Introdução ao Cálculo Numérico

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Cálculo numérico
Unidade i
Prof. Julio Cezar Uzinski
uzinski.julio@unemat.br
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@JulioUzinski
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A análise numérica é o estudo de algoritmos de aproximação para a solução de problemas matemáticos. Em geral, os algoritmos numéricos se dividem em diretos, recursivos e iterativos. Os iterativos apresentam uma sucessão de passos visando a convergência para o valor aproximado da solução exata.
O cálculo numérico tem como objetivo estudar e criar algoritmos numéricos para resolução de problemas que podem ser representados por um Modelo Matemático. O objetivo do cálculo numérico é encontrar uma solução aproximada para o problema, mantendo sobre controle os erros associados com essa aproximação.
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Uma das primeiras referências a métodos numéricos consta na tabuleta babilônica YBC 7289, que fornece uma aproximação sexagesimal de , o comprimento da diagonal de um quadrado unitário. A aproximação da raiz quadrada de 2 consiste de quatro algarismos sexagesimais, que estão sobre seis dígitos decimais:
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O objetivo do campo de análise numérica é projetar e analisar técnicas para encontrar soluções aproximadas, porém precisas, para problemas complexos, cuja variedade é demonstrada a seguir.
Métodos numéricos avançados são essenciais para previsões meteorológicas adequadas.
Calcular a trajetória de uma aeronave requer a solução numérica precisa de um sistema de equações diferenciais ordinárias.
Fabricantes de carros podem melhorar a segurança de seus veículos utilizando simulações computacionais de acidentes. Tais simulações consistem essencialmente da resolução de derivadas parciais numericamente.
Fundos de cobertura usam ferramentas de todos os campos da análise numérica para tentar calcular o valor de ações mais precisamente do que outros envolvidos no mercado.
Companhias aéreas usam sofisticados algoritmos de otimização para definir os valores de passagens, pagamentos de funcionários e necessidades de combustíveis. Historicamente, tais algoritmos foram desenvolvidos dentro do campo de pesquisa de operações.
Companhias de seguros usam programas numéricos para análise de riscos.
O resto desta seção destaca diversos temas importantes para a análise numérica.
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Por método numérico entende-se um método para calcular a solução de um problema realizando apenas uma sequência finita de operações aritméticas. 
A obtenção de uma solução numérica para um problema físico através da aplicação de métodos numéricos nem sempre nos dá valores de acordo com o pretendido. A diferença entre o valor obtido (aproximado) e o valor exato é designado por erro. 
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Pretende-se dar uma noção aos utilizadores de métodos numéricos, sobre as fontes de erros, para que se possam eliminar, ou pelo menos, controlar o seu valor. Vamos então descrever o processo de determinação da solução de um problema físico, por meio de métodos numéricos. 
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A resolução de um problema físico utilizando um método numérico produz, em geral, uma solução aproximada do problema. 
A introdução de erros na resolução do problema pode ser devida a vários fatores.
 Em função da sua origem, podemos considerar os diferentes tipos de erros: 
erros iniciais do problema (são exteriores ao processo de cálculo) 
erros inerentes ao modelo matemático 
erros inerentes aos dados 
erros associados ao uso de métodos numéricos (ocorrem no processo de cálculo) 
erros de arredondamento 
erros de truncatura 
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Erros inerentes ao modelo: Um modelo matemático raramente oferece uma representação exata dos fenómenos reais. Na grande maioria dos casos são apenas modelos idealizados, já que ao estudar os fenómenos da natureza vemo-nos forçados, regra geral, a aceitar certas condições que simplificam o problema por forma a torná-lo tratável. Os melhores modelos são os que incluem aquelas características do problema real necessárias para reduzir os erros nesta fase a um nível aceitável.
Erros inerentes aos dados: Um modelo matemático não contém apenas equações e relações, também contém dados e parâmetros que, frequentemente, são medidos experimentalmente, e portanto, aproximadas. As aproximações nos dados podem ter grande repercussão no resultado final. 
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Erros de arredondamento: Quer os cálculos sejam efetuados manualmente quer obtidos por computador ou numa calculadora, somos conduzidos a utilizar uma aritmética de precisão finita, ou seja, apenas podemos ter em consideração um número finito de dígitos. O erro devido a desprezar os outros e arredondar o número é designado por erro de arredondamento. 
Erros de truncatura: Muitas equações têm soluções que apenas podem ser construídas no sentido que um processo infinito possa ser descrito como limite da solução em questão. Por definição, um processo infinito não pode ser completado, por isso tem de ser truncado após certo número finito de operações. Esta substituição de um processo infinito por um processo finito, resulta num certo tipo de erros designado erro de truncatura. Em muitos casos, o erro de truncatura é precisamente a diferença entre o modelo matemático e o modelo numérico. 
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	Decimal	Binário	Octal	Hexadecimal
				
				
				
				
				
				
				
				
				
				
				
				
				
				
				
				
Revisão: Conversão todas bases p/ 10
Revisão: Conversão todas bases p/ 10
Revisão: Conversão todas bases p/ 10
Revisão: Conversão da base 10 p/ 2
Revisão: Conversão da base 10 p/ 8
Revisão: Conversão da base 10 p/ 16
Revisão: Conversão da base c/ inteiros (slide16)
Escrever o numero 1329 em base 5.
Revisão: Conversão da base c/ inteiros (slide16)
Escrever o numero 855 em base 12.
Revisão: Sistema de ponto flutuante
Expoente máximo: longe de zero ( e )
Expoente mínimo: Próximo de zero
Erro: NaN
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Exercícios do Capítulo I do livro Cálculo Numérico: aspectos numéricos e computacionais da Prof Ruggiero
Cálculo numérico
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