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Conceitos e Princípios Gerais
• Fases na resolução de problemas físicos
• Resolução do Modelo Matemático
• Conceitos Básicos de Cálculo Numérico
• Erros em Processos Numéricos
Conceitos e Princípios Gerais
Fases na resolução de problemas físicos
Fases na resolução de problemas físicos
MODELAGEM – é a fase de obtenção de um modelo 
matemático que descreve o comportamento do sistema 
físico em questão.
RESOLUÇÃO – é a fase de obtenção da solução do 
modelo matemático através da aplicação de métodos 
numéricos. 
• Fases na resolução de problemas físicos
• Resolução do Modelo Matemático
• Conceitos Básicos de Cálculo Numérico
• Erros em Processos Numéricos
Conceitos e Princípios Gerais
Resolução do Modelo Matemático
- Feita a modelagem matemática, a fase seguinte 
consiste na resolução do modelo matemático;
- Esta fase consiste em mostrar se o modelo tem 
solução ou não e se a solução é única ou não;
- Resolver o modelo matemático numericamente 
significa obter uma solução, mesmo que aproximada;
- Foi com o surgimento do computador na década de 40 
que a importância da análise numérica começou a ser 
notada, uma vez que, por meio do processamento 
eletrônico de dados, as técnicas numéricas se tornaram 
viáveis;
Resolução do Modelo Matemático
- O cálculo numérico tem sua importância centrada no 
fato de que, mesmo quando a solução analítica é difícil 
de ser obtida, as técnicas numéricas podem ser 
empregadas sem maiores dificuldades;
Exemplo: x6 - 20x5 - 110x4 + 50x3 - 5x2 + 70x - 100 = 0
Não existe solução analítica! 
- Neste curso são apresentados os principais métodos 
numéricos, como utilizá-los, suas restrições, suas 
vantagens e os cuidados para usá-los.
• Fases na resolução de problemas físicos
• Resolução do Modelo Matemático
• Conceitos Básicos de Cálculo Numérico
• Erros em Processos Numéricos
Conceitos e Princípios Gerais
Conceitos Básicos de Cálculo Numérico
> Problema Numérico
> Método Numérico
> Algoritmo
> Iteração ou Aproximação Sucessiva
> Aproximação Local
Problema Numérico
- O tipo de problema que é resolvido por meio de cálculo 
numérico denomina-se problema numérico;
- Considera-se que o problema é numérico quando tanto 
os dados de entrada como os dados de saída 
(resultados) para o problema são conjuntos numéricos 
finitos.
Exemplo 1: Determinar as soluções da equação
x6 - 20x5 - 110x4 + 50x3 - 5x2 + 70x - 100 = 0
É um problema numérico! Os dados de entrada e saída 
são conjuntos numéricos finitos.
Problema Numérico
Exemplo 2: Resolver a equação diferencial ordinária
Não é um problema numérico! Os dados de entrada e 
saída são conjuntos numéricos infinitos.
Quando um modelo matemático não conduz a um 
problema numérico, primeiramente é preciso transformá-
lo num problema numérico.
Neste caso, usa-se os conceitos de diferenças finitas.
1)5(
0)0(
)5,0(,222
2
=
=
∈+=
y
y
xparayx
dx
yd
Conceitos Básicos de Cálculo Numérico
> Problema Numérico
> Método Numérico
> Algoritmo
> Iteração ou Aproximação Sucessiva
> Aproximação Local
Método Numérico
- Método numérico é um conjunto de procedimentos 
utilizados para transformar um modelo matemático num 
problema numérico;
- Conjunto de procedimentos usados para resolver um 
problema numérico;
Método Numérico
- A escolha do método mais eficiente para resolver um 
problema numérico deve envolver os aspectos:
(i) precisão desejada para os resultados;
(ii) capacidade do método em conduzir os resultados 
desejados (velocidade de convergência);
(iii) esforço computacional despendido (tempo de 
processamento).
Conceitos Básicos de Cálculo Numérico
> Problema Numérico
> Método Numérico
> Algoritmo
> Iteração ou Aproximação Sucessiva
> Aproximação Local
Algoritmo
- É a descrição sequencial dos passos que caracterizam 
um método numérico;
- Um algoritmo consiste de uma sequência de n passos, 
cada um envolvendo um numéro finito de operações 
(aritméticas e lógicas);
- O algoritmo deve fornecer valores ao menos ´próximos´
daqueles que são procurados, ao fim desses n passos;
- O número n pode não ser conhecido a priori. É o caso 
de algoritmos iterativos. Neste caso, em geral tem-se 
para n apenas uma cota superior.
Conceitos Básicos de Cálculo Numérico
> Problema Numérico
> Método Numérico
> Algoritmo
> Iteração ou Aproximação Sucessiva
> Aproximação Local
Iteração ou Aproximação Sucessiva
- Uma das idéias fundamentais do cálculo numérico é a 
de iteração ou aproximação sucessiva;
- Num sentido amplo, iteração significa a repetição de 
um processo;
- Grande parte dos métodos numéricos usa iteração;
Iteração ou Aproximação Sucessiva
- Um método numérico se caracteriza por:
(i) Tentativa inicial: consiste em uma primeira tentativa 
aproximada para a solução desejada do problema.
(ii) Equação de recorrência: equação por meio da 
qual, partindo-se da tentativa inicial, são realizadas as 
iterações ou aproximações sucessivas para a solução 
desejada.
(iii) Teste de parada: é o instrumento por meio do qual 
o procedimento iterativo é finalizado.
Conceitos Básicos de Cálculo Numérico
> Problema Numérico
> Método Numérico
> Algoritmo
> Iteração ou Aproximação Sucessiva
> Aproximação Local
Aproximação Local
- Aproximação local de uma função por outra, que seja de manuseio mais 
simples.
Aproximação Local
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• Erros em Processos Numéricos
Conceitos e Princípios Gerais
Erros em Processos Numéricos
- Na busca da solução do modelo matemático, os erros 
surgem de várias fontes e merecem cuidado especial. 
Do contrário, pode-se chegar a resultados distantes do 
que se esperaria ou até mesmo obter outros que não 
têm relação com o problema original;
Erros em Processos Numéricos
- As principais fontes de erros são:
(i) erros nos dados de entrada;
(ii) erros no estabelecimento do modelo matemático;
(iii) erros de arredondamentos durante a computação;
(iv) erros de truncamento;
(v) erros humanos e de máquinas.
Erros em Processos Numéricos
Erros em Processos Numéricos
> Erros na fase de modelagem
> Erros na fase de resolução
Erros em Processos Numéricos
> Erros na fase de modelagem
> Erros na fase de resolução
Resumindo
BASE 2 ------- > BASE 10
x 2 PARTE INTEIRA
x 2 PARTE FRACIONÁRIA
BASE 10 -------- > BASE 2
: 2 PARTE INTEIRA
x 2 PARTE FRACIONÁRIA
As máquinas utilizam o sistema de aritmética de ponto flutuante para 
representar os números e executar as operações.
Um sistema de ponto flutuante F depende das variáveis β, t, I, e S e pode ser 
representado pela função:
F = F(β, t, I, S)
Observação:
Sistema de ponto flutuante.
Sistema de ponto flutuante.
Sistema de ponto flutuante.
Um número não poderá ser representado na máquina com sistema de aritmética de 
ponto flutuante se o expoente exp estiver fora dos limites I e S. A máquina acusará
erro de 
“underflow” se exp < I e
“overflow” se exp > S.
N
r
210
11,0 ≠=
N
r
22
1
4
1
100
2525,0 2 ====
N
r
25
1
10
22,0 ≠==
Ex1:
Ex2:
Ex3:
Neste exemplo apenas 0,25 pode ser representado com um 
número finito de dígitos binários.
Geralmente os computadores disponibilizam de 32 bits ou 64 bits (precisão dupla).
11 bits8 bitsexp
52 bits23 bitsmantissa
1 bit1 bitsinal
64 bits32 bits
Instabilidade Numérica!