AP3 Metodos

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UNIVERSIDADE UNIGRANRIO 
xxxxxx 
MATRÍCULA: xxxxxx 
APLICAÇÃO PRÁTICA DE SISTEMAS LINEARES E NÃO LINEARES 
AP3 – Métodos Computacionais em Engenharia 
DUQUE DE CAXIAS, 2018
 
 
SUMÁRIO 
 
1 INTRODUÇÃO ................................................................................................................................. 2 
2 DESENVOLVIMENTO .................................................................................................................... 3 
2.1 Sistemas Lineares ...................................................................................................................... 3 
2.2 Sistemas Não Lineares .............................................................................................................. 4 
3 CONCLUSÃO ................................................................................................................................... 6 
REFERÊNCIAS ................................................................................................................................... 6 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2 
 
1 INTRODUÇÃO 
 
O objetivo desta aplicação prática é demonstrar o uso de sistemas lineares e não 
lineares através de métodos computacionais. Entretanto para explicitar melhor esses 
métodos e suas aplicações, convém definir o que são sistemas lineares e não lineares. 
Sistemas lineares são equações algébricas que envolvem relações algébricas de grau 
um, graficamente estas equações podem ser planos, retas ou hiperplanos e 
apresentam a seguinte notação geral: 
 𝑎11𝑥1 + 𝑎12𝑥2 + ⋯+ 𝑎1𝑛𝑥𝑛 = 𝑏1 
𝑎21𝑥1 + 𝑎22𝑥2 + ⋯+ 𝑎2𝑛𝑥𝑛 = 𝑏2 
 . 
 . 
 . 
𝑎𝑚1𝑥1 + 𝑎𝑚2𝑥2 + ⋯+ 𝑎𝑚𝑛𝑥𝑛 = 𝑏𝑚 
 
Uma outra forma de representar o sistema é em forma matricial: 
 𝑎11 𝑎12 …𝑎1𝑛 𝑥1 𝑏1 
 𝑎11 𝑎12 …𝑎1𝑛 𝑥2 𝑏2 
 . . . . . 
 . . . . = . 
 . . . . . 
 𝑎𝑚1 𝑎𝑚2 …𝑎𝑚𝑛 𝑥𝑛 𝑏𝑛 
 
O método de resolução do sistema pela Eliminação de Gauss, possui a solução exata, 
é também, o método com menos número de operações diminuindo o custo 
operacional. Ele consiste em multiplicar cada equação do sistema por um número real, 
chamado, pivô, para obter um sistema em forma de escala. 
Os sistemas não lineares são equações as quais não podem ser representadas por 
hiperplanos, retas e/ou planos. O que remete as tantas outras formas de 
representação, por exemplo, curvas, parábolas, entre outras. 
Ao resolver um sistema linear, obtém-se a seguinte notação: 
 
3 
 
𝑓1(𝑥1, 𝑥2, . . . , 𝑥𝑛) = 0 
𝑓2(𝑥1, 𝑥2, . . . , 𝑥𝑛) = 0 
. 
. 
. 
𝑓𝑛(𝑥1, 𝑥2, . . . , 𝑥𝑛) = 0 
Neste trabalho serão descritas duas aplicações: para sistemas lineares será descrito 
o processo de construção de estruturas metálicas e para sistemas não lineares a 
movimentação dos fluidos na hidrodinâmica. 
 
2 DESENVOLVIMENTO 
2.1 Sistemas Lineares 
No cálculo de esforço para uma estrutura metálica pode-se determinar o esforço 
mecânico de cada viga de uma estrutura utilizando-se da aplicação de um sistema 
linear. 
 
Imagem 1: Diagrama da estrutura metálica composta por vigas. Fonte: http://www.abenge.org.br 
Conhecendo-se a massa suspensa e o comprimento do braço do guindaste (conforme 
o exemplo acima), calcula-se as forças que incidem na estrutura para que esta 
permaneça em equilíbrio. O somatório das forças de cada nó (de 1 a 6), deverá ser 
nula em todas as direções. Para isto, calcula-se a força exercida em cada nó. 
Conforme o exemplo abaixo: 
𝑓21𝑐𝑜𝑠𝜃21 + 𝑓23𝑐𝑜𝑠𝜃23 + 𝑓24𝑐𝑜𝑠𝜃24 = 𝐹2 
 
4 
 
𝑓21𝑠𝑒𝑛𝜃21 + 𝑓23𝑠𝑒𝑛𝜃23 + 𝑓24𝑠𝑒𝑛𝜃24 = 0 
Posteriormente, constrói-se o somatório das demais forças para cada um dos nós: 
𝑓12𝑐𝑜𝑠𝜃12 + 𝑓13𝑐𝑜𝑠𝜃13 + 𝑓14𝑐𝑜𝑠𝜃14 = 𝐹1 
𝑓12𝑠𝑒𝑛𝜃12 + 𝑓13𝑠𝑒𝑛𝜃13 + 𝑓24𝑠𝑒𝑛𝜃24 = 0 
𝑓31𝑐𝑜𝑠𝜃31 + 𝑓35𝑐𝑜𝑠𝜃35 + 𝑓32𝑐𝑜𝑠𝜃32 + 𝑓36𝑐𝑜𝑠𝜃36 = 0 
𝑓31𝑠𝑒𝑛𝜃31 + 𝑓35𝑠𝑒𝑛𝜃35 + 𝑓32𝑠𝑒𝑛𝜃32 + 𝑓36𝑠𝑒𝑛𝜃36 = 0 
𝑓41𝑐𝑜𝑠𝜃41 + 𝑓45𝑐𝑜𝑠𝜃45 + 𝑓42𝑐𝑜𝑠𝜃42 + 𝑓46𝑐𝑜𝑠𝜃46 = 0 
𝑓41𝑠𝑒𝑛𝜃41 + 𝑓45𝑠𝑒𝑛𝜃45 + 𝑓42𝑠𝑒𝑛𝜃42 + 𝑓46𝑠𝑒𝑛𝜃46 = 0 
Construindo-se, então, a equação da situação da estrutura, sem a aceleração 
horizontal: 
𝑓35𝑠𝑒𝑛𝜃35 + 𝑓46𝑠𝑒𝑛𝜃46 + 𝑓54𝑠𝑒𝑛𝜃54 + 𝑓63𝑠𝑒𝑛𝜃63 = 0, onde tem-se: 𝑓𝑖𝑗 = −𝑓𝑗𝑖, assim 
sendo essa em forma matricial representada da seguinte maneira: Af = f, isto é: 
𝑓 =
[
 
 
 
 
 
 
 
 
 
𝑓12
𝑓13
𝑓14
𝑓23
𝑓24
𝑓35
𝑓36
𝑓45
𝑓46]
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Assim sendo, para resolução desse sistema, obtemos a seguinte matriz: 
𝑓 =
[
 
 
 
 
 
 
 
 
𝐹1
0
𝐹2
0
0
0
0
0
0 ]
 
 
 
 
 
 
 
 
 
E para resolução desse problema, bastaria aplicar encontrar a matriz coluna das 
forças que atuam sobre as vigas multiplicando-se a inversa da matriz que modela a 
estrutura metálica pela matriz-coluna das forças externas. 
 
5 
 
2.2 Sistemas Não Lineares 
 
Como exemplo de aplicação de sistemas não lineares pode-se citar a dinâmica dos 
fluidos que se referem as variáveis da movimentação de líquidos ou gases que se 
aplicam a força, aceleração e velocidade. Devido a sua complexidade das 
características dos fluidos e seu equacionamento a dinâmica convencionou trabalhar 
com o chamado fluido perfeito, cujo o qual desconsidera, atrito, viscosidade, 
elasticidade e coesão. 
Este sistema se aplica para o cálculo da dinâmica dos fluidos, ou o Princípio de 
Bernoulli, que teorizou o comportamento do movimento dos fluidos, cujo os quais 
podem ser exemplificados de forma cotidiana para o cálculo da pressão manométrica 
de líquidos em uma tubulação, para o cálculo da viscosidade de um fluido ideal para 
motores e mesmo para saber o comportamento de aeronaves diante de turbulências 
em altas velocidades. 
O teorema de Bernoulli traduz para os fluidos o princípio de conservação de energia. 
Para descrever esse comportamento, utiliza-se a formula Euleriana do momento linear 
para um fluido Newtoniano (método de Newton): 
𝜕�⃗�
𝜕𝑡
= −∇(
𝑣2
2
+ Φ + Φ𝑎𝑝) + �⃗�⋀(∇ ∧ �⃗�) −
1
𝜌
∇𝜌 + 𝑓𝑎𝑡⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ; 𝑣
2 = ‖�⃗�‖2 
𝑓𝑎𝑡⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝑣∇
2�⃗� +
𝑉
3
∇(∇⦁�⃗�) 𝑉 = viscosidade cinemática =
𝜇
𝜌
 
Utilizando-se o Teorema Generalizado de Bernoulli, reduz-se: 
∆(𝑒𝑚 + ℎ) = (𝑒𝑚2 + ℎ2) − (𝑒𝑚1 + ℎ1) = −∫
𝜕‖�⃗⃗�‖
𝜕𝑡
𝑑𝑙 + ∫ 𝑇𝑑𝑠 + ∫ 𝑓𝑎𝑡⃗⃗⃗⃗⃗⃗
2
1
2
1
2
1
⦁𝑑𝑙⃗⃗⃗⃗ = ∆𝐵 onde a 
quantidade 𝑒𝑚 + ℎ = 𝐵, corresponde a soma da energia mecânica por unidade de 
massa com entalpia por unidade de massa em função de Bernoulli. Esse Teorema 
assume formas mais simplificadas adotando-se certas hipóteses: 
𝐵 = (
𝑣2
2
+ Φ + Φ𝑎𝑝) + (𝑢 +
𝑝
ρ
) = 𝑒𝑚 + ℎ 
A partir deste teorema pode-se alinhar de forma iterativa o modelo, construindo de 
forma aproximada o modelo chamado fluido perfeito e suas diversas aplicações. 
 
6 
 
3 CONCLUSÃO 
 
A aplicação dos sistemas lineares e não lineares nesta tarefa constatou que a partir 
da construção de modelos matemáticos que simplifiquem resolvidas certas equações 
complexas permitem que sejam resolvidas com precisão e velocidade que 
manualmente, podem levar ao erro. 
As aproximações controladas garantem um desvio mínimo destes cálculos e criação 
de algoritmos capazes solucionar esses problemas num tempo finito utilizando essas 
aproximações, permitem de convergência para soluções esperadas. 
O que pôde-se concluir que a sistematização em modelos matemáticos está presente 
no dia a dia e que a otimização destes trazem cada vez mais adventos tecnológicose 
precisão aos problemas encontrados pelos cientistas. 
 
REFERÊNCIAS 
 
APLICAÇÕES DE EQUAÇÕES 1ª. ORDEM. Disponível em: <http://www.mat.puc-
rio.br/~calneto/MAT1154/Site/Aplicacoes%20de%20equacoes%20de%20primeira%2
0ordem.pdf>. Acesso em: 01 set. 2018. 
HIDRODINÂMICA. 2018. Disponível em: 
<https://pt.wikipedia.org/wiki/Hidrodin%C3%A2mica>. Acesso em: 09 nov. 2018. 
PIRES, Carlos. Teorema de Bernoulli dos Fluidos e Aplicações : Mecânica dos 
Fluidos. 2018. Disponível em: <https://moodle-
arquivo.ciencias.ulisboa.pt/1213/pluginfile.php/56987/mod_resource/content/1/MF-
DEGGE-2011-2012-Aula1-adobe.pdf>. Acesso em: 09 nov. 2018. 
MATTOS, Thalita do Bem. Modelos Não Lineares e suas Aplicações . 2013. 58 p. 
Monografia (Bacharel em Estatistica)- Universidade Federal de Juiz de Fora, MG, 
2013. Disponível em: <http://www.ufjf.br/cursoestatistica/files/2014/04/Modelos-
N%C3%A3o-Lineares-e-suas-Aplica%C3%A7%C3%B5es.pdf>. Acesso em: 09 nov. 
2018. 
 
7 
 
MEDEIROS, Adriano A.; OLIVEIRA, Milton de L. Equações Diferenciais Ordinárias 
. [S.l.: s.n.], 2009. 138 p. Disponível em: 
<http://www.mat.ufpb.br/milton/disciplinas/edo/livro_edo.pdf>. Acesso em: 09 nov. 
2018. 
PESCADOR, Andresa; POSSAMAI, Janaína Poffo. APLICAÇÃO DE ÁLGEBRA 
LINEAR NA ENGENHARIA. In: COBENGE 2011, XXXIX., 2011, Blumenau - SC. 
APLICAÇÃO DE ÁLGEBRA LINEAR NA ENGENHARIA ... [S.l.: s.n.], 2011. p. 1-8. 
Disponível em: 
<http://www.abenge.org.br/cobenge/arquivos/8/sessoestec/art2127.pdf>. Acesso em: 
01 nov. 2018. 
PRINCÍPIO de Bernoulli. 2018. Disponível em: 
<https://pt.wikipedia.org/wiki/Princ%C3%ADpio_de_Bernoulli>. Acesso em: 09 nov. 
2018. 
SISTEMA dinâmico não linear. 2018. Disponível em: 
<https://pt.wikipedia.org/wiki/Sistema_din%C3%A2mico_n%C3%A3o_linear>. 
Acesso em: 09 nov. 2018.