! n. 8, p. 33-42, 
2000. Disponível em: <http://www.obm.org.br/export/sites/default/revista_
eureka/docs/eureka8.pdf>. Acesso em: 22. abr. 2013.
4 APLICAÇÕES ALGÉBRICAS E CONJUNTOS NUMÉRICOS
4.1 Algumas aplicações das estruturas algébricas
O estudo das estruturas algébricas reside em operar com variáveis no lugar de números; investigaremos 
as propriedades de um conjunto não especificado com uma ou mais operações, buscando verificar 
a validade de determinadas propriedades como a comutatividade, a associatividade, a existência de 
elemento neutro, simétrico etc.
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Destacam-se, dentro da própria Matemática, três grandes áreas das quais se originaram a definição 
de grupo e o estudo dessa teoria. São elas:
1) no fim do século XVIII, a teoria dos números, com o estudo da Aritmética Modular, primeiro por 
Euler(1761), seguido por Gauss (1801), bem como por muitos outros estudiosos matemáticos ou não;
2) a Teoria das Equações Algébricas nos últimos anos do século XVIII, que conduziu ao estudo das 
permutações.
3) a Geometria, no princípio do século XIX, período em que se iniciaram as classificações das 
geometrias, com o estudo das propriedades invariantes para um certo grupo de transformações, 
conforme Klein propôs no Erlangen Program de 1872.
A Teoria de Galois marca a origem histórica do conceito de grupo; nela procuram-se descrever as 
simetrias das equações satisfeitas pelas soluções de uma equação polinomial.
Uma das mais importantes realizações matemáticas do século XX, no que se refere às estruturas 
algébricas, foi realizar a classificação dos grupos simples finitos.
A necessidade e utilidade da definição e estudo de tipo de estrutura de grupo surge numa variedade 
de situações. Assim ocorreu com o estudo dos grupos, que se fazem presentes em muitas áreas da 
Matemática, com diversas aplicações, assim como em outras ciências.
O conceito de grupo é a base da Álgebra Abstrata, pois fundamenta outras estruturas algébricas, 
como os anéis, corpos e espaços vetoriais; estas são vistas como grupos adicionados de operações e 
axiomas. Os grupos estão presentes em muitos setores da Matemática, e as aplicações de métodos da 
sua teoria estão presentes em vários ramos da álgebra. Tomamos como exemplos os grupos algébricos 
lineares e os grupos de Lie, que são aqueles que se destacam no estudo de equações diferenciais em 
variedades; os grupos de Lie combinam análise e teoria de grupos, sendo, portanto, fundamentais 
para descrever as simetrias das estruturas analíticas). Grupos abelianos estão associados em diversas 
estruturas da álgebra abstrata, como anéis, corpos e módulos.
Na Topologia Algébrica, grupos são aplicados para descrever os invariantes de espaços topológicos 
(recebem essa denominação porque não mudam se o espaço é submetido a uma transformação).
 Observação
Topologia é o ramo da Matemática que estuda os espaços topológicos; 
é considerada uma extensão da Geometria. Estuda, entre outros temas, 
uma família de conjuntos abertos utilizados para definir o conceito 
básico da teoria, o espaço topológico. É uma área ampla e costuma ser 
dividida em: Topologia Geral, que estuda conceitos como compacidade, 
conexidade, separabilidade; Topologia Algébrica, que estuda conceitos 
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como homotopia e homologia; Topologia Geométrica, que investiga 
as variedades e suas aplicações, fibrados, incluindo a teoria dos nós. O 
estudo dos espaços topológicos envolvem as funções conhecidas como 
homomorfismos, que preservam a estrutura topológica do seu espaço.
Ainda dentro da própria Matemática, temos, na Análise Combinatória, a aplicação dos conceitos 
de permutação de ação de um grupo frequentemente utilizada para simplificar a contagem de um 
conjunto de objetos.
Na Matemática e nas ciências em geral, a teoria dos grupos é aplicada para capturar a simetria 
interna de uma estrutura na forma de automorfismos de grupo. Uma simetria interna associa-se com 
alguma propriedade invariante, e o conjunto de transformações que preserva essa invariante, com a 
operação de composição de transformações, o que resulta no denominado grupo de simetria.
Os corpos finitos possuem muitas aplicações. Destacamos, entre elas, a Teoria dos Códigos, a Teoria 
dos Números e a Teoria Matemática dos Jogos.
A Teoria dos Códigos Corretores de Erros é um campo de pesquisa em diversas áreas do conhecimento, 
como: Matemática, Computação, Engenharia Elétrica e Estatistíca, entre outras. É fato que, durante a 
transmissão de dados na vida real, às vezes ocorrem problemas, como interferências eletromagnéticas ou 
erros humanos (por exemplo, de digitação), fazendo com que a mensagem recebida não seja aquela que foi 
enviada. Essa teoria visa, então, a desenvolver métodos que detectem e corrijam esses erros (MILIES, 2009).
Vários sistemas físicos, os cristais e o átomo de hidrogênio, que são modelos físicos, foram modelados 
por grupos de simetria. A Teoria dos Grupos está associada com a teoria da representação na Física e 
Química. A sua compreensão é bastante importante na Física, pois é uma ferramenta usada para descrever 
as simetrias às quais as leis físicas devem obedecer. Isso pode ser observado, especialmente, quanto aos 
grupos de Lie, cujas representações podem indicar o caminho para apoiar “possíveis” teorias da Física. Em 
Química, grupos são utilizados para classificar estruturas cristalinas e as simetrias das moléculas.
Aplicação em jogos: o jogo dos 15 é um exercício da Teoria de Grupos que já era estudado por Euler 
há 300 anos.
Figura 16
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O cubo mágico ou cubo de Rubik relaciona-se à teoria dos grupos. Em 1997, o professor de 
ciência da computação Richard Korf afirmou ser ela solução ótima para o cubo de Rubik de 18 
movimentos. Até então, o melhor método, chamado de Fridrich, elaborado por Jessica Fridrich, 
possibilitava a resolução do cubo em menos de 1 minuto. Um algoritmo que resolvia o cubo de 
Rubik, no menor número de movimentos possíveis, foi designado por “algoritmo de Deus”. Uma das 
aplicações práticas do algoritmo da resolução do cubo mágico ocorre, por exemplo, na criptografia1 
de dados, por meio da permutação.
 Saiba mais
Para saber mais sobre grupos algébricos lineares, consulte:
CHAVES, J. C. Grupos algébricos e variedades abelianas. 
Universidade Federal Fluminense, 2001. Disponível em: <http://
www.professores.uff.br/jcoelho/diversos/alggrups.pdf>. Acesso em 
1º out. 2012.
PENNA, F. X. Grupos algébricos lineares comutativos conexos 
unipotentes. Revista Matemática Universitária, números 38/39, jun./
dez.2005. Disponível em: <http://matematicauniversitaria.ime.usp.br/
Conteudo/n38_n39/n38_n39_Artigo05.pdf>. Acesso em 1º out. 2012.
Para aprofundar o seu conhecimento sobre Grupos de Lie, consulte:
MARTIN, L. A. B. S. Grupos de Lie. Instituto de Matemática, Estatística e 
Computação Científica da Universidade de Campinas, ago. 2011. Disponível 
em: <www.ime.unicamp.br/~smartin/cursos/grupolie-2011/gruplie0.
pdf>. Acesso em 1º out. 2012.
CAMPOS, P. T.; FERREIRA, W.; VARGAS, J. Grupos de Lie em equações 
diferenciais e teoria dos números. Revista Matemática Universitária, 
n. 15, dez. 1993. Disponível em: <http://matematicauniversitaria.
ime.usp.br/Conteudo/n38_n39/n38_n39_Artigo05.pdf>. Acesso em 
1º out. 2012.
Maior aprofundamento sobre a Topologia Algébrica pode ser obtido 
com a seguinte leitura:
1 As tecnologias de comunicação e armazenamento de informações são uma ciência que tem como uma das bases 
a criptografia e a Teoria de Códigos. O objetivo da criptografia é a criação de códigos para a comunicação de mensagens 
entre fontes autorizadas, de modo que aquelas não autorizadas não consigam acessar o conteúdo das mensagens, bem 
como estuda métodos para descobrir as mensagens interceptadas.
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VILCHES, M. A. Introdução à topologia algébrica. Instituto de Matemática 
e Estatística da Universidade Estadual do Rio de Janeiro, s/d. Disponível em: 
<www.ime.uerj.br/~calculo/LivroVII/topalg.pdf>. Acesso em 1º out. 2012.
Para saber mais sobre a Teoria dos Grupos e o cubo mágico, veja:
SCHÜTZER, W. Minicurso: aprendendo álgebra com o cubo mágico. 
Disponível em: <http://www.dm.ufscar.br/profs/waldeck/rubik/>. Acesso 
em 08 out. 2012.
Para inteirar-se mais sobre Teoria dos Códigos Corretores de Erros, 
sugerimos esta leitura:
MILIES, P. Breve introdução à teoria dos códigos corretores de erros. 
Sociedade Brasileira de Matemática. In: COLÓQUIO DE MATEMÁTICA DA 
REGIÃO CENTRO-OESTE, nov. 2009. Campo Grande: UFMS. Disponível em: 
<http://www.coloquiodematematica.ufms.br/conteudo/material/mc09.
pdf>. Acesso em 1º out. 2012.
Caso se interesse em saber sobre como a critografria pode ser usada 
para ensinar matemática, leia:
BORGES, F. Criptografia como ferramenta para o ensino de matemática. 
Laboratório Nacional de Computação Científica. In: XXXI CONGRESSO DE 
MATEMÁTICA APLICADA E COMPUTACIONAL, nov. 2009. Campo Grande: 
UFMS. Disponível em: < www.sbmac.org.br/eventos/cnmac/xxxi_cnmac/
PDF/189.pdf>. Acesso em: 02 out. 2012.
4.2 Construção dos conjuntos numéricos
4.2.1 Conjunto dos números naturais
Para construir o conjunto dos números naturais, utilizaremos a proposição de G. Peano (1858-1932), 
que é uma das mais simples, mas possui provas e demonstrações (muitas vezes carregadas para quem 
se depara com o assunto pela primeira vez) que omitiremos, indicando a fonte para a demonstração 
das mesmas.
Por meio de uma fundamentação lógica da Aritmética, consideramos três conceitos como primitivos, a se 
saber: o zero, o número natural e a relação “é sucessor de”. Dessa forma, formulamos os seguintes axiomas:
1) Zero é um número natural.
2) Se consideramos que o número a é um número natural, então ele terá apenas um sucessor, que 
também será um número natural.
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3) Zero não é sucessor de nenhum outro número natural.
4) Se dois números naturais possuem os mesmos sucessores, esses números naturais são iguais.
5) Se uma coleção de N números naturais contém o zero e também o sucessor de todos os elementos 
naturais de N, então N é o conjunto de todos os números naturais (este é conhecido por Axioma 
de Indução Finita).
Se representamos a relação “é sucessor de” por a+ e o conjunto dos números naturais por N, então 
podemos reescrever os axiomas da seguinte forma:
1) 0 ∈ N
2) a ∈ N ⇒ a+	∈ N
3) ∀a, a ∈ N ⇒ a+ ≠ 0
4) a+ = b+ ⇔ a = b
5) Se R ⊂ N, 0 ∈ R, a ∈ R, a+ ∈ R ⇒ S = N
Admitimosque, no conjunto dos números naturais N, existe uma operação de adição (a, b) → a + b, 
uma relação de ordem < e a operação de multiplicação (a, b) → a . b. As seguintes propriedades são 
válidas, considerando a, b, c ∈ N:
A1)
( ) ( )a b c a b c+ + = + +
A2)
a + b = b + a
A3)
a + 0 = a
A4)
a + b = a + c ⇒ b = c
A5)
(a + b) + c = a + (b + c)
M1)
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(ab)c = a(bc)
M2)
ab = ba
M3)
a . 1 = a
M4)
ab = ac e a ≠ 0 ⇒ b = c
D)
a (b + c) = ab + ac
O1)
a < a
O2)
a < b e b < a ⇒ a = b
O3)
a < b e b < c ⇒ a < c
O4)
a < b ou b < a
OA1)
a < b ⇒ a + c < b + c
OA2)
a < b ⇒ a + c < b + c
OM1)
a < b ⇒ ac < bc
OM2)
a < b e c ≠ 0 ⇒ a + c < b + c
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N1)
b < a se, e somente se, existir c ∈ N, tal que a = b + c
 Lembrete
Definimos a relação de ordem < em N da seguinte forma:
se a, b ∈ N, dizemos que a < b se b = a + c para algum c ∈ N, em que c, nesse 
caso, é chamado por diferença entre b e a, e é indicado por c = b – a. Sendo assim, a 
subtração (a, b) → a – b em N só é definida se, e somente se, satisfizer b < a.
 Saiba mais
Algumas das provas para os axiomas e propriedades que acabamos 
de ver serão discutidas nos exercícios propostos. As demais poderão ser 
encontradas neste trabalho:
SILVA, J. C. A aritmética de Peano e a construção do conjunto dos 
números inteiros. In: II SIMPÓSIO DE MATEMÁTICA E MATEMÁTICA 
INDUSTRIAL, 2010. Catalão: UFG. Disponível em: <http://www.catalao.ufg.
br/mat/simmi/simmi2010/arquivos/MC2.pdf>. Acesso em 04 out. 2012.
4.2.2 Conjunto dos números inteiros
Ao construir o conjunto dos números inteiros, temos o objetivo de dar sentido matemático para 
a operação de subtração (a, b) → a – b para quaisquer a, b ∈ N, visto que, no conjunto dos números 
naturais, essa operação só é definida se b < a. Ao estender essa operação para todos a e b pertencentes 
aos naturais, começamos a lidar com números negativos, o que nos permite dizer, então, que:
Z = (–N*) ∪ {0} ∪ (N),
o que basicamente nos informa que o conjunto dos números inteiros Z será composto por todos os 
naturais, incluindo o zero e o negativo dos números naturais.
As operações de adição (a, b) → a + b, de multiplicação (a, b) → a . b e as relações de ordem < 
satisfazem os seguintes axiomas, considerando a, b, c ∈ Z:
A1)
(a+b) + c = a + (b+c)
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A2)
a + b = b + a
A3)
a + 0 = a
A4)
a + (–b) = a –b
M1)
(ab) c = a (bc)
M2)
ab = ba
M3)
a . 1 = a
M4)
ab = ac e a ≠ 0 ⇒ b = c
D)
a (b+c) = ab + ac
O1)
a < a
O2)
a < b e b < a ⇒ a = b
O3)
a < b e b < c ⇒ a < b
O4)
a < b ou b < a
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OA1)
a < b ⇒ a + c < b + c
OA2)
a < b ⇒ a + c < b + c
OM1)
a < b ⇒ ac < bc
OM2)
a < b e c ≠ 0 ⇒ a + c < b + c
O que notamos de diferente é apenas a relação de adição A4, na qual agora se admite o negativo de 
um elemento do conjunto.
4.2.3 Conjunto dos números complexos
Vamos agora ver ou rever os conceitos e definições dos números complexos, bem como suas formas 
de representação. Na prática, os números complexos estão presentes na necessidade de resolver equações 
do segundo grau: ax2 + bx + c = 0, usando a fórmula de Bhaskara: x
b
a
=
− ± ∆
2
, quando delta resulta 
 
em valor negativo. Muitos matemáticos estudaram esse tipo de problema, dentre eles Gaus e Argand, 
que construíram uma interpretação do que se tornou o conjunto dos números complexos. Neste livro, 
estudaremos as propriedades e estruturas algébricas que valem para esse conjunto numérico.
4.2.3.1 Representação algébrica
Um número complexo representa-se por z = a + IB, com a, b ∈ R, em que
a é a parte real de z, escrevendo-se Re(z) = a; e
b é a parte imaginária de z, escrevendo-se Im (z) = b.
Vale ressaltar que o complexo z é:
• um número real se, e somente se, Im(z) = 0, isto é, a parte imaginária (b) é igual a zero.
• um imaginário puro se, e só se, Re (z) = 0 e Im(z) ¹ 0, isto é, a = 0 e b ¹ 0 (parte real é zero e parte 
imaginária é não nula).
• é nulo se, e apenas se, Re (z) = Im (z) = 0, ou seja, a = 0 e b = 0 (tanto a parte real como a 
imaginária são nulas). 
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Dessa forma, podemos, simbolicamente, definir:
•	 o conjuto dos números reais como R = {a+b ∈ C; b = 0};
•	 o conjuto dos números complexos como C = {a + b; a ∈ R e b ∈ R};
•	 o conjuto dos números imaginários puros como I {a + bi ∈ C; b ≠ 0}.
A representação geométrica dos números complexos é realizada em referencial cartesiano. Nela, o eixo 
das abscissas (OX) é para a parte real (conjunto R) e o eixo das ordenadas (OU), para os imaginários puros 
(conjunto I). Assim, a cada complexo z = a + ib, corresponde o ponto do plano P (a, b), a que chamaremos de z.
Im
Re
P (a, b) = z
z = ai + b
O
b
a
P
Figura 17
Ao referencial com essa característica chamaremos de Plano Complexo. Pode-se também considerar 
o complexo z como o vetor OP, sendo O a origem do referencial.
4.2.3.2 Igualdade entre números complexos
Dois números complexos são iguais se, e somente se, a parte real do primeiro número for igual à 
parte real do segundo e, simultaneamente, a parte imaginária do primeiro for igual à parte imaginária 
do segundo número. Assim, se z1 = a + bi e z2 = c + di, temos:
z1 = z2 ⇔ a = c e b = d
4.2.3.3 Adição de números complexos
A soma de dois números complexos dá-se da seguinte forma: somamos, separadamente, a parte real 
do primeiro número com parte real do segundo, e parte imaginária do primeiro com parte imaginária 
do segundo número. Assim, se z = a + bi e z2 = c + di, temos:
z1 + z2 = (a + c) + (b + d) . i
Exemplo:
Sejam os complexos z1 = (3x + 6) + yi e z2 = y + 4i. Determine x e y, de modo que z1 + z2 = 0.
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Resolução:
Temos:
z1 + z2 = (3x + 6 +y) + (y + 4)i = 0
Desse modo, para que a soma de dois números complexos se anule, precisamos que a parte real e a 
parte imaginária da soma sejam zeradas. Simbolicamente, temos:
3x + 6 + y = 0 e y + 4 = 0
Resolvendo, temos com y = – 4: 3x + 6 – 4 = 0 => 3x = -2 => x = – 2/3
Logo, x = – 2/3 e y = – 4 satisfazem a condição enunciada.
4.2.3.4 Subtração de números complexos
Para subtrairmos dois números complexos, basta subtrairmos, separadamente, a parte real do 
primeiro da parte real do segundo, e parte imaginária do primeiro da parte imaginária do segundo 
número. Assim, se z = a + bi e z2 = c + di, temos:
z1 – z2= (a – c) + (b – d)i
4.2.3.5 Potências de i
Se, por definição, temos i = −1 = (-1)1/2, então:
i0 = 1
i1 =i
i2 = ((-1)1/2 ) 2 = (-1)2/2 = (-1)1 = -1. Logo, temos:
i3 = i2 . i = -1 . i = -i
i4 = i2 . i2 = (-1) . (-1)=1
i5 = i4 . i =1 . i = i
i6 = i5 . i = i . i = i2 = –1
i7 = i6 . i = (-1 ) . i = – i
• •
• •
• •
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Note que o desenvolvimento de in (n ∈ N), quando n varia, os resultados de in repetem-se de 4 em 4 unidades. 
Dessa forma, se precisamos do resultado de in basta calcularmos ik, em que k é o resto da divisão de n por 4.
Exemplo:
i102 => 102 / 4 dá resto 2 (k=2), logo i102 = i2 = -1
4.2.3.6 Multiplicação de números complexos
Para multiplicarmos dois números complexos, basta efetuarmos a operação distributiva. Assim, se 
z1 = a + bi e z2 = c + di, temos:
z1 * z2 = (a + bi) * (c + di)
→ Façamos a distributiva:
z1 * z2 = ac + adi + cbi + bdi
2
→ coloquemos o i em evidência e lembremos que i2 = –1
z1 * z2 = ac + (ad + cb)i + bd (–1)
z1 * z2 = ac + (ad + cb)i – bd
→ Agrupando a parte real:
z1 * z2 = (ac – bd) + (ad + cb)i
Exemplo: 
Determine x, de modo que z = (x + i) * (1 + i) seja imaginário puro.
Resolução:
Efetuando a multiplicação, temos:
z = x + (x + 1)i + i2
z = (x-1) + (x+1)i
Para que z seja um imaginário puro, é necessário que a parte real seja zero, isto é, (x -1) = 0. Logo, x = 1.
4.2.3.7 Conjugado de um número complexo
Dado z = a + bi, temos conjugado de z (representa-se por z ⇒ z = a – bi). Veja o que acontece 
quando multiplicamos um número por seu conjugado:
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z z a bi a bi
z z a a b b a b b a i
z z a b
* . ( ) * ( )
* . ( * ( )) ( ( ) ( ))
* . (
= + −
= − − + − +
= +2 22
2 2
2 2
0
) ( )
* . ( )
* . ( )
+ − +
= + +
= +
ab ab i
z z a b i
z z a b
Quando multiplicamos um numero complexo por seu conjugado, a parte imaginária zera.
Exemplo:
z = 2 – 3i ⇒ z = 2 – 3i
z = 5i ⇒ z = – 5i
z = 2 ⇒ z = 2
4.2.3.8 Divisão de números complexos
Para dividirmos dois números complexos, basta multiplicarmos o numerador e o denominador pelo 
conjugado do denominador. Assim, se z1 = a + bi e z2 = c + di, temos:
z
z
z z
z z
a bi c di
c di c di
a bi c di
c d
1
2
1 2
2 2
2= =
+ −
+ −
=
+ −
+
*
*
( )( )
( )( )
( )( )
( 22)
Exemplo: 
Qual é o conjugado de z = (4 + 2i) / (2 – 5i)?
Efetuando a divisão, temos:
z
i
i
i i
i i
i i
=
+
−
=
+ +
− +
=
+ + −
+
=
− +4 2
2 5
4 2 2 5
2 5 2 5
8 20 4 10
2 5
2
2 2
( )( )
( )( ) ( )
224
29
2
29
24
29
i i
=
−
+
Logo, o conjugado de z é z
i
=
−
+
2
29
24
29
4.2.3.9 Módulo de um número complexo
Dado z = a + bi, chama-se módulo de z⇒ = + = +z a b a b2 2 2 2
1
2( ) , conhecido como ρ (lê-se rô).
Exemplo: 
Sabendo que os módulos de z1 = a + 20 i e z2 = (a – 2) + 6i são iguais, determine o valor de a?
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ÁLGEBRA
Resolução:
Primeiro, determinaremos os módulos de z1 e z2:
z a a e
z a a a a a
1
2
1
2 2 2
1
2
2
2 2 2
1
2 2
20 20
2 6 4 4 36 4
= + = +
= − + = − + + = −
( ) ( )
( ) ( ) ( ++ 40
1
2)
Efetuando, então, a igualdade entre z1 e z2:
z z a a a1 2
2
1
2 2
1
220 4 40= ⇒ + = − +( ) ( ) , com os dois membros ao quadrado, temos:
( ) ( )a a a2
1
2
2
2
1
2
2
20 4 40+



 = − +




a2 + 20 = a2 – 4a + 4 + 36
20 = – 4a + 40
4a = 20.
Logo, x = 5.
4.2.3.10 Interpretação geométrica
Como comentamos no início da seção 2.3, a interpretação geométrica dos números complexos é que 
deu impulso ao seu estudo. Assim, representamos, da seguinte maneira, o complexo z = a + bi:
Im
ReO
b
a
P
θ
ρ
Figura 18
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OP z a b= = = +ρ 2 2
OP z a b= = = +ρ 2 2
θ é o argumento
sen
cateto oposto
hipotenusa
e
cateto adjacente
hipotenusa
θ θ= =cos
Logo,
sen
b
b sen e
a
aθ
ρ
ρ θ θ
ρ
ρ θ= ⇒ = = ⇒ =cos cos
4.2.3.11 Forma polar dos números complexos
Dado z = a + bi, sabendo que a e b sen= =ρ θ ρ θcos , temos:
z a bi sen i isen
z c di
1 1 1 1 1 1 1 1
2 2 2
= + = + = +
= + =
ρ θ ρ θ ρ θ θ
ρ θ
cos ( ) (cos )
cos ++ = +( ) ( cos )ρ θ ρ θ θ2 2 2 2 2sen i isen
z isen e z isen1 1 1 1 2 2 2 2= + = +ρ θ θ ρ θ θ( cos ) (cos )
Essas expressões de z são conhecidas como forma polar ou trigonométrica de um número complexo.
4.2.3.12 Operações na forma polar ou trigonométrica
Sendo z isen e z isen1 1 1 1 2 2 2 2= + = +ρ θ θ ρ θ θ( cos ) (cos ) , podemos expressar as seguintes 
operações nos complexos:
a) Multiplicação
z z isen1 2 1 2 1 2 1 2* cos( ) ( )= + + +[ ]ρ ρ θ θ θ θ
b) Divisão
z
z
isen1
2
1
2
1 2 1 2= − + −[ ]ρρ θ θ θ θcos( ) ( )
c) Potenciação
z n isen nn n= +[ ]ρ θ θcos( ) ( )1 1
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ÁLGEBRA
d) Radiciação
z
k
n
isen
k
nk
k
=
+


+
+






ρ
θ pi θ pi
cos
2 2
Exemplo:
Escreva, na forma trigonométrica, o complexo z
i
i
=
+1
.
Resolução:
Primeiro, efetuamos a divisão, deixando z na forma z = a + bi:
z = [(1 + i). – i] / – i2 = (– i – i2) = 1 – i
z = 1 – i
A forma trigonométrica de z pode ser escrita como: z = r(cós t + i sen t). Determinando os valores 
de r, cos t e sen t, temos:
r z a b= = = +ρ 2 2
sen t
b
e t
a
pois t= = =
ρ ρ
θcos ,
r = (1 + 1)1/2 = 21/2
r
sen t
b
r
sen t sen t
t
a
r
t
= + =
= ⇒ =
−
⇒ =
−
=
−
= ⇒ = ⇒
1 1 2
1
2
1
2
2
2
2
2
1
2
;
*
cos cos coss *t = =
1
2
2
2
2
2
Precisamos lembrar de alguns conceitos de trigonometria para sabermos qual o ângulo tem, 
simultaneamente, sen t =
−
=
−1
2
2
2
 e cos t = =
1
2
2
2
:
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1) Arcos notáveis:
Tabela 3 – Avaliação dos valores de seno e cosseno no 1° quadrante
Arco (ângulo) (t) Sen t Arco (ângulo) (t) Cos t
pi
6
30= o
1
2
pi
6
30= o 3
2
pi
4
45= o 2
2
pi
4
45= o 2
2
pi
3
60= o 3
2
pi
3
60= o
1
2
2) Ângulos no ciclo trigonométrico:
pi
2 pi
3 pi
4
pi
6
11
6
pi
7
4
pi
5
3
pi
3
2
pi
4
3
pi
5
4
pi
7
6
pi
5
6
pi
3
4
pi
2
3
pi
3
2
3
2
1
2
1
2
2
2
2
2
−
1
2
−
1
2
−
2
2
−
2
2
−
3
2
−
3
2
0π
Eixo dos 
cossenos
Eixo dos senos
Figura 19
3) sinais de seno e cosseno
a) f(x) = sen x é positiva no 1º e 2º quadrantes e f(x) = sen x é negativa no 3º e 4º quadrantes;b) f(x) = cos x é positiva no 1° e 2° quadrantes e f(x) = cos x é negativa no 3° e 4° quadrantes.
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ÁLGEBRA
Apoiados nos conceitos de trigonometria que acabamos de relembrar, verificando valores de seno e 
cosseno, podemos concluir que:
• sen 
7
4
pi
= – sen 
pi
4
2
2
=
−
 e que cos 
7
4
pi
= cos 
pi
4
2
2
=
• t = − =2
4
7
4
pi
pi pi
 ou t = (360°- 45°) => t = 315º.
Para finalizar, retomamos a forma trigonométrica dada por: z = r(cos t + i sen t). Assim,
z i sen= +2
7
4
7
4
(cos )
pi pi
 ou z i seno o= +2 315 315(cos )
 Saiba mais
Saiba mais sobre números complexos lendo: 
MOTTA, E. Aplicações dos números complexos à geometria. Eureka! n. 
6, p. 30-38, 1999. Disponível em: <http://www.obm.org.br/export/sites/
default/revista_eureka/docs/eureka6.pdf>. Acesso em: 22. abr. 2013.
 Resumo
Nesta unidade revisamos o estudo das operações ou leis de composição 
interna entre dois conjuntos e suas principais propriedades. Também 
estudamos a construção dos conjuntos numéricos.
Dado A = ∅, toda aplicação f: A X A →	A receberá o nome de operação 
sobre A ou lei de composição interna em A. Uma operação f sobre A associará 
cada par (x, y) de A X A a um elemento x * y. As principais propriedades das 
operações são:
Associativa: a* (b * c) = a * (b * c) ∀	a, b, c, ∈	A;
Comutativa: a * b = b * a, ∀a, b ∈ A;
Elemento neutro: e * a = a * e = a, ∀a ∈ A;
Elementos simetrizáveis: se existir a ∈ A, tal que a’ * a = e = a * a’;
Elementos regulares: se ∀c, d ∈ A, tais que a * c = a * d vale c = d;
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Propriedade distributiva: se: a ⊗ (b * c) = (a ⊗ b) * (a ⊗ c), ∀a, b, c ∈ A;
Nesta unidade, fizemos um estudo dos conjuntos dos números naturais, 
inteiros e complexos. Definimos grupos, subgrupos, semigrupos e anéis.
A seguir, lembremos-nos das principais expressões e propriedades 
definidas até o momento.
Os principais axiomas para definição dos números naturais são:
1) 0 ∈	N
2) a ∈	N ⇒	a+ ∈	N
3) ∀a, a ∈	N ⇒	a+ ≠	0
4) a+ = b+ ⇔	a = b
5) Se R ⊂	N, 0 ∈	R, a ∈	R, a+ ∈	R ⇒	S = N
Admitimos que, no conjunto dos números naturais N, existe uma 
operação de adição (a, b) →	a + b, uma relação de ordem < e a operação 
de multiplicação (a, b) →	a . b.
A subtração (a, b) →	a – b em N só está definida, se, e somente se, 
satisfizer b ≤ a.
Quanto aos principais axiomas para definição dos números 
inteiros, passamos a dar sentido matemático para a operação de 
subtração (a, b) →	a – b para quaisquer a, b ∈	N.
Definimos o conjunto Z:
Z = (– N*) ∪	{0} ∪	(N)
Sendo assim, passa a ser definido o negativo de um número e também 
o chamado número oposto, em que o oposto de a é –a.
Um axioma importante que não fazia parte dos números reais e agora 
vale para os números inteiros é o definido como A4:
a + (–b) = a – b
Das principais expressões e características dos números complexos, 
definimos o conjunto dos números complexos como:
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ÁLGEBRA
C = {a + bi; a ∈	R e b ∈	R}
z = a + bi, em que: i i= − → = −1 12 .
Parte real: Re(z) = a
Parte imaginária: Im(z) = b
Soma: z1 + z2 = (abi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i
Complexo conjugado: z = a – bi
Produto de z pelo conjugado: z . z = (a + bi) . (a – bi) = a2 + b2
Módulo: z z z a b= = +. 2 2
Forma polar: z ei= ρ θ , em que ρ = +a b2 2 , a = ( )ρ θcos e b sen= ( )ρ θ
e iseniθ θ θ= ( ) + ( )cos
 Exercícios
Questão 1. (ENADE 2005, Matemática) Desenha-se no plano complexo o triângulo T com vértices 
nos pontos correspondentes aos números complexos z1, z2 e z3, que são raízes cúbicas da unidade. 
Desenha-se também o triângulo S, com vértices nos pontos correspondentes aos números complexos, 
w1 w2 e w3, que são raízes cúbicas complexas de 8.
Com base no texto anterior, assinale a opção correta:
A) z i= − +
3
2
1
2
 é um dos vértices do triângulo T.
B) w e
i
= 2 3
pi
 é um dos vértices do triângulo S.
C) w1z1 é raiz da equação x
6 – 1 = 0.
D) Se w1 = 2, então w w2
2
3= .
E) Se z1 = 1, então z2 é o conjugado complexo de z3.
Resposta correta: alternativa E.
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Análise das alternativas
De acordo com o enunciado, para o triângulo T temos:
·	 13 , módulo 1 e argumento 0º
·	 1 1
360 0
3
360 0
3
3
=
+


 +
+









cos .
o o o oK
i sen
K
·	 K i seno o= → + =0 1 0 0 1(cos . )
·	 K i sen io o= → + = − +1 1 120 120
1
2
3
2
(cos . )
·	 K i sen io o= → + = − −2 1 240 240
1
2
3
2
(cos . )
De acordo com o enunciado, para o triângulo S temos:
·	 83 , módulo 2 e argumento 0º
·	 8 2
360 0
3
360 0
3
3
=
+


 +
+









cos .
o o o oK
i sen
K
·	 K i seno o= → + =0 2 0 0 2(cos . )
·	 K i sen io o= → + = − +1 2 120 120 1 3(cos . )
·	 K i sen io o= → + = − −2 2 240 240 1 3(cos . )
A – Alternativa incorreta.
Justificativa: os vértices do triângulo T são 1, − + − −
1
2
3
2
1
2
3
2
i e i .
B – Alternativa incorreta.
Justificativa: 2 2
3 3
2
1
2
3
2
1 33e isen i i
i.
cos
pi
pi pi
= +



 = +



 = + . Os vértices do triângulo S são 2, 
− + − −1 3 1 3i e i .
C – Alternativa incorreta.
Justificativa: o produto de w1z1 tem módulo dado pelo produto do módulo de w1 pelo módulo de z1, 
isto é, pelo módulo 2. Veja que 16 tem módulo 1.
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ÁLGEBRA
D – Alternativa incorreta.
Justificativa: w2
2 não pode ser w3 , pois w2
2 tem módulo 4 e w3 tem módulo 2.
E – Alternativa correta.
Justificativa: Z Z i e Z i1 2 31
1
2
3
2
1
2
3
2
= = − + = − −, . Z2 é o conjugado de Z3 .
Questão 2. (ENADE 2007, Matemática) No plano complexo, a área do triângulo de vértices é 2i, 
e e
i i
pi pi
4
3
4, é: 
A) 
1
2
B) 2
C) 2
1
2
−
D) 2 2 2−
E) 
1
2
2
1
2
−




Resolução desta questão na plataforma.