ApostilaEstatistica vFev 2016 (4)

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FEVEREIRO/2016
Sumário 
Panorama Histórico ...................................................................................................................... 
O que é Estatística ........................................................................................................................ 
Utilização da Estatística ................................................................................................................ 6 
A Estatística nas Empresas ........................................................................................................... 6 
População e Amostra ................................................................................................................... 7 
Amostragem ................................................................................................................................. 7 
Amostragem Casual ou Aleatória simples ................................................................................. 8 
Amostragem Proporcional Estratificada ................................................................................... 8 
Amostragem Sistemática .......................................................................................................... 8 
Exercícios ................................................................................................................................... 8 
Estatística Descritiva ..................................................................................................................... 
Variáveis ........................................................................................................................................ 
Distribuição de Frequência ........................................................................................................... 
Distribuição de Frequência com Intervalos de Classe ................................................................. 
Elementos de uma Distribuição de Frequência ........................................................................... 
Classe ......................................................................................................................................... 11 
Limites de Classe ....................................................................................................................... 11 
Amplitude Total da Distribuição ................................................................................................ 11 
Ponto Médio de uma Classe ...................................................................................................... 11 
Números de Classes - Intervalos de Classe .................................................................................. 
Resolva .......................................................................................................................................... 
Distribuição de Frequência sem Intervalos de Classe ................................................................. 
Exercícios ...................................................................................................................................... 
Gráficos e Diagramas .................................................................................................................... 
Gráfico Estatístico ...................................................................................................................... 16 
Gráfico em Linha ou em Curva .................................................................................................. 16 
Gráfico Pictográfico ................................................................................................................... 17 
Diagrama de Ramo e Folhas ...................................................................................................... 18 
Gráfico em Colunas ou em Barras ............................................................................................. 19 
Gráfico em Colunas ou em Barras Múltiplas ............................................................................. 20 
Funções e Gráficos ........................................................................................................................ 
 
9
9
9
10
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12
13
14
14
16
21
4
4
1 
Histograma - Variável Discreta ..................................................................................................... 
Polígono de Frequências .............................................................................................................. 
Histograma - Variável Contínua ................................................................................................... 
Exercícios ...................................................................................................................................... 
Medidas de Tendência Central..................................................................................................... 
Média Aritmética ....................................................................................................................... 27 
Dados não-agrupados ........................................................................................................... 27 
Dados agrupados ................................................................................................................... 28 
Resolva ...................................................................................................................................... 28 
A Mediana ................................................................................................................................. 30 
Dados não-agrupados ........................................................................................................... 30 
Dados agrupados ................................................................................................................... 31 
Resolva ...................................................................................................................................... 32 
A Moda ...................................................................................................................................... 34 
Dados não-agrupados ........................................................................................................... 34 
Dados agrupados ................................................................................................................... 34 
Resolva ...................................................................................................................................... 35 
As Expressões Gráficas da Moda ............................................................................................... 35 
Emprego da Moda ..................................................................................................................... 35 
Posição Relativa da Média, Mediana e Moda ........................................................................... 36 
As Separatrizes ............................................................................................................................. 
Os Quartis .................................................................................................................................. 36 
Resolva .................................................................................................................................. 37 
Os Percentis ............................................................................................................................... 38 
Resolva .................................................................................................................................. 38 
Exercícios ...................................................................................................................................39 
Medidas de Dispersão .................................................................................................................. 
Dispersão ou Variabilidade........................................................................................................ 
Amplitude Total ............................................................................................................................ 
Dados não-agrupados ............................................................................................................... 
Dados agrupados ....................................................................................................................... 
Variância e Desvio Padrão ............................................................................................................ 
Introdução ................................................................................................................................. 
Dados não-agrupados ............................................................................................................... 
24
26
25
27
24
36
41
40
40
41
41
42
42
43
2 
Resolva .................................................................................................................................. 
Dados agrupados ....................................................................................................................... 
Resolva .................................................................................................................................. 
Coeficiente de Variação ............................................................................................................ 
Exercícios ................................................................................................................................... 
Probabilidade ................................................................................................................................ 
Introdução ................................................................................................................................. 
Experimento Aleatório .............................................................................................................. 
Espaço Amostral ........................................................................................................................ 
Eventos ...................................................................................................................................... 
Probabilidade ............................................................................................................................ 
Eventos Complementares ......................................................................................................... 
Eventos Independentes ............................................................................................................. 
Eventos Mutuamente Exclusivos .............................................................................................. 
Exercícios ................................................................................................................................... 
Distribuição Binomial e Normal ................................................................................................... 
Variável Aleatória ...................................................................................................................... 
Distribuição de Probabilidade ................................................................................................... 
Distribuição Binomial ................................................................................................................ 
Exercícios ................................................................................................................................... 
Distribuição Normal e Curva Norma ........................................................................................... 
Exercícios ................................................................................................................................... 
Listas de Exercícios ....................................................................................................................... 
Correlação e Regressão ................................................................................................................ 
Resolva ...................................................................................................................................... 
Exercícios ................................................................................................................................... 
Excel 2010 ..................................................................................................................................... 
Apêndice ....................................................................................................................................... 
Bibliografia .................................................................................................................................... 
 
 
 
 
 
44
43
44
46
46
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70
74
80
83
91
80
92
3 
Panorama Histórico
Todas as ciências tem suas raízes na história do homem, na sua busca do conhecer e
conhecer-se.
A Matemática considerada "a ciência que une à clareza do raciocínio a síntese da
linguagem", originou-se do convívio social, das trocas, da contagem, com caráter prático,
utilitário e empírico.
A Estatística, ramo da Matemática Aplicada teve origem semelhante.
Desde a Antiguidade vários povos já registravam o número de habitantes, de
nascimentos, de óbitos, faziam estimativas das riquezas individuais e sociais, distribuíam
equitativamente terras ao povo, cobravam impostos e realizavam inquéritos quantitativos
por processos que hoje chamaríamos de "estatísticas".
O termo Estatística provém da palavra Estado e foi utilizado originalmente para
denominar levantamentos de dados, cuja finalidade era orientar o Estado em suas decisões,
neste sentido foi utilizado em épocas remotas para determinar o valor dos impostos
cobrados dos cidadãos, para determinar a estratégia de uma nova batalha em guerras que se
caracterizavam por uma sucessão de batalhas. (Era fundamental aos comandantes saber de
quantos homens, cavalos e armas etc., dispunham após a últimabatalha).
Na Idade Média colhiam-se informações, geralmente com finalidades tributárias ou
bélicas. A partir do século XVI começaram a surgir as primeiras análises sistemáticas de
fatos sociais, como batizados, funerais, originando as primeiras tábuas e tabelas e os
primeiros números relativos.
No século XVIII o estudo de tais fatos foi adquirindo, aos poucos uma conotação
verdadeiramente científica. Godofredo Achenwall batizou a nova ciência (ou método) com
o nome de Estatística, determinando seus objetivos e suas relações com as ciências.
As tabelas tomaram-se mais completas, surgiram as representações gráficas e o
cálculo das probabilidades, e a Estatística deixou de ser simples catalogação de dados
numéricos coletivos, para se tornar o estudo de como chegar a conclusões sobre o todo
(população), partindo da observação de partes desse todo (amostras).
Ela não alcançou ainda um estado definitivo. Continua a progredir na razão direta
do desejo de investigação dos fenómenos coletivos.
Atualmente os estudos estatísticos têm avançado rapidamente e, com seus processos
e métodos, têm servido como auxiliar na tomada de decisões, contribuído para a
organização dos negócios e recursos do mundo moderno.
O QUE É ESTATÍSTICA?
Ogoverno informa que a renda média de uma família de cinco pessoas aumentou
3% de um ano para cá.
Um professor comunica à classe que a nota média na avaliação de matemática foi
7,0.
4 
O meteorologista informa que a probabilidade de chover amanhã é de 30%.
Uma indústria de cosméticos, através de uma pesquisa constatou a probabilidade de
vendas de 90% de sua produção mensal.
As vésperas de uma eleição a televisão anuncia o provável vencedor de uma
eleição, em que inclui uma estimativa da diferença percentual do 2o candidato.
Aqui estão algumas formas do uso da Estatística.
A Estatística é uma parte da Matemática Aplicada que fornece métodos para a
coleta, organização, descrição, análise e interpretação de dados e para a
utilização dos mesmos nas tomadas de decisões.
Em geral, as pessoas, quando se referem ao termo estatística, o fazem no sentido da
organização e descrição dos dados (estatística do Ministério da Saúde, estatística dos
acidentes de tráfego, etc.) desconhecendo que o aspecto essencial da Estatística é o de
proporcionar métodos inferenciais, que permitam conclusões que transcendam os
dados obtidos inicialmente.
Portanto, análise e a interpretação dos dados estatísticos tornam possível o
diagnóstico de uma empresa (por exemplo, de uma escola), o conhecimento de seus
problemas (condições de funcionamento, produtividade), a formulação de soluções
apropriadas e um planejamento objetivo de ação.
Quando algumas pessoas ouvem a palavra "estatística", imaginam logo taxas de
acidentes, índices de nascimentos e mortalidade, litros por quilómetros, etc. Esta parte da
Estatística, que utiliza números para descrever fatos, é chamada, de forma bastante
apropriada, estatística descritiva. Compreende a organização, o resumo e, em geral, a
simplificação de informações que podem ser muito complexas.
A probabilidade é outro ramo da Estatística, e é útil para analisar situações que
envolvem o acaso. Jogos de dados e de cartas, ou o lançamento de uma moeda para o ar,
enquadram-se na categoria do acaso. A decisão de um fabricante de desodorante de
empreender uma grande campanha de propaganda visando a aumentar sua participação no
mercado, a decisão de parar de imunizar pessoas com mais de vinte anos contra
determinada doença, a decisão de arriscar-se a atravessar uma rua no meio do quarteirão;
todas utilizam a probabilidade de uma forma consciente ou inconsciente.
Por que estudar Estatística?
- O raciocínio estatístico é largamente utilizado em empresas públicas ou
privadas, assim é provável que, no futuro, um empregador venha a contratar ou
promover o leitor por causa de seu conhecimento de estatística.
- Os administradores necessitam do conhecimento da estatística para bem tomar
suas decisões e para evitar serem iludidos por certas apresentações viciosas.
- A maioria das revistas profissionais e outras contém referências frequentes a
estudos estatísticos.
- Disciplinas e cursos subsequentes utilizam a análise estatística.
- Análises de varias pesquisas, tanto nas empresas, como na área académica em
pesquisas científicas na produção do conhecimento.
- Muitas informações advindas da mídia em geral, tanto quanto muitas
experiências cotidianas, exigem para a sua interpretação e compreensão de
conhecimentos estatísticos.
5 
UTILIZAÇÃODA ESTATÍSTICA
No mundo atual as aplicações da Estatística se desenvolveram de tal forma que
praticamente todos os campos de estudo se beneficiam da utilização de métodos
estatísticos. Temos alguns exemplos da utilização da Estatística:
*
As empresas fornecem melhores produtos a custos menores através de técnicas de
controle de qualidade.
*
Controlam-se doenças com auxílio de análises que antecipam epidemias.
*
Com a finalidade de reduzir as taxas de casos fatais, os legisladores tem melhores
e mais seguras justificativas para leis como as que regem inspeções de veiculos, utilização
de cintos de segurança, assim como dirigir em estado de embriagues.
*
Estimativas estatísticas a respeito da modificação do tamanho de determinadas
populações, protegem espécies ameaçadas de extinção.
A ESTATÍSTICA NAS EMPRESAS
A direção de uma empresa, de qualquer área, incluindo as estatais e governamentais,
exige de seu administrador a importante tarefa de tomar decisões, e o conhecimento e o
uso da Estatística facilitarão seu tríplice trabalho de organizar, dirigir e controlar a empresa.
Por meio de sondagem, de coleta de dados e de recenseamento de opiniões,
podemos conhecer a realidade geográfica e social, os recursos naturais, humanos e
financeiros disponíveis, as expectativas da comunidade sobre a empresa, e estabelecer suas
metas, seus objetivos com maior possibilidade de serem alcançados a curto, médio ou
longo prazo.
A estatística ajudará em tal trabalho, como também na seleçâo e organização da
estratégia a ser adotada no empreendimento e, ainda, na escolha das técnicas de verificação
e avaliação da quantidade e da qualidade do produto e mesmo dos possíveis lucros e/ou
perdas.
Tudo isso que se pensou, que se planejou, precisa ficar registrado, documentado
para evitar esquecimentos, a fim de garantir o bom uso do tempo, da energia e do material
e, ainda para um controle eficiente do trabalho
O esquema do planejamento é o plano, que pode ser resumido, com auxílio da
Estatística em tabelas e gráficos, que facilitarão a compreensão visual dos cálculos
matemático-estatísticos que lhes deram origem.
O ser humano de hoje, em suas múltiplas atividades, lança mão de processos e
técnicas estatísticas, e só estudando-os evitaremos o erro das generalizações apressadas a
respeito de tabelas e gráficos, apresentados em jornais, revistas, televisão e internet,
frequentemente cometidos quando se conhece apenas "por cima" um pouco de Estatística.
O estudo da Estatística pode tornar o (a) aluno (a) mais reflexivo e crítico em sua análise de
informações, possibilitando interagir de uma forma plena e consciente na sociedade em que
vive, colaborando para um mundo mais humanizado.
6 
População e amostra
Ao conjunto de entes portddores de, peto menos, uma característica comum denominamos
populaçãoestatística ou universo estatístico.
Assim, os estudantes, por exemplo, constituem uma população,pois apresentam pelo -
menos uma característica comum: são os que estudam.
Como em qualquer estudo estatístico, temos em mente pesquisar uma ou mais carac¬
terísticas dos elementos de alguma população, esta característica deve estar perfeitamente
definida. E isto se dá quando, considerado um elemento qualquer, podemos afirmar, sem
ambiguidade, se esse elemento pertence ou não à população. E necessário, pois, existir um
critério de constituição da população,válido para qualquer pessoa,no tempo ou no espaço.
Por isso, quando pretendemos fazer uma pesquisa entre os alunos das escolas de l2
grau, precisamos definir quais são os alunos que formam o universo: os que atualmente
ocupam as carteiras das escolas, ou devemos incluir também os que já passaram pela es¬
cola? É claro que a solução do problema vai depender de cada caso em particular.
Na maioria das vezes, por impossibilidade ou inviabilidade económica ou temporal,
limitamos as observações referentes a uma determinada pesquisa a apenas uma parte da
população.A essa parte proveniente da população em estudo denominamos amostra.
Uma amostra ÿ:> um subconjunto finito dé uma população.
Como vimos nó capítulo anterior, a Estatística Indutiva tem por objetivo tirar con¬
clusões sobre as populações, com base em resultados verificados em amostras retiradas
dessa população.
Mas, para as inferências serem corretas, é necessário garantir que a amostra seja re¬
presentativa da população,isto é,a amostra deve possuir as mesmas características básicas
da população, no que diz respeito ao fenómeno que desejamos pesquisar. É preciso,pois,
que a amostra ou as amostras que vão serusadas sejam obtidas por processos adequados.
Há casos, como o de pesquisas sociais, económicas e de opinião, em qíie os proble¬
mas de amostragem são de extrema complexidade. Mas existem também casos em que
os problemas de amostragem são bem mais fáceis. Como exemplo, podemos citar a reti¬
rada de amostras para controle de qualidade dos produtos ou materiais de determinada
indústria. •
Amostragem
Existe uma técnica especial — amostragem — para recolher amostras, que garante,
tanto quanto possível, o acaso na e'Scolha.
Dessa forma, cada elemento da população passa a ter a mesma chance de ser esco¬
lhido,o que garante à amostra o caráter de representatividade, e isto é muito importante,
pois, como vimòs, nossas conclusões relativas à população vão estar baseadas nos resulta¬
dos obtidos nas amostras dessa população.
Daremos,a seguir, três das principais técnicas de amostragem.
7 
Amostragem casual ou aleatória simples
Este tipo de amostragem é equivalente a um sorteio lotérico.
Na prática, a amostragem casual ou aleatória simples pode ser realizada nu-
merando-se a população de 1a n e sorteando-se, a seguir, por meio de um dispositivo
aleatório qualquer, k números dessa sequência, os quais corresponderão aos elementos
pertencentes à amostra.
Amostragem proporcional estratificada
Muitas vezes a população se divide em subpopulações-— estratos.
Como é provável que a variável em estudo apresente, de estrato em estrato, um
comportamento heterogéneo e, dentro de cada estrato, um comportamento homogéneo,
convém que o sorteio dos elementos da amostra leve em consideração tais estratos.
/
E exatamente isso que fazemos quando empregamos a amostragem proporcional
estratificada, que, além de considerar a existência dos estratos, obtém os elementos da
amostra proporcional ao número de elementos dos mesmos.
Amostragem sistemática
Quando os elementos da população já se acham ordenados, não há necessidade de
construir o sistema de referência. São exemplos os prontuários médicos de um hospital,
os prédios de uma rua, as Unhas de produção etc. Nestes casos, a seleção dos elementos
que constituirão a amostra pode ser feita por um sistema imposto pelo pesquisador.A esse
tipo de amostragem denominamos sistemática.
Assim, no caso de uma Unha de produção,podemos, a cada dez itens produzidos, re¬
tirar umpara pértencer a uma amostra da produção diária. Neste caso, estaríamos fixando
o tamanho da amostra em 10% da população.
Exercícios
3 diretor de uma escola, na qual estão ma¬
triculados 280 meninos e 320 meninas, de¬
sejoso de conhecer as condições de vida
extraescolar de seus alunos e não dispondo
de tempo para entrevistar todas as famílias,
resolveu fazer um levantamento, por amos¬
tragem, em 10% dessa clientela. Obtenha,
!
para esse diretor, os elementos componen¬
tes da amostra.
ESCOLAS
N° DE ESTUDANTES
MASCULINO FEMININO
A 80 95
B 102 120
C 110 92
D 134 728
fc 150 130
F 3C0 290
Tolal 876 | 955
2. Uma cidade X apresenta o seguinte quadro
relativo às suas escolas de 1a grau:
Obtenha uma amostra proporcional estrati¬
ficada de 120 estudantes.
Uma população encontra-se dividida em
três estratos, com tamanhos, respectiva¬
mente, n, = 40, n2 = 100 e n3 = 60. Saben¬
do que, ao ser realizada uma amostragem
estratificada proporcional, nove elementos
da amostra foram retirados do 3a estrato,
determine o número total de elementos da
amostra.
4 Mostre como seria possível retirar uma
amostra de 32 elementos de uma população
ordenada formada por 2.432 elementos.
Na ordenação geral, qual dos elementos
abaixo seria escolhido para pertencer à
amostra, sabendo-se que o elemento de or¬
dem 1.420a ela pertence?
1.648a, 290a, 725a, 2.025a, 1.120a.
8 
ESTATÍSTICA DESCRITIVA
Conceitos de alguns termos:
* População: como sendo o conjunto de todos os itens (pessoas, coisas, objetos)
que interessam ao estudo de um fenómeno coletivo segundo alguma característica.
*
Amostra: qualquer subconjunto não vazio de uma população.
*
Censo: é uma avaliação direta de um parâmetro, utilizando-se todos os
componentes da população.
*
Um parâmetro: é uma medida numérica que descreve a característica de toda
uma população.
*
Uma estatística: é uma medida numérica que descreve a característica de uma
amostra.
Exemplo:
Em uma pesquisa de intenção de votos com 1200 pessoas escolhidas ao acaso, 282
(ou 23,5%) votaram no Candidato A.
Como a porcentagem de 23,5% se baseia em uma amostra, e não em toda a
população, trata-se de uma estatística (e não de um parâmetro).
VARIÁVEIS
A cada fenómeno corresponde um número de resultados possíveis.
Variável é, convencionalmente o conjunto de resultados possíveis de um
fenómeno.
As variáveis podem ser:
* Qualitativa - quando seus valores são expressos por atributos, sexo (masculino —feminino), cor da pele (branca, preta, amarela, vermelha, parda), etc.
* Quantitativa - quando seus valores são expressos em números (salários dos
operários, idade dos alunos de uma escola, etc.)
Podemos ainda descrever as variáveis quantitativas entre os tipos discretos e
contínuos:
* Variáveis quantitativas discretas: cujos possíveis valores formam um conjunto
finito ou enumerável de números que resultam frequentemente de uma contagem, como por
exemplo número de filhos.
* Variáveis quantitativas contínuas: cujos possíveis valores formam um intervalo
de números reais e que resultam de uma mensuração como por exemplo estatura ou a massa
de um indivíduo.
DISTRIBUIÇÃO DE FREQUÊNCIA
Frequência é o número de vezes que ocorre determinado fenómeno.
Distribuição de Frequência: é a tabela em que se resumem grandes quantidades de
dados, determinado o número de vezes que cada dado ocorre (frequência absoluta) e a
porcentagem com que aparece (frequência relativa).
9 
Isso proporciona uma forma de visualizar um conjunto de números sem precisar
levar em conta os números individuais, e pode ter grande utilidade quando precisamos lidar
com grande quantidade de dados. Uma distribuição de frequência pode ser apresentada sob
forma gráfica ou tabular.
Dados brutos: é uma sequência de valores numéricos não organizados, obtidos
diretamente da observação de um fenómeno coletivo.
Rol: são dados organizados numericamente, em ordem crescente ou decrescente.
Rol é uma sequência ordenada dos dados brutos.
Tipos de frequências
Frequênciassimplesouabsolutas (f)são os valores que realmente representamo número
de dados de cada classe.
Frequências relativas (fr.) são os valores das razões entre as frequências simples e a fre¬
quência total:
"ÿ'à
W&, ~ '* " 1 : * * !'a . 1 ÿ > • •" . .
Frequênciaacumulada (F.) é o total das frequências de todos os valores inferiores ao limite
superior do intervalode uma dada classe:
Fk =f!+f2+-+fk
ou
Fk =£f (i= 1,2 k)
Frequênciaacumuladarelativa (Fr.) de umaclasse é a frequência acumulada da classe, divi¬
dida pela frequência total da distribuição:
F,=X
• 2',
DISTRIBUIÇÃO DE FREQUÊNCIA COM
INTERVALOSDE CLASSE
Exemplo:
A tabela abaixo fornece a estatura de 40 alunos de uma 8a série A de um colégio, de
acordo com a distribuição de frequência com intervalo de classe:
ESTATURAS DE 40 ALUNOS
DO COLÉGIO A
ESTATURAS
(cm) FREQUÊNCIA
150 h 154 4
154 h 158 9
158 h 162 11
162 i- 166 8
166 f— 170 5
170 i- 174 3
Total 40
10 
Classe
ELEMENTOS DEUMADISTRIBUIÇÃO
DEFREQUÊNCIA
Classes de frequência ou, simplesmente, classes são intervalos de
variação da variável.
A's classes são representadas simbolicamente por i, sendo i= 1, 2, 3, .... k
(onde k é o número total de classes da distribuição).
Assim, em nosso exemplo, o intervalo 154 h 158 define a segunda classe
(i = 2). Como a distribuição é formada de seis classes, podemos afirmar que
k = 6.
Limites de classe
Denominamos limites de classe os extremos de cada classe.
O menor número é o limiteinferior da classe (?,) e o maior número, o
limite superior da classe (L).
Amplitude de um intervalo de classe ou, simplesmente, intervalo
lasse é a medida do intervalo que define a classe.
£la é obtida pela diferença entre os limites superior e inferior dessa clasf>*-
iftdicada por- hj. Assim:
h,i= L-t
Amplitude totalda distribuição
Amplitude total da distribuição (AT).é a diferença entre o limite
erior da última classe (limite superior máximo) e o limite inferior
primeira classe (limite inferior mínimo):
AT = L(máx.) - ( (min.)
AT
Pontomédio de uma classe
Ponto médio de uma classe (x,) é, como o próprio nome indica, o
ponto que divide o intervalo de classe em duas partes iguais.
Para obtermos o ponto médio de uma classe, calculamos a semi-soma doslimites da classe (média aritmética):
í. + LX. =-!
-
L
2
NOTA:
• O ponto médio de uma classe é o valor que a representa.
11 
NhínAgggç dp (Lflsseb, - -Lmrec v fl l.q£ dp Ciassg
A primeira preocupação que temos, na construção de uma distribuição de
frequência, é a determinação do número de classes e, consequentemente, da
amplitude e dos limites dos intervalos de classe.
Para a determinação do número de classes de uma distribuição podemos
lançar mão da regra de Sturges, que nos dá o número de classes em função
do número de valores da variável:
i = 1 + 3,3 . log n
onde:
ié o número de classe;
n é o número total de dados.
Essa regra nos permite obter a seguinte tabela:
TABELA
n i
3 h 5 3
6 M 11 4
12 h 22 5
23 h 46 6
47 h 90 7
91 h 181 8
182 h 362 9
Além da regra de Sturges, existem outras fórmulas empíricas que preten¬
dem resolver o problema da determinação do número de classes que deve ter a
distribuição*. Entretanto, a verdade é que essas fórmulas não nos levam a uma
decisão final; esta vai depender, na realidade, de um julgamento pessoal, que
deve estar ligado à natureza dos dados, da unidade usada para expressá-los e.
ainda, do objetivo que se tem em vista, procurando, sempre que possível, evitar
classe com frequência nula ou com frequência relativa** muito exagerada etc.
Decidido o número de classes que deve ter a distribuição, resta-nos re¬
solver o problema da determinação da amplitude do intervalo de classe, o que
conseguimos divivindo a amplitude total pelo número de classes:
h == —
i
Quando o resultado não é exato, devemos arredondá-lo para mais.
Outro problema que surge é a escolha dos limites dos intervalos, os quais
deverão ser tais que forneçam, na medida do possível, para pontos médios,
números que facilitem os cálculos
— números naturais.
12 
Considerando a Tabela, podemos montar a seguinte tabela com as fre¬
quências estudadas:
TABELA
i ESTATURAS(cm) f, x, fr.i F, Fb
1 150 i— 154 4 152 0,100 4 0,100
2 154 i— 158 9 156 0,225 13 0,325
3 158 i— 162 11 160 0,275 24 0,600
4 162 t— 166 8 164 0,200 32 0,800
5 166 t— 170 5 168 0,125 37 0,925
6 170 h- 174 3 172 0,075 40 1,000
X = 40 X = 1,000
O conhecimento dos vários tipos dc frequência ajuda-nos a responder a
muitas questões com relativa facilidade, como as seguintes:
a. Quantos alunos têm estatura entre 154 cm, inclusive, e 158 cm?
Esses são os valores da variável que formam a segunda classe. Como
f, = 9, a resposta é: 9 alunos.
b. Qual a percentagem de alunos cujas estaturas são inferiores a 154 cm?
Esses valores são os que formam a primeira classe. Como fr, = 0,100,
obtemos a resposta multiplicando a frequência relativa por 100:
0,100 X 100 = 10
Logo, a percentagem,de alunos é 10%. ....
c. Quantos alunos têm estatura abaixo de 162 cm?
E evidente que as estaturas consideradas são aquelas que formam as
classes dc ordem 1, 2 e 3. Assim, o número de alunos é dado por:
3
f, + W3-,Ç, fi = F3=24
Portanto, 24 alunos têm estatura abaixo de 162 cm.
d. Quantos alunos têm estatura não-inferior a 158 cm? O número de alu¬
nos é dado por:
Ou então:
X f. = f, + f, + f + f = 11 + 8 + 5 + 3 = 27i
-
3 13 4 5 6 6
RESOLVA
1 As notas obtidas por 50 alunos de uma classe foram:
1234566778
2334566788
2344566789
2345566789
2345567789
a. Complete a distribuição de frequência abaixo:
X f. - F, = n - F,= 40 - 13 = 27
/ NOTAS f,
7 01-2 7 7
2 21-4
3 4 b 6
4 61-8
5 8 b 70
Z f, = 50
b. Agora, responda:
1. Qual a amplitude amostrai?
2. Qual a amplitude da distribuição?
3. Qual o número de classes da distribuição?
4. Qual o limite inferior da quarta classe?
5. Qual o limite superior da classe de ordem 2?
6 Qual a amolitude do segundo intervalo de classe?
13 
Se a
cisão.
vel contínua
Esse tratamento
1
2
DISTRIBUIÇÃO DE FREQUÊNCIA SEM
INTERVALOSDE CLASSE
Quando se trata de variável discreta de variação relativamente pequena,
cada valor pode ser tomado como um intervalo de classe (intervalo degenera¬
do) e, nesse caso, a distribuição é chamada distribuição sem intervalos de
classe, tomando a seguinte forma:
TABELA
x, f.
x. f,
X,
X
n fn
If.= n1
Seja x a variável "número de cómodos das casas ocupadas por vinte fa¬
mílias entrevistadas":
TABELA
i x, f,
1 2 4
2 3 7
3 4 5
4 5 2
5 6 1
6 7 1
I= 20
TABELA com os vários tipos de frequência, temos:
i x, f, fh F.1
1 2 4 0,20 4 0,20
2 3 7 0,35 11 0,55
3 4 5 0,25 16 0,80
4 5 2 0,10 18 0,90
5 6 1 0,05 19 0,95
6 7 1 0,05 20 1,00
I= 20 I= 1,00
Variável toma numerosos valores distintos, é comum tratá-la como uma variá-
Ibrmantlo intervalos de classe de amplitude diferente de um.
(arbitrário) abrevia o trabalho, mas acarreta alguma perda de pre-
SXEHGÍGIOS
Um dado foi jogado 20 vezes, sendo obtidos os seguintes pontos:
1. 5. 6. 5. 2. 2. 2. 4, 6. 5,
2. 3, 3. 1, 6, 6. 5. 5. 4, 2 v
Elaboreumquadrocomdistribuição de frequências absolutas, frequências absolutas acumuladas,
frequências relativas e frequências relativas acumuladas.
Observando o tabela do exercício 1, responda:
a) Quantas vezes o número 2 foi obtido no dado?
b) Quantas vezes o número obtido no dado foi menor que 5?
c) Qual o índiceem % em que o número 6 foi obtido no dado?
d) Qual o índice em % em que números maiores que 4 foram obtidos no dado?
A tabela abaixo mostra a média dos 25 alunos da 13 série do curso colegial de umdeterminado
colégio,-em Física, no primeiro bimestre de um determinado ano.
Ns do
aluno
01 02 03 04 05 06 07 03 09 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25
Médias 4,0 7,0 5,0 5,0 5.0 4,0 9,0 4,0 5.0 6,0 6,0 7,0 6,0 6,0 5,0 A.O 4.0 3,0 7.0 6.0 6.0 8,0 5,0 5,0 8,0
Tomando como extremos a menor e a maior nota:
a) Elabore um quadro de frequências absolutas, de freqúências absolutas acumuladas, de
frequências relativas e de freqúências relativas acumuladas,
14 
3
4
b) Quantos alunos obtiveram média 6.0 ?
c) Quantos alunos obtiveram média menor que 6,0 ?
d) Quantos alunos obtiveram média superior a 6,0 ?
e) Qual o índice em % de reprovação em Física neste bimestre ?
0 Qual o índice em % de alunos que obtiveram média maior que 7.0 ?
g) Qualo índiceem %de alunos que obtiveram médiomaior ou iguala5.0e menorque 7,0 ?
A tabela abaixo apresenta as vendas diárias de um determinado aparelho
elétrico, durante um mês, por uma firma comercial:
14 12 11 13 14 13
12 14 13 14 11 12
12 14 10 13 15 11
15 13 16 17 14 14
Forme uma distribuição de frequência sem intervalos de classe.
Dada a distribuição de frequência:
X| 3
_
4 5
_
6
_
7
_
8
_
f. 2 5 12 10 8 3
determine:
a. If,;
b. as frequências relativas;
c. as frequências acumuladas;
d. as frequências relativas acumuladas.
5 Complete a tabela abaixo:
i CLASSES f.
•
F, Fr,
1 0 h 8 4 ....
2 8 H 16 10 ....
3 16 H 24 14 ....
4 24 H 32 9 .... ....
5 32 H 40 3 ....
X = 40 I= 1,00
6 Considerando as notas de um teste de inteligência aplicado a 100 alunos:
64 78 66 82 74 103 78 86 103 87
73 95 82 89 73 92 85 80 81 90
78 86 78 101 85 98 75 73 90 86
86 84 86 76 7683 103 86 84 85
76 80 92 102 73 87 70 85 79 93
82 90 83 81 85 72 81 96 81 85
68 96 86 70 72 74 84 99 81 89
71 73 63 105 74 98 78 78 83 96
95 94 88 62 91 83 98 93 83 76
94 75 67 95 108 98 71 92 72 73
Forme uma distribuição de frequência.
7 A tabela abaixo apresenta uma distribuição de frequência das áreas de 400
lotes:
ÁREAS
(m2) 300 h 400 i- 500 h 600 h 700 H 800 i- 900 h 1.000h 1.100 t- 1.200
NB DE
LOTES
14 46 58 76 68 62 48 22 6
Com referência a essa tabela, determine:
a. a amplitude total;
b. o limite superior da quinta classe;
c. o limite inferior da oitava classe;
d. o ponto médio da sétima classe;
e. a amplitude do intervalo da segunda classe;
f. a frequência da quarta classe;
g. a frequência relativa da sexta classe;
h. a frequência acumulada da quinta classe;
i. o numero de lotes cuja área não atinge 700 m2;
j. o número de lotes cuja área atinge e ultrapassa 800 m2;
I. a percentagem dos lotes cuja área não atinge 600 m2;
m. a percentagem dos lotes cuja área seja maior ou igual a 900 m2;
n. a percentagem dos lotes cuja área é de 500 m2, no mínimo, mas inferior
a 1.000 m2;
o. a classe do 72s lote;
p. até que classe estão incluídos 60% dos lotes.
15 
Gráfica estatístico
O gráfico estatístico é uma forma de apresentação dos dados estatísticos, cujo objeiivo é o
de produzir, no investigador ou no público em geral, uma impressão mais rápida e viva do
fenómeno em estudo,já que os gráficos falam mais rápido à compreensão que as séries.
Gráfico em linha ou em curva
Este tipo de gráfico se utiliza da linha poligonal para representar a série estatística.
O gráfico em linha constitui uma aplicação do processo de representação das fun¬
ções num sistema de coordenadas cartesianas.
Para tornar bem clara a explanação, consideremos a seguinte série:
PRODUÇÃO BRASILEIRA
DE ÓLEO DE DENDÊ
1987-92
ANOS QUANTIDADE(1.0001)
1967 39.3
1988 39.1
1969 53,9
1990 65,1
1991 69.1
1992 595
FONTE:Agropalma.
Vamos tomar os anos como abscissas e as quantidades como ordenadas.
Assim, um ano dado (x) e a respectiva quantidade (y) formam um par ordenado (x,
y), que pode ser representado num sistema cartesiano.
Determinados, graficamente, todos os pontos da série, usando as coordenadas, li¬
gamos todos esses pontos, dois a dois, por segmentos de reta, o que irá nos dar uma
poligonal,que é o gráfico em linha ou em curva correspondente à série em estudo
mil
toneladas
7u
60
50
40
30
20
10
0
PRODUÇÃO BRASILEIRA
DE ÓLEO DE DENDÊ
1987-92
>/
J/f
•
1987 88 89
FONTF; Aaropalma.
90 91 92,
FIGURA 4.1
NOTAS:
• No exemplo dado, ozero foi indicado noeixo vertical, mas, por razões óbvias, não foi in¬
dicado noeixo horizontal. Observe que o zero,de modo geral,deverá ser indicado sem
preque possível, especialmente no eixo vertical. Se, por alguma razão,for impossível tat
Indicaçãoe se essa omissão puder levar o observador a conclusõeserróneas, é prudente
chamar a atenção para a omissão por um dos meios indicados nas Figuras 4.2, 4.3 e 4.4:
RS
100
98
97
96
0
19fi&
r A
[~T r—ii
100
99
98
Ri RS
~n
— 1
L- .
8? 88 89 90
FIGURA 4.2
1986 67 88 89 .90
FIGURA 4.3
<00
99
98
97
96
0
1986
ÿ
H\1l
87 88 89 90
FIGURA 4.4
16 
Gráfico Pictórico
Gráfico PictográficoExemplo:
Para a série:
POPULAÇÃO DO BRASIL
1960-90
ANOS HABn-ANtES m
(milhares)
1960 70.070,4
1970 93.139.0
1980 118 562.5
1990 1S5.822.4
FONTE: IBGE.
temos a seguinte representação pictórica:
POPULAÇÃO DO BRASIL
1960-90
Cada símbolo representa 20.000.000 de habitantes.
FONTE: IBGE.
Na verdade,o gráfico referente à Figura 4.14 é essencialmente um gráfico em barras
porém, as figuras o tornam mais atrativo, o que, provavelmente, despertará a atenção dc
leitor para o seu exame.
Na confecção de gráficos pictóricos temos de utilizar muita criatividade,procurandc
obter uma otimização na união da arte com a técnica. Eis alguns exemplos:
17 
Diagrama de Ramo e Folhas
Em vim diagrama de ramo-e-foihas, cada número é separado em um ramo (por
exemplo, as entradas dos dígitos na extremidade esquerda) e uma folha (por exemplo,
o dígito mais à direita). Você deve ter tantas folhas quanto entradas no conjunto de j
dados original. Um diagrama de ramo-e-folhas é similar a um histograma, mas tem a
vantagem de que o gráfico ainda contém os valores originais dós dados. Outra van¬
tagem de um diagrama de ramo-e-folhas é que ele fornece uma maneira rápida de se
classificar dados.
Exemplo I
Construindo um diagrama ramo-e-folhas
A seguir, temos os números de mensagens de texto enviadas no mês passado por ;
usuários de telefonia celular em um andar de um dormitório universitário.
155 159 144 129 105 145 126 116 130 114 122 112 112 142 126
118 118 108 122 121 109 140 126 119 113 117 118 109 109 119
139 139 122 78 133 126 123 145 121 134 124 119 132 133 124
129 112 126 148
*
147
-
Solução
Em razão de as entradas de dados irem de um número baixo (78) para um número
alto (159),Você deve usar valores de ramo de 7 a 15. Para construir o diagrama, liste
esses ramos à esquerda de uma linha vertical. Para cada entrada de dados, liste uma
folha à direita de seu ramo. Por exemplo, a entrada 155 tem um ramo de 15 e
uma folha de 5. O diagrama ramo-e-folhas será desordenado. Para obter o diagrama
ramo-e-folhas, reescreva o diagrama com folhas em ordem crescente da esquerda
para a direita. É importante incluir uma chave para o gráfico para identificar os va¬
lores dos dados.
Número de mensagens
de texto enviadas
Número de mensagens
de texto enviadas
7 8- Chave: 15 1 5=155 7 8 Chave: 15 15=
-8 . 8'
9 9
10 58999 10 58999
11 6422889378992 11 2223467888999
12 962621626314496 12 112223446666699
13 0993423 13 0233499
14 4520587 14 0245578
15 59 15 59
Importante
Você pode usar os diagramas
de ramo-e-folhas para iden¬
tificar valores de dados inco-
muns chamados de valores
discrepantes. No Exemplo 1,
ovalor dedados 78é umvalor
discrepante. Você aprenderá
mais sobre isso na Seção 2.3!
Diagrama ramo-e-folhas desordenado Diagrama ramo-e-folhas ordenado
18 
Gráfico em colunas ou em barras
É*a representação de uma série por meio de retângulos, dispostos verticalmente
(em colunas) ou horizontalmente (em barras).
Quando em colunas, os retângulos têm a mesma base e as alturas são proporcionais
aos respectivos dados.
Quando em barras,os retângulos têm a mesma altura e os comprimentos são propor¬
cionais aos respectivos dados.
Assim estamos assegurando a proporcionalidade entre as áreas dos retângulos e os
*" . r
dados estatísticos. •
Exemplos:
a. Gráfico em colunás
PRODUÇÃO BRASILEIRA
DE CARVÃO MINERAL BRUTO
1989-92
ANOS
QUANTIDADE
PRODU2IDA
(1.0001)
1989 18.196
FONTE: Ministério da Agricultura.
b. Gráfico em barras
EXPORTAÇÕES BRASILEIRAS
MARÇO— 1995
"
' * ESTADOS VALOR
(USS milhões)
São Paulo 1.344
Minas Gerais 542
mil
toneladas
20.000
15.000
10.000
5.000 "
PRODUÇÃO BRASILEIRA DE
CARVÃO MINERAL BRUTO
1QHQ-Q7
1989 1990
.FONTE: Ministério da Agricultura.
FIGURA 4.7
1991 1992
EXPORTAÇÕES BRASILEIRAS
MARÇO
—
1995
São Paulo
Minas Gerais
Rio Grande do Sul
Espírito Santo
Paraná
Santa Catarina
FONTE: SECEX.
I I-
500 _ 1.000
milhões dólares
FIGURA 4.8
1.500
19 
Gráfico em colunas ou em barras múltiplas
Este tipo de gráfico é geralmente empregado quando queremos representar, simulta¬
neamente, dois ou mais fenómenos estudados com o propósito de comparação.
Exemplo:
BALANÇA COMERCIAL DO BRASIL
1989ÿ93
ESPECIFICAÇÕES VALOR ÍUSS
Í.GOÍI.OOO)
19B9 1990 199T 1992 1993
Exportação IFOB1 M.383 3T.Ã14 31.620 3S.793 18.783
.1itipuftjçao IH2&J 51fyii 20.554 25.711
FONTE: Ministério da Fazenda.
US$ milhão
40orm
wrinn
20.0(10
100(10BALANÇA COMERCIAL
RPASII _iqsQ-qa
1989 1990 1991
FONTE: Ministério da Fazenda. B exportação
FIGURA 4 9
1992 1993
ÿ importação
O total é representado pelo círculo, que fica dividido em tantos setoreS quantas são
as partes.
Os setores são tais que suas áreas são respectivamente proporcionais aos dados da
série.
Obtemos cada setor por meio de uma regra de três simples e direta, lembrando que
o total da série corresponde a 360°.
Exemplo:
Dada a série:
REBANHO SUfNO DO
SUDESTE DO BRASIL
1992
ESTADOS QUANTIDADE(mil cabeias)
3.363.7 6.138,5 — 360°
3.363,7
— x.
=> x, = 197,2 => x, = 197°
x = 25,2 '=> 25c
FONTE: IBGE.
2 — ,_ .._ "2
x3 = 18,0 => x3 = 18°
x„ = 119,3 =9 x = 120°
temos:
Com esses dados (valores em graus), marcamos num círculo de raio arbitrário, com
um transferidor, os arcos correspondentes, obtendo o gráfico:
REBANHO SUlNO DO
SUDESTE DO BRASIL
1QQ9
| | Minas Gerais
lllll Espírito Santo
| | Rio de Janeiro
São Paulo
FONTE: 3GE
FIGURA 4 1(1
20 
---
Funções e gráficos
A despesa geral de uma companhia é R$ 1.000,00por dia e o custo de produção de cada itemé de R$ 25,00.(o) Escreva a função que representa o custo total da produção de % unidades por dia.
(b) Use o EXCELpara gerar um tabela que calcula o custo total da produção de 5, 10, 15 20 25 30 3540, 45 e 50 unidades por dia. '>>>>,
(c) Calcule e interprete7(100).
SOLUÇÃO
(a) f{x)=1000+25*.
(b) Os números 5 10,..., 50 são inseridos em B1:K1 e a expressão =1000+25*B1 é inserida em B2 e clicando earrastando ate K2,obtemos a seguinte saída: '
x
m
5 10
1025 1050
15
1075
20
1100
25
1125
30
"<150
35
1175
40
1200
45
1225
50
1250
(c) 7(100)
-
1000+25(100)- 1000+2500 =3500.0custo de produção de x = 100unidades por dia é 3500.
A Tabela 1-4 mostra o diagnóstico de novos casos de diabetes de 1997 a 7005destes dados. s ae 1yy '
a 2U05- Eaça um gráfico a partir
Tabela 1-4 Número de diagnósticos de
Ano 1997 1998 1999 2000 2001
o i-ciauS) UB tua
2002 1 2003
Detes
2004 2005MilhõesL
-
-
0,88 0,90 1,01 1,10 1,20 1,25 1,28 1,36 1,41
SOLUÇÃO
Primeiro método
O primeiro gráfico é do tipo séries temporais e é mostrado na Fipnr» l-5 r(c»betes para cada ano a partir de 1997 até 9005 Flÿ mr»
-
a 1C0 mosÿra os novos casos de d
do período considerado
ÿ qUC
°
numer0 de novos «sos aumentou a cada ano den
Segundo método
1998
21 
Terceiro método
O terceiro gráfico apresenta um gráfico denominado de gráfico tipo pizza. .
Esse gráfico mostra a porcentagem de novos casos de dia-betes de 1997 até
2005.
Mílões
a 1997 a 1993 w 1999 a 2000 ÿ 2001 « 2002 2003 2004 2005
3 Faça um gráfico a partir dos dados da Tabela 1.2 usando os seguintes gráficos:
Tabela 1-2Produção de trigo e milho de 2002 a 2006.
Ano Alqueires de trigo Alqueires de milho
2002 205 80
2003 • 215 105
2004 190 110
2005 205 115
2006 .225 120
a. Faça um gráfico de linhas a partir destes dados usando o EXCEL.
b. Faça um gráfico de colimas agrupadas com efeito visual 3D a partir destes
dados usando o EXCEL.
c. Faça um gráfico com colunas empilhadas com efeito visual 3D a partir destes
dados usando o EXCEL.
22 
SOLUÇÃO
a. Gráfico de linhas.
Alqueires de trigo
b. Gráfico de colunas agrupadas com efeito visual 3D.
•Alqueires de trigo
•Alqueires de rníltio
23 
No entanto, a maioria deles são simplesmente gráficos de apresenta¬
ção, que o interessado com pequeno esforço poderá facilmente compreender.
Nosso interesse estará completamente voltado para os gráficos de
análise da série estatística que são: Histograma, Polígono de frequência e a
curva polida de frequência.
Estas representações gráficas assumem aspectos diferenciados para
variável discreta e variável contínua.
HISTOGRAMA -VARIÁVEL DISCRETA
É um conjunto de hastes, representadas em um sistema de coordena¬
das cartesianas que tem por base os valores distintos da série (x() e por altura,
valores proporcionais as frequências simples correspondentes destes elemen¬
tos ($.
Exemplo:Se considerarmos a série:
*; f,
2 1
3 4
5 8
6 6
7 2
então o histograma assume a forma:
Polígono de frequências
Quando unimos, por segmento de reta, as extremidades das barras, obtemos uma
representação gráfica chamada polígono de frequências.
Observe o exemplo dado:
Idade N9 de alunos
(x,) (F.)
14 4
15 12
16 8
17 1
12 -
8-
7\
\
! \
\- •
\
14 15 i<;
0 gráfico do polígono de frequências absolutas pode ser feito, também, com
frequências absolutas acumuladas.
24 
 
II- Distribuição de Freqüência e seus Gráficos 
 
1) Akhiok é uma pequena vila pesqueira na ilha de Kodiak, Alasca. O censo a seguir 
representa os dados etários declarados de toda a população dos 77 habitantes de Akhiok, 
 
28, 6, 17, 48, 63, 47, 27, 21, 3, 7, 12, 39, 50, 54, 33, 45, 15, 24, 1, 7, 36, 53, 46, 27, 5, 10, 
32, 50, 52, 11, 42, 22, 3, 17, 34, 56, 25, 2, 30, 10, 33, 1, 49, 13, 16, 8, 31, 21, 6, 9, 2, 11, 32, 
25, 0, 55, 23, 41, 29, 4, 51, 1, 6, 31, 5, 5, 11, 4, 10, 26, 12, 6, 16, 8, 2, 4, 28. 
 
 
a) Construa uma distribuição de freqüência usando as idades dos habitantes de Akhiok 
(dados acima). Use seis classes. 
 
b) Usando a distribuição de freqüência obtida no exercício anterior, determine o ponto 
médio das classes e as freqüências relativas e cumulativas para cada classe. 
 
c) Utilizando a distribuição de freqüência obtida nos dois exercícios anteriores construa um 
histograma de freqüência, polígono de freqüência e um gráfico de freqüência cumulativa. 
 
d) Use um diagrama de ramos e folhas para organizar o conjunto de dados da população de 
Akhiok. 
 
e) Use o plote de pontos para organizar o conjunto de dados da população de Akhiok. 
 
 
2) Uma pesquisa sobre a idade, em anos, de uma classe de calouros de uma faculdade, 
revelou os seguintes dados. 
18, 17, 18, 20, 21, 19, 20, 18, 17, 19 
20, 18, 19, 18, 19, 21, 18, 19, 18, 18 
19, 19, 21, 20, 17, 19, 19, 18, 18, 19 
18, 21, 18, 19, 19, 20, 19, 18, 19, 20 
18, 19, 19, 18, 20, 20, 18, 19, 18, 18 
 
Construa a distribuição de frequência conveniente para esses dados e represente os dados em 
um gráfico de linhas. 
 
3) Os dados abaixo representam os rendimentos de uma ação da bolsa de 
valores nos últimos 50 meses. Construa a distribuição de frequência conveniente para 
esses dados e esboce o histograma da frequência dessa distribuição. 
 
2,50 – 2,00 – 1,50 – 1,00 – 2,80 – 3,00 – 
4,50 – 5,00 – 5,20 – 4,40 – 1,20 – 4,30 – 
4,00 – 4,15 – 4,25 – 2,33 – 2,15 – 1,36 – 
3,20 – 5,32 – 4,15 – 1,25 – 2,59 – 2,16 – 
4,12 – 5,23 – 1,24 – 1,00 – 1,62 – 2,00 – 
2,56 – 4,16 – 4,26 – 4,36 – 5,89 – 4,30 – 
5,66 – 3,33 – 3,40 – 2,69 – 4,22 – 4,89 – 
5,69 – 5,98 – 5,00 – 2,70 – 4,11 – 4,25 – 
4,75 – 1,88 --------------------------------- 
 
 
 
3) (ESAF/TTN) De acordo com a distribuição de frequência transcrita a seguir, pode-se 
afirmar que: 
 
 
a) 8% das observações têm peso no intervalo de classe 8 ---- 10. 
b) 65% das observações têm peso não inferior a 4 kg e inferior a 10 kg. 
c) Mais de 65% das observações têm peso maior ou igual a 4 kg. 
d) Menos de 20 observações têm peso igual ou superior a 4 kg. 
e) A soma dos pontos médios dos intervalos de classe é inferior ao tamanho da população. 
 
4) Considere a distribuição de frequência abaixo, referente a salários pagos a 
funcionários de uma empresa, e assinale a alternativa correta. 
 
 
a) A frequência relativa da segunda classe é 0,25. 
b) Os dados acima são insuficientes para a construção de um polígono de frequência. 
c) Os dados acima são insuficientes para a construção de um gráfico de frequência relativa 
acumulada. 
d) A frequência relativa acumulada crescente do segundointervalo de classe é 0,25. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Resposta de alguns exercícios 
 
 
 
 
3. c 
4. d 
HISTOGRAMA-VARIÁVEL CONTÍNUA
É um conjunto de retângulos justapostos, representados em um siste¬
ma de coordenadas cartesianas, cujas bases são os intervalos de classe e
cujas alturas são valores proporcionais às frequências simples corresponden¬
tes.
Exemplo:Se considerarmos a série:
Classe Int. cl. f,
1 0 I-2 3
2 2 I-4 6
3 4 I 6 8
4 6 I-8 5
5 8 I-10 2
então o histograma assume a forma:
8 10 Int. cl.
ÿ Observe que não colocamos o zero no eixo horizontal na origem
do sistema por uma questão de clareza da representação gráfica.
Deixamos, intencionalmente, um espaço igual a um intervalo de classe
no início e no final da representação gráfica.
Se considerarmos este espaçamento inicial e final como sendo classes
fictícias com frequência zero e unirmos os pontos médios das bases supe¬
riores destes retângulos, obtemos uma nova figura chamada polígono de
frequência.
fi
0 2 4 6 8 10 Int. cl.
h Observe que a área do polígono de frequência é a mesma área do
histograma.
ÿ Quando estamos lidando com um censo, o histograma representa
diretamente a distribuição de frequência da população, mas quando estamos
lidando com uma amostra, a histograma representa apenas a distribuição de
frequência da amostra e não da população.
25 
No entanto, se imaginarmos o número n de elementos da amostra
aumentando progressivamente, o número de classes iria aumentando pro¬
gressivamente e a amplitude do intervalo de classe iria diminuindo, o que
transformaria o polígono de frequência praticamente em uma figura polida,
chamada curva polida de frequência.
Esta figura nos dará uma noção da distribuição de frequência da popu¬
lação.
fi
8
6
4
2
1
8 10 Int. cl.6420
Exercícios
i- Construa um histograma para a distribuição de frequência:
*j
__
<±
1 2
2 3
3 5
4 4
5 3
6 1
2- Construa um histograma para a série representativa da idade de 50 alunos do
primeiro ano de uma Faculdade:
tdade (anos)
*<
Número de alunos
'/
17 3
18 18
19 17
20 8
21 4
2- Construa um histograma para a série representativa do número de acidentes por
dia observados em determinado cruzamento, durante 40 dias:
Número de Número de dias
acidentes por dia
*/
0 30
1 5
2 3
3 1
4 1
Construa um histograma para a série representativa de uma amostra dos salários
de 25 funcionários seiecionados em uma empresa.
Classe Salários uss Número de funcionários
f, ÿ
1 1.000.00 I-— 1.200,00 2
2 1.200,00 I--— 1.400,00 6
3 1.400,00 I-— 1.600,00 10
4 1.600,00 I
-—
1.800,00 5
5 1.800,00 I-— 2.000,00 2
5. Construa o polígono de frequência para a distribuição do problema anterior.
26 
6 Conhecidas as notas de 50 alunos:
68 85 33 52 65 77 84 65 74 57
71 35 81 50 35 64 74 47 54 68
80 61 41 91 55 73 59 53 77 45
41 55 78 48 69 85 67 39 60 76
94 98 66 66 73 42 65 94 88 89
determine:
a. a distribuição de frequência começando por 30 e adotando o intervalo de
classe de amplitude igual a 10;
b. as frequências acumuladas;
c. as frequências relativas;
d. o histograma e o polígono de frequência.
7 A tabela abaixo apresenta os coeficientes de liquidez obtidos da análise de
balanço em 50 indústrias:
3,9 7,4 10,0 11,8 2,3 4,5 10,5 8,4 15,6 7,6
18 8 2,9 2,3 0,4 5,0 9,0 5,5 9,2 12,4 8,7
45 4 4 10,6 5,6 8,5 2,4 17,8 .11,6 0,8 4,4
7,1 3,2 2,7 16,2 2,7 9,5 13,1 3,8 6,3 7,9
4,8 5,3 12,9 6,9 6,3 7,5 2,6 3,3 4,6 16,0
a. Forme com esses dados uma. distribuição com intervalos de classe iguais
a 3, tais que os limites inferiores sejam múltiplos de 3.
b. Confeccione o histograma e o polígono de frequência correspondentes.
MEDIDAS de tendência central
As medidas dc tendência central são usadas para indicar um valor que tende a tipificar, ou a
representar melhor, um conjunto de números. As três medidas mais usadas são a média, a
mediana c a moda.
MÉDIA ARITMÉTICA ( x )
A media aritmética é a ideia que ocorre à maioria das pessoas quando se fala em "média". E
como ela possui certas propriedades matemáticas convenientes, é a mais importante das três
medulas que estudaremos. Calcula-se a média aritmética determiriando-se a soma dos valores do
conjunto c dividindo-se esta soma pelo número de valores no conjunto.
Dados não-agrupados
Quando desejamos conhecer a média dos dados não-agrupados, determi¬
namos a média aritmética simples.
Exemplo:
Se um estudante fez quatro provas e obteve as notas 83, 94, 95 e 86, sua nota média é
83 + 94 + 95 + 86 „
4 ~
A media de uma amostra* é representada pelo símbolo x (leia-se "x barra"), e seu cálculo pode
expressar-se em notação sigma como segue.
ou mais simplesmente como
O processo de cálculo da média aritmética é o mesmo, quer se trate de um conjunto deJlufcs que traduzam representações amostrais, quer se trate de todos os valores de uma população.
obstante, utiliza-se o símbolo ju para a média de uma população, e N para o número de
"ens da população:
I*H = N
27 
A média tem certas propriedades interessantes e úteis, que explicam por que é ela a medida
de tendência central mais usada:
1. A média de um conjunto de números pode sempre ser calculada.
2. Para um dado conjunto de números, a média é única.
3. A média c sensível a (ou afetada por) todos os valores do conjunto. Assim, se um valor se
modifica, a média também se modifica.
4. Somando-se uma constante a cada valor do conjunto, a média ficará aumentada do valor dessa
constante. Assim, somando-se 4,5 a cada valor de um conjunto, a média ficará aumentada de
4,5. Analogamente, subtraindo-se de cada valor do conjunto uma constante, ou multiplicando-se
ou dividindo-se por ela cada valor do conjunto, a média fica reduzida dessa constante, ou
multiplicada ou dividida por ela.
5. A soma dos desvios dos números de um conjunto a contar da média é zero:
I(.v,- 3c) = 0
Tem-se uma representação física da média imaginando uma viga com pesos iguais colocadc
Por exemplo, a média dos números 2, 4 e 6 é 4: nos pontos correspondentes aos valores de um conjunto. A média dos números 2, 4 e 6 pode s<
ilustrada conforme a Figura
2+4+6 „
x =
-ÿr— = 4
Subtraindo 4 de cada um dos números, obtemos
__BESS#}—_ ;ÿ :1
• . ;• . -
it Ukzpf.H-:é'ÿ
Dados agrupados
Sem intervalos de classe
Consideremos a distribuição relativa a 34 famílias de quatro filhos, to¬
mando para variável o número de filhos do sexo masculino:
TABELA
N° DE f, •
-Meninos
0 2
1 6
2 10
3 12
4 4
1=34
Neste caso, como as frequências são números indicadores da intensidade
de cada valor da variável, elas funcionam como fatores de ponderação, o que
nos leva a calcular a inédia aritmética ponderada, dada pela fórmula:
z*,f.
If,
O modo mais prático de obtenção da média ponderada é abrir, na tabela,
uma coluna correspondente aos produtos x.f:
Ternos, então:
E x.f = 78 e E f. = 34
TABELA
xi f 1 x.f,
0 2 0
1 6 6
2 10 20
3 12 36
4 4 16
I= 34 E = 78
Loeo:
isto e:
X-Zâ-
If,
x = — = 2,29 =» x = 2,3
34
x = 2,3 meninos
28 
RESOLVA
1 Complete o esquema para o cálculo da média aritmética da distribuição:
1 2 3 4 5 6
remos:
f
X.
1 f, x.f.
1 2 2
•?£ 4
3 6
4 8
5 3
6 7
X = .... X = ....
8 1
Como:
X f = X x/ = ....
e
X x,7
x/;
temos:
x = - 3,4
Com intervalos de classe
Neste caso, convencionamos que todos os valores incluídos em um de¬
terminado intervalo de classe coincidem com o seu ponto médio, e deter¬
minamos a média aritmética ponderada por meio da fórmula:
x =
Z x.f.
i i
If
onde x. é o ponto médio da classe.
Consideremos a distribuição:
TABELA
i
ESTATURAS
(cm) f,
1 150 t- 154 4
2 154 i- 158 9
3 158 •— 162 11
4 162 i- 166 8
5 166 >- 170 5
6 170ÿ- 174 3
OIIW
Pela mesma razão do caso anterior/vamos, inicialmente, abrir uma colu¬
na para os pontos médios e outra para os produtos-x.f.:
TABELA
i ESTATURAS(cm) fi X.i xf1 1
1 150 i- 154 4 152 608
2 154 i- 158 9 156 1.404
3 158 i- 162 11 160 1.760
4 162 i- 166 8 164 1.312
5 166 i- 170 5 168 840
6 170 p- 174 3 172 516
M II ÿp* o I= 6.440
Como, neste caso:
X x.f. = 6.440, X f. = 40 e x
X x.f.I I
X f. '
temos:
S = 6ÿ=16l x = 161 etn
•. O
29 
RESOLVA
1 Complete o esquema para o cálculo da média aritmética da distribuição de
frequência:
CUSTO
(RS) 450 h 550 I- 650 h 750 h 850 h 950 t- 1.050 h 1.150
8 10 11 16 13 5 1
Temos:
í X
1 */,
7 500 . 8 4.000
2 10
3 77
4 16
5 13
6 5
7 7. 7 00 1
I= .... X = ....
Logo:
donde:
x = R$ 755
A MEDIAM(Md)
. .
A mediana é outra medida de posição definida como o número que
se encontra no centro de uma série de números, estando estes dispostos
segundo uma ordem. Em outras palavras, a mediana de um conjunto de
valores, ordenados segundo uma ordem de grandeza, é o valor situado de
tal forma no conjunto que o separa em dois subconjuntos de mesmo nú¬
mero de elementos.-
Dados não-agrupados
Dada uma série de valores, como, por exemplo:
5, 13, 10, 2, 18, 15, 6, 16, 9,
de acordo com a definição de mediana, o primeiro passo a ser dado é o da
ordenação (crescente ou decrescente) dos valores:
2, 5, 6, 9, 10, 13, 15, 16, 18
Em seguida, tomamos aquele valor central que apresenta o mesmo nú¬
mero de elementos à direita e à esquerda. Em nosso exemplo, esse valor é o
10, já que, nessa série, há quatro elementos acima dele e quatro abaixo.
Temos, então:
Md = 10
Se, porém, a série dada tiver um número par de termos, a mediana será,
por definição, qualquer dos números compreendidos entre os dois valores cen¬
trais da série. Convencionou-se utilizar o ponto médio.
Assim, a série de valores:
2, 6, 7, 10, 12, 13, 18, 21
tem para mediana a média aritmética entre 10 e 12.
Logo:
... 10+12 22Md =-=-= 11
2 2
donde:
Md = 11
Verificamos que, estando ordenados os valores de uma série e sendo n o
número de elementos da série, o valor mediano será:
— o termo de ordem -2-ÿ— , se n for ímpar;
— a média aritmética dos lermos de ordem
—
e
— + 1, se n for par.2 2
30 
NOTAS: • A mediana, como vimos, depende da posição e não dos valores dos elementos na
série ordenada. Essa é uma das diferenças marcantes entre a mediana e a media
(que se deixa influenciar, e muito, pelos valores extremos). Esta propriedade da
mediana pode ser constatada através dos exemplos a seguir:
5, 7, 10, 13, 15 => x = 10 e Md = 10
5, 7, 10, 13, 65 => x = 20 e Md = 10
isto c, a média do segundo conjunto de valores é maior do que a do primeiro, por
influência dos valores extremos, ao passo que a mediana permanece a mesma.
• A mediana é designada, muitas vezes, por valor mediano.
Dados agrupados
Sc os dados se agrupam em uma distribuição de frequência, o cálculo da
mediana se processa de modo muito semelhante àquele dos dados não-agrupa-
dos, implicando, porém, a determinação prévia das frequências acumuladas.
Ainda aqui, temos que determinar um valor tal que divida a distribuição em
dois grupos que contenham o mesmo número de elementos.
Para o caso de uma distribuição, porém, a ordem, a partir de qualquer
um dos extremos, é dada por:
If,
2
Sem intervalos de classe
Neste caso, é o bastante identificar a frequência acumulada imediatamen-
le superior à metade da soma das frequências. A mediana será aquele valor da
variável que corresponde a tal frequência acumulada.
Tomemos a distribuição relativa à Tabela , completando-a com a colu¬
na correspondente à frequência acumulada:
TABELA
N® DE
MENINOS f.1 F,
0 2 2
1 6 8
2 10 18
3 12 30
4 4 34
I= 34
Sendo:
a menor frequência acumulada que supera esse valor é 18, que corresponde ao
valor 2 da variável, sendo este o valor mediano. Logo:
Md = 2 meninos
Exemplo:
TABELA
*.
f.
l F,
12 1 1
14 2 3
15 1 4
16 2 6
17 1 7
20 1 8
M II 00
Temos:
—
= 4 = F32 3
Logo:
Md = 15 + 16 31
2
15,5
donde:
Md = 15,5
31 
RESOLVA
1 Complete o esquema para o cálculo da mediana das distribuições:
a. x, 2 4 6 8 10
f, 3 7 12 8 4
Temos:
*, f, F,
2 3 ....
4 7 10
6 12
8 8 30
10 4 ....
Z = ....
Como:
LL
2
vem:
Md = ....
b. X, 0 1 2 3 4 5
f. 2 5 9 7 6 CO
Temos:
Como:
X) F, Z f;
0 2 2 2
vem:
9
4 .... isto é:
L = ....
Com intervalos de classe
Neste caso, o problema consiste em determinar o ponto do intervalo em
que está compreendida a mediana.
Para tanto, temos inicialmente que determinar a classe na qual se acha a
mediana
—
classe mediana. Tal classe será, evidentemente, aquela correspon-
Ifdente à frequência acumulada imediatamente superior a 1 .
Feito isto, um problema de interpolação* resolve a questão, admitindo-
se, agora, que os valores se distribuam uniformemente em todo o intervalo de
classe.
Assim, considerando a distribuição da Tabela ' ,acrescida das frequên¬
cias acumuladas:
TABELA
i ESTATURAS(cm) f.1 F1
1 150 h 154 4 4
2 154 i- 158 9 13
3 158 t- 162 11 24 <-
4 162 h- 166 8 32
5 166 h 170 5 37
6 170 h- 174 3 40
I= 40
lemos:
=20
2 2
Como há 24 valores incluídos nas três primeiras classes da distribuição e
como pretendemos determinar o valor que ocupa o 20a lugar, a partir do início
da série, vemos que este deve estar localizado na terceira classe (i = 3), su¬
pondo que as frequências dessas classes estejam uniformemente distribuídas. 32 
Na prática, executamos os seguintes passos:
l9) Determinamos as frequências acumuladas.
2°, Calculamos ALL.2
39) Marcamos a classe correspondente à frequência acumulada imedia¬
tamente superior à ALL — classe mediana — e, em seguida, empre¬
gamos a fórmula:
Md = r» -k
til
-
F(ant)
2 . ;•
h*
na qual:
t* é o limite inferior da classe mediana;
F (ant) é a frequência acumulada da classe anterior à classe mediana;
f* é a frequência simples da classe mediana;
h* é a amplitude do intervalo da classe mediana.
Tomando como exemplo a distribuição anterior, temos:
AL = i!= ao
2 2
Logo, a classe mediana é a de ordem 3. Então:
i* = 158, F(ant) = 13, f* = 11 e h# = 4
Substituindo esses valores na fórmula, obtemos:
Md = 158 +
(2° ~ 13)4
= 158 + — = 158 + 2,54 = 160,54,11 11
isto e: Md = 160,5 cm
RESOLVA
1 Complete o esquema para o cálculo da mediana da distribuição de freqúên--
cia:
CUSTOS
(RS) 450 l- 550 t- 650 i- 750 h 850 t- 950 1.050 h 1.150
f, 8 10 11 16 13 5
lemos:
CUSTOS
IRS) F,
1 450 h 550 8 8
2 550 h 650 18
* 650 b 750 ....
J 750 h 850
850 h 950
- 950 h 1.050
7 1.050 h 1.150
2" = ....
Z f, ....
2 2
!* = ...., F(ant) = .....f* = .... e h*
Logo:
Md = .... +
ÿ
""
—
_
.... +
isto é:
Md = RS 769
NOTA: ir.
No caso de existir uma frequência acumulada exatamente igual a -1- , a media
2
na será o limite superior da classe correspondente.
33 
Exemplo:
TABELA
i CLASSES f, F,
1' 0 i- 10 1 ' * 1
2 10 h 20 3 4
3 20 i- 30 9 13 <-
4 30 h 40 7 20
5 40 h 50 4 24
6 50 H 60 2 26
I= 26
A MODA (Mo)
Temos:
lA = ii= 13
2 2
Logo:
Md
-
L* ==> Md — 30
Denominamos moda o valor que ocorre com maior frequência em
uma série de valores.
Desse modo, o salário modal dos empregados de uma indústria é o salá¬
rio mais comum, isto é, o salário recebido pelo maior número de empregados
dessa indústria.
Dados não-agrupados
Quando lidamos com valores não-agrupados, a moda é facilmente reco¬
nhecida: basta, de acordo com a definição, procurar o valor que mais se repete.
A série de dados:
7, 8, 9, 10, 10, 10, 11, 12, 13, 15
tem moda igual a 10.
Podemos, entretanto, encontrar séries nas quais não exista valor modal,
isto é, nas quais nenhum valorapareça mais vezes que outros. É o caso da
série:
3, 5, 8, 10, 12, 13,
que não apresenta moda (amodal).
Em outros casos, ao contrário, pode haver dois ou mais valores de con¬
centração. Dizemos, então, que a série tem dois ou mais valores modais. Na
série:
2, 3, 4, 4, 4, 5, 6, 7, 7, 7, 8, 9
temos duas modas: 4 e 7 (bimodal).
Dados agrupados
Sem intervalos de classe
Um vez agrupados os dados, é possível determinar imediatamente a moda:
basta fixar o valor da variável de maior frequência.
Na distribuição da Tabela 6.1, à frequência máxima (12) corresponde o
valor 3 da variável. Logo:
Mo = 3
Com intervalos de classe
A classe que apresenta a maior frequência é denominada classe modal.
Pela definição, podemos afirmar que a moda, neste caso, é o valor dominante
que está compreendido entre os limites da classe modal.
O método mais simples para o cálculo da moda consiste em tomar o ponto
médio da classe modal.
Damos a esse valor a denominação de moda bruta.
Temos, então:
_2
onde:
F* é o limite inferior da classe modal;
L* é o limite superior da classe modal. 34 
Ill, para a distribuição:
TABELA 6.6
i ESTATURAS(cm)
1 150 i— 154 4
2 154 t- 158 9
3 158 i— 162 11 <-
4 162 i- 166 8
5 166 i- 170 5
6 170 i- 174 3
r = 40
lemos que a classe modal é i = 3, C* = 158 e L* = 162.
Como:
-
í* + L*
vem:
Mo =
158 + 162 320Mo =-=-= 160
Loco:
Mo = 160 cm
KESOLVA
1 Complete o esquema para o cálculo da moda da distribuição de frequência:
i CUSTOS(RS) f,
1 450 h 550 8
2 550 l- 650 10
3 650 H 750 11
4 750 t- 850 16
5 850 t- 950 13
6 950 h 1.050 5
7 1.050 t- 1.150 1
M li O) -P*
i
A classe modal é a de ordem...
Logo:
f* = ... e L* = ...
Temos, pois:
Mo = "" + =2 2
isto é:
Mo = R$ 800
As expressões gráficas da moda
Na curva de frequência, a moda é o valor que corresponde, no eixo das
abscissas, ao ponto de ordenada máxima. Assim, podemos ter:
CURVA AMODALMo
CURVA MODAL
CURVA NAO-MODAL CURVA ANTIMODAL
Mo, Mo2
CURVA BIMODAL CURVA TRIMODAL
Emprego da moda
A moda é utilizada:
a. quando desejamos obter uma medida rápida e aproximada de posição;
I).quando a medida de posição deve ser o valor mais típico da distribui¬
ção.
35 
POSIÇÃO RELATIVADAMÉDIA,MEDIANAEMODA
Quando unia distribuição é simétrica, as três medidas coincidem. Porém,
a assimetria torna-as diferentes e essa diferença é tanto maior quanto maior é
a assimetria. Assim, em uma distribuição em forma de sino. temos:
x = Md = Mo, no caso da curva simétrica;
Mo < Md < x. 110 caso da curva assimétrica positiva:
x < Md < Mo, no caso da curva assimétrica negativa.
MODA
MEDIANA
MEDIA
Mo < Md < x x < Md < Mo
x = Md = Mo
AS SEPARATRIZES
Como vimos, a mediana caracteriza uma série cie valores devido à sua
posição central. No entanto, ela apresenta uma outra característica, tão impor¬
tante quanto a primeira: ela"separa a série em dois grupos que apresentam
o mesmo número de valores.
Assim, além das medidas de posição que estudamos, há outras que, con¬
sideradas individualmente, não são medidas de tendência central, mas es¬
tão ligadas à mediana relativamente à sua segunda característica, já que se
baseiam em sua posição na série. Essas medidas — os quartis, os percentis e
os decis
—
são, juntamente com a mediana, conhecidas pelo nome genérico
de separatrizes.
Os quartis
Denominamos quartis os valores de uma série que a dividem em
quatro partes iguais.
Há, portanto, três quartis:
a. O primeiro quartil (Q() — valor situado de ta! modo na série que uma
quarta parte (25%) dos dados é menor que ele e as três quartas partes
restantes (75%) são maiores.
b.O segundo quartil (Q,)
—
evidentemente, coincide com a mediana
(Q, = Md).
c. O terceiro quartil (Q,) — valor situado de tal modo que as três quar¬
tas partes (75%) dos termos são menores que ele e uma quarta parte
(25%) é maior. Assim, temos:
Quando os dados são agrupados, para determinar os quartis usamos a If, p(arit) h*
mesma técnica do cálculo da mediana, bastando substituir, na fórmula da me-
.. If.ihana,
—
'ÿ por:
2
Q, =
kl f,
sendo k o número de ordem do quartil.
3X f
-
F(ant)
Q, = t*
36 
Exemplo:
TABELA
ESTATURAS
(cm) f, F,
150 t- 154 4 4
154 h 158 9 13 <- (Q,)
158 i- 162 11 24
162 t— 166 8 32 <- (Q3)
166 t— 170 5 37
O T
—
i 3 40
M II o
Primeiro quartil
Temos:
JLi. = JA = 10
Q, = 154 +
(10 - 4) 4
24
9=
154
= 154 + 2,66 = 156.66
Q, = 156,7 cm
Terceiro quartil
Temos:
31f, 3 x 40
CL = 162 +
= 162 +
= 30
(30 - 24) 4
8
24
= 162 + 3 = 165
CL = 165 cm
RESOLVA
1 Complete os esquemas para o cálculo do primeiro e do terceiro quartis da
distribuição de frequência:
CUSTOS
(RS)
Temos:
450 t- 550 H 650 t- 750 t- 850 t- 950 h- 1.050 t- 1.150
8 10 11 16 13 1
/ CUSTOS(RS) f1 F,
7 450 h 550 8 8
2 550 h 650 10 18 <- (Q )
3 650 h 750 11 29
4 750 h 850 16 45
5 850 h 950 13 58 <- (Q )
6 950 h 1.050 5 63
7 1.050 h 1.150 1 64
ÍOII
Primeiro quartil
5 f,k = 1
Terceiro quartil
31 f, 3 X ....
Q
4 4
* = ...., F(ant) =.....f*
(....
-
....) ....
k = 3
h*
4 4 4
..... F(ant) = ...., f* = ..... h"
(....
-
....) ....
.... +
.... x ....
Q3 = .... +
= .... +
.... x ....
Q, = R$ 630 'x rQ, = RS 873 37 
 
II - Medidas de Tendência Central 
 
 
Nos exercícios 1-9, faça o seguinte: 
 
(a) Determine a média, a mediana e a moda dos dados, se possível. Se não for possível, explique 
por que a medida de tendência central não pôde ser determinada. 
(b) Qual é a medida de tendência central que melhor representa os dados? Explique seu 
raciocínio. 
 
1. O tempo em segundos que uma amostra de sete carros esportivos leva para ir de zero a 60 
milhas por hora. 
 
4,0 4,8 4,8 4,8 4,8 5,1 8,6 
 
 
2. O nível de colesterol em uma amostra fornecida por dez funcionários de determinada 
empresa. 
 
154 216 171 188 229 203 184 173 181 147 
 
 
3. As respostas em uma amostra de 1001 pessoas a quem se perguntou se a sua próxima 
compra de carro seria uma marca nacional ou estrangeira. 
 
Nacional: 704 Estrangeira: 253 Não Sabe: 44 
 
 
4.Veículos utilitários esportivos O número máximo de assentos em uma amostra de veículos 
utilitários esportivos (Fonte: Consumer Reports) 
 
 
 
5.Educação Custo da educação por estudante (em milhares de dólares) em uma amostra de dez 
universidades. (Fonte: U.S. News World Report) 
 
 
6.NBA Os pontos que cada time da NBA marcou por jogo durante uma temporada recente. 
(Fonte: NBA) 
 
 
7.Apagões A duração (em minutos) de cada apagão em uma residência nos últimos dez anos. 
 
8. Qualidade do ar As respostas de uma amostra de 1.040 pessoas que disseram se a qualidade 
do ar em sua comunidade era melhor ou pior do que há dez anos. 
 
Melhor: 346 Pior: 450 Igual: 244 
 
9.Crimes As respostas de uma amostra de 1.019 pessoas que disseram como se sentiam quando 
pensavam sobre o crime. 
 
Despreocupada: 34 Alerta: 672 Nervosa: 125 Amedrontada: 188 
 
10.Aviões O número de aviões que 11 linhas aéreas mantêm em operação. 
(Fonte: Airline Transport Association) 
 
 
 
 
 
11) As notas e seu percentuais de avaliação final para um estudante de um curso de 
estatística são mostrados a seguir. Qual será a nota média do estudante? 
 
 
 Nota Porcentagem da avaliação final (pesos) 
 
Trabalho de Casa 85 15% 
Teste rápido 80 10% 
Teste rápido 92 10% 
Teste rápido 76 10% 
Projeto 100 15% 
Exame oral 90 15% 
Exame final 93 25% 
 
12) Um estudante é avaliado conceitualmente da seguinte maneira: um A corresponde a 4 
pontos, um B a três pontos, um C a dois pontos e um D um ponto. Qual